Exercice corrigé en régime sinusoïdal monophasé

Exercice corrigé en régime sinusoïdal monophasé

On demande d’établir les expressions des intensités du courant dans chaque branche et des tensions aux bornes de chaque dipôle, par rapport à la tension d’alimentation U, dans le cas du circuit ci-dessous.

On donne : u(t)=220 2sin(314t)

Correction 1- Méthode vectorielle:

Sachant queu(t)=220 2sin(314t), on peut déduire ce qui suit:

o U =220V : tension efficace;

o ω=314rd/s, soit f =50Hz; o Le déphasage à l'origine est nul.

v Déterminons, d'abord, l'impédance équivalente du circuit R-L parallèle:

Représentation de Fresnel:

La tension uR(t) = uL(t), aux bornes du circuit parallèle est prise comme référence pour les courants dans les deux branches.

Ce qui nous permet de tracer le graphique suivant:

Nous avons donc:

L

R I

I Ir r r

+

= et par conséquent: I² = I_R² +I_L²

Soit : ₂

2 2

2 2

2 2

2

) (Lω

U R

U Z

U Z

U _{L L}

RL L RL

R = = +

D'où,

- module:

s L Y

R

Z_RL ^RL 0,010346

) (

1 1

1

2

2  = =



 



 +

= ω et = 1 =96,65Ω

RL

RL Y

Z

- déphasage de Ir

par rapport à Ur_R :

°

−

=



 



− 

=

 

− 

= 14,86

) /

( ω

ϕ L

arctg R I

arctg I

R L U

I Z

ZRLpeut s'écrire, alors:

° + Ω

=96,65 14,86 ZRL

v Déterminons, ensuite, l'impédance équivalente totale:

Le circuit est composé d'une impédance Z_RL en série avec une capacitéC. Le courant leur est donc commun, dans la représentation de Fresnel ce dernier sera pris comme référence.

Nous avons:

C

Z U

U Ur r r

+

=

D'où:

- Module:

(

)

C Z C

Z U U U U U

U

U r r

, cos

2 2

2

2 = + +

Ce qui nous permet d'écrire, en simplifiant par I:

(

)

C RL C

RL Z Z Z U U

Z

Z r r

, cos

2 2

2

2 = + +

Soit Z ZRL ZC ZRLZC

(

)

, cos

2 2

2 + +

=

Sachant que (Ur_Z,Ur_C)=90+ϕ_Z =104,86°

et = = 1 =31,85Ω ω

X C Z_{C C} Ω

=93,7

Z

- Déphasage de U par rapport à I:

On a:

C Z

Z U

U

Usinϕ= sinϕ − Ou encore:

C Z

RL Z

Z

Zsinϕ = sinϕ − Soit



 



 −

= Z

Z Z_RL ϕ_{Z C}

ϕ sin

arcsin

°

−

= 4,32

ϕ : L'impédance totale est de type capacitive, la tension est en retard sur le courant.

°

− Ω

=93,7 4,32 Z

v Détermination des grandeurs partielles :

v Détermination du l'intensité du courant total:

Z A

I U 2,35 7

, 93

220 =

=

=

Le déphasage de entre Ir et Ur

estϕ =4,32°=0,075rd, le courant est en avance sur la tension.

L'intensité du courant instantané i(t)s'écrit:

) 075 , 0 314 sin(

2 35 , 2 )

(t = t+

i

v Détermination de la tension aux bornes de Z_RL:

V I

Z

U_Z = _RL =96,65×2,35=227,13

Son déphasage par rapport à Iest ϕ_Z =−14,86°=−0,26rd

Sachant que le déphasage entreI et U est_ϕ, le déphasage de U_Zpar rapport à Uest

Z) 4,32 14,86 19,18 0,33rd

( + = + = ° =

− ϕ ϕ

La tension instantanée u_Z(t)s'écrit:

) 33 , 0 314 sin(

2 13 , 227 )

(t = t+

u_Z

v Détermination de l'intensité du courant dans la résistance R:

