Fiches des unit´es d’enseignement (UE) Licence de Math´ematiques et Informatique

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Licence de Math´ematiques et Informatique

Universit´ e Paris 7 Denis Diderot

Juin 2009

(mise ` a jour 10 septembre 2010)

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Table des mati` eres

1 Unit´es d’enseignement en S1 3

Algèbre et analyse élémentaires I . . . 3

Introduction aux syst`emes d’exploitation. . . 5

Physique I . . . 6

Langage math´ematique . . . 7

Statistiques descriptives . . . 8

Principes de fonctionnement des machines binaires . . . 9

Initiation `a l’informatique et `a la programmation . . . 10

Biologie cellulaire et mol´eculaire exp´erimentale . . . 11

Atomes et mol´ecules . . . 12

Panorama des sciences de la Terre . . . 13

Actualit´es de la recherche en Science de la Terre . . . 14

2 Unités d’enseignement en S2 15 Algèbre et analyse élémentaires II . . . 15

Types de donn´ees et objet . . . 17

Concepts Informatiques . . . 18

Internet et Outils . . . 19

3 Unit´es d’enseignement en S3 20 Alg`ebre et analyse fondamentales I . . . 20

Projet de Programmation . . . 22

Programmation Fonctionnelle . . . 23

Probabilit´es discr`etes. . . 24

Courbes et surfaces param´etr´ees . . . 25

Structures alg´ebriques . . . 26

4 Unit´es d’enseignement en S4 27 Alg`ebre et analyse fondamentales II . . . 27

Langage C. . . 29

Automates finis . . . 30

Langages de script . . . 31

El´ements d’algorithmique . . . 32

Math´ematiques discr`etes . . . 33

Probabilit´es et statistiques. . . 34

Groupes et arithm´etique . . . 35

Introduction `a la logique math´ematique . . . 36

Simulation num´erique . . . 37

Projet pr´e-professionnalisant PP2 . . . 38

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5 Unit´es d’enseignement en S5 39

Alg`ebre . . . 39

Logique . . . 40

Algorithmique . . . 41

Programmation orient´ee objet . . . 42

6 Unit´es d’enseignement en S6 43 Analyse . . . 43

Optimisation . . . 44

M´ethodes num´eriques . . . 45

Base de donn´ees . . . 46

Syst`eme et r´eseaux . . . 47

Analyse syntaxique . . . 48

Introduction aux machines virtuelles . . . 49

G´enie logiciel . . . 50

Calcul num´erique . . . 51

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Unit´ es d’enseignement en S1

Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires I

MM1 (9 ECTS, coef. 3)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : Bac S

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : elle fait partie du tronc commun.

Parcours pouvant int´egrer cette UE :tous les autres parcours.

Programme des enseignements Ensembles et applications

– inclusion, partie, réunion, intersection, complémentaire ; nombre de parties d’un ensemble à n

´el´ements ;

– produit cart´esien de deux ensembles ;

– application d’un ensemble dans un autre, restriction d’une application, image d’une partie ; compos´ee ; bĳection, bĳection r´eciproque.

Nombres complexes

– partie réelle et imaginaire, module et argument (et leur interprétation géométrique) ; inégalité triangulaire ;

– calcul de l’inverse d’un nombre complexe non nul ;

– calcul des racines carrées d’un nombre complexe ; équation du second degré à coefficients complexes ;

– nombres complexes de module 1, formule de Moivre, applications à la trigonométrie ; – racinesn-ième de l’unité, équationzⁿ=a.

– interprétation géométrique des applicationsz→az+betz→z¯. Fonctions polynôme

– unicité des coefficients de la forme développée d’une fonction polynôme réelle ; degré d’une fonction polynôme, degré d’un produit ;

– factorisation, factorisation par (x−a) et racine ; notion de racine multiple ;

– présentation pratique sans démonstration de la division euclidienne des fonctions polynômes réelles ;

– formule du binˆome, coefficients _n p

(formule de r´ecurrence et calcul) ; nombre de parties `a p

éléments d’un ensemble ànéléments.

Introduction à l’algèbre linéaire

– vecteurs deRⁿ, combinaisons linéaires ; sous-espace vectoriel deRⁿ, sous-espace engendré ; vecteurs indépendants ; base d’un sous-espace ; recherche d’une base ; exemples des plans et des droites deR³;

– ´equation lin´eaire

p

X

i=1

xi−→ui =−→

b, o`u −→ui,−→

b ∈ Rⁿ, écriture sous forme d’un système d’équations ; sous-espace deRⁿdéfini par une équation linéaire homogène ;

– résolution des systèmes d’équations linéaires.

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– droites et plans affines dans R³ (on pourra utiliser le produit scalaire et introduire le produit vectoriel) ;

Fonctions continues

– rappel et pratique du théorème des valeurs intermédiaires ; énoncé du théorème ”toute fonction continue sur un segment a un maximum et un minimum” ;

– énoncé sans démonstration du théorème sur les fonctions et les suites croissantes majorées ; – fonction continue strictement monotone et continuité de la bĳection réciproque ; fonctions Arc

sinus et Arc tangente.

Fonctions d´erivables

– rappels sur d´eriv´ee et tangente en un point ;

– rappel (sans démonstration) de l’inégalité de la moyenne : si|F⁰| ≤M, alors

F(b)−F(a)

≤M|b−a|

(vue en TS sous la forme : sim≤f≤M, alorsm(b−a)≤Rb

af(t)dt≤M(b−a) ) ; – dérivée de la réciproque d’une fonction strictement monotone dérivable ;

– notationa^b, o`ua >0 ; rappels sur les fonctions puissance, logarithme et exponentielle ; fonctions sinus et cosinus hyperbolique ;

– exemples d’´etude de fonctions au niveau d’une classe de Terminale S, recherche d’une droite asymptote ;

– exemples d’´etude de suitesun=f(n) et de suites it´erativesun+1=f(un).

Fonctions de deux variables réelles – dérivée partielle ;

– exemples d’´etude de surfacez =f(x, y) par sections planes ; vecteur gradient ; plan tangent en un point (existence admise).

Objectifs :Initiation `a la pratique des fonctions et des vecteurs deRⁿ.

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Introduction aux syst` emes d’exploitation

IS1 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : à définir par l’équipe enseignante Pré-requis :

Parcours intégrant obligatoirement cette UE :Informatique,Mathématiques et Informatique Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques, MASS, Physique et Chimie, STEP, SV

Programme des enseignements

Les fonctions d’un système d’exploitation seront étudiées au travers d’un environnement Unix et les points particuliers suivants seront étudiés :

– le système de gestion de fichiers : organisation, types de fichiers (fichiers réguliers et répertoires), structure arborescente, problèmes de protection ;

– les processus : mécanismes généraux de lancement en premier plan ou en arrière plan, lancements séquentiels et concurrents, terminaison ;

– liens entre processus et fichiers : m´ecanismes de redirection, communication par tubes ; – les commandes de base (locales et r´eseau), le concept de filtre ;

– initiation `a la programmation dans un « shell », notion de script ; – param´etrer et configurer son environnement de travail.

