HYDRAULIQUE : Calcul des Barrages-Voûtes

LA HOUILLE BLANCHE ₈₉

H Y D R A U L I Q U E

Calcul des Barrages-Voûtes

Par G E O R G E S P R U D O N , Ingénieur, Professeur À R Institut Polytechnique de Grenoble (SUITE)

C A L C U L D E S F L È C H E S D A N S L'ARC:

Nous nous proposons maintenant, de calculer les flèches produites dans Tare par les poussées seulement. Pour tenir compte de la température, il suffira d'introduire ensuite le l'acteur .

Considérons donc l'arc (fig. 5). N o u s allons calculer la flèche en une section S( ) d'abscisse angulaire X ; S étant une section quelconque, le m o m e n t //est :

s m M = — (V — N ) p cos c —

\ ' 70 /

L'effort de compression dans Lare est sensiblement constant et égal à N :

La flèche en S{, est donnée par l'intégrale

X { E l ⁺ EIL) 9

j

-(V-N)^P3 / ^{C 0 S i}p L ' ns i n^ _ _ _a^ ~ — - p / sm{S-X)DO

\ ro / ' ' 12 .; a

N e5 / *™

E n appelant / cette flèche, il vient :

El/ sinp⁰\ . , , , N e²|

^ = - ( V - N . p ^ j r

^ o s

- - ^

J s i n (

, ) d ^ / ~ | l -

; o

(

-

L'intégrale est encore facile à calculer :

/ ( c o s?- ^ W , (?-a) d5= / *C0S?si»(?-a)d*-S^|"l--r, s (0 y- a )

/ eos ? sui (s — a) tf? - | (^sin (2 9 — 2) — sin a

j

cos x • cos (2^9o - a)

= - [ s m ç>0 s m ( 9⁰ — a)

sin % (? 0 _ a)

a s m a D'où

El/

( V - N )?! " s i n 90s i n ( 9 o ~ a ) - ( 9Q- a )

sin« _ sin

ro

1-COS (<p0-a)

+ 1 2 L cos ^ °

N o u s allons encore ici, développer en série tous les termes 1 — c o s (ç>⁰—a) = l — j O8 + (ro - *)

24

siiiï0sni 'œ0—a)—(s0-jc)siiia_

2 4

2 12 D'où

sin ç>0 sin ( ç0 — a) — (ç>y — a) sin

(ro a)2 + ro2

— /s - 12 '°

a s m ?0 f

1 — C O S (? 0— a) ro L

(?o — x^ ?o (ro — *">

12

D o n c E l /

= _ ( V — N ) p2 ( î S2-*

?o2] + £ _ ( ?0- a ) n = _ ( ? o !

24 J (ro — ²)² (?o — * )

2 4

r , N f ! n ? o - ^ )3 _ ( ? o - # 24 ^ 12 I 2 24 E n appelant /0 la flèche à température initiale et remplaçant V — N par sa valeur, il vient

E l /0 _ N e2

s ~ T 2

?o — a ) 2 ( ?o c

+

2 24 ' 0,8p2 90a+ e2 2 qui peut s'écrire en valeur absolue et en simplifiant encore

E I /⁰_ N e * r (^{? 0}2 - a S ) <

+

]

12

L

ei_/ _ n ^ (ro - * )s

0,8^?02 + ex-

E n remplaçant I par on tire :

1 2 E e

A (?<f — a ) 0,8 ⁹J +

7 ^ 1 + (?o —

Cette expression n'est valable que pour le % a r c* Si on avait négligé l'influence de la compression, on serait arrivé à la formule extrêmement séduisante :

N p k — a -

2 E e O , 8 ç0 â +

valable pour tout Tare, car elle est symétrique.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1923016

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LA HOUILLE BLANCHE

/ s'annulant aux deux encastrements pour a = db ?⁰. Mais il est impossible de négliger cette influence, sauf q u a n d on fera inter- venir le facteur thermique /„ car alors le 2e terme estnégli- geable à côté du premier.

