MAT-2910:C HAPITRE 1

MAT-2910: C ^HAPITRE 1

A

’

T

1 Sources d’erreurs 2

1.1 Introduction . . . 2

1.2 Types d’erreurs. . . 3

1.3 Erreur absolue, erreur relative . . . 5

2 Représentation des nombres en machine 6 3 L’arithmétique flottante 9 3.1 accumulation des erreurs d’arrondi . . . 10

3.2 Erreurs d’arrondi sur une somme . . . 10

3.3 Règle de Horner . . . 12

3.4 Phénomènes de compensation (cancellation) . . . 12

3.5 Instabilité numérique . . . 13

4 Erreurs de troncature 15 4.1 Développement de Taylor d’une fonction à une variable . . . 15

4.2 Développement de Taylor d’une fonction à deux variables . . . . 15

1 S

’

1.1 I

•On ne peut pas résoudre analytiquement tous les problémes mathéma- tiques issus des sciences de l’ingénieur.

On peut citer par exemple :

– Calcul d’une primitive de certaines fonctions.

Exemple 1.1 :

Z π 0

ln(cosx)²d x

– Calcul d’une solution explicite de certaines équations non linéaires Exemple 1.2 :

x =e^x

– Résoudre certaines équations différentielles ordinaires Exemple 1.3 :

y⁰(x) =sin(y(x))

– Résoudre certaines équations aux dérivées partielles

•Dans un tel cas, on remplace la résoulution mathématique du problème par son approximation numérique en utilisant les techniques d’analyse numé- rique.

•L’analyse numérique permet d’obtenir au moyen d’un algorithme la solu- tion approchée d’un problème mathématique posé et ceci avec une précision désirée et après un nombre fini d’opérations élémentaires.

•La stratégie générale consiste à transformer un probléme compliqué en un probléme plus simple. Par exemple

– Nonlinéaire−→linéaire (Linéarisation) – Continu−→discret (Discrétisation)

•Le résultat final et son degré de précision vont dépendre : – des algorithmes utilisés

– de leur mise en œuvre sur ordinateur

1.2 T

’

Les erreurs introduites dans la résolution d’un modèle mathématique pro- viennent de différentes sources :

1. Les erreurs de modélisation : pour être traité numériquement, un pro- blème mathématique est toujours simplifié par rapport à la réalité. (Ex- périmentation, simplification,· · ·)

Exemple 1.4 : Assimiler par exemple la terre de forme sphérique. Or le rayon de la terre est r≈6357km à l’équateur et r≈6378km aux pôles.

Exemple 1.5 : Problème du pendule θ⁰⁰(t) =−α

mθ⁰(t)− g

l sinθ(t)

Pour les petites oscillations on peut écrire sin(θ(t)) ≈ θ(t). On obtient alors l’équation différentielle linéaire

θ⁰⁰(t) =−α

mθ⁰(t)− g lθ(t)

2. Erreurs sur les données : Les données expérimentales sont entachées d’erreurs.

3. Les erreurs d’arrondi: qui proviennent de la représentation des nombres dans un calculateur.

4. Les erreurs d’approximation et de discrétisation: – calcule d’une intégrale à l’aide d’une somme finie, – une dérivée à l’aide de différences finies

– la somme d’une série infinie à l’aide d’un nombre fini de ses termes 5. Les erreurs humaines: programmation.

Soit x un nombre réel et soit ˜x une approximation de x. Pensez à x =π par exemple. Soit f(x) un résultat désiré (évaluation d’une fonction en un point) et soit ˜f(x˜)la valeur calculée. Alors on peut écrire

Erreur totale = f(x)−f˜(x˜)

= (f(x)−f(˜x))

| {z }

Erreur due aux données

+ (f(x˜)−f˜(x˜))

| {z }

Erreur de calcul

Erreur de calcul = Erreurs d’arrondi +Erreurs de troncature

Erreur d’arrondi = Arithmétique exacte −Arithmétique flottante

Erreur de troncature = Résultat exact −Résultat produit par un algorithme

1.3 E

,

•En général dans tout calcul numérique, on remplace un nombre exact x par un nombre approché ˜x légèrement différent.

•Si ˜x <x, on dit que ˜x est une valeur approchée dex par défaut. Si ˜x >x, on dit que ˜x est une valeur approchée de x par excès. Dans les deux cas on note ˜x≈x.

Définition 1.1 On appelle erreur absolue d’un nombre approché ˜x la valeur ab- solue E_{a bs}(x) de la différence entre le nombre axact x et le nombre approché donné :

E_{a bs}(x):=|x−x˜|

L’erreur relative E_{r el}(x)d’un nombre approchéx est le rapport de l’erreur absolue˜ E_{a bs}(x)de ce nombre et de la valeur absolue du nombre exact

E_{r el}(x):= E_{a bs}(x)

|x |

Le pourcentage d’erreur est l’erreur relative multipliée par 100.

L’erreur relative fournit une information plus pertinente sur la grandeur réelle de l’erreur.

