Quelle tension mesure un voltmètre en régime quasistatique ?

Quelle tension mesure un voltmètre en régime quasistatique ?

par A. BOUSSIÉ Lycée Henri IV, 75231 Paris Cedex 05

PRÉSENTATION DU PROBLÈME

En régime variable, tant que la fréquence n’est pas trop élevée, l’oscilloscope est utilisé pour la mesure des valeurs instantanées de la tension entre deux points K et N d’un circuit, cette tension étant définie comme la différence de potentiel V_K – V_N.

Or les équations de Maxwell montrent que tout champ électroma- gnétique peut s’exprimer en fonction des potentiels scalaire V (M, t) et vecteur A→

(M, t) par B→= rot→ A→

et E→= –grad→ _{V –} ∂A→

∂t, mais que ces potentiels ne sont définis qu’à –∂f

∂t et grad→

f près, respectivement, où f(M,t) est une fonction quelconque (dérivable). Le choix du couple (V, A→₎

utilisé constitue un choix de jauge. Selon la jauge choisie, une différence de potentiel V_K – V_N n’a donc pas la même valeur. Que mesure alors l’oscilloscope branché entre les point K et N ? Pour y répondre il faut tenir compte également d’un éventuel phénomène d’induction agissant sur la branche de mesure KVN.

Auparavant je préciserai les grandeurs et le vocabulaire utilisés, puis je rappellerai les deux réactions très différentes qui se sont manifestées déjà dans le Bulletin ([FCP 90] et [JEA 90]).

1. CHAMPS ET TENSIONS AGISSANT SUR LES COURANTS ÉLECTRIQUES

Un porteur de charge q, de vitesse v→

dans un conducteur de vitesse v→

c(M, t) où règne un champ électromagnétique 

^E→ (M, t) , B→ (M,t), est soumis à la force macroscopique F^→ dont la valeur par unité de charge F→

q= E→+ ^v→∧ B→₊ v→

c∧ B→

a la dimension d’un champ électrique. Il est également soumis à son poids qui n’a pas d’effet appréciable et à l’interaction microscopique avec le conducteur qui maintient le porteur à l’intérieur du conducteur et freine son mouvement. Aux basses fréquences considérées, l’inertie du porteur est négligeable et, dans les conducteurs ohmiques seuls envisagés ici*, le freinage impose la densité de courant j^→ = γ F→

q où γ est la conductivité du conducteur.

Dans cet article nous ne considérerons que des circuits filiformes pour lesquels v^→ et j→ sont parallèles au conducteur. Le terme v^→_∧ B→ est alors orthogonal au conducteur et n’a pas d’effet sur le courant. Le champ total à prendre en compte est• :

E→

t= E→+ v→

c∧ B→_{= –} grad→ _V –^∂A^→

∂t + v→

c∧ B→.

Le premier terme est le champ irrotationnel ou potentiel E→

p= – grad→

V dont la circulation entre les points K et N d’un circuit est la différence de potentiel V (K) – V (^N)=

∫

(^KN)

E→

p

.

dl^→. Sur un circuit fermé cette circulation est nulle : le champ E^→_p n’a pas d’effet global sur le circuit.

Les deux premiers termes, champ potentiel E^→p et champ de Neumann E^→N= – ∂^A→

∂t, forment le champ électrique E^→ dont la circulation uKN=

∫

(^KN)

E→

.

^dl→ sera désignée (en reprenant une proposition de

* La loi d’Ohm permet d’écrire simplement la relation entre j et F mais n’est pas essentielle pour cette étude.

[FCP 90] et en la précisant) par tension électrique entre les points K et N. Pour un circuit fermé elle dépend de la branche utilisée entre K et N.

Les deux derniers termes E^→Net E→

L= v→

c∧ ^B→ forment le champ électromoteur E^→_m= ^{– ∂A→}

∂t+ v^→_c∧ B→

, dont la circulation eKN=

∫

(^KN)

E→

m

.

^dl→ sera désignée (en analogie avec la précédente) par tension électromotrice entre K et N. Comme u_KN , elle dépend de la branche utilisée entre K et N. Sa valeur pour une maille de circuit est égale à – ^dφ

dt d’après la loi de Faraday.

