E544 : Passage au vert
Les nombres de 1 à 2010 peuvent prendre la couleur rouge ou verte. Ils sont à l’origine tous rouges. Quand je choisis l’un d’eux, je change sa couleur ainsi que celle de tous les entiers qui ont un diviseur commun avec lui strictement plus grand que 1. Est-il possible de faire passer au vert tous les nombres ?
Si l’on choisit le nombre 1, lui seul change de couleur. Les nombres ayant les mêmes facteurs premiers (à des puissances différentes) changent de couleur simultanément.
In fine, le nombre de changements pour chaque nombre (dont les nombres premiers) doit être impair.
Considérons la fonction f(p,...,q) qui à chaque ensemble de nombres premiers distincts (p,...q), associe le nombre de fois, modulo 2, où l’on a choisi un nombre ayant (p,...,q) comme facteurs premiers. Si l’on associe 0 à la couleur rouge et 1 à la couleur verte, f(p) donne la couleur de p et de ses puissances. On montre de façon immédiate que la couleur de pq est f(p)+f(q)+f(p,q), que celle de pqr est
f(p)+f(q)+f(r)+f(q,r)+f(r,p)+f(p,q)+f(p,q,r), puis que celle de pqrs est
f(p)+...+f(s)+f(p,q)+...+f(r,s)+(f(q,r,s)+...+f(p,q,r)+f(p,q,r,s), (p, q, r, s premiers distincts) On en déduit que pour faire passer tous les nombres au vert, l’on doit avoir f(p)=1, f(p,q)=1, f(p,q,r)=1, et f(p,q,r,s)=1, pour tous nombres premiers distincts p, q, r, s.
Aucun nombre inférieur ou égal à 2010 n’a plus de 4 facteurs premiers distincts , car 2*3*5*7*11=2310>2010
D’où l’algorithme à employer: on choisit un nombre pour chaque combinaison de 4 facteurs premiers. On étudie ensuite les nombres correspondant à toutes les
combinaisons de 3 facteurs premiers, et on choisit ceux qui sont rouges à la fin de la phase précédente; on recommence avec les combinaisons de deux nombres
premiers; et enfin les nombres premiers eux-mêmes.