E n résumé, nous voyons qu'en remplaçant N par p p la pression p étant égale en tonnes à la profondeur x correspondant à Tare, en mètres, / prend la forme :

;" 2 E e l?0 "

0,8 s* +

+ 1

x étant exprimé en tonnes correspondantes à la profondeur en mètres. O n peut récrire simplement / = zx

z étant la flèche que donnerait la pression unitaire.

Pour chaque section (ÛC déterminé), z est fonction de l'épaisseur e et du rayon, donc-de x.

L a flèche réelle de l'arc en u n point de l'arc est (1 — K ) z x.

D É T E R M I N A T I O N D E S C O E F F I C I E N T S D E P O U S S É E

N o u s arrivons à la partie essentielle d u problème. Figurons donc une tranche élémentaire du m u r de 1 mètre de large corres- pondant à un élément d'arc défini par son angle a (fig. 6).

Fig. 6.

Traçons la ligne d'influence des flèches d u m u r relative au s o m m e t . Les ordonnées de cette ligne sont y (x). Traçons de m ê m e la courbe z (x), car la quantité z -

c- (s 2 E e

0,8 ? 02 +

+ 1

dépend de l'épaisseur e (moyenne) de p, et de ç>⁰ toutes choses qui peuvent varier avec la profondeur x.

Décomposons le m u r par des sections horizontales distantes de h mètres.

Les centres de poussée élémentaires sont à des profondeurs X|, Xç), XQ *

Les ordonnées correspondantes de la ligne d'influence sont y^

y^ z/3, les coefficients de poussée sont K,p K o , K9.

N o u s s o m m e s obligés pour arriver à des résultats approchés mais simples, de considérer les lignes d'influence c o m m e ayant leurs ordonnées proportionnelles. L'inflexion du m u r en Sj est alors

/ h ^ (^Kj ^x\ Ui + K²a^a! /⁹ , L'inflexion de l'arc à la m ê m e section est

xn Un

indépendante de A.

D'où l'équation :

f=(l-Kⁱ)zⁱ x,

(1) Ki ) h *i

Pour avoir l'inflexion du m u r en Se,, il suffit de multiplier les ordonnées de la ligne d'influence par ^- et on a la deuxième équa- tion :

A ^ K , x^{ilJi +} ...) i/o

{1 ^ç>} -^2 xo et ainsi de suite. Ces équations donnent

(1 — K , ) z^t xⁱ _ (1 — K2) Zp x2 _

O n en tire :

(K< xi ^ + • • )

K

K , D'où

( 1 — K , ) Z) x^{ ;/²

zi x<ï U\

( 1 — K , ) st x, y3

h

*

K» =

K

=

(i _ K{ ) ! L £ L ? ?

(1 - K , h x° Ui

H x-i \1\

E n portant ces valeurs dans l'équation (I), il vient

- ( I - K . - I ^ S + S ^ i i -

i -

) ^ r

D'où

IJl (^xi j/i + Xj & ~\ ' • XnUa)

Vl +

+ _ + _ + _

O n a de m ê m e

x%(l — K.) = U° (x*Ui + ^ y* 'Xn y ^

Ces formules très symétriques donnent donc des valeurs appro- chées des poussées sur les éléments d'arc superposés. Elles m o n - trent que* ces poussées sont sensiblement proportionnelles aux ordonnées y{, y^ — yn de la ligne d'influence d u m u r .

O n pourrait naturellement eh déduire K{, K 2 — c'est-à-dire les poussées sur le m u r . O n vérifierait donc la stabilité d u mur, mais c'est inutile pour le m o m e n t , la vérification de l'arc devant précéder celle des murs.

C A S ou L A C R È T E D U B A R R A G E É M E R G E ( R E V A N C H E ) N o u s avons supposé jusqu'ici que l'eau affleurait le m o m e n t du barrage. C'est le cas pour les parties formant déversoir.

Généralement le niveau de F eau est u n peu au-dessous de la crête d u barrage. E n ce cas, l'arc supérieur du barrage non soumis à la poussée de l'eau reçoit toutefois de la part d u m u r fléchi une poussée que par réaction l'arc restitue au m u r (fig. 7).

