Il est d’ordre p2−1

Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre et G´eom´etrie

Licence de math´ematiques et informatique Ann´ee 2002-03

Corrig´e de l’EXAMEN du 16 d´ecembre 2002

I 1.Ces groupes ont pour ordrep−1 etp²−1 respectivement.

2. Ces groupes sont cycliques. Leurs g´en´erateurs sont d’ordre maximal p−1 et p²−1 dans chacun des groupes.

3. C’est un polynˆome de degr´ep−1. Il poss`ede donc au plusp−1 racines. Or tout ´el´ementxdeF^∗_p v´erifie x^p−1= 1. Il y a doncp−1 racines dans Fp et dans F_p2.

4. Soit z un g´en´erateur du groupe cyclique F^∗_p2. Il est d’ordre p²−1. L’´el´ement λ0 =z^p+12 est d’ordre (p²−1)/^p+1₂ = 2(p−1). Commeλ0 est d’ordre 2(p−1),λ²₀ est d’ordrep−1. Commeλ^p−1₀ est diff´erent de 1,λ06∈Fp. Comme (λ²₀)^p−1=λ^2(p−1)₀ = 1, on aλ²₀∈Fpet doncλ0 est imaginaire pur (et ´evidemment non nul).

5. Comme λ est imaginaire pur, on a λ² ∈ Fp et donc 1 = (λ²)^p−1 = λ^2(p−1). L’´el´ement λ^p−1 v´erifie (λ^p−1)² = 1 ; on a donc λ^p−1 = 1 ou λ^p−1 = −1. Or λ^p−1 = 1 est exclu puisque λ 6∈ Fp. On a donc λ^p−1=−1.

6. Soit λ⁰ un imaginaire pur. Si λ⁰ = 0, on a bien λ⁰ = 0λ. Sinon on a (λ⁰/λ)^p−1 = λ^0p−1/λ^p−1 = (−1)/(−1) = 1 (d’apr`es la question 5.) et donc λ⁰/λ ∈ Fp ; on a bien λ⁰ = (λ⁰/λ)λ avec λ⁰/λ ∈ Fp. R´eciproquement, soitx∈Fp. Si x= 0, on a bien 0λ= 0 imaginaire pur. Si x6= 0 On a (xλ)²=x²λ²∈F^∗_p etxλ /∈F^∗_p (sinonλserait le rapport de deux ´el´ements deF^∗_p et donc dansF^∗_p.

7. L’extension de corps F_p2|Fp est de degr´e 2 ; autrement dit F_p2 est un espace vectoriel de dimension 2 sur F_p. Les ´el´ements 1 et λen constituent une base ; en effet, il sont lin´eairement ind´ependants car si x.1 +y.λ= 0 avecx,y∈F_pon ayλ=−x, ce qui entraˆınex=y= 0, carλ /∈F_p. Comme 1 etλconstituent une base deF_p2, tout ´el´ement de F_p2 s’´ecrit sous la forme indiqu´ee de fa¸con unique.

II

1. D’apr`es le cours ce groupe est d’ordrep(p−1)²(p+ 1).

2. Soit n un entier >0. On a 1 1

0 1 ⁿ

= 1 n¯

0 1

, o`u ¯n est la classe de n dansFp. Cette matrice est

´

egale `a l’identit´e si et seulement sip|n. L’ordre de 1 1

0 1

est donc ´egal `ap. Le groupe engendr´e est donc cyclique d’ordrep.

3. Soit nun entier >0. On a x 0

0 1 n

=

xⁿ 0 0 1

. Cette matrice est ´egale `a l’identit´e si et seulement six<sup>n</sup>= 1, c’est-`a-dire si (p−1)|n. L’ordre de

x 0 0 1

est donc ´egal `a p−1. Le groupe engendr´e est donc cyclique d’ordrep−1.

