Enoncé E338 (Diophante) Les âges magiques
Je suis accompagné de six amis. Leurs âges et le mien exprimés en années sont des entiers distincts compris entre 15 et 99. Les six produits des six âges par le mien sont les six permutations d’un nombre entier de trois chiffres distincts et différents de 0. Quels sont nos sept âges ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La comparaison des produits écritsabcetacbmontre que le PGCD des deux produits divise 9|b−c|. L’âge de l’auteur en est un mul- tiple, au moins 18 puisqu’il n’y a pas d’âge<15.
Admettons que l’auteur ait 18 ans ; 18 étant pair, tous les produits sont pairs, donc tous les chiffres sont pairs et leur somme est mul- tiple de 9 comme les nombres écrits avec eux. Ce sont 4, 6 et 8, et on obtient ainsi
468 = 26×18, 486 = 27 ×18, 648 = 36×18, 684 = 38×18, 846 = 47×18, 864 = 48×18.
On aurait les 3 mêmes chiffres si l’âge de l’auteur était 18k >18 ; mais 26, 27, 36, 38, 47, 48 n’ont pas de diviseurk commun.
Si l’âge de l’auteur est impair, les 3 chiffres de somme multiple de 9 ne sont pas tous impairs : la somme devrait être impaire et n’est pas 27 (la moyenne des 3 chiffres serait 9), ni 9 = 1 + 3 + 5 car 135 n’est pas produit de deux âges≥15. La somme est 18 ; parmi les produits écrits avec les divers triplets de chiffres de cette somme, 189, 279, 387, 369, 549 ne sont pas produits de deux âges ≥ 15 ; 576 et 567 ont pour PGCD 9, qui n’est pas un âge.
Les sept âges sont donc 18 ans (l’auteur), 26, 27, 36, 38, 47 et 48 ans.
