Modélisation mathématique du transport diffusif de charges partiellement quantiques.

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Modélisation mathématique du transport diffusif de

charges partiellement quantiques.

Nicolas Vauchelet

To cite this version:

Nicolas Vauchelet. Modélisation mathématique du transport diffusif de charges partiellement

quan-tiques.. Mathématiques [math]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2006. Français. �tel-00135114�

U.F.R. Mathematiques Informatique Gestion

THÈSE

pour obtenir le grade de

Do teur de l'Universite Toulouse III

Dis ipline : MathématiquesAppliquées

présentée etsoutenue par

Ni olas VAUCHELET

Modélisation mathématique

du transport diusif de harges partiellement quantiques.

le24novembre 2006 devant lejury omposé de

Naoufel BEN ABDALLAH Dire teur de thèse Université PaulSabatier, Toulouse Laurent DESVILLETTES Rapporteur ENS Ca han

Florian MEHATS Dire teur de thése Université Rennes 1 Paola PIETRA Examinateur IMATI, Pavia, Italie

Jean-Mi hel ROQUEJOFFRE Examinateur Université PaulSabatier, Toulouse Giuseppe TOSCANI Rapporteur Université de Pavia, Italie

Mathématiques pour l'Industrie et la Physique

Equationaux Dérivées Partielles, Modélisation, OptimisationetCal ul S ientique Unité Mixtede Re her hes CNRS- UniversitéPaulSabatier Toulouse 3-INSAToulouse

UMR 5640

UFRMIG, UniversitéPaulSabatier Toulouse 3,118 routede Narbonne,31062 TOULOUSE édex, Fran e

Je souhaite en premier lieu adresser mes plus haleureux remer iements à mes deux dire teursdethèseNaoufelBenAbdallahetFlorianMéhats. J'aiénormémentappré iéles heures de travail ensemble qui m'ont beau oup appris. Mais surtout je tiens à souligner leurs qualités humaines, leur disponibilité et leur é oute. Je tiens aussi à les remer ier pourleur soutienet la onan e qu'ilsm'onta ordée. J'ai toujoursbéné ié grâ e àeux des meilleurs onditions de travailqui soient.

J'adresse tous mes remer iements à Messieurs les Professeurs Laurent Desvillettes et Giuseppe Tos ani de l'honneur qu'ils me font en a eptant de juger ette thèse et d'en être lesrapporteurs.

Jeremer ieMonsieurJean-Mi helRoquejoreetMadamePaolaPietrad'avoira epté de fairepartie du jury de thèse.

Lestroismois passésàPavieaulaboratoireIMATIm'ontété trèsagréableàlafoisau point de vue s ientique et aussi humain. Je remer ie haleureusement Paola Pietra de m'avoir en adré pendant e temps et de son a euil. Je la remer ie vivement de m'avoir permis de dé ouvrir un pays vraiment merveilleux. Mais je tiens surtout à souligner sa grande gentillesse, sapatien e et sadisponibilité.

Les heures de travail ave Mohammed Lazhar Tayeb m'ont permis de débloquer de nombreux points et d'avan er onsidérablement dans mes travaux de re her he. Je l'en remer ie.

Claudia,ave tondépartlelaboaperduunepartiede sonentrain. Jeteremer iepour ton aide pré ieuse, toiqui est bien ordonnée elaa du tefaire bizarrede mevoirtoujours à l'arra he. Heureusement quetu m'as dépanné bien des fois.

Un grand mer i à tout le laboratoireMIP pour l'ambian e joyeuse et détendue qui y règne. Enparti ulier,mer iàChristinepoursagentillesseetsagrande ompéten e, mer i à Philippe Laurençot pour des dis ussions instru tives sur les espa es d'Orli z, mer i à Fabri e sans qui je n'aurais eu au un résultat numérique. Mer i aussi à tous les autres thésards : Mi kael qui a supporté régulièrement les odeurs de mon goûter dans le bu-reau, Mar , Sami, Raymond, Ni olas, Véronique et Laeti ia qui a toujours des histoires extraordinaires a ra onté.