4. On a φ(1) = φ(1 + 0.λ) = 1 0

0 1

. On a φ(x+yλ) +φ(x⁰+y⁰λ) =

x yλ²

y x

+

x⁰ y⁰λ² y⁰ x⁰

= x+x⁰ (y+y⁰)λ²

y+y⁰ x+x⁰

=φ(x+yλ+x⁰+y⁰λ). Enfin on aφ(x+yλ)φ(x⁰+y⁰λ) =

x yλ² y x

x⁰ y⁰λ² y⁰ x⁰

= xx⁰+λ²yy⁰ xλ²y⁰+λ²yx⁰

yx⁰+xy⁰ λ²yy⁰+xx⁰

=φ(xx⁰+λ²yy⁰+λ(xy⁰+yx⁰)) = φ((x+λy)(x⁰+λy⁰)). C’est pourquoi

φ est un homomorphisme d’anneaux. V´erifions que φ est injectif. Il est clair que si φ(x+yλ) = 0, on a x=y= 0. Cela prouve que le noyau de φest trivial et donc queφest injectif.

5. Un homomorphisme d’anneaux induit un homomorphisme entre les groupes d’´el´ements inversibles. C’est pourquoi on a l’homomorphisme cherch´e, qui est injectif puisque la restriction d’une application injective est injective. L’image de φ est un sous-groupe de GL₂(F_p), puisque l’image directe d’un groupe par un homomorphisme de groupe est un groupe. Cette image estO_λ.

III

1. Montrons maintenant que l’application est bien d´efinie. Commez6∈Fp, et comme (c, d)∈F²_p−{(0,0)}, et on acz+d6= 0. L’expression (az+b)/(cz+d) est bien d´efinie dansF_p2. Montrons que (az+b)/(cz+d)∈Hp. Si (az+b)/(cz+d) =x∈Fp, on az= (a−cx)/(dx−a) ; commea,c,x,detasont dansFp, on az∈Fp, ce qui est absurde.

Montrons qu’on a bien l’action d’un groupe sur un ensemble. On a 1 0

0 1

.z = z (z ∈ Hp). Pour g =

a b c d

∈GL2(Fp), g⁰ =

a⁰ b⁰ c⁰ d⁰

∈GL2(Fp) et z ∈Hp on ag.(g⁰.z) =g.((a⁰z+b⁰)/(c⁰z+d⁰)) = (aa⁰z+ab⁰+bc⁰z+bd⁰)/(ca⁰z+cb⁰+dc⁰z+dd⁰) =

aa⁰+bc⁰ ab⁰+bd⁰ ca⁰+dc⁰ cb⁰+dd⁰

.z= (gg⁰).z.

2. Soitz=x+yλ∈F²_p. Siz∈Hp, on ay 6= 0. On a dans ce casz= y x

0 1

.λet

y x 0 1

∈GL2(Fp), puisque y 6= 0. Par cons´equent tout ´el´ement de Hp est dans l’orbite de λ. Comme il n’y a qu’une seule orbite, l’action de GL2(Fp) surHp est transitive.

3. Soitg=

x yλ² y x

∈O_λ. On a g.λ= (xλ+yλ²)/(yλ+x) =λet doncg est dans le stabilisateur deλ.

Montrons maintenant que ce stabilisateur est contenu dansO_λ. Soitg =

a b c d

∈GL₂(F_p) un ´el´ement du stabilisateur de λ. On a alors (aλ+b)/(cλ+d) =λ et donc (a−d)λ+b−cλ²= 0. Commeλ²∈F_p, et comme l’´ecriture d’un ´el´ementz deF²_p commez=x+yλ avecx,y∈F_p est unique, on aa−d= 0 etb−cλ²= 0 et donca=detb=cλ². Commeg∈GL₂(F_p), on aad−bc6= 0 et donc a²−λ²c²6= 0 et donc (a, c)6= (0,0). On a doncg∈O_λ.

4. Soit x ∈ Fp, avec x6= 0 et x 6= 1. Posons gx = x 0

0 1

. On as =

0 λ² 1 0

∈ Oλ. On a de plus g_xsg⁻_x1 =

0 xλ² x⁻¹ 0

∈/ O_λ. On a donc g_xO_λg⁻¹_x 6= O_λ. Le groupe O_λ n’est donc pas distingu´e dans GL₂(F_p).