HAL Id: tel-00135114
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00135114
Submitted on 6 Mar 2007
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Modélisation mathématique du transport diffusif de charges partiellement quantiques.
Nicolas Vauchelet
To cite this version:
Nicolas Vauchelet. Modélisation mathématique du transport diffusif de charges partiellement quan- tiques.. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2006. Français. �tel-00135114�
U.F.R. Mathematiques Informatique Gestion
THÈSE
pour obtenir le grade de
Doteur de l'Universite Toulouse III
Disipline : MathématiquesAppliquées
présentée etsoutenue par
Niolas VAUCHELET
Modélisation mathématique
du transport diusif de harges
partiellement quantiques.
le24novembre 2006 devant lejury omposé de
Naoufel BEN ABDALLAH Direteur de thèse Université PaulSabatier, Toulouse
Laurent DESVILLETTES Rapporteur ENS Cahan
Florian MEHATS Direteur de thése Université Rennes 1
Paola PIETRA Examinateur IMATI, Pavia, Italie
Jean-Mihel ROQUEJOFFRE Examinateur Université PaulSabatier, Toulouse
Giuseppe TOSCANI Rapporteur Université de Pavia, Italie
Mathématiques pour l'Industrie et la Physique
Equationaux Dérivées Partielles, Modélisation, OptimisationetCalul Sientique
Unité Mixtede Reherhes CNRS- UniversitéPaulSabatier Toulouse 3-INSAToulouse
UMR 5640
UFRMIG, UniversitéPaulSabatier Toulouse 3,118 routede Narbonne,31062 TOULOUSEédex,
Frane
Je souhaite en premier lieu adresser mes plus haleureux remeriements à mes deux
direteursdethèseNaoufelBenAbdallahetFlorianMéhats. J'aiénormémentappréiéles
heures de travail ensemble qui m'ont beauoup appris. Mais surtout je tiens à souligner
leurs qualités humaines, leur disponibilité et leur éoute. Je tiens aussi à les remerier
pourleur soutienet laonane qu'ilsm'ontaordée. J'ai toujoursbénéié grâe àeux
des meilleursonditions de travailqui soient.
J'adresse tous mes remeriements à Messieurs les Professeurs Laurent Desvillettes et
Giuseppe Tosani de l'honneur qu'ils me font en aeptant de juger ette thèse et d'en
être lesrapporteurs.
JeremerieMonsieurJean-MihelRoquejoreetMadamePaolaPietrad'avoiraepté
de fairepartie du jury de thèse.
Lestroismois passésàPavieaulaboratoireIMATIm'ontété trèsagréableàlafoisau
point de vue sientique et aussi humain. Je remerie haleureusement Paola Pietra de
m'avoir enadré pendant e temps et de son aeuil. Je la remerie vivement de m'avoir
permis de déouvrir un pays vraiment merveilleux. Mais je tiens surtout à souligner sa
grande gentillesse, sapatiene et sadisponibilité.
Les heures de travail ave Mohammed Lazhar Tayeb m'ont permis de débloquer de
nombreux points et d'avaner onsidérablement dans mes travaux de reherhe. Je l'en
remerie.
Claudia,ave tondépartlelaboaperduunepartiede sonentrain. Jeteremeriepour
ton aide préieuse, toiqui est bien ordonnée elaa du tefaire bizarrede mevoirtoujours
à l'arrahe. Heureusement quetu m'as dépanné bien des fois.
Un grand meri à tout le laboratoireMIP pour l'ambiane joyeuse et détendue qui y
règne. Enpartiulier,meriàChristinepoursagentillesseetsagrandeompétene, meri
à Philippe Laurençot pour des disussions instrutives sur les espaes d'Orliz, meri à
Fabrie sans qui je n'aurais eu auun résultat numérique. Meri aussi à tous les autres
thésards : Mikael qui a supporté régulièrement les odeurs de mon goûter dans le bu-
reau, Mar, Sami, Raymond, Niolas, Véronique et Laetiia qui a toujours des histoires
extraordinaires a raonté.
C'est l'heure du repas. Heureusement qu'il y a la bande du pdb pour que la pause
devienne un agréable moment en leur ompagnie. Meri don à Julien, Mehdi, Jérme.
Je rajouteaussi Vinent, Juliette,Arnaud, Marie (et Arthur), Simon, Matthieu, Thierry,
Chloé, Serge, Elodie, Delphine, Anne-Laure, Camille. Vous formez tous ensemble une
joyeuse ompagnie ave qui j'ai passé des moments inoubliables. Mais surtout meri à
Raphael qui a réussi l'exploit de me supporter tout le temps pendant es quatre années
diraijamaisassezmeriàtousesgensmerveilleuxpourleursoutienmoral,leurréonfort
et leurs onseilsdurantles heures lesplus diiles.
