C HAPITRE 2

C HAPITRE 2

ÉQUATIONS NON LINÉAIRES hm@mat.ulaval.ca

T

1 Introduction 2

2 Méthode de la bissection 3

2.1 Algorithme . . . . 3 2.2 Convergence . . . . 3

3 Méthode du point fixe 5

3.1 Algorithme . . . . 5 3.2 Convergence . . . . 5

4 Méthode de Newton 10

4.1 Racines multiples d’ordre m . . . . 11

5 Méthode de la sécante 12

5.1 Convergence . . . . 12

6 Accélération de la convergence 14

6.1 Procédé d’Aitken . . . . 14 6.2 Méthode de Steffensen . . . . 15

1 I

Dans ce chapitre nous nous intéressons à la recherche de racines d’une fonc- tion d’une seule variable :

f :R−→R f(x) =0

En général les solutions explicites sontdifficiles, voirimpossible, à obtenir analytiquement.

Donc nous devons trouver desméthodes numériquesqui conduisent à des solutions approchées.

Exemple 1.1 — e^x−1=0 une solution

— e^x +1=0 pas de solutions

— x²−4 sin(x) =0 deux solutions

— x³+5x²−1=0 trois solutions

— cos(x) =0 une infinité de solutions

2 M

Théorème 2.1 Soit f :[a,b]−→R une fonction continue.

Si f(a)f(b)<0, alors il éxiste au moins un x^∗∈[a,b]tel que f(x^∗) =0. Si de plus f est strictement monotone dans[a,b], alors cette racine est unique.

2.1 A^LGORITHME On pose x₁= ^a+₂^b.

Si f(x₁) =0, alors x₁ est un zéro de f et on s’arrête. Sinon, on construira x₂ à partir dex₁ de la manière suivante :

— Si f(x₁)f(a)>0 alors f change de signe entre x₁ et bet on changea para:=x₁. On pose ensuite x₂= ^a+b₂ .

— Si f(x₁)f(a)<0 alors f change de signe entre x₁ eta et on changeb parb:=x₁. On pose ensuite x₂= ^a+₂^b.

En répétant indéfiniment cette procédure, on construit ainsi une suite(xn)^∞_n=1 qui converge versx^∗telle que f(x^∗) =0.

2.2 CONVERGENCE

Soit[a₀,b₀] = [a,b]avec f(a)f(b)<0.

Soit x_n= 1

2(b_n−1+a_n−1), n=0, 1,· · ·.

— Il exitex^∗∈[a,b]tel que :

|x^∗−x_n|≤ b−a 2ⁿ

De plus, pour atteindre la précision|x^∗−x_n|≤εil suffit de choisir n≥ ln(b−a)−ln(ε)

ln(2)

— Le dernier résultat permet de fixer a priori le nombre d’itérations nen le reliant à la précision désiréeε.

Exemple 2.1 On cherche une racine de la fonction f(x) = x²+x −6= 0sur [1, 2]

Intervalle initial : [a,b] = [1, 2]

k x f(x)

1 1.7500e+000 -1.1875e+000 2 1.8750e+000 -6.0938e-001 3 1.9375e+000 -3.0859e-001 4 1.9688e+000 -1.5527e-001 5 1.9844e+000 -7.7881e-002 9 1.9990e+000 -4.8819e-003

10 1.9995e+000 -2.4412e-003 11 1.9998e+000 -1.2206e-003 12 1.9999e+000 -6.1034e-004 13 1.9999e+000 -3.0517e-004 14 2.0000e+000 -1.5259e-004 17 2.0000e+000 -1.9073e-005 18 2.0000e+000 -9.5367e-006 19 2.0000e+000 -4.7684e-006 20 2.0000e+000 -2.3842e-006

3 M

Définition 3.1 Soit g une fonction continue sur[a,b]. On appelle point fixe de la fonction g tout point x∈[a,b]vérifiant g(x) =x.

— Soit g : [a,b] −→ [a,b] une fonction continue. Alors la fonction g(x) admet au moins un point fixe dans[a,b].

