FINAL
NOM Prénom signature
: 1h30 –
autorisée.Exercice 1
1. On considère le signal causal
y t ( )
suivant :a. Que signifie ici l’adjectif « causal » ?
b. Donner l’expression temporelle de
y t ( )
en utilisant la fonction échelon unité notéeu t ( )
.c. Déterminer la transformée de Laplace
Y p ( )
de ce signal.2. La tension de sortie
s t ( )
d’un système obéit à l’équation différentielle 3ds t( )
2s t( ) ( )
e tdt + =
avec
s ( )
0 =0 oùe t ( )
est la tension d’entrée. En utilisant les transformées de Laplace, déterminer la tensions t ( )
lorsquee t ( )
est une rampe causale de coefficient directeur 6 .V s−1.Exercice 2
On considère le montage schématisé ci-dessous :
1. Dessiner le circuit équivalent lorsque la pulsation de
u t
e( )
tend vers zéro (comportement à très basse fréquence) ; en déduire l’expression deu
s BF,( ) t
.2. Dessiner le circuit équivalent lorsque la pulsation de
u t
e( )
devient très grande (comportement à très haute fréquence) ; en déduire l’expression deu
s HF,( ) t
.3. Établir les expressions littérales des potentiels
V
A etV
B en fonction deu
e,u
s et des paramètres du circuit.4. Établir l’expression de la fonction de transfert
( )
se
H jx u
=u en posant
x
=RC ω
. La mettre sous la formeH jx ( )
=1+h x
1( )
oùh x ( )
est une fonction complexe dex
à expliciter. Faire les calculs au verso et reporter le résultat ci-dessous.( )
H jx
=Exercice 3
Un filtre a pour fonction de transfert
( )
2(
2)
21 1
2
1 1 2
1 3
R R
x jx
R R
H jx x jx
− − + −
= − + où
x
=RC ω
.1. Établir l’expression du gain en décibels GdB en fonction de 2
1
k R
= R et
x
.2. On choisit R1=2R2, ce qui conduit à k =0, 5. Simplifier l’expression de GdB en tenant compte de cette donnée.
3. Déterminer ,
0 dB BF lim dB
x
G G
= → .
4. Déterminer dB HF, lim dB
x
G G
= →∞ .
5. Déterminer
1
lim dB
x
±G
→ .
6. Quelle est la nature du filtre étudié ?
7. Donner sur la figure ci-dessous l’allure du diagramme de Bode en gain
G
dB(
logx )
. Indiquer les points et valeurs caractéristiques sachant que les pulsations de coupure ω1 et ω2 correspondent aux valeurs logx1≈ −0, 5 et logx2 ≈0, 5 (faire apparaître la bande passante).8. Avec k =0, 5 on a
( ) ( 2)
2
1
1 3
k x
H jx x jx
− −
= − + . Établir dans ce cas l’expression du déphasage
ϕ ( ) x
introduit par le filtre entre la tension d’entrée et la tension de sortie en régime sinusoïdal permanent.
Exercice 4
On considère le montage schématisé ci-dessous. L’AOp. sera considéré comme idéal.
log x
( )
G
dBdB
0
1. Rappeler les propriétés de l’AOp. idéal.
2. Quel est le mode de fonctionnement de l’AOp. dans ce montage ?
3. En déduire les deux valeurs possibles de
V
+, potentiel de l’entrée non-inverseuse.4. Représenter la caractéristique de transfert
u
s =f u ( )
e du montage (justifier au dos de la feuille précédente).1 1
R = Ωk
2 3 10
R =R = kΩ
sat 14
V + = V
sat 14
V − = − V
Annexe : table de transformées de Laplace