Objectifs : Se familiariser avec l’environnement et l’utilisation des systèmes de la famille Unix (tels que Linux ou FreeBSD) où les étudiants travaillent dans le cadre de l’enseignement d’ ”Initiation à la programmation” et travailleront lors des semestres ultérieurs.

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Physique I

PH1 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis :

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : mentions Physique, Chimie, Sciences de la Terre, Mathématiques, Mathématiques et Informatique

Partant des connaissances du lycée sur le mouvement d’un point matériel, cette UE est une introduction simple à de nouveaux domaines de la physique en généralisant les notions d’équilibre et de mouvement : – analyse dimensionnelle et lois d’échelle

– hydrostatique et hydrodynamique

– thermique : temp´erature, chaleur, conduction de la chaleur

Objectifs :Généralisation de notions abordées au lycée (équilibre et mouvement), et introduction aux raisonnements physiques plus abstraits à partir de domaines nouveaux pour les étudiants (mécanique des fluides, propagation de la chaleur) et appliqués ce qui donne la possibilité d’expériences de cours et permet de déboucher sur des projets expérimentaux.

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Langage math´ ematique

LM1 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : Bac S ou ES

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE :

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques, Mathématiques et Informatique, MASS, Informatique, Physique et Chimie, STEP, SV.

Etude des particularit´´ es du langage mathématique, à partir d’exemples. Notions simples de dénombrement et de cardinalité.

– fonctions et ensembles (op´erations ensemblistes, injection, surjection, bĳection) ;

– Expressions mathématiques : notion de variable, paramètre, notation fonctionnelle, notation indicée (suite) ; les énoncés : connecteurs, quantificateurs, négation d’énoncés usuels, implication, équivalence, contraposition ;

– Raisonnement : analyse de raisonnements élémentaires à partir d’exemples ; raisonnement par contraposition, par l’absurde ; méthodes pour démontrer l’équivalence de plusieurs énoncés ; raisonnement par récurrence ; recherche de démonstration et recherche de contre-exemple.

– Équipotence, cardinalité d’un ensemble, combinatoire : quelques méthodes usuelles de dénombrement : principe des tiroirs, principe d’inclusion-exclusion, et applications ; cardinalité infinie : N, Z, Q, R (théorème de Cantor).

Les notions abordées seront illustrées par des exemples familiers pris dans les cours de mathématiques suivis par ailleurs par l’étudiant.

Objectifs :comprendre et manier le langage des math´ematiques.

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Statistiques descriptives

SD1 (3 ECTS, coef. 1)

Ce cours s’inscrit dans la continuité du programme de secondaire. Il a pour objet de mettre en oeuvre les concepts et méthodes introduits dans des situations concrètes ainsi que de réfléchir à une utilisation en terme d’interprétation statistique des divers résultats fournis par les logiciels statistiques ou tableurs. Les thèmes abordés sont les suivants :

– Diff´erentes sortes de donn´ees statistiques

– Organisation des donn´ees (tableaux, graphiques...) ;

– Param`etres de position et de dispersion (mode, moyenne, m´ediane et intervalles) ; – Concentration ;

– Données bidimensionnelles : regression, corrélation, ajustements – Séries chronologiques

Objectifs :Cette option a pour objet de mettre en oeuvre les concepts et méthodes introduits dans des situations concrètes ainsi que de réfléchir à une utilisation en termes d’interprétation statistique des divers résultat fournis par les logiciels statistiques ou tableurs.

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Principes de fonctionnement des machines binaires

PF1 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation :la note finale pourra prendre en compte des notes de partiel et d’examen, ainsi que des notes de contrôle continu.

Pr´e-requis :

Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Informatique générale Parcours pouvant intégrer cette UE :

– organisation générale d’un ordinateur : processeur, mémoire et périphériques – codage binaire des données : le codage des caractères et des nombres

– les instructions élémentaires d’un processeur (transferts de données, opérations arithmétiques ou logiques, modification du déroulement séquentiel)

– les modes d’adressage : direct, index´e et indirect principe d’ex´ecution d’un programme – langage machine et langage d’assemblage

– les circuits logiques : combinatoires (codeur/d´ecodeur, multiplexeur, additionneur) et s´equentiels (bas- cules)

Objectifs : omprendre un certain nombre des principes généraux du traitement de données par des machines binaires.

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Initiation ` a l’informatique et ` a la programmation

IF1 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : Examen terminal et contrôle continu en TD et TP.

Pr´e-requis :

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Informatique, Math´ematiques et Informa- tique

Parcours pouvant intégrer cette UE : Toutes les mentions des licences Science, Technologie, Santé suivant les capacités d’accueil. Cette UE est obligatoire pour les étudiants souhaitant se réorienter dans la mention Informatique.

– concepts généraux : organisation générale d’un ordinateur, codage d’informations (caractères et nombres), langages de programmation (styles de programmation, compilation/interprétation, code binaire ou code intermédiaire) ;

– notion d’algorithme et son expression en langue naturelle ;

– variables et identificateurs, identificateurs, la disjonction nom/valeur, les expressions, le concept de type ;

– l’affectation : variables et expressions booléennes et leur évaluation ; – structures de contrôle : sélections, itérations ;

– les tableaux `a une ou plusieurs dimensions et les imbrications de boucles ; – le concept de fonction et la transmission de param`etres ;

– rapide introduction au concept d’objet.

Objectifs :

– Comprendre un certain nombre des concepts g´en´eraux des ordinateurs et de la programmation.

– R´ealiser le codage effectif, la compilation et l’ex´ecution d’algorithmes simples dans un environnement de type Unix.

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Biologie cellulaire et mol´ eculaire exp´ erimentale

BC11 (6 ECTS, coef. 2)

Modalit´es d’´evaluation : TP (30%) et examen final (70%).

Pr´e-requis :

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : S1 Sciences du Vivant Parcours pouvant int´egrer cette UE :tous les autres parcours.

Cet enseignement se propose de faire une présentation de la diversité et de l’évolution des grands domaines du monde du vivant : Archées, Eubactéries et Eucaryotes (avec une attention particulière pour les eumycètes, la lignée vertes et les métazoaires).

Cours magistraux (30 h total)

Premi`ere partie : Evolution et Diversit´e du monde vivant (10h)

– Origine de la vie, procaryotes/eucaryotes (origine des mitochondries et chloroplastes), reproduction asexuée et sexuée, acquisition de la multicellularité et développement.