Exemple 1.6

x=π=3.141592· · ·,x^∗=3.1419

Erreur absolue=3.073464102070211×10⁻⁴ Erreur relative=9.783140085199355×10⁻⁵ Exemple 1.7

y =10⁶,y^∗=999996 Erreur absolue=4.0×10⁰ Erreur relative=4.0×10⁻⁶ Exemple 1.8

z=0.000012,z^∗=0.000009 Erreur absolue=3.0×10⁻⁶ Erreur relative=25.0×10⁻²

2 R

Dans un ordinateur un nombre réel est représenté par un nombre fini de caractères, fixé à l’avance, qui dépend de l’architecture de la machine. Ainsi tous les nombres entiers ou réels ne peuvent pas être représentés.

On distingue :

– Les nombres entiers dont la représentation et la manipulation sont celles de l’arithmétique usuel.

– Les nombres flottants qui représentent les nombres rées. Ils sont repré- sentés de façon approximative dans la mémoire de la machine.

Définition 2.1 Soit x un nombre réel. Son développement dans une base b∈N donnée est

x =± X∞

i=1

a_ib⁻ⁱ

! b^e

Sa représentationen virgule flottante à t chiffres dans une base donnée b ∈ N,b≥2est donnée par le nombre

˜

x := (−1)^sb^e

t

X

i=1

a_ib⁻ⁱ = (−1)^smb^e

On note fl(x) = ˜x où

Mantisse : m=

t

X

i=1

a_ib⁻ⁱ=a₁b⁻¹+a₂b⁻²+· · ·+a_tb^−t Exposant : e∈Z,L<e<U, L<0,U >0

Signe : s∈ {0, 1}

a_i∈N, 0<a₁<b, 0≤a_i <b,i=2,· · ·( normalisation) t= nombre de chiffres utilisés pour représenter la mantisse Le nombre de nombres flottants normalisés est donné par

2(b−1)b^t−1(U−L+1) +1 Exemple 2.1 x =2.4=2+0.4=0.2·10¹+0.04·10¹

2.4=10¹(2·10⁻¹+4·10⁻²) =0.24·10¹,(b=10,e=1,t=2,m=0.24) Il existe deux façons d’obtenir l’approximation fl(x)à partir du développe- ment de x dans la base b:

– Partroncature: on garde lest premiers chiffres du développement.

– Pararrondi: On ajoute ₂^b au(t+1)-ème chiffre du développement et on tronque.

Exemple 2.2

x =123,y=45.6,z=45.67

Pour une arithmétique flottante qui utilise t=3,b=10on a : fl(x) =0.123·10³,fl(y) =0.456·10²,fl(z) =0.457·10² Dans le standard IEEE 754 utilisé par Matlab, on a b=2 et : – en simple précision : t=24,L=−125,U =128

– en double précision :t=53,L=−1021,U =1024

Dans le standard IEEE 754 utilisé par Matlab, on a b = 2. De plus en simple précision on a t =24,L=−125,U =128 et en double précision on a t=53,L=−1021,U =1024.

Théorème 2.1 Dans une arithmétique à t chiffres avec troncature on a :

|x−fl(x)|

|x| ≤b^1−t Dans une arithmétique à t chiffres avec arrondi on a :

|x−fl(x)|

|x | ≤1 2b^1−t On note

εm :=b^1−t(epsilon machine) Dans Matlabεm =eps .

>> eps

>> ans =

2.2204e-016

3 L’

Le système numérique discret des machines est source d’erreurs. Il faut donc prendre des précaustions pour qu’une accumulation d’erreurs aussi petite soit-elle ne vienne pas fausser le résultat final.

Exemple 3.1

>> x = 2.0E+29;

>> y = 1.0E-9;

>> z1 = (y+(x-x))/y z1 =

1

>> z2 = ((y+x)-x)/y z2 =

0

On désigne par◦l’une des opérations suivantes :+,−,×,÷et on définit xýy =fl(fl(x)◦fl(y))

Deux expressions algèbriquement équivalentes peuvent fournir des résul- tats différents sur une machine et que l’ordre des opérations peut changer les résultats.

• x⊕(y⊕z) 6= (x⊕y)⊕z 6= (x⊕y)⊕(x⊕z) Exemple 3.2 t=4,b=10avec troncature.

x =0.1234×10¹,y=0.3429×10⁰,z=0.1289×10⁻¹ On a

x⊕(y⊕z) =0.1489×10¹,(x⊕y)⊕z=0.1588×10¹

• x⊗(yz) 6= (x⊗y)z 6=x⊗(yz)

3.1

’

A=

10⁴

X

k=1

1 10 = 1

10+· · ·+ 1 10

Le nombre réel ₁₀¹ =0.1 en base 10, mais dans la base 2 il s’écrit (0.1)10= (0.00011001100110011· · ·)2

>> s=0;

>> for k=1:10000 s=s+0.1;

end

>> format long

>> s s =

1.000000000000159e+003

Et la valeur exacte estA=10³.

3.2 E

’

Dans une sommation de réels, l’erreur peut être minimisée lorsqu’on somme en premier les termes ayant la plus petite valeur absolue.

