RÉMISIESKIND –remi.sieskind@ens-cachan.fr
Table des matières
1 Les lignes : utilité et mode de propagation 1
1.1 Intérêt et technologies . . . 1 1.2 Le mode TEM . . . 1 1.3 L’ARQP et les hautes fréquences . . . 2
2 Modèles de lignes 2
2.1 Modèle à constante réparties . . . 2 2.2 Modèle de la ligne parfaite. . . 3
3 Impédance caractéristique et adaptation 4
3.1 Impédance et coefficient de réflexion . . . 4 3.2 Adaptation . . . 6 3.3 Abaque de Smith . . . 6
1 Les lignes : utilité et mode de propagation
1.1 Intérêt et technologies
En transmission de l’information par micro-ondes, il existe deux types de propagation : la radio-propagation, dans l’air, à longue portée, et la propagation guidée, dans les lignes de transmission qu’on trouve en général entre une antenne et un analyseur. Une ligne de transmission est composée de deux conduc- teurs séparés par un diélectrique dans lequel se propage l’on de électromagnétique(!E ,!H). Il existe trois grands types de ligne : La ligne coaxiale, la ligne bifilaire et la ligne microruban (fig. 1).
1.2 Le mode TEM
On appelle onde Transverse ElectroMagnétique une onde électromagnétique telle que!E et!H soient orthogonaux au vecteur d’onde!k. On se limitera à l’étude de ce mode dans nos lignes car il permet de définir une dualité simple entre!E et une tensionV entre les deux conducteurs et entre!H et une intensité dans chaque (fig. 4).
FIGURE4 –Exemple dans une ligne micro-ruban
FIGURE1 –Ligne micro-ruban FIGURE2 –Ligne coaxiale
FIGURE3 –Ligne bifilaire
1.3 L’ARQP et les hautes fréquences
L’Approximation des Régimes Quasi-Permanents revient à considérer comme négligeable les temps de propagation des ondes électromagnétiques devant la période du signal ou à considérer les dimensions du circuit très petites devant la longueur d’onde. A cette condition, un fil peut-être considéré comme équipotentiel, mais dans le cas des micro-ondes,f ' 1 GHz et ⇠30cm. L’ARQP est donc mise en défaut dans nos lignes. En fonction de la charge à l’entrée et à la sortie, ces ondes vont être réfléchies et transmises en bout de ligne, on essaye généralement de limiter les réflexions qui constituent une perte de puissance de signal.
2 Modèles de lignes
2.1 Modèle à constante réparties
i(z, t) R1dz L1dz i(z+dz, t)
G1dz C1dz
v(z, t) v(z+dz, t)
R1=Résistance série linéique en⌦.m 1 L1=Self inductance linéique enH.m 1
G1=Conductance linéique de l’isolant en⌦ 1.m 1 C1=Capacité linéique enF.m 1
Loi des mailles :
v(z, t) =R1dz.i(z, t) +L1dz@i(z, t)
@t +v(z+dz, t)
Loi des noeuds :
i(z, t) =G1dz.v(z+dz, t) +C1dz@v(z+dz, t)
@t +i(z+dz, t)
Au premier ordre : 8
><
>:
@v
@z =R1i+L1
@i
@i @t
@z =G1v+C1
@v
@t En dérivant par rapport à z :
8>
<
>:
@2v
@z2 =L1C1
@2v
@t2 + (R1C1+L1G1)@v
@t +R1G1v
@2i
@z2 =L1C1@2i
@t2 + (R1C1+L1G1)@i
@t+R1G1i
Ces équations sont appelées équations des télégraphistes. Comme elles sont identiques envet eni, on ne va résoudre que pourv. On cherchev de la formev(z, t) =V(z)ej!t(solution ondulatoire). On a alors : @2V
@z2 = L1C1!2V +j!(R1C1+L1G1)V +R1G1V = (R1+jL1!)(G1+jC1!)V On écrit : @2V
@z2 = 2V et on pose =↵+j .
D’oùV =Vie ↵ze j z+Vre↵zej zetv(z, t) =Vie ↵zej(!t z)+Vre↵zej(!t+ z). On a donc la somme d’une onde de tension incidente (vers les z croissants) et une onde de tension réfléchie (vers les z décroissants) etvp= ! est appelée vitesse de phase (⇠2.108m.s 1).