— Pour approcher les racines de f(x) =0 par la méthode du point fixe on cherche donc une fonction g telle que

f(x) =0⇐⇒g(x) =x Exemple 3.1

f(x) =x²−x−2 g(x) =x²−2, g(x) =p

x+2, g(x) =1+ 2 x g(x) = x²+2

2x−1 3.1 ALGORITHME

La méthode du point fixe consiste à construire à partir d’une approximation initiale x₀ la suite des nombresx_ntel que :

x_n+1= g(x_n), n=0, 1,· · · x₀∈[a,b]

— Choix de la fonctiong?

— La suite(x_n)converge-t-elle ?

— Si la suite converge, sa limite x^∗vérifie-t-ellex^∗=g(x^∗)?

— Comment estimer l’évolution de l’erreur e_n = x_n−x^∗ au cours des itérations ?

3.2 CONVERGENCE

— Si dans[a,b], gvérifie

(i)x ∈[a,b] =⇒g(x)∈[a,b] (ii) gune fonction continue, alors

1. gpossède au moins un point fixe x^∗∈[a,b].

2. Sigest strictement contractante, c’est à dire qu’il éxistek, 0≤k<1 tel que

∀x ∈[a,b],∀y ∈[a,b]| g(x)−g(y)|≤k|x−y | alors :

(a) x^∗est unique.

(b) ∀x₀∈[a,b], la suite(x_n)définie parx_n+1=g(x_n)convergex^∗ Si g est dérivable, il est souvent plus commode d’exprimer une condition suffisante sur la dérivéeg⁰que de vérifier directement quegest une application contractante.

— Soit g une fonction dérivable sur[a,b]. Si g⁰ vérifie | g⁰(x) |< 1,∀x ∈ [a,b], alors g est strictement contractante dans[a,b].

— Soit g:[a,b]−→Rune fonction donnée tels que : a) g est une contraction stricte sur[a,b].

b) g([a,b])⊂[a,b], c’est à dire∀x∈[a,b],g(x)∈[a,b]. Alors

1. La fonction g(x)admet un unique point fixe x^∗dans[a,b].

2. Pour tout x₀∈[a,b], la suite(x_n)n∈Ndéfinie par : x_n+1=g(xn), (n≥ 0)converge vers x^∗lorsque n−→ ∞.

Vitesse de convergence

On cherche à quantifier la vitesse de convergence de la suite x_n en compa- rant la valeur absolue de l’erreure_n= x_n−x^∗entre deux itérations successives.

— La méthode du point fixex_n+1=g(xn)est dite d’ordrersi |e_n+1|

|e_n|^r a une limite finie quandntend vers+∞.

— On dit que la suite(en)converge avec unordre de convergenceégal à r s’il existe une constanteC >0 telle que :

|e_n+1|

|e_n|^r ≈C, pour nassez grand

•r =1 l’ ordre de convergence est dit linéaire ou géométrique

•r >1 superlinéaire

•r =2 quadratique

Il est souvent délicat de déterminer un intervalle[a,b]dans lequel les hy- pothèses (a) et (b) du théorème du point fixe sont vérifiées.

— Soit g:R−→Rune fonction de classeC¹ et soit x^∗un point fixe de g tel que|g⁰(x^∗)|<1. Alors, il existe un voisinageI dex^∗tel que la suite (xn)n∈N définie parx_n+1=g(x_n)avec x₀∈I, converge versx^∗.

De plus

1. Si g⁰(x^∗)6=0, la convergence est géométrique

2. S’il existe un entierr≥2 tel que gsoit de classeC^r au voisinage dex^∗ et si

g⁰(x^∗) =· · ·=g^(r−1)(x^∗) =0, g^(r)(x^∗)6=0 alors, la convergence est d’ordrer.

Interprétation géométrique

Exemple 3.2 :

f(x) =x²+x−6=0 1.

x =g(x) = 6

x+1 ; x₀=5 2.

x =g(x) =p

6−x ; x₀=5 3.

x=g(x) =6−x² ; x₀=5 Exemple:

--- y= 6/(x+1);

x_0 =5.000000E+00

>>

k x eabsolue erelative

0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000 1 1.0000e+000 4.0000e+000 4.0000e+000 2 3.0000e+000 2.0000e+000 6.6667e-001 3 1.5000e+000 1.5000e+000 1.0000e+000 4 2.4000e+000 9.0000e-001 3.7500e-001 5 1.7647e+000 6.3529e-001 3.6000e-001 6 2.1702e+000 4.0551e-001 1.8685e-001 7 1.8926e+000 2.7760e-001 1.4667e-001 8 2.0742e+000 1.8163e-001 8.7564e-002 9 1.9517e+000 1.2255e-001 6.2790e-002 10 2.0327e+000 8.1030e-002 3.9863e-002 11 1.9784e+000 5.4312e-002 2.7452e-002 12 2.0145e+000 3.6077e-002 1.7908e-002 13 1.9904e+000 2.4109e-002 1.2113e-002 14 2.0064e+000 1.6047e-002 7.9976e-003 15 1.9957e+000 1.0709e-002 5.3661e-003 16 2.0029e+000 7.1344e-003 3.5621e-003 17 1.9981e+000 4.7585e-003 2.3815e-003 18 2.0013e+000 3.1713e-003 1.5847e-003 19 1.9992e+000 2.1147e-003 1.0578e-003

20 2.0006e+000 1.4096e-003 7.0459e-004 21 1.9996e+000 9.3981e-004 4.6999e-004 22 2.0003e+000 6.2650e-004 3.1321e-004 23 1.9998e+000 4.1769e-004 2.0886e-004 24 2.0001e+000 2.7845e-004 1.3922e-004 25 1.9999e+000 1.8564e-004 9.2822e-005 29 2.0000e+000 3.6669e-005 1.8334e-005 30 2.0000e+000 2.4446e-005 1.2223e-005

Fonction : --- y= sqrt(6-x);

x_0 =5.000000E+00

>>

k x eabsolue erelative

0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000 1 1.0000e+000 4.0000e+000 4.0000e+000 2 2.2361e+000 1.2361e+000 5.5279e-001 3 1.9401e+000 2.9598e-001 1.5256e-001 4 2.0149e+000 7.4837e-002 3.7142e-002 5 1.9963e+000 1.8657e-002 9.3460e-003 6 2.0009e+000 4.6676e-003 2.3327e-003 7 1.9998e+000 1.1667e-003 5.8341e-004 8 2.0001e+000 2.9168e-004 1.4584e-004 9 2.0000e+000 7.2920e-005 3.6460e-005

Fonction : --- y= 6-x^2;

x_0 =5.000000E+00

>>

k x eabsolue erelative

0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000

1 -1.9000e+001 2.4000e+001 1.2632e+000 2 -3.5500e+002 3.3600e+002 9.4648e-001 3 -1.2602e+005 1.2566e+005 9.9718e-001 4 -1.5881e+010 1.5881e+010 9.9999e-001 5 -2.5220e+020 2.5220e+020 1.0000e+000 6 -6.3605e+040 6.3605e+040 1.0000e+000 7 -4.0455e+081 4.0455e+081 1.0000e+000 8 -1.6366e+163 1.6366e+163 1.0000e+000

9 -Inf Inf NaN

10 -Inf NaN NaN

11 -Inf NaN NaN

12 -Inf NaN NaN

13 -Inf NaN NaN

4 M

N

f :[a,b]−→R continue et dérivable On cherche toujours à résoudre f(x) =0.

Il est évident que sih(x)est une fonction non nulle, alorsx est une solution de f(x) =0 si et seulement six est un point fixe de

g(x) =x+h(x)f(x)

La méthode de Newton consiste alors à choisir la fonctionh(x)de telle sorte que la méthode des approximations successives appliquée à la fonctiong(x)soit d’ordre deux. C’est à dire tel que g⁰(x^∗) =0.

Ceci serait le cas si on choisit par exempleh(x) =−_f0¹(x)

On a alors l’ algorithme de Newton suivant : x₀ donné x_n+1=x_n− _f^f0^(x(xⁿ_n⁾)

Exemple 4.1 f(x) =x²−a=0 x_n+1= 1

2(x_n+ a x_n) Convergence On a le résultat de convergence suivant :

Théorème 4.1 Soit f :[a,b]−→Rune fonction de classe C³ et soit x^∗∈]a,b[

un zéro de f(x).

a) Si f⁰(x^∗)6=0, alors il existe un voisinage I de x^∗telle que la suite(xn)n∈N

définie par :

x₀∈I, ∀n∈N, x_n+1= x_n− f(x_n) f⁰(x_n)

existe et converge vers x^∗de manière quadratique avec un taux de conver- gence égal à| ₂^f_f⁰⁰0^(x(x^∗∗))|lorsque f⁰(x^∗)6=0.

b) Si f⁰(x^∗) =0et f⁰⁰(x^∗)6=0, la suite(x_n)_n∈Npeut encore être définie dans un voisinage de x^∗: si elle prend la valeur x^∗, alors la construction s’arrête, sinon elle converge vers x^∗géomètriquement.

4.1 RACINES MULTIPLES D’^{ORDRE M}

Si x^∗est une racine de multiplicitémde f(x) =0, c’est à dire si f(x^∗) =0,· · ·,f^(m−1)(x^∗) =0,f^(m)(x^∗)6=0 alors on a :

Théorème 4.2 Soit x^∗une racine de multiplicité m. Alors :

1. La convergence de la méthode de Newton classique appliquée à f(x) x_n+1=x_n− f(x_n)

f⁰(x_n) est d’ ordre 1.

2. La méthode de Newton modifiée

x_n+1=x_n−m f(x_n) f⁰(x_n) converge quadratiquement.

Methode de Newton --- Fonctions :

--- y= x^2 +x -6;

y= 2*x +1;

Estimation initiale : x_0 = 5.000000E+00

Iter. x_i f(x_i)

0 5.0000000000E+00 2.400000E+01

1 2.8181818182E+00 4.760331E+00

2 2.1008717310E+00 5.145338E-01

3 2.0019560953E+00 9.784303E-03

4 2.0000007647E+00 3.823318E-06

5 2.0000000000E+00 5.844214E-13

6 2.0000000000E+00 0.000000E+00

•Interprétation géométrique:

f(x) =x²+x−6=0 ; x₀=5

Convergence atteinte enn=5 :x₅=2.000000000,ε=5.844214E−13.

5 M

f :[a,b]−→R, continue

La méthode de la sécante est une variante de la méthode de Newton.

En effet, la dérivée f⁰(x_n)est remplacée par la pente f(x_n)−f(x_n−1)

x_n−x_n−1

On obtient la méthode itérative suivante :

x₀,x₁∈[a,b],x₁6=x₀ donnés x_n+1= x_n− ^f_f^(x_(xⁿ_n^)(x₎₋ⁿ_f⁻_(x^x_nⁿ⁻¹⁾

−1), n=1, 2,· · · 5.1 CONVERGENCE

Théorème 5.1 Soit f :R−→Rune fonction de classe C² et x^∗un zéro de f(x) tel que f⁰(x^∗) 6= 0. Alors il existe un voisinage I de x^∗ tel que la suite (xn)n∈N

définie par

x₀,x₁∈I,x₁6= x₀ ∀n≥1 x_n+1=x_n− f(x_n)(x_n−x_n−1)

f(x_n)− f(x_n−1) existe et converge vers x^∗.

De plus, si f⁰⁰(x^∗)6=0, alors

n−→∞lim

x^∗−x_n+1 (x^∗−x_n)^p =

1 2

f⁰⁰(x^∗) f⁰(x^∗)

‹p−1

où p=¹₂(1+p 5).

Methode de la secante --- Fonction :

--- y= x^2 +x -6;

Estimations initiales : x_0 = 1.000000E+00 x_1 = 5.000000E+00

Iter. x_i f(x_i)

0 1.0000000000E+00 -4.000000E+00

1 5.0000000000E+00 2.400000E+01

2 1.5714285714E+00 -1.959184E+00 3 1.8301886792E+00 -8.202207E-01

4 2.0165339865E+00 8.294331E-02

5 1.9994207100E+00 -2.896115E-03 6 1.9999980905E+00 -9.547504E-06

7 2.0000000002E+00 1.106284E-09

8 2.0000000000E+00 0.000000E+00

9 2.0000000000E+00 0.000000E+00

Interprétation géométrique:

f(x) =x²+x−6=0 ; x₀=1,x₁=5

Convergence atteinte enn=7 :x₇=2.0000000002E+00,ε=1.106284E− 09.