Enfin la circulation du champ total u_tKN=

∫

(KN)

E→

t

.

dl→

sera appelée tension totale entre K et N. Elle dépend elle-aussi de la branche utilisée entre K et N. Sur une maille la tension totale est égale à la tension électromotrice et vérifie la loi de Faraday.

L’intégration de la loi d’Ohm locale j^→= γF→

q sur une branche KN donne la loi d’Ohm intégrale u_tKN = RKN i où R_KN est la résistance de la branche et i l’intensité du courant dans la branche, définie positive de K vers N.

Habituellement on sépare dans utKN le terme VK – VN qui n’a pas d’effet global, du terme e_KN qui intervient dans les échanges d’énergie.

Du point de vue de l’électrodynamique cette séparation n’est pas univoque et on retrouve le problème de la signification de la différence de potentiel VK – VN.

2. INTERPRÉTATION CLASSIQUE DE LA MESURE D’UNE DIFFÉRENCE DE POTENTIEL

Le problème de choix de jauge est complètement ignoré en électricité (électrotechnique et électronique). Les succès de ces sciences et de leurs applications techniques et industrielles imposent d’admettre que le potentiel des électriciens est une notion expérimentalement fondée. Dans le cadre de ce modèle, un oscilloscope mesure la

différence de potentiel V_P – V_Q entre ses bornes P et Q. Cette différence de potentiel peut être calculée en utilisant la loi d’Ohm appliquée aux branches du circuit reliant les bornes P et Q. Ce calcul prend en compte les tensions électromotrices, y compris dans la branche de l’oscillo- scope. Cette méthode est illustrée et défendue par [JEA 90]. Elle est efficace.

Mais l’auteur croit pouvoir conclure que «c’est tout ce qu’on lui demande» et qu’il est inutile de se poser des questions sur le reste «dem Verstande unzugänlich». Ce point de vue très empirique me semble infirmé par la pratique scientifique moderne. Pour s’en convaincre on pourra se reporter à [PEY 82]. On se trouve ici en présence d’un problème courant dans l’histoire de la physique et toujours d’actualité : le raccordement entre deux théories, chacune efficace dans son domaine d’utilisation respectif. Dans notre cas il s’agit de raccorder l’électroma- gnétisme quasistatique et l’électrodynamique. On aurait pu espérer que la cohérence de deux théories aussi anciennes avait été éclaircie depuis longtemps dans son détail et que l’affaire était classée. La publication des articles [FCP 90], [JEA 90] et [FCP 91] semblerait prouver que ce n’est pas aussi évident. Je vais donc exposer mon point de vue sur cette cohérence avant d’en revenir à la mesure des tensions.

3. SIGNIFICATION PHYSIQUE DU POTENTIEL QUASISTATIQUE : LA JAUGE NATURELLE

En électrodynamique, les potentiels V et A^→ peuvent être calculés par les formules des potentiels retardés. La jauge correspondante est une jauge de Lorentz, vérifiant la condition div A→+ 1

c^{2 ∂V}

∂t = 0. On passe simplement à l’approximation quasistatique en négligeant les temps de retard dus à la vitesse c. Les expressions de ces potentiels quasistatiques sont alors :

V(M, t)= 1

4πε0

∫

^{ρPM(P, t)dτ et A→(M, t)=}4 ^µ0π

∫

^{j→(PMP,t)dτ}

Le calcul de ces potentiels est donc, à l’instant t, exactement le même que celui que l’on effectue en électrostatique, pour V(M) et en magnétostatique pour A^→ (M). C’est le prolongement naturel en régime quasistatique des méthodes du régime statique. C’est pourquoi la jauge correspondante peut être qualifiée de naturelle. Elle vérifie, comme en magnétostatique, la condition div A→=0 (jauge de Coulomb).