C'est l'heure du repas. Heureusement qu'il y a la bande du pdb pour que la pause devienne un agréable moment en leur ompagnie. Mer i don à Julien, Mehdi, Jérme. Je rajouteaussi Vin ent, Juliette,Arnaud, Marie (et Arthur), Simon, Matthieu, Thierry, Chloé, Serge, Elodie, Delphine, Anne-Laure, Camille. Vous formez tous ensemble une joyeuse ompagnie ave qui j'ai passé des moments inoubliables. Mais surtout mer i à Raphael qui a réussi l'exploit de me supporter tout le temps pendant es quatre années

diraijamaisassezmer iàtous esgensmerveilleuxpourleursoutienmoral,leurré onfort et leurs onseilsdurantles heures lesplus di iles.

Jen'oubliepasaussideremer ierlesamisdelonguedatepourtouslesgrandsmoments qu'on a passéensemble. LaurentR.le roidu hampagneen qui j'aiune onan eabsolue et toujours présent quand on abesoin de lui. Se o, leBolo, Enzo, Yann, Georges, Simon M., Thomasles an iens de l'ENSLyonque j'espère revoirbien plus souvent dorénavant.

Le boulot terminé, rien de tel pour se vider la tête qu'une bonne séan e de sport. "Arrrggh!!" J'entendslegrosPatarrivéave sademiheurede retardhabituel. C'estparti pour une séan e énorme. Le gros David, lui, est déjà à fond. Mer i à es deux ostauds pour lesdistra tions etlesbonnes partiesde rire qu'ils m'ont fourni. La salle est devenue un peu ma se onde maison grâ e àeux.

Enn et surtoutje remer ie mafamille, mes on les, mes tantes, mes soeurs Christelle et Aline et mes parents. Je ne serai jamais arrivé où je suis sans le soutien onstant de mes parents. J'aitoujours trouvé hez eux les mots et les gestes qu'il mefallait pour me ré onforter et me donner du ourage. Je tiens à leur témoigner tout l'amour que je leur porte.

1 Introdu tion générale 9

2 Les modèles de sous-bandes, du mi ros opique au ma ros opique 29

2.1 The modeling . . . 29

2.2 Formal diusive limit: Introdu tion. . . 31

2.3 Formal derivation for the Boltzmann ase. . . 32

2.3.1 Properties of the ollision operator . . . 33

2.3.2 Asymptoti expansion forthe diusivelimit . . . 35

2.4 The 3 valleys ase . . . 36

2.5 A onvergen e proof of the derivation . . . 39

2.6 Formal derivation for Fermi-Dira statisti s. . . 44

2.6.1 Properties of the ollision operator . . . 44

2.6.2 Formal derivation . . . 47

Bibliography . . . 48

Partie I Existen e, uni ité et omportement en temps long 51 3 Le système lassique dérive-diusion-Poisson revisité 53 3.1 Introdu tion . . . 53