2.2 Modèle de la ligne parfaite
On considère ici un conducteur parfait (R1= 0) et un isolant parfait (G1= 0) i(z, t) L1dz i(z+dz, t)
C1dz
v(z, t) v(z+dz, t)
A nouveau, l’ARQP est valable entrezetz+dz Loi des mailles :
v(z, t) =L1dz@i(z, t)
@t +v(z+dz, t)
Loi des noeuds :
i(z, t) =C1dz@v(z+dz, t)
@t +i(z+dz, t)
Au premier ordre : 8
><
>:
@v
@z =L1@i
@i @t
@z =C1
@v
@t En dérivant par rapport à z : 8
><
>:
@2v
@z2 =L1C1@2v
@t2
@2i
@z2 =L1C1
@2i
@t2
A nouveau, on cherchevde la formev(z, t) =V(z)ej!t(solution ondulatoire).
On obtientv(z, t) =Viej!(t zc)+Vrej!(t+zc)avecc= p 1 L1C1. On perd le terme atténuateur ene ↵z.
3 Impédance caractéristique et adaptation
3.1 Impédance et coefficient de réflexion
On définitZc=VIi
i = R1+jL1! d’oùZc =q
R1+jL1! G1+jC1!
SouventZc= 50⌦en micro-ondes600⌦en téléphonie et75⌦en vidéo.
Dans le cas du modèle sans pertes, on aZc=Rc=q
L1
C1
Exemple : câble coaxial RG-58U (diélectrique en po- lyéthylène)
⇢cond 1,7.10 8⌦.m 1
2a 0,406mm
2b 1,418mm
e 0,25mm
✏r 2,25
µr 1
⇢isol 3.1013⌦.m 1 C1= 2⇡✏ln(0b✏r
a) 100pF.m 1 L1= 2⇡1 µ0µrln(ba) 0,25µH.m 1
c 2.108m.s 1
Rc 50⌦
On définit L=VVr,Li,L le coefficient de réflexion et L,d= Le 2↵de 2j dle coefficient ramené en d.
ZL= VL
IL =Vr,L+Vi,L
Ir,L+Ii,L = Vi,L
Ii,L
1 + L
1 L
On posez=ZZL
C.
FIGURE5 –Schéma d’une ligne chargée
SiZL(ici, Rload) =Zcalors L= 0, on n’a pas de réflexion (régime d’onde progressive).
FIGURE6 –Transmission d’une impulsion vers une charge de50⌦
SiZL =1alors L = 1, on a réflexion.
FIGURE7 –Transmission d’une impulsion vers une charge infinie
SiZL = 0alors L= 1, on a réflexion inversée.
FIGURE8 –Transmission d’une impulsion vers une charge nulle
3.2 Adaptation
On s’intéresse à la puissance absorbée par un dipôle en bout de ligne.Pabs =Pinc Pref =Pinc(1
| L|2)et maximiser la puissance revient à avoir L= 0,z= 1ouZL=ZC.
Si on a une onde réfléchie, il existe un système d’onde stationnaires. On le caractérise par leT OS ou SW R= 1+|1 | LL|| 1, jusqu’à 1,2, on considère la charge bien adaptée.
NB : L,d = L si d = 4, ce qui signifie qu’on peut changer un charge inductive en une charge capacitive pour une certaine longueur d’onde en rajoutant une certaine longueur de ligne. De plus si la charge vautR1à un bout, l’onde voitR2 à l’autre bout tel queR1R2=ZC2. La ligne quart d’onde est un adaptateur d’impédance.
3.3 Abaque de Smith
( =p+jq z=r+jx
= zz+11 doncp+jq= rr+1+jx1+jx
D’oùp(r+ 1) qx+j((r+ 1)q+px) =r 1 +jx
(p(r+ 1) qx=r 1
(r+ 1)q+px=x (p(r+ 1) q2r+11 p =r 1
x=qr+11 p
D’oùp(r+ 1)(1 p) q2(r+ 1) =r 1et(p 1+rr )2+q2= (1+r1 )2qui est l’équation d’un cercle pour rconstant. De même si on éliminerau lieu dex,(p 1)2+ (q 1x)2= (1x)2. Ce qui explique l’abaque de Smith : à partir dez, on retrouve .
FIGURE9 –Abaque de Smith
