NOM Prénom signature

FINAL

NOM Prénom signature

: 1h30 –

autorisée.

Exercice 1

1. On considère le signal causal

^{y t} ( )

suivant :

a. Que signifie ici l’adjectif « causal » ?

b. Donner l’expression temporelle de

^{y t} ( )

en utilisant la fonction échelon unité notée

^{u t} ( )

^.

c. Déterminer la transformée de Laplace

^{Y p} ( )

de ce signal.

2. La tension de sortie

^{s t} ( )

d’un système obéit à l’équation différentielle ^{3ds t}

( )

^{2s t}

( ) ( )

^{e t}

dt + =

avec

^s ( )

^{0 =0 où}

^{e t} ( )

est la tension d’entrée. En utilisant les transformées de Laplace, déterminer la tension

^{s t} ( )

^lorsque

^{e t} ( )

est une rampe causale de coefficient directeur 6 .V s⁻¹.

Exercice 2

On considère le montage schématisé ci-dessous :

1. Dessiner le circuit équivalent lorsque la pulsation de

^{u t}

^e

( )

tend vers zéro (comportement à très basse fréquence) ; en déduire l’expression de

^u

^{s BF,}

( ) ^t

^.

2. Dessiner le circuit équivalent lorsque la pulsation de

^{u t}

^e

( )

devient très grande (comportement à très haute fréquence) ; en déduire l’expression de

^u

^{s HF,}

( ) ^t

^.

3. Établir les expressions littérales des potentiels

V

_A et

V

_B en fonction de

u

_e,

u

_s et des paramètres du circuit.

4. Établir l’expression de la fonction de transfert

( )

^s

e

H jx u

=u en posant

x

=

RC ω

. La mettre sous la forme

^{H jx} ( )

⁼¹⁺

^{h x}

¹

( )

^où

^{h x} ( )

est une fonction complexe de

x

à expliciter. Faire les calculs au verso et reporter le résultat ci-dessous.

( )

H jx

=

Exercice 3

Un filtre a pour fonction de transfert

( )

²

(

²

)

²

1 1

2

1 1 2

1 3

R R

x jx

R R

H jx x jx

 

− − +  − 

 

= − + ^où

x

=

RC ω

^.

1. Établir l’expression du gain en décibels G_dB en fonction de ²

1

k R

= R ^et

x

.

2. On choisit R₁=2R₂, ce qui conduit à k =0, 5. Simplifier l’expression de G_dB en tenant compte de cette donnée.

3. Déterminer _,

0 dB BF lim dB

x

G G

= → ^.

4. Déterminer _{dB HF,} lim _dB

x

G G

= →∞ ^.

5. Déterminer

1

lim _dB

x

±G

→ .

6. Quelle est la nature du filtre étudié ?

7. Donner sur la figure ci-dessous l’allure du diagramme de Bode en gain

^G

^dB

(

^log

^x )

. Indiquer les points et valeurs caractéristiques sachant que les pulsations de coupure ω₁ ^et ω2 correspondent aux valeurs logx₁≈ −0, 5 ^et logx₂ ≈0, 5 (faire apparaître la bande passante).

8. Avec k =0, 5 ^{on a}

( ) (

²

)

2

1

1 3

k x

H jx x jx

− −

= − + . Établir dans ce cas l’expression du déphasage

^ϕ ( ) ^x

introduit par le filtre entre la tension d’entrée et la tension de sortie en régime sinusoïdal permanent.

Exercice 4

On considère le montage schématisé ci-dessous. L’AOp. sera considéré comme idéal.

log x

( )

G

dB

dB

0

1. Rappeler les propriétés de l’AOp. idéal.

2. Quel est le mode de fonctionnement de l’AOp. dans ce montage ?

3. En déduire les deux valeurs possibles de

V

₊, potentiel de l’entrée non-inverseuse.

4. Représenter la caractéristique de transfert

^u

^{s =}

^{f u} ( )

^e du montage (justifier au dos de la feuille précédente).

1 1

R = Ωk

2 3 10

R =R = kΩ

sat 14

V ₊ = V

sat 14

V ₋ = − V

Annexe : table de transformées de Laplace