L a poussée négative que le m u r reçoit de l'arc pour l'élément supérieur non mouillé est de la forme K o A ,

L a flèche au s o m m e t est :

— K 9 hUo + K\ hxi J / H Kuhxnyn

L a flèche de l'arc est de m ê m e : Kn

L'égalité des flèches donnée ici :

— Ko % + Ki x\ Ui H

^0 *o-

K0 h

e t :

K^d xⁱ ijⁱ H 1- Kⁿ xⁿ gⁿ Uo + 'i

LA HOUILLE BLANCHE ₉₁

Cette équation d'une lorme différente des autres ne pourrait pas être introduite dans le système sans en compliquer la résolu- tion.

W77m7m7/m7^777W/

Fig. 7.

O n peut donc résoudre ce système c o m m e il a été indiqué et porter [les valeurs trouvées pour K j K2 dans K0, ce qui re- vient à négliger pour l'ensemble du m u r l'influence soulageante de la crête.

Mais on a :

K r n 4 - -4- K r u — 0 ~Kl ) h *i lh

1 Vi^a| U\ n r * \ⁿaⁿ yⁿ — ]—

D'où

K0 =

[ 1 — K

) z

x

y

ffi {hUo + h) La poussée négative au s o m m e t d u m u r est :

K0 A — ~ (* — Kⁱ)zⁱ xⁱ y⁰ h (hi Uo + h) Ui

et il faut en tenir c o m p t e dans le tracé de la ligne des poussées dans le m u r ; son effet est favorable, elle rapproche la ligne de poussée d u parement a m o n t et diminue les efforts dans l'ensemble.

V É R I F I C A T I O N D E L A S T A B I L I T É D E L ' A R C

E n divisant le % arc A B en différentes parties définies chacune par la position a de son centre, et cet arc étant lui-même placé à une profondeur a^, il faut calculer les coefficients (1 — Kn) Xn

de poussée en chaque partie par les formules approchées que nous avons données.

C o m m e l'arc ne travaille pas à la compression simple, il doit avoir une épaisseur croissant de la clé a u x naissances, suivant une certaine loi, par exemple suivant la loi classique : e — C O s°a» e0 étant l'épaisseur de la clé.

Pour chaque m u r élémentaire I, II, III, il faut déterminer la ligne d'influence des flèches relatives au s o m m e t . Cette opération, qui a été faite pour le m u r élémentaire I, peut se répéter très vite pour tous les autres, en remarquant que si (yⁿ)⁰ sont les ordon- nées de la ligne d'influence d u m u r élémentaire passant par la clé des arcs, les ordonnées (yn) a d'un m u r élémentaire défini par

™° en vertu d u tracé de M o h r Ir

* angle sont telles que } x - (Un)0

qui a permis de les déterminer : Donc :

soit :

(Un) *

(Un) * = On)o C O S3 X

si on adopte la loi classique de l'épaisseur. Les y figurant dans les coefficients de poussée sont donc déterminés, les z également p u i s q u e

:= 2 E -e( ? o - « )2

X (?⁰ +• »)' 0,8 <p0* +

+ 1

O n peut donc calculer, suivant la m ê m e hauteur xn, pour différents murs, les coefficients ( 1 — Kn) a. x& de poussée sur l'arc Les poussées sur les éléments de cet arc sont (1 — Kn\ xns, (1 — l^n)n x s, etc..

L a détermination exacte de la ligne de poussée dans l'arc est complètement impossible pour le calcul. O n peut admettre encore que l'arc travaille sous une poussée uniforme qui serait le (1 — Kn) m o y e n de ceux que nous venons de déterminer.

L a poussée à la clé serait ainsi donnée par

D'où _ / _ N e2 A

V

0,8 p2 ?02 + ê,

p étant le facteur thermique, et N = p ( 1 — K

) moyen. x

" Kn)m 0ye n

0,8

f

I

E n traçant (fig. 8) u n funiculaire des actions (1 — Kn) . xns avec une distance polaire égale à V , ce funiculaire passant par le point D situé sur l'horizontale d u centre élastique G, on a la ligne de poussée dans l'arc, on en déduit facilement le travail par les méthodes classiques. L a distribution des efforts dans l'arc étant changée, on voit toutefois que les flèches caclulées au début de cette étude ne correspondent plus a u x flèches réelles. Il serait toutefois illusion de chercher à les calculer exactement. Cherchons à les déterminer graphiquement.

