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(3) (2) En déduire la mise au point complète (théorie, calcul numérique) de la méthode du point fixe et proposer une approximation numérique avec une précisionε= 1.0 10−5

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Informatique 3A MNBif Automne 2016

Examen de TD du 15 Novembre 2016

Durée : 1 heure(s)

Documents autorisés: OUI NON Polycopiés de l’UE, notes manuscrites. Livres interdits

Calculatrice autorisée: OUI NON Tout type

Exercice 1.

On cherche à résoudre l’équation g(x) =x où

g(x) =e−x, (1)

sur l’intervalle

I = [0.1,+∞[. (2)

(1) Montrer qu’il existe k∈[0,1[tel que

∀x∈I, |g(x)| ≤k. (3)

(2) En déduire la mise au point complète (théorie, calcul numérique) de la méthode du point fixe et proposer une approximation numérique avec une précisionε= 1.0 10−5. On admettra queI est stable parg, c’est-à-dire, pour toutx∈I,g(x)∈I. On admettra aussi l’inégalité suivante : sixn est la suite définie par xn+1=g(xn) etα est un point fixe deg

∀n∈N∗, |xn−α| ≤ kn

1−k|g(x0)−x0|. (4) Exercice 2.

Pour n = 3, on se donne n+ 1 points d’abscisses respectives (xi)0≤i≤n données par (0,1,2,3) et d’ordonnées respectives(yi)0≤i≤n données par(2,5,8,11).

(1) Déterminer le polynômeP passant par les points (xi, yi)0≤i≤1? (2) Que se passe-t-il si on rajoute le point(xi, yi)pour i= 2?

(3) Que se passe-t-il si on rajoute le point(xi, yi)pour i= 3 (en plus du point déjà rajouté) ? (4) Expliquer cela, avec un minimum de calcul !

Corrigé

Un corrigé sera disponible surhttp://utbmjb.chez-alice.fr/Polytech/index.html

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Références

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