HYDRAULIQUE : Calcul des Barrages-Voûtes

LA HOUILLE BLANCHE 129

H Y D R A U L I Q U E

Calcul des Barrages-Voûtes

Par G E O R G E S P R U D O N , Ingénieur, Professeur à VInstitut Polytechnique de Grenoble (SUITE E T FIN)

Ki'IET T H E R M I Q U E P R O D U I T P A R U N E C A R T D E T E M P É R A T U R E E N T R E L E S D E U X F A C E S

Il faut prévoir entre la température du parement mouillé et celle du parement extérieur une différence d'au moins + 10° en hiver et de — 10° en été. Cet écart fait que les fibres sont inéga- lement allongées sur les deux faces.

L

/ ^e

Fig 12.

Mais cette.flexion n'intervient que dans les arcs et en défini- tive, quant il y a écart de température entre les deux faces, il se produit sur la face la plus chaude u n effort moléculaire sup- plémentaire de compression égale à E a ( ^ ~ ^ — j

L e m ô m e effort agit en tension sur la face froide.

E n supposant c o m m e il a été dit que t)q — 0( = 10° on voit que cet effort supplémentaire atteint une valeur très appréciable E n effet pour la maçonnerie le produit E y. = 2 K l g c m - et

T, = 2 X T = 10 K l g c m2

effort qui, à lui seul, correspond à la moitié du taux de travail admissible.

V u l'importance considérable des effets thermiques, il est donc illusoire, ou presque, de chercher la précision dans le calcul d'un barrage, cer ces effets dépassent «souvent toutes les prévisions.

Figurons une coupe verticale d u barrage (fig. 12).

Soit 0( ) la température initiale (de finition de l'ouvrage), 0|

et 0, les températures des faces intérieures et extérieure.

La loi de variation des températures dans le massif est inconnue.

On peut admettre une loi linéaire, faute de mieux.

D'où _On

0, + 0,

Les tensions des fibres extrêmes sont proportionnelles aux tem- pératures 0, et 62.

Tout se passe c o m m e si la section était soumise à u n effort de compression correspondant à la dilatation produite par la tenm- pérature 0 m o y e n et à u n effort de flexion produisant sur la libre la plus tendue u n allongement correspondant à l'écart de température :

Oc, 0, 2

Les tensions moléculaires produites par ces déformations sont pour la compression uniforme.

E

soif E x 0 en appelant 0 l'écart entre la température m o y e n n e du barrage et la température initiale. C'est ce 0 qui figure dans le coefficient thermique dont on a déjà tenu compte dans l'éva- luation des poussées.

Pour la flexion, la fibre la plus chaude, est soumise à une compression supplémentaire égale à

qui peut être considérée c o m m e produite par u n couple supplé- mentaire C tel que j — T2

soit : C = îii.,, E a

n 12

I N F L U E N C E D U R E T R A I T D U C I M E N T

L e retrait du ciment agit à la façon d'une baisse de température (0 o dans le facteur thermique >). Pour d u ciment pur, a r m é ou non, ce retrait est équivalent à u n abaissement de 20°, pro- duisant dans l'arc des tensions considérables par rapport a u x efforts produits par la poussée des eaux. C'est cette raison qui empêche principalement la construction de barrages arqués en ciment armé. Pour la maçonnerie de.moellons, l'effet est naturelle- m e n t bien diminué, et correspond seulement à u n abaissement de 2 ou 3° environ.

M A R C H E D U C A L C U L

Il nous reste à voir c o m m e n t on peut appliquer toutes les théo- ries présentées, au calcul d'un barrage, ou plutôt à la vérification

de la stabilité d u dit barrage.

Devant se fixer soi-même les épaisseurs, on peut calculer l'épaisseur des arcs supérieurs c o m m e si ceux-ci supportaient

toute la poussée et travaillaient à la compression simple. O n a alors :

N = effort de compression = p N y ?

L'épaisseur e = -1 = — , - taux de travail étant pris faible (150 Tonnes par m*2) par exemple. Pour u n rayon de 100 m . on trouve ainsi une profondeur de 10 mètres.

e _ ^ = 7 m . environ, le profil est alors triangulaire 150

puisque e est proportionné à la pression.

