Feuille d’exercices n

Feuille d’exercices n

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Exercice 1. Soit (Z_n)n≥1 une suite de va r´eelles d´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P).

On suppose que Z_n ne prend que les valeurs 0 et n², avec P(Z_n = n²) = _n¹2 et P(Zn = 0) = 1− _n¹2· Montrer que Zn

−ps→ 0, mais que Zn tend tend pas vers 0 en norme L¹.

Exercice 2. Soit (Z_n)n≥1 une suite de va r´eelles ind´ependantes d´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P). On suppose que Z_n suit la loi de Bernoulli de param`etre _n¹· Montrer que Zn

L¹

−→0, mais que (Zn) ne converge pas presque sˆurement vers 0.

Exercice 3. Soit (Z_n)n≥1 une suite de va r´eelles ind´ependantes d´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P). On suppose que Z_n ne prend que les valeurs 0 et n, avec P(Z_n =n) = _n¹ et P(Z_n = 0) = 1− ¹_n· Montrer que Z_n −−−→^proba 0, mais que (Z_n) ne converge vers 0 ni presque sˆurement, ni en norme L¹.

Exercice 4. Soit X une va suivant une loi de Bernoulli de param`etre ¹₂, et pour n ∈ N, soit Z_n = 1−X. Montrer que Z_n −→^L X, mais que (Z_n) ne converge pas en probabilit´e vers X.

Exercice 5. Soit (Xi)i≥1 une suite de va r´eelles d´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P), deux

`

a deux ind´ependantes et appartenant `a L². On suppose que ¹_nPn

i=1E(Xi) admet une limite m quand n → ∞, et que Pn

i=1σ²(X_i) = o(n²) quand n → ∞. Montrer que si on pose S_n =

n

P

i=1

X_i, alors ^S_nⁿ −→^L2 m.

Exercice 6. Soit (X_i)i≥1 une suite de va ind´ependantes suivant toutes la loi normale N(0,1). Pour n≥1, on pose S_n =X₁+· · ·+X_n.

(1) Quelle est la loi de S_n? (2) Montrer que ^S_nⁿ −^ps→0.

1

Exercice 7. Pour n∈N^∗, soit µn la mesure bor´elienne sur [0,1] d´efinie par µ_n= 1

n

n

X

k=1

δ^k

n.

Montrer que (µn) converge ´etroitement vers une mesure µ `a d´eterminer.

Exercice 8. Soitξ un nombre complexe de module 1 qui n’est pas racine de l’unit´e.

Pour n∈N^∗, on note µ_n la mesure bor´elienne sur T d´efinie par µ_n= 1

n

n−1

X

k=0

δ_ξ^k.

(1) Pourr ∈Z, soit e_r :T→C la fonction d´efinie par e_r(z) =z^r. D´eterminer la limite de R

Te_rdµ_n quand n → ∞.

(2) On note m la mesure de Lebesgue sur T, qui est d´efinie comme suit : pour tout bor´elien A⊆T,

m(A) = 1 2πλ₁

{θ ∈[0,2π[ ; e^iθ ∈A}

.

De mani`ere ´equivalente : pour toute fonction bor´elienne born´ee f : T → C, on a

Z

T

f dm= Z 2π

0

f(e^iθ) dθ 2π· Montrer que R

TP dµ_n →R

TP dm pour toutpolynˆome trigonom´etrique P. (3) Montrer que la suite (µ_n) converge ´etroitement vers m.

Exercice 9. Soit (Z_n) une suite de va `a valeurs dans N. On suppose que Z<sub>n</sub> suit une loi binˆomiale B(n, p<sub>n</sub>), et que p<sub>n</sub> ∼ <sub>n</sub><sup>λ</sup> pour un certain λ >0. Montrer que (Z<sub>n</sub>) converge en loi vers une va Z suivant une loi `a d´eterminer.

Exercice 10. Soit (Z_n) une suite de va r´eelles. On suppose que Z_n suit une loi normale N(0, σ_n²), et que σ_n admet une limite σ ≥ 0 quand n → ∞. Montrer que (Z_n) converge en loi vers une va suivant une loi `a d´eterminer.

Exercice 11. Soit p ∈ [0,1], et pour tout n ∈ N, soit Z_n une va suivant la loi binˆomiale B(n, p). Montrer que ^Z_nⁿ converge en loi vers une va `a d´eterminer.

Exercice 12. Soit (Zn) une suite de va d´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P) et `a valeurs dans un espace m´etrique (Λ, d). On suppose que (Z_n) converge en loi vers une va Z constante, Z(ω)≡ a ∈ Λ. En consid´erant le bor´elien B = Λ\B(a, ε), montrer que P d(Zn, Z) ≥ε

→ 0 pour tout ε >0. En particulier, si les Zn sont des va r´eelles, alors Z_n−−−→^proba Z.

Exercice 13. Soit (Z_k) une suite de va r´eelles d´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P). On suppose qu’on a

∞

X

k=0

P |Z_k+1−Z_k| ≥2^−k

<∞.

(1) Soit ε >0. Montrer que si N ∈N v´erifie

∞

P

k=N

2^−k ≤ε, alors

P

∃p, q ≥N : |Zq−Zp| ≥ε

≤

∞

X

k=N

P |Zk+1−Zk| ≥2^−k

; et en d´eduire que

P

ω∈Ω; ∃N ∈N∀p, q ≥N : |Z_q(ω)−Z_p(ω)|< ε

= 1.

(2) Montrer que la suite (Z_k) converge presque sˆurement.

Exercice 14. Soit (Z_n) une suite de va r´eelles.

(1) Montrer que si (Z_n) converge en probabilit´e, alors elle est de Cauchy en probabilit´e, ce qui signifie que pour tout ε >0 fix´e, P(|Z_q−Z_p| ≥ε)→ 0 quand p, q → ∞.

(2) On suppose inversement que (Zn) est de Cauchy en probabilit´e.

(a) En utilisant l’Exercice 13, montrer que (Z_n) a une sous-suite (Z_nk) qui converge presque sˆurement (et donc en probabilit´e) vers une vaZ. (b) Soit ε > 0. Pour n, k ∈ N, majorer P(|Z_n− Z| ≥ ε) en fonction de

P(|Z_n−Z_nk| ≥ε/2) et P(|Z_nk −Z| ≥ε/2).

(c) Montrer que (Zn) converge en probabilit´e.

Exercice 15. Soit (X_k)k∈Nune suite de va r´eelles ind´ependantes. Le but de l’exercice est de montrer que la s´erie P

Xk converge en probabilit´e si et seulement si elle converge presque sˆurement. Autrement dit, en posant Sn = X0 +· · · +Xn, on veut montrer que si la suite (S_n) converge en probabilit´e, alors elle converge presque sˆurement. Dans toute la suite, on supposera donc que (S_n) converge en probabilit´e.

(1) Soit ε >0, et soit n∈N. On d´efinit une va τn,ε : Ω→N∪ {∞}en posant τ_n,ε(ω) = min

p > n; |S_p(ω)−S_n(ω)| ≥ε ,

avec la convention min∅=∞. Le but de cette question est de montrer que P(τ_n,ε <∞)→0 quand n → ∞.

(a) Pour η >0, justifier l’existence d’un entier N_η tel que

∀q≥N_η : P |S_q−S_n| ≥ε/2

≤η.

(b) Avec les notations de (a), montrer que pour tous q > n≥N_η, on a

q

X

p=n+1

P τ_n,ε =p , |S_q−S_p|< ε/2

≤η.

(c) Montrer que si n < p ≤ q, alors les deux ´ev`enements (τn,ε = p) et (|S_q−S_p|< ε/2) sont ind´ependants.

(d) D´eduire des questions pr´ec´edentes que si 0< η <1/2 et n ≥Nη, alors η≥(1−2η)P(τ_n,ε <∞).

(e) D´emontrer le r´esultat souhait´e.

(2) Pourk ∈N^∗ etn ∈N, on pose En,k =

ω ∈Ω; ∃p > n : |Sp(ω)−Sn(ω)| ≥1/k . Montrer que pour toutk fix´e,P(E_n,k)→0 quandn → ∞.

(3) Montrer que la suite (Sn) v´erifie presque sˆurement le crit`ere de Cauchy, et conclure.

Exercice 16. Soit (X_k) une suite de va r´eelles ind´ependantes, centr´ees et appar- tenant `a L². En utilisant l’Exercice 15, montrer que si on a P∞

0 σ²(X_k)<∞, alors la s´erie P

X_k converge presque sˆurement.

Exercice 17. Soit (Z_n) une suite de va r´eelles, et soitZ une va r´eelles, toutes d´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P). Montrer queZ_n −−−→^proba Z si et seulement si

Z

Ω

min(1,|Z_n−Z|)dP→0

Exercice 18. Soit (Z_n) une suite de va et soit Z une va, toutes `a valeurs dans un mˆeme espace m´etrique (Λ, d) Montrer queZ<sub>n</sub>−→<sup>L</sup> Z si et seulement si toute sous-suite de (Z<sub>n</sub>) poss`ede une sous-suite qui converge en loi vers Z.

Exercice 19. Soit (Zn) une suite de va r´eelles, et soit Z une va r´eelle. On suppose que P(Z_n ∈I)→P(Z ∈I) pour tout intervalle compactI ⊆R.

(1) Soit t ∈ R. Montrer que pour tout ε >0 donn´e, on peut trouver α < t < β et un entier N tels que

P Z 6∈[α, β]

< ε et P Zn 6∈[α, β]

< ε pour tout n≥N . Comment peut-on alors majorer P(Z < α) et P(Z_n< α) pour n ≥N? (2) Montrer que Z_n−→^L Z.

Exercice 20. Soit (Z_n) une suite de va r´eelles, et soit Z une va r´eelle. On suppose qu’il existe un ensemble dense D⊆R tel que F_Zn(t)→F_Z(s) pour tout s∈D.

(1) Soient s, t, s⁰ ∈Ravec s < t < s⁰. Montrer que pour tout n ∈N, on a

|F_zn(t)−F_Z(t)| ≤max |F_zn(t)−F_Z(t)|,|F_zn(t)−F_Z(t)|

+|F_Z(s⁰)−F_Z(s)|.

(2) Montrer que (Z_n) converge en loi versZ.

Exercice 21. Soit (Z_n) une suite de va r´eelles. On suppose que (Z_n) converge en loi vers une va Z dont la fonction de r´epartition F_Z est continue.

(1) Soitε >0. Montrer qu’on peut trouver des nombres r´eelst₀ < t₁· · ·< t_N tels queF_Z(t₀)< ε,F_Z(t_N)>1−εetF_Z(t_i+1)−F_Z(t_i)< εpouri= 0, . . . , N−1.

(2) Montrer que F_Zn(t)→F_Z(t)uniform´ement surR.

Exercice 22. Soit (Z_n) une suite de va r´eelles, et soit Z une va r´eelle. On suppose qu’il existe unα >0 tel queR

R|F_Zn(t)−F_Z(t)|^αdt→0 quand n→ ∞. Montrer que Z_n−→^L Z. (On pourra par exemple montrer, en utilisant l’Exercice 20, que toute sous-suite de (Z_n) poss`ede une sous-suite qui converge en loi vers Z).

Exercice 23. Soit (Λ, d) un espace m´etrique, et soitF un ferm´e de Λ. Montrer qu’il existe une suite de fonctions lipschitziennes born´eesϕ_k : Λ→Rtelle que 0≤ϕ_k ≤1 pour tout k et ϕ_k(x)→1_F(x) pour tout x∈Λ.

Exercice 24. Soit (Z_n) une suite de va etZ une va, toutes `a valeurs dans un mˆeme espace m´etrique (Λ, d). On suppose que E ϕ(Z_n)

→E ϕ(Z)

pour toute fonction lipschitzienne born´ee ϕ: Λ→R. En utilisant l’Exercice 23, montrer que Z_n−→^L Z.

Exercice 25. Soient (Xn) et (Yn) deux suites de va r´eelles d´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P). On suppose que (X_n) converge en loi vers une va X, et que Y_n converge en probabilit´e vers une vaconstante c.

(1) On munit R² de la distance induite par n’importe quelle norme. Montrer que si Φ :R² →R est une fonction lipschitzienne born´ee, alors il existe deux constantesA et B telles que, pour tout ε >0 et pour toutn ∈N, on a

E Φ(X_n, Y_n)

−E Φ(X_n, c)

≤Aε+BP |Y_n−c| ≥ε . (2) En utilisant l’Exercice 24, montrer que (X_n, Y_n)−→^L (X, c).

(3) En d´eduire queX_n+Y_n −→^L X+cet X_nY_n−→^L cX.

Exercice 26. Soient (Z_n) et (Z_n⁰) deux suites de va r´eelles d´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P). On suppose que (Z_n) converge en loi vers une va Z et que Z_n⁰ −Z_n −→^L 0.

Montrer que Z_n⁰ −→^L Z.

Exercice 27. Soit (Zn) une suite de va r´eelles, a priori d´efinies sur des espaces de probabilit´e diff´erents, convergeant en loi vers une va Z. Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe des vaZe_netZed´efinies sur le mˆeme (Ω,A,P) telles quePZen =PZn

pour tout n, PZe =PZ, et Ze_n→Ze presque sˆurement.

(1) On prend Ω = ]0,1[ muni de la mesure de Lebesgue, que l’on note P, et on d´efinit des va Zen etZe sur Ω en posant pour tout ω ∈]0,1[ :

Ze_n(ω) = inf

y∈R; F_Zn(y)> ω et Z(ω) = infe

y∈R; F_Z(y)> ω . Rappeler pourquoi on a PZe =PZ et PZen =PZn pour tout n∈N.

(2) Pourω∈Ω, on posea(ω) = inf{y∈R; FZ(y)≥ω}. V´erifier qu’on aa(ω)≤ Z(ω), ete Z(ω)e ≤a(ω⁰) siω < ω⁰. En d´eduire que si on poseI_ω = ]a(ω),Z(ω)[,e alors les intervallesI_ω sont deux `a deux disjoints, puis montrer que l’ensemble D={ω ∈Ω; a(ω)<Ze(ω)} est d´enombrable.

(3) Soit ω ∈ Ω, et soit t ∈ R un point de continuit´e de F_Z. Montrer que si t < a(ω), alors limZe_n(ω)≥t, et que si t >Ye(ω), alors limZe_n(ω)≤t.

(4) Montrer que Ze_n(ω)→Z(ω) pour toute ω ∈Ω\D, et conclure.