R A

I_R U^Z 2,27 100

13 ,

227 =

=

=

Sachant que le courant Ir_R

et la tension Ur_Z

sont en phase, l'intensité du courant instantané s'écrit:

) 33 , 0 314 sin(

2 27 , 2 )

(t = t+

i_R

v Détermination de l'intensité du courant dans l'inductance L:

L A

I_L U^Z 0,6

8 , 376

13 ,

227 =

=

= ω

Sachant que le courant Ir_L

est en quadrature de phase retard sur Ur_Z etIr_R

, le déphasage de Ir_L

par rapport à Ur

est:

Z) 90 ( 14,86 4,32) 90 19,18 70,82 1,24rd (

90°− + =− − − − =− + =− °=−

− ϕ ϕ

L'intensité du courant instantané i_L(t)s'écrit:

) 24 , 1 314 sin(

2 6 , 0 )

(t = t−

i_L

v Détermination de la tension aux bornes de C:

e V C

U_C I 74,84

314 100

35 , 2

6 =

= ×

= ₋

ω

Sachant que la tension Ur_C

est en quadrature de phase arrière sur le courantIr

, son déphasage par rapport à Ur

est:ϕ−90°=4,32−90=−86,68°=−1,5rd

La tension instantanée u_C(t)s'écrit:

) 5 , 1 314 sin(

2 84 , 74 )

(t = t−

u_C

2- Méthode complexe:

v Détermination de l'impédance complexe Z_RL:

( )

8 , 24 42 , 93

87 , 14 sin 87 , 14 cos 66 , 96 66

, 96 66

, 8 96

, 389

37680 8

, 376 100

37680 (90 75,13) 14,87

13 , 75 90

j

j e

e e e j

j jL

R

Z jRL _j ^{j j}

j RL

+

=

+

=

=

= + =

+ =

= ⁻

ω ω

v Détermination de l'impédance complexe totaleZ:

3 ,

68 4

, 93 04 , 7 42 , 93 8 , 24 42 , 93 84 ,

1 31 j

RL j j j e

jC Z

Z = + =− + + = − = ⁻

ω

°

=93,7e−^j4,3

Z

v Détermination des grandeurs partielles complexes :

Les intensités et les tensions seront déterminées par rapport à la tension totaleU . On a alors:

0

0 220 ^j

j e

Ue

U = =

o Détermination du courant total:

°

°

− =

=

= _4,3 2,35 ^4,3 7

, 93

220 j

j e

e Z

I U

=2,35e^j4,3°

I

) 075 , 0 314 sin(

2 35 , 2 )

(t = t+

i

o Détermination de la tension u_Z(t):

= °

=

= _RL. 96,66 ^j14,87.2,35 ^j4,3 227,15 ^j19,17

Z Z I e e e

U

=227,15 ^j19,17°

Z e

U

) 33 , 0 314 sin(

15 , 227 )

(t = t+

u_Z

o Détermination de l'intensité I_L:

°

−

−

° = = =

=

= ₉₀ ¹⁹₉₀^,17 0,6 ^{(19,17 90)} 0,6 ^70,83 8

, 376

15 ,

227 _{j j}

j j j

Z Z

L e e

e e e

L U jL

I U

ω ω

83 ,

6 70

,

0 ^j

L e

I = ⁻

) 24 , 1 314 sin(

2 6 , 0 )

(t = t−

i_L

o Détermination de l'intensité I_R:

= °

=

= ^19,17 2,27 ^19,17 100

15 ,

227 j

j Z

R e e

R I U

17 ,

27 19

,

2 ^j

R e

I =

) 33 , 0 314 sin(

2 27 , 2 )

(t = t+

i_R

o Déterminatio n de la tension U_C:

° +

− = =

=

= ^4,3₉₀ 74,84 ^{(4,3 90)} 74,84 ^94,3 0314

, 0

35 ,

2 _{j j}

j j

C e e

e e jC

U I

ω

=74,84 ^j94,3°

C e

U

) 65 , 1 314 sin(

2 84 , 74 )

(t = t+

u_C

B.N: Prière de signaler toute erreur éventuelle.