3.2 Comportementen temps long . . . 55

3.2.1 Convergen e de l'entropie relative . . . 56

3.2.2 Convergen e exponentielle . . . 57

3.2.3 Remarque dans le as

R

3

. . . 59

3.3 Existen e des solutions . . . 60

3.3.1 Cas d'unematri e de diusion s alaire . . . 60

3.3.2 Régularisation . . . 63

3.3.3 Passage àla limite

ε

→ 0

. . . 63

3.3.4 Régularitéen temps long . . . 65

Bibliographie . . . 66

4 Théorie

L

2

pour le système DDSP 69 4.1 Introdu tionand main result . . . 69

4.1.1 Main Results . . . 71

4.2.1 Notations and strategy of the proof . . . 72

4.2.2 Proof of the entropy inequality . . . 75

4.2.3 Proof of the

L

p

estimate . . . 77

4.2.4 Analysis of the S hrödinger-Poisson system . . . 81

4.2.5 Proof of Theorem 4.1.2 . . . 84

4.3 Long time behaviour . . . 86

4.3.1 Convergen e of the relative entropy . . . 87

4.3.2 Exponential onvergen e . . . 89

Bibliography . . . 96

5 Théorie

L log L

pour DDSP pour un système isolé 99 5.1 Introdu tionand main results . . . 99

5.1.1 Presentation of the model . . . 99

5.1.2 Main results . . . 100

5.1.3 Strategy of the proofs . . . 101

5.2 Free energy and apriori estimates . . . 102

5.3 The regularized S hrödinger-Poisson system . . . 107

5.4 Existen e of solutions . . . 112

5.4.1 Existen e of solutionsfor the regularized system . . . 112

5.4.2 Passing tothe limit

ε

→ 0

. . . 113

5.5 Long time behaviour . . . 115

Bibliography . . . 116

Partie II De Boltzmann vers DDSP 119 6 Le as de la dimension 2 121 6.1 Introdu tionand main results . . . 121

6.1.1 Presentation of the system of equations . . . 121

6.1.2 Main results . . . 123

6.2 A priori estimate . . . 127

6.2.1 Properties of the ollision operator . . . 127

6.2.2 A priori estimate . . . 127

6.3 Analysis of the quasistati part . . . 131

6.4 Diusive limit . . . 135

6.4.1 Convergen e of the density . . . 135

6.4.2 The limitequation . . . 140

6.5 The trun ated Boltzmann equation . . . 144

6.6 Existen e for the overall problem . . . 147

Bibliography . . . 153

7 Le as de la dimension 3 157 7.1 Introdu tion . . . 157

7.3.1 Convergen e of the density . . . 163

7.3.2 The limitequation . . . 165

Bibliography . . . 165

Part III Simulations numériques 167 8 Simulation d'un transistor double grille ave le modèle DDSP 169 8.1 Introdu tion . . . 169

8.2 Presentation of the model . . . 170

8.2.1 The subband de ompositionmethod . . . 170

8.2.2 The diusiveregime . . . 171

8.3 Numeri alimplementation . . . 172

8.3.1 The modeled devi e . . . 172

8.3.2 General s heme of the Gummeliterations. . . 173

8.3.3 The three valleys . . . 174

8.4 Numeri alresults . . . 175

Bibliography . . . 179

9 Couplage de DDSP ave un modèle omplètement quantique 181 9.1 Introdu tion . . . 181

9.2 The oupling . . . 182

9.2.1 The quantum region . . . 182

9.2.2 The lassi al region . . . 185

9.2.3 The onne tion onditions . . . 187

9.3 Numeri alresolution . . . 188 9.3.1 Algorithmi approa h . . . 188 9.3.2 Numeri al results . . . 188 Bibliography . . . 190 Appendix 193 A Te hni al inequalities 195 A.1 Young inequality . . . 195

A.2 Trudinger inequality . . . 195

A.3 Csiszàr-Kullba k inequality . . . 195

Introdu tion générale

Les travaux présentés dans e mémoire de thèse on ernent la modélisation, l'étude ma-thématiqueetl'analysenumériquedutransportdesparti ules hargéesdansdesdispositifs nanométriques à base de matériaux semi ondu teurs. Depuis une inquantaine d'année, un eort onstant dans la miniaturisation des omposants éle troniques a été entrepris. Ces dispositifs peuvent être insérés en plus grand nombre dans les ir uits intégrés e qui améliore onsidérablementles performan es des pro esseurs. Par ailleurs, es omposants deviennent plus fon tionnels,ont des tempsde réponses plus ourts etune onsommation plus faible. De tels motivationsjustientl'intérêt roissant pour lesnanote hnologies.