Il semble donc, puisque l'on adopte u n profil triangulaire, ou presque, que la forme en arc n'est pas plus avantageuse que la forme rectiligne des barrages de gravitation.

Mais au fait, et c'est la tendance moderne, on peut très bien donner aux différents arcs une courbure augmentant avec la profondeur de façon à faire diminuer p quand a; augmente.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1923024

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Toutefois, il p e u t y avoir intérêt, p o u r q u e les poussées soient centrées, à ce q u e les différents centres d e c o u r b u r e soient sur u n e m ê m e verticale A . L a fibre m o y e n n e d u m u r est sur u n e surface d e révolution a u t o u r d e A .

Fig- 1 3

Soit d o n c (fig. 13) u n e section d e m u r ainsi déterminée, p dimi- n u e q u a n d a; et e a u g m e n t e n t . L e m u r a u n profil particulier, légèrement p e n c h é vers l'amont.

L'épaisseur à la b a s e p e u t être prise u n p e u plus forte p o u r avoir u n b o n e n c a s t r e m e n t a u sol, soit : e0 = ^ H

C e profil p e u t être retouché, car il n e sert q u e d'indication.

D a n s les cas pratiques, il arrive fatalement q u e le barrage d e v a n t s'appuyer p a r ses extrémités a u x flancs d'une vallée plus o u m o i n s ouverte, les arcs a u x différentes profondeurs o n t u n e longueur décroissant vers le bas. Si d o n c o n v e u t réaliser p o u r ces ares u n e c o u r b u r e croissante, la question p e u t se résoudre i d e n t i q u e m e n t . L'angle d'ouverture ç0 d e c h a q u e arc v a varier.

M a i s les angles a q u i d é t e r m i n e n t la position d e l'élément sont les m ê m e s p o u r tous les arcs.

Certains auteurs préconisent, p a r contre, d e maintenir ç⁰ cons-

G

tant p o u r tous les arcs et le r a y o n o — — d i m i n u e a v e c s (lon-

?o g u e u r d'arc) q u a n d la p r o f o n d e u r a u g m e n t e .

Cette façon d e faire a certains inconvénients.

1° L'angle a varie suivant les arcs, car ceux-ci n'ont plus l e u^r centre d e c o u r b u r e sur la m ê m e verticale (fig. 14). L e centre est en C p o u r l'arc supérieur, e n C , p o u r l'arc inférieur. L'angle ^x p o u r l'arc supérieur devient l'angle a! — <x ^— j p o u r l'arc infé- rieur. D ' o ù complication d a n s le calcul des coefficients d e poussée.

2 ° L a détermination d u profil d u m u r est plus c o m p l i q u é e et

conduit à u n e f o r m e très b o m b é e vers l'amont nécessitant la véri- fication d e la stabilité d u m u r à vide, et surtout elle est défavora- ble à la stabilité d u m u r , c o m m e éloignant la ligne des poussées d e la fibre m o y e n n e .

N o u s s u p p o s o n s d o n c q u e n o u s n o u s e n t e n o n s a u p r e m i e r cas : p et p0 variables, m a i s tous les centres sur la m ê m e verticale.

O n doit, e n outre, faire croître l'épaisseur e d e c h a q u e arc d'une valeur ea à la clé, à u n m a x i m u m e, = a u x naissances.

0

Ceci fait, on- considère les é l é m e n t s m u r s successifs d u l/> arc e n traçant p o u r c h a c u n les courbes y (x) et z (x). Cette dernière se trace d'abord sans tenir c o m p t e d e la t e m p é r a t u r e , soit en faisant \ = 1, ce q u i d o n n e :

0,8

(on voit q u e z varie a v e c p, ç0 et e, d o n c a v e c x).

P o u r c h a q u e é l é m e n t , les formules a p p r o c h é e s établies donnent les coefficients d e poussée réduite sur l'arc (1 — K j ) , (1 - I Q a u x différentes profondeurs.