6 A

— (Procédé d’Aitken).

On peut transformer la suite(x_n)en une suite(y_n)qui converge vers la même limite et cela plus vite que la suite(x_n).

— (Méthode de Steffenson).

On transforme la fonctiong(x)de façon à obtenir une méthode d’ ordre plus élevée.

6.1 PROCÉDÉ D’AITKEN

∆x_n=x_n+1−x_n, n=0, 1,· · ·

Théorème 6.1 Soit x^∗ ∈ R et (xn)n∈N une suite réelle dont les termes ne sont jamais égaux à x^∗.

Alors la suite((y_n)_n∈N telle que y_n=x_n−(∆x_n)²

∆²x_n =x_n− x²_n+1−2x_n+1x_n+x²_n x_n+2−2x_n+1+x_n est bien définie pour n assez grand et vérifie

n−→∞lim

y_n−x^∗ x_n−x^∗ =0

Il faut remarquer içi que si la suite(y_n)converge bien plus vite que la suite (x_n), elle demande un calcul plus avancé puisque y_n nécessite la connaissance dex_n+2.

Exemple 6.1 f(x) =x²+x−6=0

−→(1). x=g(x) = _x+⁶₁ ; x₀=5

Convergence atteinte en n=5 :x₅=2.000000000,ε=1.905675617e−10.

−→(2). x= g(x) =p

6−x ; x₀=5

Convergence atteinte en n=4 :x₄=2.000000000,ε=4.141911258e−10 g1(x) = 6/(x+1)

i y_i e/e0

0 5.00000000000000 1.00000000000000 1 1.00000000000000 0.50000000000000 2 2.33333333333333 0.13333333333333 3 2.14285714285714 0.05844155844156 4 2.06250000000000 0.02582908163265 5 2.02758620689655 0.01145236038017 6 2.01222307104660 0.00508467975759 7 2.00542510807833 0.00225882955096 8 2.00240970659940 0.00100372208166 9 2.00107069403768 0.00044605885033 10 2.00047580741184 0.00019824051289 20 2.00000014307531 0.00000005961471 21 2.00000006358903 0.00000002649543 22 2.00000002826179 0.00000001177575 23 2.00000001256080 0.00000000523366 24 2.00000000558258 0.00000000232607 32 2.00000000000850 0.00000000000354 33 2.00000000000378 0.00000000000157 g2(x) = sqrt(6-x)

i y_i e/e0

0 5.00000000000000 1.00000000000000 1 1.00000000000000 0.30901699437495 2 1.94427190999916 0.01740298057530 3 1.99726749255733 0.00085387941940 4 1.99981955650392 0.00005638846534 5 1.99998887978199 0.00000347506764 6 1.99999930255217 0.00000021795244 7 1.99999995644765 0.00000001361011 8 1.99999999727738 0.00000000085082 9 1.99999999982985 0.00000000005317 10 1.99999999998937 0.00000000000332 11 1.99999999999934 0.00000000000021 6.2 M^{ÉTHODE DE}S^TEFFENSEN

Le procédé d’Aitken peut être appliqué à la méthode du point fixe. On ob- tient alors l’algorithme suivant

x_n+1 =x_n−_(g◦g)(x^(g(x_n)−2g(x^n)−xn)2_n)+xn

= _(g^xn_◦^(g_g)(^◦_x^{g)(xn)−g(xn)2}

n)−2g(x_n)+x_n

C’est laMéthode de Steffensen.

>>

i x_i e/e0

0 5.00000000000000 1.00000000000000 1 4.31428571428571 0.70530612244898 2 3.67686294830865 0.46650767037307 3 3.10416547311735 0.28083369823380 4 2.62095321268231 0.14543120648967 5 2.26231599868931 0.05751623652562 6 2.06240501480147 0.01316331082832 7 2.00433937112438 0.00090482024015 8 2.00002247588397 0.00000468249688 9 2.00000000060618 0.00000000012629

10 2.00000000000000 0