Pour des é hellesde grandeurs allantjusqu'au mi ron, une des riptionpurement las-sique du transport des parti ules hargées reste satisfaisante. A partir des années in-quante, de nombreux modèles mathématiques ont été introduits dé rivant le transport des éle trons (ou éventuellement des trous) en mi roéle tronique. Ces modèles ne pren-nent pas du tout en ompteleseets quantiques eto ultent omplétementlamé anique quantique dans leurs appro hes. Ils se ontentent d'une des ription purement lassique du transportdes harges qui peut se hiérar hiser en diérents modèles selon la pré ision de des ription des phénomènesphysiques espérée. Au niveau inétique,le mouvementest dé rit par unegrandeur statistique,la fon tionde distribution

f (t, x, v)

,où

f (t, x, v)dxdv

orrespondaunombredeparti ulesprésentesàl'instant

t

dansunvolume

dxdv

del'espa e des phases autour du point position-vitesse

(x, v)

. L'évolution de ette fon tion est régit par des équations inétiques omme l'équation de Vlasov s'il n'y a pas de ollisions et l'équationdeBoltzmanndansun adre ollisionnel[17,21,38,61℄. Lesmodèles inétiques étanten ore très oûteuxnumériquement, ilest préférablede se tournervers des modèles ma ros opiques ependant moins pré is ar s'intéressant à des quantités moyennées en vitesse. Il s'agit alorsd'une des ription uide du mouvement.

Lesmodèlesma ros opiquessontobtenusàpartird'unmodèle inétiquepar diérents pro essus adaptés à des situations parti ulières. Ave une limite hydrodynamique, re-posant sur laméthode des moments,onobtientdes modèles hydrodynamiques ommeles équationsd'EuleretdeNavier-Stokes[3,17,39,41,42,46,57,62℄. Suivantles hangements d'é helles spatiales et temporelles ee tués [10℄, une limite de diusion permet d'obtenir unehiérar hiedemodèlesuidesparmilesquelsontrouvelesmodèlesSHE(Spheri al Har-moni Expansion) [18, 23℄, ET (Energy Transport) [11, 12, 25, 29℄ et de dérive-diusion

[14, 15, 40, 49, 50, 56℄. Ces diérents modèles résultent des dominan es des mé anismes ollisionels. La limite de diusion onsiste à perturber la fon tion de distribution solu-tion de l'équation inétique autour d'un équilibre thermodynamique lo al par un petit paramètre orrespondant au rapport entre le libre par ours moyen des parti ules et la longueur ma ros opique ara téristique. L'obtention rigoureuse de es modèles uides à partir des équations inétiques a faitl'objet d'une intense re her he (en plus des travaux ités i-dessus onrajoutera[4,5,26,27,43,44,47℄)et ertaineslimitesrigoureusesrestent en ore à établir.

Cesmodèles restentvalableen mi ro-éle tronique. Cependantlesbesoins grandissants des te hnologies de la ommuni ation et de l'information ont poussé les onstru teurs à mettre au point des omposants à des é helles nanométriques. Or lorsque la taille des dispositifs atteint des dimensions très petites (<100 nm), des phénomènes quantiques apparaissent omme les interféren es, le onnement ou en ore l'eet tunnel. Il devient alors né essaire de onsidérer des modélisations tenant ompte de es phénomènes.

Plusieursappro hes ont été entreprises dans lebut de revenir à une des ription quan-tique du transport de harges. Une première voie onsiste à onsidérer l'équation de S hrödinger (oude VonNeumann). De nombreux résultatsmathématiquessur l'étudede etteéquationontété obtenus esdernièresannées(voirparexemple[2,8,19,20,31,32℄). Une modélisation omplétement quantique du transport balistique des harges dans une nanostru ture est alors obtenue en ouplant ette équation ave l'équation de Poisson [7, 8,24, 51,52,53,54, 55℄. Cependant, un telmodèleprésente legros désavantage de ne pas tenir omptedes nombreuses ollisionsqueren ontrentlesparti uleslorsdutransport etse ontentedon d'unedes riptionbalistiquedutransport. Deplus,ilrestetrès oûteux à réaliser numériquement ave des onditions physiquesréalistes.