O n trace ensuite la ligne d e s poussées réduites d a n s les diffé- rents arcs. L e s épures d e d é f o r m a t i o n (11) n o u s d o n n e n t pour les coefficients z des valeurs plus exactes, p e r m e t t a n t d e tracer p o u r tous les m u r s d e nouvelles courbes z (x) q u i v o n t nous p e r m e t t r e d e calculer e x a c t e m e n t les coefficients d e poussée.

P o u r ce faire, il est nécessaire d'appliquer les principes indiqués a u d é b u t . C'est à dire tracer directement, p o u r c h a q u e élément m u r , les différentes lignes d'influence.

h étant toujours l'épaisseur d e c h a q u e tranche, les équations de flèche d o n n e n t alors :

K , x, yu + K , x» y J -f

K , .T, y⁴a + K ² .r, + .

+ K „ x „ ! ;ⁿ' = ( 1 — K , )

+ K n .T„ yn- — (1 ^{T, N "A}

- - R

soit a u total n équations à n i n c o n n u e s (4 p a r e x e m p l e e n prenant 4 tranches soit 4 arcs).

L a résolution d e ce s y s t è m e , sans a u c u n e simplification possible, d o n n e les i n c o n n u e s K j , K2, K n d'où p a r suite (1 — K^, (1 — K2) . C'est alors q u e l'on p e u t vérifier définitivement la stabilité d e s m u r s , d e m ê m e q u e celle des arcs.

L e tracé d e nouvelles lignes d e poussée p o u r ceux-ci p e r m e t de trouver la f o r m e définitive à d o n n e r à l'arc, car il n'est p a s néces- saire d e r e c o m m e n c e r plusieurs fois toute cette série d'opéra- tions.

Il reste encore toutefois à faire intervenir la t e m p é r a t u r e . L e cas le plus défavorable est celui d e l'hiver.

O n p e u t alors a d m e t t r e 0 = — 150 j?xa _ — 3 0 M g c m2. L a poussée est c h a n g é e , le facteur t h e r m i q u e

1 3 E a 0 /

- o² s

intervient considérablement. Il v a u t environ 1 H À

<?o² P o u r les arcs d u h a u t s o n influence est considérable.

L e s coefficients z sont alors d o n n é s p a r : z — _{2 E c} 5iF.

(?o -

0,8 + 1

L A HOUILLE BLANCHE

cients (1 — K ) et o n a c h è v e c o m m e il est indiqué d a n s la m a r c h e précédente.

A tenir c o m p t e toutefois, e n fin d e calcul, d e l'écart possible d e température entre faces e x t r ê m e s qui produit u n effort supplé- mentaire d e 1 0 K l g c m 2 e n c o m p r e s s i o n sur la force aval, et e n extension sur la face a m o n t .

Ces efforts n'intéressent q u e les arcs et ils o n t m ê m e u n effet favorable, car ils soulagent le travail d e c o m p r e s s i o n a u x nais- sances qui sont les plus m e n a c é e s .

Toutes ces opérations sont é v i d e m m e n t c o m p l i q u é e s , m a i s l'étude d'un barrage, q u e l q u e soit la m é t h o d e , est u n e opération de longue haleine q u e l'on n e p e u t traiter e n q u e l q u e s heures et qui varie à l'infini suivant les circonstances locales.

N o u s terminerons notre é t u d e p a r u n e n o t e qui découle naturel- lement de certains résultats a u x q u e l s n o u s s o m m e s p a r v e n u s .

DÉTERMINATION R A T I O N N E L L E D U PROFIL D U M U R

L a m é t h o d e d e calcul q u e n o u s a v o n s indiqué, ainsi d'ailleurs que toutes celles qui existent actuellement, n e p e r m e t d e calculer les taux d u travail q u ' e n n e fixant s o i - m ê m e , a u h a s a r d à vrai dire, le profil d u m u r .

Or le plus intéressant d u p r o b l è m e est d e déterminer la f o r m e de ce profil p o u r réaliser u n e é c o n o m i e effective sur le c u b e d e maçonnerie.