Figurons l'arc divisé en n parties égales à As, chaque partie correspondant à u n angle au centre A ? (fig. 9). E n ne faisant pas intervenir le facteur xn, profondeur de l'arc, qui inter- viendra ultérieurement, les poussées sur les éléments sont (1 — à s , ( l - V ^ A s

C o m m e il a été expliqué précédemment, u n funiculaire de ces poussées tracées avec O c o m m e pôle donne la ligne de poussée dans l'arc O r la flèche en u n e section S, c o m m e il a été indiqué plus haut est donnée par ;

O r le m o m e n t M dans u n e section S'est égal à l'effort de c o m - pression N multiplié par la distance d de la ligne de poussée à la fibre m o y e n n e dans le pian de la section.

O n a donc :

9? L A H O U I L L E B L A N C H E Par conséquent la flèche en S est donnée par

H * . 9.

Il est facile de former graphiquement le terme d -j- — d en chaque section, ce qui donne la ligne de poussée poinlillée (fig. 10).

Pour chaque section, ^ est facile à tirer du polygone des pous- N

sées (fig. 10). E n multipliant cP par y , ^cl^u* varie peu, on obtient une courbe F d'allure identique à la ligne des poussées.

L'équation de la flèche s'écrit : /

Or

a). A s

/ K L

L a flèche à la clé est :

Les flèches en S' S " sont de m ê m e

L e lieu du point L est un cercle décrit sur O A c o m m e diamètre L e lieu de K est une courbe présentant un point d'inflexion pour une valeur •} de l'angle a correspondant à la section de l'arc pour laquelle le terme d^% défini plus haut s'annule. Cette section est située à peu près sur la m ê m e horizontale que le centre de gra- vité G et approximativement *i*

représente la surface comprise entre l'élément A.s de Tare et la courbe F, surface qui peut se planimétrer et qui, d'ailleurs, a un signe algébrique,

Considérons ces surfaces c o m m e des poussées fictives dirigées vers le point 0 et traçons un polygone de ces forces fictives (fig. II) à assez grande échelle A, 1, 2, 3, 4 B . E n m e n a n t par A une perpendiculaire à 1 et par B une horizontale, on obtient un

point 0

Faisons passer par 0 une droite faisant avec O X l'angle a et projetons en K L le contour des forces fictives agissant à gauche de S, c'est-à-dire (1) + (2) + (3). O n voit facilement que

K L = 2 * ftj- bs\ sin(^? — a)

D a n s le ^x/^t arc H C les flèches sont symétriques.

Rectification des'coefficients N o u s avons supposé dans cette étude graphique que la déformation était produite par une pres- sion variable, mais dont la valeur m o y e n n e est (1 — Kⁿ) moyen étendue à l'arc.

Les coefficients z de déformation de l'arc supposent une pres- sion m o y e n n e égale à I.

O n peut donc prendre pour les z rectifiés les valeurs des flèches obtenues graphiquement, divisées par (l — Kⁿ) m o y . O n a:

z rectifié =

Naturellement, il faut faire cette rectification pour toutes les sections des différents arcs situés aux différentes profondeurs.

Cette opération est longue, mais les valeurs de z rectifiées permettront de calculer exactement, pour les coefficients de poussée, des valeurs que l'on pourra considérer c o m m e défini- tives.

Naturellement on peut, pour chacun des arcs, la ligne des poussées ayant été déterminée, modifier la forme circulaire de l'arc pour adapter le mieux possible sa ligne m o y e n n e à la ligne de poussée.

L a forme est d'ailleurs peu changée sauf aux naissances.

D a n s le calcul d u travail, il faut admettre des taux très bas environ 20 K l g c m à la compression et 4 Klgs à l'extension, car il est impossible d'éviter celle-ci à toutes les sections.

L'emploi de ces taux très bas est justifié.

1° Par l'influence énorme de la température.

2° Par le danger considérable que présenterait la ruine <fe l'ouvrage.

Il nous reste, pour compléter cette étude, à parler de l'influence d'une inégalité de température sur les deux faces.

(A suivre.)