D'autres stratégies onsistant à utiliser les résultats bien onnus sur le transport des parti ules hargéesen mi roéle troniquepermettentdemettreaupointdesmodèles quan-tiques prenanten ompteles ollisionsdes éle tronsave lesimpuretésdu réseau ristallin ou ave les phonons (pseudo-parti ules représentant les vibrations du réseau). Une ap-pro he onsisteàin orporerdestermes orre tifsquantiques dansdesmodèles lassiques. Ce i permet d'élaborer des modèles omme le modèle de density-gradient (ou dérive-diusion quantique) et des modèles de l'hydrodynamique quantique [1, 35, 36, 37, 45℄. Ces modèles exploitentune analogieentre l'équationdeS hrödingeretle systèmed'Euler sans pression. Eneet,l'amplitudeetlaphasedelafon tiond'ondesatisfaisantl'équation de S hrödinger sont solutions du système d'Euler sans pression dans lequel on a ajouté un terme orre tifappelépotentielde Bohm. Lesmodèles sus-nomméssontalors obtenus en ajoutant phénoménologiquement e potentiel de Bohm aux modèles lassiques orres-pondants. Ils sont bien établis pour des états purs mais dans des systèmes à plusieurs parti ules un problème de fermeture apparait. Ré emment une stratégie reposant sur la méthode des moments a permis d'établir des modèles hydrodynamiques et de résoudre e problème de fermeture viala dénition d'équilibres lo aux quantiques minimisant une entropie sous ontraintes [26,27, 28,34℄.

Enn, toujours dans l'optique d'utiliser les résultats bien maîtrisés sur les modèles lassiques, une autre appro he est d'utiliser des modèles ouplés quantiques- lassiques.

identiées des dispositifs nanométriques, une méthode de ouplage onsiste à dé ouper le domaine d'étude, à dé rire haque zone de e domaine par un modèle lassique ou quantique suivant lephénomène àobserver età oupler spatialement es modèles pardes onditions d'interfa e [7, 11, 24℄. Cette méthode permet de réduire onsidérablement le oût numériquedes simulations.

Dans ettethèse nous nous intéressons à une stratégiede ouplage diérente : le ou-plage dire tionnel. Dans la plupart des dispositifséle troniques àl'é helle nanométrique, les diérentes dire tions d'espa e ne jouent pas le même rle. Le transport des harges s'ee tue dans des dire tions privilégiées alors que le gaz que forment les parti ules est onné dans la (ou les) autre(s) dire tion(s). Ainsi lorsque par exemple le transport des harges se on entre à l'interfa e entre deux matériaux diérents (à l'interfa e Oxyde-Sili ium d'unMOSFET par exemple),lesdimensions ara téristiquesdu onnement de-viennenttrèspetitesdevant ellesdu transport. Onseretrouvealorsàétudierletransport de harges dans un gaz d'éle trons bidimensionnel. Une modélisation quantique dans la dire tion transverse au transport est alors ouplée à un modèle inétique ou uide dans les autres dire tions dites parallèlesaumouvement.

Dans etravailde thèse,nousnous intéressons àl'analysemathématiqueetnumérique de modèles ouplés lassiques-quantiques où le ouplage est dire tionnel omme expliqué i-dessus. Avantde montrerlesrésultatsobtenus, nousprésentons aupro hain hapitreles modèlesdessous-bandesutilisésetle ouplageetrappelonslalimiteformelledel'équation deBoltzmanndessemi ondu teursversl'équationdedérive-diusion. Lemémoirede ette thèse est dé omposé en trois grandeparties :

•

La première partie est onsa rée à l'analyse mathématique d'un modèle dérive-diusion-S hrödinger-Poisson, noté DDSP. Dans e as, le régime du transport est uide et le système est alors dé rit dans la dire tion de transport au moyen de l'équation de dérive-diusion.

•

La se onde partie on erne l'analyse mathématiquede lalimite diusive du modèle des sous-bandes inétique vers le modèle uideanalysé dans lapremière partie.

•

Ennlatroisièmepartieprésentedesrésultatsdesimulationsnumériquesdusystème DDSP étudié dans la première partie, utilisé pour modéliser le transport dans des nanostru tures à base de matériauxsemi ondu teurs.