Il semble q u e celle-ci serait o b t e n u e si le profil était tel qu'à toutes les profondeurs, l'arc et le m u r se p a r t a g e n t la charge sui- vant u n e loi logique, et n o n p a s a u hasard, car alors o n risque m ê m e q u e le s o u l a g e m e n t espéré n e d e v i e n n e e n fait p o u r certains points négatif, p a r e x e m p l e la flexion des arcs p e u t e n certains points, près d e la clé p a r e x e m p l e , entraîner le m u r d a n s s o n m o u - v e m e n t d e recul et le faire travailler plus qu'il n e le ferait s'il était i n d é p e n d a n t c o m m e u n b a r r a g e rectiligne.

O n peut dire q u e l'arc et le m u r travailleraient tous d e u x d a n s de bonnes conditions si le r a p p o r t d e s coefficients d e poussée était constant, i n d é p e n d a n t d e la p r o f o n d e u r , soit si ces coeffi- cients étaient e u x - m ê m e s constants.

Or, p o u r qu'il e n soit ainsi, r e v e n o n s e n arrière, a u x équations approchées qui d o n n e n t les coefficients d e poussée. N o u s a v o n s trouvé, suivant u n é l é m e n t d e m u r , q u e ces coefficients sont liés par les équations a p p r o x i m a t i v e s .

1 — K j ) z, .r, __ (1 — K j ) zi x..

Si les K sont constants, le s y s t è m e se réduit à

Zci Xc,

HT

~n XN

= constante H y^ y* Un

Or (fig. 15) y (x) est la ligne d'influence des flèches d u m u relative a u m o m e n t .

2 (x) est la c o u r b e d e s d é f o r m a t i o n s d e l'arc suivant s o n épaisseur, c'est-à-dire la p r o f o n d e u r .

Pour q u e K fut constant, il faudrait q u e les c o u r b e s y (x) et

x z (x) aient leur o r d o n n é e s proportionnelles. L a chose s e m b l e difficile, car les d e u x courbes o n t d e s f o r m e s toutes différentes.

Toutefois, m a t h é m a t i q u e m e n t , la question est peut-être solu- ble. E n effet z est d e la f o r m e - , A étant très sensiblement u n e

e

constante suivant u n é l é m e n t m u r d o n n é , et e étant l'épaisseur variable d u m u r (dans le cas idéal o ù ?0 et p restent constants).

O n a u r a d o n c y

Fig. 15

^ = C - (C constante).

O r y est la flèche produite à la section d'abscisse x p a r u n e p o u s s é e p = 1 a u s o m m e t .

L e m o m e n t fléchissant p o u r cette section est : M = (h' — h + x)

L'équation différentielle d e la ligne d'influence est : El y" z=h' — h + x = x.

e n négligeant (h'

e n dérivant d e u x fois la quantité D ' o ù e n p o s a n t

h) très faible. O n a C x

e I

12 et y " s'obtient

x e L'équation devient :

Ct" — —

U ~ ~ E I

e = t

1 2 fi

: E x 2

1 2 x² t" B/3 Soit e n p o s a n t ^ = B , l'équation devient

qui est inintégrable p a r les procédés c o n n u s .

O n n e p e u t d o n c rechercher la f o r m e d u profil la plus ration- nelle q u e p a r t â t o n n e m e n t s , e n essayant plusieurs f o r m e s d e profils et e n a d o p t a n t celui p o u r lequel les courbes y (x) et x z ( x ) présentent le plus d'analogie d e f o r m e .

R e m a r q u o n s d'ailleurs q u e ce profil d é t e r m i n é p o u r u n élé- m e n t d e m u r d o n n é n e serait p a s identique p o u r tous les éléments, car les courbes y (x) et z (x) varient d'un é l é m e n t d e m u r à l'autre.

L a f o r m e rationnelle d'un b a r r a g e établi suivant ces d o n n é e s serait d o n c très c o m p l i q u é et m ê m e très p r o b a b l e m e n t impossible à exécuter e n pratique.