Jen'oubliepasaussideremerierlesamisdelonguedatepourtouslesgrandsmoments
qu'on a passéensemble. LaurentR.le roidu hampagneen qui j'aiune onaneabsolue
et toujours présent quand on abesoin de lui. Seo, leBolo, Enzo, Yann, Georges, Simon
M., Thomasles aniens de l'ENSLyonque j'espère revoirbien plus souvent dorénavant.
Le boulot terminé, rien de tel pour se vider la tête qu'une bonne séane de sport.
"Arrrggh!!" J'entendslegrosPatarrivéave sademiheurede retardhabituel. C'estparti
pour une séane énorme. Le gros David, lui, est déjà à fond. Meri à es deux ostauds
pour lesdistrations etlesbonnes partiesde rire qu'ils m'ont fourni. La salle est devenue
un peu ma seonde maison grâe àeux.
Enn et surtoutje remerie mafamille, mes onles, mes tantes, mes soeurs Christelle
et Aline et mes parents. Je ne serai jamais arrivé où je suis sans le soutien onstant de
mes parents. J'aitoujours trouvé hez eux les mots et les gestes qu'il mefallait pour me
réonforter et me donner du ourage. Je tiens à leur témoigner tout l'amour que je leur
porte.
1 Introdution générale 9
2 Les modèles de sous-bandes, du mirosopique au marosopique 29
2.1 The modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Formal diusive limit: Introdution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Formal derivation for the Boltzmann ase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Properties of the ollision operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Asymptoti expansion forthe diusivelimit . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 The 3 valleysase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 A onvergene proof of the derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Formal derivation for Fermi-Dira statistis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.1 Properties of the ollision operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2 Formal derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Partie I Existene, uniité et omportement en temps long 51 3 Le système lassique dérive-diusion-Poisson revisité 53 3.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Comportementen temps long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Convergene de l'entropie relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.2 Convergene exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.3 Remarque dans leas R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Existene des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1 Cas d'unematrie de diusion salaire . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.3 Passage àla limiteε →0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.4 Régularitéen temps long . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Théorie L2 pour le système DDSP 69 4.1 Introdutionand main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Existene and uniqueness (Proofof Theorem 4.1.2) . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Notations and strategy of the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Proof of the entropy inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.3 Proof of the Lp estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.4 Analysis of the Shrödinger-Poisson system . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.5 Proof of Theorem 4.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Long time behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.1 Convergene of the relative entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.2 Exponentialonvergene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Théorie LlogL pour DDSP pour un système isolé 99 5.1 Introdutionand main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.1 Presentation of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.3 Strategy of the proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Free energy and apriori estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 The regularized Shrödinger-Poisson system . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Existene of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4.1 Existene of solutionsfor the regularized system . . . . . . . . . . . 112
5.4.2 Passing tothe limitε→0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5 Long time behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Partie II De Boltzmann vers DDSP 119 6 Le as de la dimension 2 121 6.1 Introdutionand main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.1 Presentation of the system of equations . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.2 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.2 A priori estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2.1 Properties of the ollision operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2.2 A priori estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.3 Analysis of the quasistatipart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 Diusive limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4.1 Convergene of the density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4.2 The limitequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.5 The trunated Boltzmann equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.6 Existene for the overall problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7 Le as de la dimension 3 157 7.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2 The Shrödinger-Poisson system for ρ inLlogL . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.3.1 Convergene of the density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.3.2 The limitequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Part III Simulations numériques 167 8 Simulation d'un transistor double grille ave le modèle DDSP 169 8.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.2 Presentation of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2.1 The subband deompositionmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2.2 The diusiveregime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.3 Numerialimplementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.3.1 The modeled devie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.3.2 General sheme of the Gummeliterations. . . . . . . . . . . . . . . 173
8.3.3 The three valleys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.4 Numerialresults . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9 Couplage de DDSP ave un modèle omplètement quantique 181 9.1 Introdution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.2 The oupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.2.1 The quantum region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.2.2 The lassial region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.2.3 The onnetion onditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.3 Numerialresolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.3.1 Algorithmiapproah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.3.2 Numerial results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Appendix 193 A Tehnial inequalities 195 A.1 Young inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.2 Trudinger inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
A.3 Csiszàr-Kullbak inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
B Spetral properties of the Hamiltonian 197