Nousprésentons maintenant le modèle DDSP qui est lethème entral de ette étude. Lorsqueleséle tronssontextrêmement onnés, ommedansdesdispositifsnanométriques à semi ondu teurs, l'énergie devient partiellement quantiée en niveau d'énergie. Ces niveaux d'énergie sont dé ritspar les élémentspropres du Hamiltonienpartieldans la di-re tionde onnementetsontusuellementappeléssous-bandesdanslalittératurephysique [6, 22, 30℄. Pour xer lesnotations, on nomme

z

la dire tion de onnement et

x

la (ou les)dire tions de transport. Lesparti ulessontsoumisesdansledomained'étude à un potentiel

V (t, x, z)

qui dépend de la variable temporelle

t

et des variables spatiales

(x, z)

.

Dans la dire tion

z

, le onnement impose une quanti ation du système et don le Hamiltonien partiel

−

1

2

∂

2

onnementseréaliseparunmurinnien

z = 0

et

z = 1

. Lavariable

z

estpar onséquent bornée dans le domaine

(0, 1)

. (On peut aussi supposer que le onnement est du à un potentiel qui tend vers

+

∞

quand

z

tend vers

+

∞

.) Les sous-bandes sont alors dénies par :











−

1

2

∂

2

z

χ

k

+ V χ

k

=

ǫk

χ

k

(k

≥ 1),

χ

k

(t, x,

·) ∈ H

0

1

(0, 1),

Z

1

0

χ

k

χ

ℓ

dz = δ

kℓ

.

(1.0.1)

Dans e système,

t

et

x

sont onsidérés ommedes paramètres. Il s'agitd'un problèmede Sturm-Liouvilleen dimension1. Par onséquent, lesvaleurspropres

(

ǫk

)

k≥1

ne se roisent pas et forment une suite stri tement roissante tendant vers

+

∞

et les

(χ

k

)

k≥1

réalisent une base orthonormées de

L

2

_{(0, 1)}

.

Pour onnaître les quantités ma ros opiques, il onvient d'abord de déterminer le fa -teur d'o upation de haque sous-bande

ρ

k

(t, x)

. La densité des porteurs de harges sera alors donnée par :

N(t, x, z) =

X

k≥1

ρ

k

(t, x)

|χ

k

(t, x, z)

|

2

.

(1.0.2)

La onnaissan e de la densité permet alors de déterminer le potentiel éle trostatique au-to onsistant généré par les éle trons eux-mêmes et al ulé au moyen de l'équation de Poisson :

−∆

x,z

V = N(t, x, z) =

X

k≥1

ρ

k

(t, x)

|χ

k

(t, x, z)

|

2

.

(1.0.3)

Dans la dire tion de transport

x

, les dimensions sont supposées telles qu'une des ription lassique reste satisfaisante. Comme on l'a vu pré édemment, on peut alors onsidérer plusieurs niveaux de des ription suivant le ontexte physique : inétique ou uide. Les grandeurs ma ros opiques déterminant le transport sont alors obtenues au moyen des équations de Vlasov, si on néglige les ollisions, ou de Boltzmann au niveau inétiqueetauniveauuidegrâ eausystèmededérive-diusion. Onseretrouvedon ave un système ouplantl'une de estrois équationsave lemodèle des sous-bandes(1.0.1)et l'équation de Poisson (1.0.3).

Dans e travailde thèse nous nous intéressons au transport dans des stru tures semi- ondu tri espourlesquellesles ollisionssontleprin ipalmé anismeresponsabledu mou-vement. Leséquationsdetransport onsidéréesvontdon êtreleséquationsdeBoltzmann et de dérive-diusion (le système Vlasov-S hrödinger-Poisson a été étudié en [13℄). Nous avonsdon analysédeuxmodèles: lemodèlede dérive-diusion-S hrödinger-Poisson,noté en abrégéDDSP, etlemodèlede Boltzmann-S hrödinger-Poissonnotammentsalimitede diusion vers DDSP.