– Diversité des archées et des eubactéries, des champignons et des eucaryotes unicellulaires Deuxième partie : Présentation de la lignée verte (10h)

– Organisation et biologie des Embryophytes, place dans les écosystèmes Troisième partie : Evolution et Diversité des métazoaires (10h)

– Classification et phylogénie : importance, historique et méthodes – Phylogénie des métazoaires

Travaux dirig´es (2h/ s´eance soit 10h)

– Les diff´erents niveaux d’organisation du vivant

– La cellule végétale : unité de construction de tous les végétaux – Phylogénie (1), principe et méthodes

– Phylog´enie (1), exercices d’application – Phylog´enie (1), approfondissement

Travaux pratiques (3h/ s´eance sauf * : 4h, soit 16 h)

– Les Angiospermes Dicotyl´edones : morphologie et anatomie d’une plante herbac´ee et d’une plante li- gneuse

– Reproduction sexuée et multiplication végétative chez les Embryophytes – La cellule végétale et la cellule fungique *

– Visite de la grande galerie du Mus´eum national d’histoire naturelle

– Organisation d’un vertébré mammifère : la souris (dissection de l’appareil digestif) Travaux pratiques / dirigés (3h/ séance, sauf * : 4h, soit 7h)

– Expos´es scientifiques *

– Diversité des Eubactéries, des Archées, des Eumycètes

Objectifs :Cette UE vise à fournir aux étudiants les bases d’une culture biologique relative à la diversité et l’évolution des grands domaines du vivant en intégrant des notions phylogénétiques, morphologiques, développementales et fonctionnelles

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Atomes et mol´ ecules

CH1 (6 ECTS, coef. 2)

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Chimie, Sciences de la Terre, Sciences du Vivant, Physique

Programme des enseignements 1. L’atome

(a) L’atome : noyau et ´electrons, les isotopes.

(b) La description quantique de l’électron dans l’atome. L’atome d’hydrogène et l’hydrogéno¨ıde.

Les niveaux d’´energies, le spectre ´electronique.

(c) L’atome polyélectronique, le modèle orbitalaire, le modèle de Slater.

(d) Le tableau périodique, énergie d’ionisation, affinité électronique, électronégativité de l’atome.

2. Liaisons entre les atomes et les molécules (a) Le modèle de Lewis, VSEPR. Mésomérie.

(b) Energie de liaison, moment dipolaire, polarisation de la liaison, électronégativité de Pauling.

Caract`ere ionique partiel.

(c) Liaisons intermol´eculaires (VdW, hydrog`ene).

(d) Introduction `a la description du solide.

3. Mol´ecules organiques

(a) Géométrie des liaisons avec le carbone. La nomenclature des molécules organiques. Isoméries.

(b) Stéréoisomères, projections, carbone stéréogène, conformation, configuration.

(c) Chiralit´e et activit´e optique.

(d) Exemples de réactions d’addition pour illustrer la stéréoisomérie.

Objectifs :

1. Calculs de proportions, stoechiométrie, masse molaire élémentaire, incertitudes sur les mesures, titration en solution.

2. Structure d’un atome polyélectronique, couches et sous-couches, orbitales atomiques et symétrie de ces orbitales, notion d’énergie électronique, interaction photon-atome.

3. La liaison de covalence dans les molécules, la polarisation des liaisons. Le rôle de la place d’un élément dans le tableau périodique sur le comportement individuel de ses atomes dans une molécule.

4. L’existence et la force de liaisons intermol´eculaires.

5. Des notions sur l’´etat solide.

6. Structure dans l’espace des mol´ecules en s’appuyant sur la chimie organique.

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Panorama des sciences de la Terre

PA1 (3 ECTS, coef. 1)

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : S1 STEP Parcours pouvant int´egrer cette UE :tous les autres parcours.

On dressera un panorama des grands acquis (certains très récents) des géosciences à l’échelle globale.

Ce cours (en deux parties) a pour but d’exciter l’intérêt des étudiants pour des disciplines qui ont connu plusieurs révolutions scientifiques (tectonique des plaques, exploration des planètes, environnement) depuis trois décennies. Il doit donner la culture générale de base en géosciences, tant pour les étudiants qui continueront dans ces domaines que pour ceux qui ne verront des géosciences que ce cours.

1. Introduction ; concepts et outils de base (a) La terre dans l’univers

(b) Introduction à la structure de la terre (c) Le temps et sa mesure en géologie 2. Compléments sur la Terre interne

(a) Mat´eriaux de l’´ecorce terrestre

(b) Tectonique des plaques : le mod`ele unificateur

Objectifs :Acquisition de connaissances de base solides (par un choix d’objets, d’outils et de méthodes quantitatives) sur les méthodes d’exploration de la Terre à l’échelle globale (géologie, planétologie, géophysique, géochimie, liens avec les autres disciplines dont les sciences physiques ou de la vie - évolution).

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Actualit´ es de la recherche en Science de la Terre

AR1 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : Exposé individuel, présentation collective, interventions orales tout au long du semestre

Pr´e-requis :

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : S1 STEP Parcours pouvant int´egrer cette UE :tous les autres parcours.

Présentation et discussions à partir d’articles de vulgarisation scientifique ou d’autres supports sur des sujets de recherche actuels en Sciences de la Terre, des planètes et de l’Environnement. Introduction aux problématiques modernes ainsi qu’aux résultats récents dans ce domaine. L’accent sera mis sur l’analyse critique de l’approche scientifique et sur les méthodes utilisées. A travers des présentations individuelles et collectives en interaction avec l’auditoire, ce cours a pour but de développer les capacités de communication nécessaires à toute activité de recherche ou professionnelle.

Objectifs : Acquisition d’une culture en Sciences de la Terre, des planètes et de l’Environnement au plus près des découvertes actuelles. Capacité à analyser et discuter des résultats scientifiques. Capacité à présenter de manière structurée et vivante une problématique et des résultats scientifiques, à utiliser les outils de visualisation informatiques. Acquisitions des bases de communication orale.

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Unit´ es d’enseignement en S2

Alg` ebre et analyse ´ el´ ementaires II

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1 maths

Parcours intégrant obligatoirement cette UE :Mathématiques, Mathématiques et Informa- tique.

Parcours pouvant intégrer cette UE :tout autre parcours, à l’appréciation du directeur des

´ etudes.

Programme des enseignements Espace vectoriel

– espace vectoriel surK=RouC; sous-espace vectoriel, intersection de sous-espaces, sous-espace engendr´e, partie libre, base (finie) ; coordonn´ees d’un vecteur dans une base ; recherche pratique d’une base quand on connait des vecteurs qui engendrent ;

– théorème de la base incomplète ; siE est engendré parp vecteurs, alors toute partie libre a au pluspéléments ; dimension (finie) d’un espace vectoriel ;

– dimension d’un sous-espace d’un espace vectoriel de dimension finie ; hyperplan ; des sous-espaces emboˆıtés sont égaux si et seulement s’ils ont même dimension ;

– sous-espaces suppl´ementaires, caract´erisation utilisant les dimensions.

Applications lin´eaires

– définition ; existence et unicité d’une application linéaire envoyant les vecteurs d’une base dans des vecteurs donnés ; endomorphisme ; isomorphisme d’espaces vectoriels ; tout espace vectoriel de dimensionnest isomorphe àKⁿ;

– exemples d’applications lin´eaires, notamment forme lin´eaire et projection ;

– noyau, image d’une application linéaire ; rang d’une application linéaire ; application linéaire sur- jective, injective, caractérisations au moyen du noyau et du rang ;

– si f est une application linéaire, alors f définit un isomorphisme entre tout supplémentaire du noyau et l’image ; théorème de la dimension.

Matrices

– matrice à coefficients dansK=RouC; écriture d’un système d’équations linéaires sous la forme AX=B;

– matrice d’une application lin´eaire dans des bases ;

– somme et produit de matrices, matrice transposée ; propriétés de ces opérations ; rang d’une matrice, rang de la transposée ;

– matrice inversible, calcul de l’inverse, inverse d’un produit ; caract´erisation des bases ;

– matrice de passage, formule du changement de base pour les vecteurs, formule du changement de base pour les endomorphismes ; matrices semblables.

Formule de Taylor

– démonstration du théorème de Rolle en admettant (cf S1) que toute fonction continue sur un segment a un maximum et un minimum ; théorème des accroissements finis et applications ;

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– formule de Taylor avec reste en f⁽ⁿ⁾(θ) ; applications `a des encadrements (notamment de sinx, cosx, expxou ln(1+x)) ;

D´eveloppements limit´es

– fonction n´egligeable devant une autre en un point, notationf(x) =

x→ao g(x)

, principales propriétés de cette relation (notamment transitivité et multiplicativité) ;

– définition d’un développement limité à l’ordren d’une fonction en un point, unicité ; cas d’une fonction paire (impaire) ; développement à l’ordre 0 (continuité) et à l’ordre 1 (dérivabilité) ; – existence du développement limité à l’ordrenpour une fonction ayant une dérivéen-ième ; – développement limité d’une primitive ; développements limités au point 0 de 1

1+x, ln(1+x), expx, sinx, cosx, (1+x)^α;

– calcul des développements limités : tronquer un polynôme, développement limité d’une somme, d’un produit, d’une composée ;

– applications des développements limités au calcul des limites et à l’étude locale de fonctions (y compris position du graphe par rapport à une asymptote) ;

Courbes param´etr´ees planes

– vecteur tangent, étude locale en un point régulier ou singulier, asymptote ; Intégrales

– primitive, toute fonction continue sur un intervalle a des primitives (admis) ; – calcul de primitives : int´egration par parties (rappel) et changement de variables ;

– primitives de fonctions rationnelles ^P_Q, oùQest un produit de facteurs de degré 1, ou de la forme T, (X−a)T ouT², oùT est de degré 2 (on pratiquera sans théorie la décomposition en éléments simples dans ces cas-là) ;

– primitives de ”fonctions polynˆomes ou rationnelles en sinus et cosinus”.

Equations diff´erentielles lin´eaires

– ´equationy⁰=a(x)y+b(x) et m´ethode de variation de la constante ;

– dérivée det7→exp(iat), oùa∈R; équation linéaire du second ordre à coefficients constants et second membre de la formeP(x) exp(ax), oùP est une fonction polynôme.

– exemples de résolution d’équations différentiellesy⁰=f(y).

Objectifs :Approfondissement des techniques en algèbre linéaire (matrices et dimension) et en analyse (limites, primitives, équations différentielles).

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Types de donn´ ees et objet

TO2 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : à définir par l’équipe pédagogique Pré-requis : Initiation à l’informatique de S1

´ etudes.

Programme des enseignements – Éléments de programmation (notion d’invariants, complexité élémentaire).

– Notions élémentaires de classe et d’objet, constructeurs, références, instanciation.

– Les tableaux comme structure de données, exemples d’algorithmes élémentaires de tri – Programme récursifs et structures de données récursives (listes, piles, files)

– Notions d’encapsulation, d’interfaces, de méthodes d’objets, de constructeurs, introduction au polymorphisme et à l’héritage

– Différents algorithmes nécessitant la structuration des données et l’utilisation des structures de données

´ etudi´ees.

Objectifs :Maˆıtriser les structures de base de l’informatique (tableaux, listes, files, piles) et les op´erations

´

el´ementaires sur ces structures et introduction au concept d’objet.

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Concepts Informatiques

CI2 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : à définir par l’équipe enseignante

Pré-requis : Initiation à l’informatique et à la programmation (IF1), Introduction aux systèmes d’exploitation (IS1)

´ etudes.

Cet enseignement reprendra et approfondira un certain nombre de mécanismes abordés lors des cours précédents et en introduira de nouveau. Seront par exemple abordés les aspects suivants :

– Num´erisation des informations en particulier des images et les principaux formats, introduction aux techniques de compression ;

– Vérification de propriétés de programmes simples par invariants ;

– Mécanismes liés aux échanges d’information entre fonctions (différents modes de transmission de pa- ramètres, la pile comme structure de base pour gérer les appels de fonction) ;

– La r´ecursion : ses liens avec les arbres et les piles, son ´elimination ;

– Incidence d’un système d’exploitation sur les applications s’y exécutant : problèmes de gestion de la mémoire, (mémoire virtuelle, stratégies utilisées, principe de localité, gestion dynamique et techniques de ramasse-miettes, etc.), de partage du temps (ordonnancement).

Objectifs : Comprendre et maˆıtriser un certain nombre de m´ecanismes et concepts fondamentaux propres aux traitements informatiques.

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Internet et Outils

IO2 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : à définir par l’équipe pédagogique Pré-requis : Introduction aux systèmes d’exploitation (IS1)

´ etudes.

Programme des enseignements – Rappels sur les syst`emes d’exploitation ;

– Introduction aux bases de données : vues comme permettant de structurer des données et d’en minimiser les redondances, le modèle relationnel et les tables de représentation de relations, introduction à SQL ; – Internet et Web : objectifs, modèle clients/serveur ; serveurs type Apache et clients tels que les naviga-

teurs ;

– Ensemble d’outils tels par exemple que [DX]HTML, PHP, MySQL .

Objectifs :Acqu´erir la maˆıtrise d’un certain nombre d’outils permettant la mise en place d’un site Web interagissant avec une base de donn´ees.

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Unit´ es d’enseignement en S3

Alg` ebre et analyse fondamentales I

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1 et S2 mathématiques

Parcours intégrant obligatoirement cette UE :Mathématiques, Mathématiques et Informa- tique

Parcours pouvant intégrer cette UE : tout autre parcours, à l’appréciation du directeur d’études

Retour sur les fondamentaux de l’analyse réelle – borne supérieure d’une partie deRnon vide et majorée (on pourra admettre l’existence) ; toute suite ou fonction croissante et majorée a une borne supérieure ;

– théorème de Bolzano-Weierstrass pour un segment ; démonstration des théorèmes sur les fonctions continues (la notion de suite de Cauchy n’est pas nécessaire) :

– l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle, – toute fonction continue sur un segment a un maximum et un minimum, – toute fonction continue sur un segment est uniform´ement continue ;

– fonction intégrable (Riemann) sur un segment, définition et propriétés de l’intégrale ; toute fonction monotone ou continue est intégrable ; toute fonction continue sur un intervalle a des primitives.

Séries numériques et intégrales impropres – série numérique, convergence ; série géométrique, série de Riemann ; théorème de comparaison ; convergence absolue ;

– s´erie altern´ee ; exemples d’utilisation de la transformation d’Abel ;

– intégrale impropre, convergence ; théorème de comparaison ; convergence absolue ; – comparaison entre série et intégrale.

Déterminant – déterminant d’une matrice à coefficients dansK=RouC; déterminant de la transposée et d’un produit ; méthodes de calcul d’un déterminant ;

– caract´erisation des matrices inversibles ;

– produit vectoriel et produit mixte dans l’espace euclidienR³usuel ;

Diagonalisation et trigonalisation (en dimension finie) – valeur propre, vecteur propre et sous- espace propre d’un endomorphisme ; polynˆome caract´eristique ;

– endomorphisme et matrice diagonalisable, critère de diagonalisation ; – endomorphisme et matrice trigonalisable, critère de trigonalisation ; – structure des matrices carrées réelles de taille 2 ;

– théorème de Cayley-Hamilton ; – polynôme minimal, sous-espace stable.

Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants – résolution d’un système différentiel linéaire

`

a coefficients constantsX⁰ =AX dans le cas Adiagonalisable ; exemples de r´esolution dans le cas trigonalisable ; base de solutions.

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– syst`emes avec second membre : m´ethode de variation de la constante vectorielle.

Objectifs :Retour sur les bases de l’Analyse et approfondissement en Alg`ebre lin´eaire

(23)

Projet de Programmation

PI3 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : projet avec soutenance et éventuellement examen terminal

Pré-requis :Initiation à l’informatique (IF1), Types de données et objets (T02), Concepts informatiques (C02)

´ etudes.

Réalisation d’un projet de programmation mettant en application les concepts acquis au cours des enseignements précédents et s’appuyant sur l’approche objets en particulier en ce qui concerne l’interface graphique.

Objectifs : Maˆıtrise d’un projet plus important que les programmes réalisés dans les cours précédents.

(24)

Programmation Fonctionnelle

PF3 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : à définir par l’équipe pédagogique

Pr´e-requis : Initiation `a la programmation (IF1), Concepts informatiques (CI2), Outils logiques (OL3)

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Informatique (en S5), Math´ematiques et Informatique

´ etudes.

Programme des enseignements – notions d’expression et de fonction ;

– liaison statique ; – typage, polymorphisme ; – r´ecurrence, filtrage ;

– types variantes (arbres, termes), types d’enregistrements ; – gestion d’erreurs, exceptions ;

– aspects impératifs : actions, références, champs mutables ; – flux de données, fichiers ;

– production d’ex´ecutables, modularit´e ;

– techniques de programmation avanc´ees : modules, foncteurs ; – bases th´eoriques du langage, lambda calcul.

Objectifs : donner une bonne maˆıtrise du style de programmation fonctionnelle (dans sa variante OCaml) tant du point de vue pratique que du point de vue de la connaissance du langage.

(25)

Probabilit´ es discr` etes

PR3 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : L1 mathématiques

– Le modèle probabiliste : définition d’une probabilité et d’une variable aléatoire ; lien avec le dénombrement ; probabilités conditionnelles ; indépendance.

– Loi d’une variable aléatoire, exemples usuels (loi uniforme) Objectifs :Introduction à la théorie des probabilités.

(26)

Courbes et surfaces param´ etr´ ees

CS3 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1 maths

Parcours pouvant intégrer cette UE :Mathématiques, Mathématiques et Informatique, Phy- sique, Informatique

Programme des enseignements Courbe param´etr´ee en dimension2ou3

– vecteur tangent ; abscisse curviligne et longueur pour un arc de courbeC¹;

– courbe plane régulière : vecteur normal, courbure et rayon de courbure, étude métrique locale en un point ;

– courbe dans l’espace régulière : repère de Frenet ; plan osculateur, courbure, torsion, étude métrique locale en un point.

Surface d’´equationz=f(x, y)

– fonction de deux variables de classeC¹ : vecteur gradient et diff´erentielle en un point ; – plan tangent, vecteur normal ; condition n´ecessaire d’extremum local ;

– formule de Taylor à l’ordre 2 pour une fonction de deux variables, de classeC²; étude locale en un point d’une surface d’équationz=f(x, y) et condition suffisante d’extremum local.

Surface param´etr´ee dansR³

– surface paramétrée régulière ; plan tangent, vecteur normal ; – longueur d’un arc tracé sur une surface paramétrée ;

– repère de Darboux ; courbure normale (dans une direction) : calcul au moyen d’un repère de Frenet d’une courbe sur la surface et théorème de Meusnier ;

– directions principales et courbures principales, th´eor`eme d’Euler.

Objectifs :Introduction à la géométrie différentielle.

(27)

Structures alg´ ebriques

SA3 (3 ECTS, coef. 1)

Parcours pouvant intégrer cette UE :Mathématiques, Mathématiques et Informatique

Programme des enseignements Groupes

– structure de groupe ; sous-groupe, intersection de sous-groupes, groupe produit ; morphisme et isomorphisme de groupes ; noyau et image d’un morphisme ;

– division eulidienne dansZ; sous-groupes deZ, pgcd, ppcm ;

– groupe symétrique, transposition, cycle ; décomposition d’une permutation en produit de cycles à supports disjoints (on pourra admettre l’unicité) ;

– signature d’une permutation, groupe altern´e.

Anneaux et corps

– structure d’anneau ; sous-anneau, morphisme et isomorphisme d’anneaux ; groupe des inversibles d’un anneau unitaire ;

– corps commutatif, sous-corps ; morphisme ; exemples de sous-corps deC. Polynômes à une indéterminée

– polynome à une indéterminée sur un corps commutatifK, anneauK[X] ; fonction polynôme ; degré d’un polynôme non nul, multiplicativité du degré ;

– diviseur et multiple, division euclidienne ; pgcd ;

– relation de Bézout ; polynômes premiers entre eux ; théorème de Gauss ;

– division par X−a, racine d’un polynˆome ; un polynôme de degré n a au plus n racines ; énoncé du théorème de d’Alembert-Gauss ;

– relations entre coefficients et racines ;

– polynôme dérivé ; racine multiple dans le casK⊂C; formule de Taylor ;

– polynôme irréductible ; polynômes irréductibles surC, sur R, et exemples de polynômes irréductibles surQ; décomposition en produit de polynômes irréductibles.

Corps des fractions rationnelles

– fraction rationnelle à une indéterminée sur un corps commutatifK, corpsK(X) ; degré d’une fraction rationnelle non nulle ; fonction rationnelle ;

– éléments simples ; décomposition en éléments simples (on pourra admettre l’unicité) ; pratique de la décomposition surC, et surRdans les cas les plus simples.

Complément d’algèbre linéaire

– espace vectoriel dual ; base duale (en dimension finie) ; transposition ; retour sur les systèmes d’équations linéaires.

Objectifs :acquisition des structures fondamentales de l’alg`ebre.

(28)

Unit´ es d’enseignement en S4

Alg` ebre et analyse fondamentales II

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1,S2,S3 Mathématiques

Programme des enseignements Int´egrale double

– fonction intégrable sur un domaine borné convenable de R² et notion d’aire (pas de théorie) ; calcul d’une intégrale double par intégrales simples successives (admis) ;

– changement de variables pour les coordonn´ees polaires.

S´eries de fonctions

– s´erie de fonctions convergente ; convergence uniforme et convergence normale ;

– théorèmes de passage à la limite terme à terme, de continuité de la somme, d’intégration terme à terme et de dérivabilité de la somme ;

– exemples d’utilisation de la transformation d’Abel ;

– séries entières, rayon de convergence ; intégration et dérivation terme à terme ; produit de deux séries entières ;

– développement des fonctions usuelles, fonctions développables en série entière.

Intégrales à paramètre

– intégrale (à paramètre réel) sur un segment : continuité et dérivation sous le signe somme ; – intégrale impropre à paramètre : continuité et dérivation sous le signe somme.

Forme bilin´eaire sym´etrique et forme quadratique (surR)

– forme bilinéaire symétrique, forme quadratique, identité de polarisation ; vecteurs orthogonaux, orthogonal d’un sous-espace ; forme non dégénérée ;

– (en dimension finie) matrice d’une forme bilin´eaire dans une base, expression matricielle ; formule de changement de base ;

– (en dimension finie) décomposition d’une forme quadratique en une somme de carrés de formes linéaires indépendantes ; existence et recherche de bases orthogonales.

Espace euclidien

– produit scalaire, norme euclidienne ; inégalité de Cauchy-Schwarz ; théorème de Pythagore ; – sous-espaces orthogonaux ; projection et symétrie orthogonale ;

– (en dimension finie) base orthonormée, coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée (expression du produit scalaire et de la norme) ; orthonormalisation de Gram-Schmidt ;

– isom´etrie d’un espace euclidien de dimension finie ; matrice orthogonale ; groupe orthogonal ; classification des matrices orthogonales de taille 2 ; rotation et sym´etrie vectorielle en dimension 2 ou 3.

Endomorphisme sym´etrique d’un espace euclidien

– adjoint d’un endomorphisme d’un espace euclidien, matrice de l’adjoint ; endomorphisme sym´etrique ;

(29)

– diagonalisation des matrices symétriques réelles dans le groupe orthogonal ; recherche d’une base or- thonormée orthogonale pour une forme quadratique donnée ; recherche des axes d’une ellipse ou d’une hyperbole.

Objectifs :Outils fondamentaux de l’analyse, alg`ebre des espaces euclidiens ou hermitiens.

(30)

Langage C

LC4 (6 ECTS, coef. 2)

Pr´e-requis : Initiation `a l’informatique (IF1), Concepts informatiques (CI2)

´ etudes.

S’agissant d’un premier cours sur le langage C, l’accent sera tout particuli`erement mis sur les pointeurs.

D’un point de vue algorithmique, on réalisera ici des implémentations de structures de données classiques (pile, file, arbre). Par ailleurs, on étudiera un certain nombre de concepts et d’outils de développement.

– notion d’expression ; traitements booléens et opérateurs spécifiques (décalages, opérations bit à bit) ; – structures de contrôle ;

– tableaux, structures et unions, d´efinition de nouveaux types ; – fonctions et passage de param`etres ;

– classes d’allocation et visibilit´es des variables ;

– pointeurs, arithm´etique sur les pointeurs et allocation dynamique ; – pointeurs sur fonctions ;

– modularité, édition de liens, bibliothèque standard ;

– concepts et outils de développement : modularité (compilations séparées, éditions de liens, construction de bibliothèques), configurateur (make), mise au point (utilisation d’un débogueur tel que gdb).

Objectifs : Apprendre `a programmer en C et maˆıtriser un certain nombre d’outils de d´eveloppement et de mise au point d’un programme.

(31)

Automates finis

AF4 (6 ECTS, coef. 2)

Pré-requis : Initiation à l’informatique (IF1), Types de données et objets (TO2), et notions d’algèbre acquises dans les différents enseignements des semestres précédents.

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Informatique

Parcours pouvant int´egrer cette UE :Math´ematiques et Informatique, tout autre parcours,

`

a l’appr´eciation du directeur des ´etudes.

Programme des enseignements – mots et produit de concat´enation, mono¨ıde libre ;

– langages, opérations ensemblistes, produit, passage à l’étoile ;

– repr´esentations des langages (descriptives, par expression, par machine, par grammaire), classification des familles de langages ;

– expressions rationnelles, automates déterministes et non déterministes, automates de Thompson ; – théorème de Kleene : équivalence des représentations par expressions rationnelles et par automates finis ; – algorithmes : déterminisation, minimisation, construction d’un automate à partir d’une expression ra-

tionnelle ;

– calcul de r´esiduels ; – lemme d’it´eration ;

– r´ealisation d’un projet ou d’un ensemble d’outils de manipulations des automates.

Objectifs : Savoir manipuler les objets présentés, illustrer leur utilisation pratique et connaˆıtre les résultats théoriques de base. Développer des outils de manipulation de ces objets.

(32)

Langages de script

LS4 (3 ECTS, coef. 1)

Pr´e-requis : Des notions sur les syst`emes d’exploitation (IS1), la programmation et les objets (IF1 et TO2)

`

L’accent sera mis sur la programmation de scripts dans un langage particulier tel par exemple que Python ou Perl qui intègre un certain nombre de paradigmes soit déjà rencontrés par ailleurs, soit plus nouveaux pour les étudiants (programmations impérative, orientée objets ou fonctionnelle, typage dynamique, gestion de la mémoire par technique de ramasse-miettes et exceptions).

Objectifs : Cet enseignement vise à élargir la vision que les étudiants ont pu acquérir dans des enseignements précédents de la programmation dans des langages interprétés (shell-scripts simples en S1 ou de modules PHP du côté d’un serveur Web en S2)

(33)

El´ ements d’algorithmique

EA4 (3 ECTS, coef. 1)

Pré-requis : Initiation à l’informatique et à la programmation (IF1), Types de données et objets (TO2), éléments de combinatoire (EC3)

`

Résumé et objectifs : Cet enseignement vise à présenter au travers d’exemples simples l’approche algorithmique de la résolution de problèmes simples et à sensibiliser les étudiants à l’analyse et la comparaison de solutions à ces problèmes en termes de complexité en espace et en temps.

(34)

Math´ ematiques discr` etes

MD4 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1, S2, S3 mathématiques

Parcours pouvant intégrer cette UE :Mathématiques, Mathématiques et Informatique

Les Mathématiques discrètes constituent un domaine en pleine expansion incluant la combinatoire, l’algorithmique, la recherche opérationnelle et la théorie des graphes et des arbres. Elles trouvent des applications importantes en informatique, dans la théorie des langages et des automates, dans les sciences de la vie,entre autres. On présentera les méthodes principales à partir de nombreux problèmes.

– Dénombrement : suites de nombres, depuis le binôme jusqu’à Fibonnacci et aux suites hypergéométriques, le rôle des fonctions génératrices,

– Arbres et Graphes : propriétés élémentaires des graphes, des arbres, optimisation dans les arbres pondérés (méthode du simplexe, circuits eulériens),couplage,coloriage ,théorie de Ramsey.

– Etude combinatoire des groupes de permutations, propriétés génériques et méthodes probabilistes en combinatoire.

Objectifs :Acquérir des compétences dans des domaines porteurs comme la théorie des graphes et des arbres.

(35)

Probabilit´ es et statistiques

PS4 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal

Pré-requis :il est nécessaire de connaˆıtre au moins les séries numériques, les intégrales impropres, les intégrales doubles.

Parcours pouvant intégrer cette UE : Mathématiques, Mathématiques et Informatique, et tout autre parcours, à l’appréciation du directeur des études.

1. Modèle probabiliste associé à une expérience aléatoire (espace fondamental, événements, probabi- lité). Cas des espaces fondamentaux finis et probabilités uniformes : combinatoire

2. Variables aléatoires et lois de variables : cas discret, discret réel, réel continu en unidimensionnel.

Fonction de r´epartition, densit´e.

Variables bidimensionnelles : lois jointes, lois marginales dans le cas discret et dans le cas continu.

3. Conditionnement, ind´ependance

4. Variables numériques : espérance, variance, inégalité de Markov, inégalité de Bienaymé-Tchébychev, loi faible des grands nombres.

Enoncé du théorème de la limite centrale, sans preuve.

5. Modèle statistique associé à une expérience aléatoire (espace fondamental, événements, famille de probabilités indexées par un paramètre réel) : quelle connaissance sur le paramètre apporte le résultat de l’expérience ?

- notion d’´echantillon d’une loi, vraisemblance d’un ´echantillon

- estimateur ponctuel d’un param`etre (estimateur empirique, estimateur du maximum de vraisemblance), qualit´es des estimateurs (biais, risque quadratique)

- estimation par intervalle d’un paramètre réel : intervalle de confiance, niveau de confiance (ceci est abordé dès la seconde dans les thèmes statistiques)

- test d’une hypothèse simple contre une alternative : décision, erreurs de décision, niveau, statistique du test. Trois exemples : test sur le paramètre d’une loi de Bernoulli, test sur la moyenne d’une loi normale, test duχ²d’adéquation dans le cas discret fini (vu en Terminale), test duχ²d’indépendance dans le cas discret.

Objectifs :Montrer que la théorie des probabiltés, même à un niveau élémentaire et en admettant certains théorèmes, permet d’apporter des connaissances certaines dans une situation où il y a de l’aléa.

(36)

Groupes et arithm´ etique

GA4 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : S1, S2, S3 Mathématiques

Programme des enseignements Relation d’´equivalence

– d´efinition, classes d’´equivalence, partition d’un ensemble ; exemples ;

– ensemble quotient, projection canonique, passage au quotient d’une application.

Arithm´etique dans Z

– multiples et diviseurs, division euclidienne, pgcd, ppcm ; relation de Bézout ; théorème de Gauss ; résolution de l’équationax+by=cdansZ;

– congruences.

Groupes

– groupe, sous-groupe, morphisme et isomorphisme de groupes ; groupe produit ; groupe engendr´e par un

´ el´ement ;

– ordre d’un ´el´ement ; groupe cyclique ;

– classes modulo un sous-groupe, théorème de Lagrange ; sous-groupe distingué, groupe quotient et passage au quotient d’un morphisme ;

– goupeZ/nZet ´etude des groupes cycliques ; – classes de conjugaison.

Anneaux et corps commutatifs

– anneau commutatif unitaire, sous-anneau, morphisme et isomorphisme d’anneaux ; anneau produit ; groupe des inversibles ; anneau quotientA/(a) et passage au quotient d’un morphisme ;

– anneauZ/nZ; isomorphisme du théorème chinois ; la fonction d’Euler ; – caractéristique d’un corps ; corpsFp; le groupe des carrés dans (Fp)^∗;

– SiKest un corps fini, alors le groupeK^∗est cyclique ; application à des critères de primalité.

Construction de corps

– polynômes irréductibles ; irréductibles deR[X], deC[X], exemples de polynomes irréductibles surF^p; – corps L = K[X]/(P), où K est un corps (commutatif) et P ∈ K[X] est irréductible ; dimension de

l’espace vectorielL surK;

– exemples de corps finis et de corps de nombres.

Objectifs : Approfondir la notion de groupe. En donner des exemples classiques et des applications en arithmétique. Ces notions, fondamentales en mathématiques, apparaissent dans divers concours de recrutement et sont couramment utilisées en Informatique (cryptologie) et en Chimie (cristallographie) par exemple.

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Introduction ` a la logique math´ ematique

LO4 (6 ECTS, coef. 2)

Parcours pouvant intégrer cette UE :Mathématiques, et tout autre parcours, à l’appréciation du directeur des études.

– Fonctions monotones sur l’ensemble des parties d’un ensemble. Théorème de point fixe. Application aux définitions et raisonnement par induction.

– Calcul propositionnel. Preuves par induction sur l’ensemble des formules. Notions de satisfaction et de conséquence. Méthode de réfutation.

– Systèmes de déduction : axiomes et règles. Exemples : logique intuitioniste et logique classique. Déduction naturelle.

– Méthode des tableaux. Algorithme pour déterminer si une formule est conséquence d’un ensemble (fini) de formules. Correction et complétude de la méthode.

– M´ethode de Davis-Putnam. Algorithme pour d´eterminer si une formule sous forme normale conjonctive est satisfaisable.

– Un exemple de langage du 1er ordre : le langage de l’Arithm´etique.

Objectifs :Maˆıtriser les notions logiques de base (induction, d´eduction, m´ethodes constructives).

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Simulation num´ erique

SN4 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : L1 Mathématiques

Programme des enseignements En cours d’´elaboration.

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Projet pr´ e-professionnalisant PP2

PP2 (3 ECTS, coef. 1)

Modalités d’évaluation : Projet avec compte-rendu écrit et soutenance orale.

Pr´e-requis :

Programme des enseignements Elaboration d’un projet professionnel personnel .´

– Entretien individuel.

– ´Elaboration de CV.

– Pr´eparation d’un entretien d’embauche.

– Analyse et synth`ese de documents – Entraˆınement `a l’argumentation – Prise de parole

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Unit´ es d’enseignement en S5

Alg` ebre

U1MC35 (10 ECTS, coef. 4)

Parcours int´egrant obligatoirement cette UE : Math´ematiques et Informatique

´ etudes

Théorie des groupes : groupes opérant, sous-groupes, quotients, produits, homomorphismes, parties génératrices, groupes symétriques, groupes abéliens de type fini. Anneaux : caractéristique, produit, idéaux, anneaux intègres, lemme chinois, modules, anneaux principaux. Polynômes à coefficients dans un anneau. Corps : extensions de corps, extensions monogènes, corps de rupture, corps de décomposition d’un polynôme, corps finis. Géométrie : espaces affines, barycentre, groupe affine, orthogonalité, isométrie du plan et de l’espace, groupes finis d’isométries de l’espace, groupes de matrices sur les corps finis.

Objectifs :les bases de l’alg`ebre, en vue notamment de l’informatique.

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Logique

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : L1, L2 Mathématiques Informatique

´ etudes.

– Théorie des Ensembles : Les axiomes de Zermelo ; Définitions des objets ensemblistes usuels ; Définition deN, l’ensemble des entiers ; Le Principe d’Induction ; Propriétés deN; Définition de l’ordre usuel sur N; Fonctions définies par récurrence sur N Propriétès démontrées par récurrence sur N

– La syntaxe du calcul propositionnel - Le théorème de Lecture Unique : Arbre d’une formule ; Notion de sous-formule ; substitution dans une formule ; Méthode des Poids (critère de Rosenblum) ;

– La sémantique du calcul propositionnel : Distributions de valeurs de vérité ; Point de vue local : le Théorème de la Forme Normale ; Systèmes complets de connecteurs (exemple : IfThenElse, vrai, faux ). Point de vue global : notion de formule et d’ensembles de formules satisfaisables ; La notion de conséquence sémantique ; Le Théorème de Compacité (preuve dans le cas P dénombrable).

– Définition des fonctions et des ensembles primitifs récursifs. Notion de fonction calculable. La fonction d’Ackerman Introduction à la complexité algorithmique (modèle de calcul et ressources en temps, en espace).

– Calcul des Prédicats : la syntaxe Le langage du calcul des prédicats ; Les termes, les formules atomiques, formules ( définition par en haut et par en bas ..), variables libres et liées, formules closes.

– Calcul des Prédicats - la sémantique : Définition de L-structures ; Notion de satisfaction, notion de théorie consistante ; Utilisation des quantificateurs. Mise sous forme prénexe ; Quantificateurs relativisés ; Mise sous forme de Skolem ; Enoncé du théorème de compacité ;

– Calcul Propositionnel - conséquence syntaxique : Forme clausale. Un exemple de règle de déduction : la règle de coupure. Algorithme de décision pour la satisfaction d’ensembles de clauses ; Méthode de Davis-Putnam, évaluation de complexité dans le pire des cas ; Cas particuliers (2-SAT, Horn-SAT).

– Calcul des prédicats - conséquence syntaxique : Problème de l’unification de deux termes ; Algorithme d’unification ; Méthode de Résolution ; Enoncé d’un théorème de complétude ;

– Exemples d’applications (sujets de projets) : Ordered Binary Decision Diagrams (OBDD) ; Sat-Solvers.

Objectifs :Maˆıtriser le langage mathématique, la théorie des ensembles et les règles du raisonnement.

Appliquer ces comp´etences dans le cadre d’un projet utilisant l’informatique.

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Algorithmique

(6 ECTS, coef. 2)

Modalit´es d’´evaluation : mini projet commun avec programmation, plus examen final

Pré-requis : Algorithmique de base, connaissances élémentaires en programmation et connaissance d’un langage de programmation (des connaissances élémentaires de Java sont bienvenues) Parcours intégrant obligatoirement cette UE : Mathématiques et Informatique

´ etudes

Ce cours est une introduction à l’algorithmique. Il ne couvre qu’une petite partie de l’algorithmique qui est un vaste domaine. Il aborde cependant les structures fondamentales. Les sujets abordés pendant ce cours se répartissent en trois grands thèmes.

Recherche de motifs dans un textes : algorithme na¨ıf, algorithme de Morris et Pratt, algorithme de Knuth, Morris et Pratt, algorithme de Boyer et Moore

Arbres : parcours en largeur, programmation des parcours en profondeur de mani`ere non r´ecursive, arbres rouges et noirs

Graphes : repr´esentations, parcours en largeur, parcours en profondeur, tri topologique, composantes fortement connexes, flots

Autres : hachage, transform´ee de Fourier rapide Objectifs :maˆıtriser les bases de l’algorithmique

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Programmation orient´ ee objet

PO5 (6 ECTS, coef. 2)

Modalités d’évaluation : mini projet commun avec programmation, plus examen final Pré-requis : Connaissance élémentaire de java (classes sans héritage)

´ etudes

Programme des enseignements Principes généraux de la programmation orientée-objets :

classes et objets ; h´eritage et liaison dynamique ; classes abstraites ; interfaces ; classes internes Exceptions ;

Entr´ees-sorties ;

Collections et itérateurs ; Généricité ;

Processus l´egers (threads)

Objectifs :maˆıtriser les principes généraux de la programmation orientée objet.

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Unit´ es d’enseignement en S6

Analyse

Modalités d’évaluation : contrôle continu et examen terminal Pré-requis : L1,L2 mathématiques - Informatique

´ etudes

Espaces vectoriels normés. Espaces métriques. Ouverts. Continuité ; convergence des suites. Notions de compacité et de complétude. Théorème du point fixe. Intégration dans Rn : Rappels sur la convergence des séries et l’intégrale de Riemann. Théorèmes de Lebesgue et Fubini. Espace préhilbertien, projection orthogonale sur un convexe complet, supplémentaire orthogonal, dual d’un espace de Hilbert. Base hil- bertienne. Egalité de Parseval-Bessel. Exemples : polynômes orthogonaux, espace des fonctions à carré sommable sur un ensemble discret, série de Fourier d’une fonction périodique (continue par morceaux).

Théorème de Weierstrass. Série de Fourier d’une fonction de classe C1.

Objectifs :maˆıtriser les bases de l’analyse