Exemple 3.3

Somme=a₀+a₁+· · ·+a_n, avec a₀=1,a₁=a₂=· · ·=a_n=10⁻¹⁶ Pour n=10¹⁶on a exactement Somme=2mais numériquement on a

(((a₀⊕a₁)⊕a₂)⊕ · · ·)⊕a_n) =1 a₀+ (a₁⊕(a₂⊕ · · ·(a_n−1⊕a_n))) =2

On doit donc sommer par ordre croissant une série à termes positifs.

Exemple 3.4

S=1+ Xn

k=1

1 k+k²

On a

S=2− 1 n+1 et donc pour n assez grand S ≈2.

On pose

S₁ =1+¹₂ +· · ·+_n+¹_n2

S₂ =_n2¹+n +· · ·+¹₂+1

3.3 R

H

On s’intersse au[problème de l’évaluation d’un polynôme P(x) =a₀+a₁x+· · ·a_nxⁿ

Pour évaluer ce polynôme au point x on utilise l’algorithe de Horner sui- vant : on réecrit P(x)sous la forme

P(x) =a₀+x(a₁+x(a₂+· · ·=x(a_n−1+x a_n))) et on pose p_k=a_k+a_k+1x+· · ·+a_nx^n−k. Alors on a

P(x) =p₀

où

p_n =a_n

p_k−1 =a_k−1+x p_k, 1≤k≤n

3.4 P

(

)

Ces phénomènes se produisent lorsqu’on veut soustraire des nombres très voisins.

Exemple 3.5 On veut calculer les valeurs des fonctions f₁(x) = 1−cosx

x² , f₂(x) = 2 sin(x/2)² x² pour des valeurs de x ≈0.

Algébriquement on a

f₁(x) = f₂(x), ∀x ∈R mais avec Matlab on a par exemple :

f₁(10⁻⁸) =0, et f₂(10⁻⁸) =0.5 A(x) =p

x+1−p

x, B(x) = 1 px+1+p

x On aA(x) =B(x), ∀x ∈R.

Numériquement on a :

A(10⁸) =5.0000×10⁻⁵, B(10⁸) =5.0000×10⁻⁵ A(10¹⁰) =4.9999×10⁻⁶, B(10¹⁰) =4.9999×10⁻⁶ A(10¹⁶) =0, B(10¹⁶) =5.0000×10⁻⁹

Exemple 3.6 Résolution de a x²+b x+c=0 On a

x₁=−b+p

b²−4ac 2a

x₂=−b−p

b²−4ac 2a

Pour éviter le phénomène de cancellation on peut utiliser l’une des méthodes suivantes :

• prendre comme x₁ la plus grande des racines et calculer x₂ par la formule x₂=c/a x₁

• onpeut écrire les formules çi-dessus un peu différemment, en remar- quqnt que

py−p

z= y−z py+p

z Exemple 3.7 Calcul approché de e⁻¹⁰

e⁻¹⁰≈

10

X

k=0

(−1)^k10^k k!

Le terme général u_k est tel que

|u_k|

|u_k−1| =10

k ≥1, k≤10

•Règle : e⁻¹⁰=_e¹10 avec e¹⁰≈ Xn

k=0

10^k k!

3.5 I

Ce phénomème se produit par exemple dans certains algorithmes itératifs.

Exemple 3.8 Calcul récurrent I_n=

Z 1

0

xⁿ

10+x n=1, 2,· · · On a

I_n=1

n−10I_n−1

ceci permet de calculer I_n par ˚’ecurrence avec

¨ I₀=log¹¹₁₀ I_n= ¹_n−10I_n−1 L’erreur sur I_n croit exponentiellement.

•L’idée içi est de renverser la récurrence en posant I_n−1= 1

10(1 n−I_n)

4 E

4.1 D

T

’

Si f ∈Cⁿ⁺¹([x,x+h])ou f ∈Cⁿ⁺¹([x+h,x])si h<0alors : f(x+h) = f(x) +h f⁰(x) +h²

2!f⁰⁰(x) +· · ·+hⁿ

n!f⁽ⁿ⁾(x) +R_n(x) avec

R_n(x) = Z x+h

x

(x+h−y)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹(y)d y

= hⁿ⁺¹

(n+1)!f⁽ⁿ⁺¹(c_x)

=O(hⁿ⁺¹)

=o(hⁿ)

oùc_x ∈]x,x+h[si h>0ou]x+h,x[si h<0.

O=" de l’ordre de ".

o=" négligeable comparé à ".

Exemple 4.1 Série de Taylorde de f(x) =e^x au voisinage de x=0: e^h=1+h+h²

2 +h³ 6e^α oùα∈]0,h[si(h>0).

1+h+^h₂² est donc uneapproximation d’ordre 3dee^x.

4.2 D

T

’

f(x+h,y+k) = f(x,y) +h f_x(x,y) +h²

2 f_{x x}(x,y) +hk f_{x y}(x,y) + +k²

2 f_{y y}(x,y) +· · ·