Pour lemodèle DDSP, dans ladire tionde transport

x

,ladensitésurfa ique notée

N

s

est al uléegrâ e àl'équationde dérive-diusion. Il s'agitd'une équationde onservation pour la densité de parti ules dans laquelle la densité de ourant est la somme de deux termes. L'un,appelé ourantde dérive,est proportionnelà ladensitéde parti ulesetaux for es éle trostatiques. L'autreest le ourantde diusionetest proportionnelaugradient

inétique en ee tuant une limite de diusion, i.e. le libre par ours moyen devient très petit par rapportaux longueurs ara téristiquesdu système (voir [40, 56℄). Elles'é rit :

∂

t

N

s

− div

x

(D(

∇

x

N

s

+ N

s

∇

x

V

s

)) = 0,

(1.0.4)

où

D

est la matri e de diusion qui ontient les informations physiques des ollisions. Cette équation est ouplée au modèle des sous-bandes (1.0.1) et à l'équation de Poisson (1.0.3). Le ouplages'obtientgrâ eàladénitiondupotentielee tif

V

s

quigardelatra e du onnement dans la dire tion transverse et à l'expression de la densité

N

. En eet, on verra au hapitre suivant quele potentielee tif s'obtientlors de la limitediusiveet vaut :

V

s

(t, x) =

− log

X

k≥1

e

−

ǫ

k

(t,x)

_.

(1.0.5)

Parailleurs,onavuen(1.0.2)quela onnaissan edeladensiténé essitaitladétermination dufa teurd'o upation

ρ

k

. Lesystèmeétantàl'équilibrethermodynamique, efa teurest donné par une fon tion statistique de l'équillibre. Typiquement, si on dénote

ǫ

l'énergie, ette fon tion est donnée par ladistribution de Fermi-Dira

1/(1 + exp(

ǫ

−

ǫ

F

k

B

T

)

où

k

B

est la onstante de Boltzmann,

T

la température du réseau et

ǫF

est le niveau de Fermi qui orrespond àlaséparationentrelesétatso upésetnon-o upésàlatempératureabsolue

0

K.Cettestatistiquepeutêtreappro héedansle as

ǫ

−

ǫF

>> k

B

T

parlastatistiquede Boltzmann :

exp(

ǫ

−

ǫ

F

k

B

T

)

. Dans notre étude on onsidérera des statistiques de Boltzmann et on supposera pour simplier l'é riture le système normalisé telle que

k

B

T = 1

. La densité des parti ules s'é rit alors

N(t, x, z) =

X

k≥1

e

ǫ

F

(t,x)−

ǫ

k

(t,x)

_|χ

k

(t, x, z)

|

2

.

En intégrant ette expression en

z

, on obtient une relation entre la densité surfa ique et le niveau de Fermi :

N

s

(t, x) =

Z

1

0

N(t, x, z) dz = e

ǫ

F

(t,x)

X

k≥1

e

−

ǫ

k

(t,x)

_.

Ce quipermet de réé rirela densitééle tronique sous laforme:

N(t, x, z) = N

s

(t, x)

+∞

X

k=1

e

−

ǫ

k

(t,x)

P

ℓ≥1

e

−

ǫ

ℓ

(t,x)

|χ

k

(t, x, z)

|

2

.

(1.0.6)

Le système dérive-diusion-S hrödinger-Poisson étudié est alors le système d'équations (1.0.4)(1.0.1)(1.0.3) ouplé grâ eaux expressions (1.0.5)et (1.0.6).

La variable de transport

x

est supposée appartenir à un domaineborné régulier

ω

de

R

2

. Le domained'étude total sera noté

Ω = ω

× (0, 1) ⊂ R

3

. Pour ompléter e système il faut alors imposer des onditions auxbords que nous onsidérerons de deux natures:

•

des onditions de typeDiri hlet :

(

N

s

(t, x) = N

b

(x),

V (t, x, z) = V

b

(x, z),

pour

x

∈ ∂ω, z ∈ (0, 1),

∂

z

V (t, x, 0) = ