De Bi`evre Feuille d’exercices 1 Fonctions, applications, champs Exercice 1 (a) Tracer le graphe de la fonctionf : (x, y)∈R2 7→x2+y2∈R

S3 MIMP 2008-2009

M202.MIMP ´El´ements de calcul diff´erentiel Responsable: S. De Bi`evre

Feuille d’exercices 1 Fonctions, applications, champs

Exercice 1

(a) Tracer le graphe de la fonctionf : (x, y)∈R² 7→x²+y²∈R. Tracer les lignes de niveau de la mˆeme fonction.

(b) Tracer le graphe de la fonction f :x∈R7→(xcosx, xsinx)∈R². (c) Peut-on repr´esenter graphiquement et de fa¸con diff´erente la fonction sous (b)? Comment?

(d) Consid´erer la fonction f : (x, y) ∈ R² 7→ (−y, x) ∈ R². Expliquer pourquoi on ne peut pas repr´esenter son graphe sur une feuille de papier.

Comment peut-on repr´esenter utilement cette fonction graphiquement?

(e) D´ecrire les surfaces de niveau de la fonctionf : (x, y, z)∈R³ 7→exp(x+ y²−z²)∈R.

Topologie ´el´ementaire de Rⁿ Exercice 2

D´eterminer pour chacun des ensembles suivants s’ils sont ouverts ou ferm´es, ou ni l’un ni l’autre. D´eterminer leur int´erieur et leur adh´erence.

(a)A₁ ={(x, y)∈R²|x²y² >1},

(b)A₂ ={(x, y)∈R²|x²+y²= 1, y >0}.

Exercice 3

(a) SoientB₁⊂RⁿetB₂⊂R^m des boules ouvertes. Montrer queB₁×B₂ ⊂ R^n+m est un ouvert.

(b) SoitAun ouvert deR² etB un ouvert de R. Montrer queA×B est un ouvert deR³.

Exercice 4

(a) Soit (A_n), n ∈ N, une suite de parties ouvertes de R². Est-ce que leur r´eunion est encore une partie ouverte? Et leur intersection?

(b) Mˆeme question avec une famille de parties ferm´ees.

Exercice 5

Soit A = {(x, y) ∈ R²|∃t > 0, x = t, y = sin¹_t}. Montrer que A n’est ni ouvert ni ferm´e. D´eterminerA.