C’est bien la méthode utilisée en électricité quand on calcule le champ de Neumann E→

N = ^{– ∂A}∂^→t à partir du potentiel vecteur A→₍ M, t) de la jauge naturelle. Ce champ E→

N est donc déterminé sans aucune ambiguïté. Il ne serait pas modifié si on ajoutait à A→ un grad→ _{f (M,} t) indépendant du temps. Mais alors il faudrait rajouter au potentiel scalaire V (M, t) la fonction –∂^f

∂t indépendante de M (d’après le théorème de Schwarz). Il en résulte que le potentiel quasistatique V (M, t) est celui de la jauge naturelle à une fonction du temps près (et non de l’espace) sans importance puisque l’on n’utilise que les différences de potentiel au même instant.

Sauf dans le cas des condensateurs, on ne calcule jamais le potentiel scalaire quasistatique par les expressions le reliant aux charges parce que ces charges ne sont pas une donnée primitive. Elles apparaissent à la surface (ou à l’intérieur) des conducteurs de manière que la densité de courant j→

et le champ total E→

t restent parallèles au conducteur filiforme. On va donc déduire les différences de potentiel de leur expression en fonction des champs et des courants, c’est-à-dire de la loi d’Ohm VK – VN = RKNi – eKN.

On voit que si l’on veut «tuer» le champ électromoteur, il faut

«tuer» en même temps la différence de potentiel, ce que se gardent bien de faire électrotechniciens et électroniciens qui ne sont pas prêts de lâcher la simplicité de la jauge naturelle.

Remarque

Les considérations précédentes peuvent s’appliquer également au champ électromagnétique statique. On pourrait toujours rajouter aux potentiels V(M) et A→(M) de la jauge naturelle, –∂f

∂t et grad→

f respecti- vement, où f dépend de M et du temps. On aurait ainsi la satisfaction de traiter l’électrostatique en rajoutant un champ –∂^A→

∂^t à un –grad→ V, fonctions du temps. Mais personne n’a jamais proposé d’abandonner la jauge naturelle quand elle ne dépend pas du temps.

4. UNE NOUVELLE MÉTHODE : LA CIRCULATION DU CHAMP ÉLECTRIQUE

L’utilisation de la différence de potentiel en régime quasistatique suppose le choix de la jauge naturelle. Il serait intéressant, du point de vue de l’électrodynamique, d’utiliser uniquement des grandeurs indé- pendantes du choix de jauge et permettant de retrouver les valeurs mesurées par les voltmètres.

Dans [FCP 90], les auteurs proposent d’utiliser la tension électrique (dans le sens précisé au paragraphe 1) en demandant d’admettre que n’importe quel voltmètre, branché entre les points K et N d’un circuit mesure cette tension dans sa branche KVN. Ils montrent sur des exemples que cette hypothèse permet de retrouver pour cette tension les expressions en jauge naturelle de la différence de potentiel aux bornes du voltmètre. Dans le cas où l’induction n’intervient pas dans la branche du voltmètre, ils démontrent les lois de Kirchloff connues pour les différences de potentiel aux bornes de dipôles en parallèle ou en série, et également que la tension mesurée ne dépend pas de la disposition de la branche de mesure mais uniquement des points de branchement K et N (confirmé en [FCP 91]).

Cette méthode semble donc prometteuse pour atteindre l’objectif fixé de remplacer la différence de potentiel par une grandeur indépen- dante de la jauge. Elle a néanmoins besoin d’être mieux assurée par une démonstration générale prenant en compte la méthode de mesure mise en œuvre par le voltmètre. Il serait également souhaitable de donner des règles générales applicables au cas où l’induction intervient dans la branche de mesure et d’étendre la méthode au cas où des parties du circuit ou de la branche de mesure sont mobiles. Nous allons préciser ces différents points dans les paragraphes qui suivent.

5. GRANDEUR MESURÉE PAR UN VOLTMÈTRE

On va appeler voltmètre tout appareil permettant de mesurer une différence de potentiel en régime statique. Les deux plus courants sont l’oscilloscope d’une part et d’autre part ceux construits sur un galvanomètre (ou un milliampèremètre). Il s’agit de déterminer ce qu’ils mesurent en régime quasistatique.

a - Oscilloscope

Dans le tube cathodique d’un oscilloscope, le faisceau d’électrons est dévié par le champ électrique créé entre les plaques de déviation horizontale ou verticale. On supposerra qu’il n’y a pas de champ magnétique susceptible d’avoir une influence mesurable sur le faisceau et que le temps caractéristique de variation du champ électrique est bien supérieur au temps pendant lequel un électron est soumis à ce champ.

Dans ces conditions la déviation du faisceau est proportionnelle au champ électrique E→

que l’on peut considérer comme pratiquement uniforme entre les plaques : c’est ce que mesure l’oscilloscope. Sa géométrie étant fixe, cette mesure est proportionnelle à la circulation de E→

entre les plaques P et Q, c’est-à-dire à la tension uPQ, égale également à la tension totale u_tPQ puisque l’effet de tout champ magnétique a été supposé négligeable. On peut donc considérer qu’un oscilloscope mesure la tension électrique (ou la tension totale) entre ses plaques.

En jauge naturelle le champ interplaque E→

se décompose en champ potentiel E→

p =^σ(p) ε0

u→

PQ et en champ de Neumann E→ N = ^{– ∂A→}

∂t. Un calcul d’ordre de grandeur, en régime sinusoïdal, montre qu’à basse fréquence (pour une longueur d’ordre dans le vide grande devant les dimensions des plaques), |E→

N| est négligeable devant |E→

P|. Il en résulte que, dans l’approximation quasistatique, la tension électrique entre plaques u_PQ est égale à la différence de potentiel VP – VQ (en jauge naturelle), ce qui justifie le modèle des électriciens.

b - Voltmètres à galvanomètre

En régime statique un tel voltmètre mesure l’intensité i_V dans la branche de mesure et affiche le produit de cette intensité par la résistance interne du voltmètre R_V : c’est la différence de potentiel aux bornes V_P – V_Q. En régime quasistatique d’autres traitements sont appliqués (redressement, moyennage...). Leurs effets sur la grandeur mesurée ne peuvent être étudiée que pour chaque type de ces voltmètres. Nous ne considérons ici que le cas où la grandeur de base mesurée est le produit R_V i_V (avant traitements éventuels). D’après la loi d’Ohm générale rappelée au paragraphe 1, ce produit est égal à la tension totale u_tPQ aux bornes du voltmètre. On peut donc considérer qu’un voltmètre à galvanomètre mesure la tension totale entre ses bornes, comme un oscilloscope.

En jauge, naturelle la tension totale u_tPQ est égale à la somme de la différence de potentiel V_P – V_Q et de la tension électromotrice e_PQ. Cette dernière comporte un terme d’inductance propre – Ldi

dt et un terme éventuel –dϕ

dt dû au mouvement du cadre. Comme la résistance R_V est très grande de manière que le prélévement d’intensité i_V ne perturbe par le circuit principal, ces termes peuvent être négligés devant R_V i_V et il ne reste que V_P – V_Q, ce qui justifie les mesures classiques de différences de potentiel. Une étude plus précise serait ici aussi à effectuer en fonction du type de voltmètre.

c - Voltmètres numériques

L’étude est à faire sans utiliser la jauge naturelle. Le problème est en réalité plus large puisqu’il conduit à faire de l’électronique sans utiliser la différence de potentiel. De même nous n’étudierons pas l’effet de l’électronique interne d’un oscilloscope, ce qui nous permettra de confondre les plaques P et Q avec les bornes d’entrées de l’appareil.

6. RELATIONS ENTRE LA TENSION MESURÉE PAR UN VOLTMÈTRE ET LES GRANDEURS ÉLECTRIQUES D’UN CIRCUIT

Les voltmètres étudiés dans le paragraphe précédent mesurent la tension totale u_tPQ entre leurs bornes P et Q. Dans les conditions habituelles d’utilisation elle est égale à la tension électrique u_PQ (au sens du paragraphe 1). Nous désignerons cette tension mesurée par u_V (le sens étant de P vers Q). Les notations sont celles de la figure de présentation.

Pour relier entre elles les grandeurs électriques nous disposons des lois suivantes :

– loi d’Ohm pour un dipôle u_tKN = R_KN i_KN ,

– additivité des tensions (électriques ou totales) u_PQN = u_PQ + u_QN , – loi de Faraday pour une maille u_tPK +u_tKN + u_tNQ+ u_tQP = – dφ

dt, où φ est le flux magnétique dans la maille PKNQP.

a - Tension dans la branche de mesure

C’est la tension totale dans la branche KPQN, que l’on calcule par la propriété d’additivité : u_tKVN = u_tKP + u_V +u_tQN ; puis par la loi d’Ohm : u_tKVN = (R_KP + R_QN ) i_V + u_V. Comme on l’a vu plus haut, l’intensité i_V est faible et, la résistance des fils de connexion KP et QN étant également faible, on peut négliger ces produits R_i et il reste u_tKVN

= u_V. La tension totale dans la branche de mesure est égale à la tension mesurée par le voltmètre.

Ce résultat est une généralisation de l’hypothèse proposée par [FCP 90], en tenant compte d’un éventuel champ v→

c∧ ^B→. La démons- tration permet de préciser ses conditions de validité.

b - Tension dans le dipole KN du circuit principal

Cette tension u_tKN, que l’on va désigner par u_D, s’obtient par la loi de Faraday : u_D – u_tKVN= – d φm

dt , où φm est le flux magnétique dans la maille de mesure orientée dans le sens KNVK. Compte tenu de la tension dans la branche de mesure, on obtient :

u_D= u_V – dφm

dt ou u_V= u_D+dφm

dt (1)

La tension mesurée par le voltmètre branché sur un dipole est égale à la tension dans ce dipole augmentée de la dérivée par rapport au temps du flux magnétique dans la maille de mesure.

Ce résultat généralise, grâce à la tension totale, la relation de [FCP 90] (dernière ligne de la page 380).

7. RACCORDEMENT ENTRE LES EXPRESSIONS EN TENSIONS ET LES EXPRESSIONS EN DIFFÉRENCES DE POTENTIEL

Nous avons vu au paragraphe 5 que la tension u_V mesurée par un voltmètre est pratiquement égale à la différence de potentiel naturel entre ses bornes V_P – V_Q. Elle est aussi égale (paragraphe 6) à la tension totale dans la branche de mesure u_tKVN.

Le tension totale dans le dipôle KN sur lequel est branché le voltmètre peut se décomposer en différence de potentiel et tension électromotrice (paragraphe 1) u_D = V_K – V_N + e_D. La tension électromotrice dans la maille de mesure KNVK peut se décomposer en

la somme des tensions électromotrices dans les différentes branches – dφm

dt = e_D+e_NQ+ e_QP+e_PK. Nous avons vu qu’en pratique on fait fonctionner le voltmètre à champ électromoteur nul, soit e_PQ = 0.

En reportant ces décompositions dans l’expression de la tension mesurée (paragraphe 6b), on obtient une autre forme de u_tKVN :

u_V = V_K – V_N + e_KVN (2) On retrouve le résultat bien connu ([FCP 90] et [JEA 90]) selon lequel la mesure par un voltmètre dépend de la tension sur laquelle il est branché et des phénomènes d’induction dans la branche de mesure : un voltmètre ne mesure une différence de potentiel que si l’induction n’intervient pas dans sa branche.

Remarque

L’expression (2) ne dépend pas du choix de jauge. La jauge naturelle n’est intervenue que pour démontrer u_V = V_P – V_Q (avec e_PQ = 0).

CONCLUSION

Il existe deux méthodes pour exprimer la tension mesurée par un voltmètre. L’une, classique (formule (2)), utilise la différence de potentiel (mais est valable pour tout choix de jauge). L’autre, nouvelle (formule (1)), n’utilise que la tension totale et le flux magnétique, sans faire intervenir de grandeurs fonctions du choix de jauge.

En pratique un voltmètre est branché de telle sorte que la tension électromotrice (en jauge naturelle) soit nulle dans sa branche et on utilise l’expression (2) u_V = V_K – V_N, elle aussi valable uniquement en jauge naturelle : le voltmètre mesure la différence de potentiel naturel aux bornes du dipôle sur lequel il est branché.

Dans le cas où un branchement du voltmètre exempt de tension électromotrice n’est pas possible, on peut utiliser indifféremment l’expression (1) ou l’expression (2), selon le calcul que l’on estime le plus simple. Comme exemple de ce type, je traite en annexe le cas de la spire enlaçant un solénoïde, (proposé par [FCP 91], p. 569), en utilisant chacune des différentes méthodes d’étude.

RÉFÉRENCES

[FCP 90] R. FLECKINGER, R. CARLES et J.-P. PÉREZ. Faut-il, en régime quasi-stationnaire, «tuer» la différence de potentiel ? B.U.P. n° 722, mars 1990, p. 375-384.

[FCP 91] R. FLECKINGER, R. CARLES et J.-P. PÉREZ. «Tensions» sur la différence de potentiel. B.U.P. n° 732, mars 1991, p. 567-570.

[JEA 90] P. JEAN. «Vive» la différence de potentiel. B.U.P. n° 728, novembre 1990, p. 1263-1270.

[PEY 82] FONDATION LOUIS DE BROGLIE. Colloque de Peyresq. La pensée physique contemporaine. Éditions Augustin Fresnel - 1982.

Annexe

Tension mesurée entre deux points d’une spire enlaçant un solénoïde de révolution infini

Le solénoïde, comportant n spires circulaires de rayon a, par unité de longueur sur Oz, est parcouru par un courant d’intensité variable i(t).

Tout point M est repéré en coordonnées cylindriques (r, θ, z). Pour le détail des calculs on pourra se reporter aux ouvrages d’électromagné- tisme.

Le voltmètre est branché entre les points K et N d’une spire de forme quelconque entourant le solénoïde.

L’angle algébrique ∆ θS est l’angle de rotation qui permet de passer du plan (Oz, K) au plan (Oz, N) en suivant la spire dans le sens positif (celui de i, lié à celui de l’axe Oz). Pour passer de K à N en suivant la branche de mesure KVN, l’angle de rotation est ∆ θV (égale à ∆ θS dans le cas de la figure). La maille de mesure KNVK peut enlacer le solénoïde N fois (positivement ou négativement) avec N =∆θS– ∆ θV

2π .

Les champs, calculés éventuellement en jauge naturelle, ont pour expressions :

– pour r < a :

B→=µ0 n i u^→_z, A→=µ0 n i r 2u→

θ , E→₌ E→

N=– µ0 n i’ r 2 u→

θ , V = 0 ;

– pour r > a : B→= 0→

, A→=µ0 n i a² 2 r u→

θ , E→= E→

N= –µ0n i’ a² 2 r u→

θ , V = 0 ;

où i’ est la dérivée de la fonction i(t).

Le flux magnétique dans la maille de mesure est : φm=µ0 n i Nπ a² =µ0 n i a²

2 

∆θS – ∆θV



1. CALCUL PAR LA TENSION TOTALE (Formule (1))

La circulation de E→+ V→∧ B→

entre K et N est : u_D=

∫

(KN)

E __

u→

θ

.

^dl→=

∫

_θ

K

θK +∆θS

E __

r dθ= ^– µ0 n i’ a² 2 ∆θS

La dérivée de φm est ^{d φm}

dt = µ0 n i’ a² 2 

∆θS–∆θV

 .

La tension mesurée est égale à la somme de ces deux termes : u_V = – µ0 n i’^a

2

2 ∆ θV.

On peut également obtenir ce résultat en calculant la tension totale sur la branche de mesure :

u_V = utKVN =

∫

θK

θK+∆θV

E

__ r dθ = – µ0 n i’ ^a

2

2 ∆θV

2. CALCUL PAR LA DIFFÉRENCE DE POTENTIEL (Formule (2))

La différence de potentiel V_K – V_N est nulle en jauge naturelle puisque le champ potentiel E→

P est nul. La tension électromotrice sur la branche de mesure est :

e_KVN =

∫

(KVN)

E→

N + V^→ ∧ B→

.

^dl→ =

∫

θK

θK+∆θV

E

__ r dθ= – µ0 n i’ a² 2 ∆ θV .

La somme de ces deux termes est u_V= – µ0 ni’a²

2 ∆θV , qui est bien la tension mesurée.

La formule (2) étant valable quelle que soit la jauge, on peut utiliser d’autres jauges que la jauge naturelle pour calculer u_V.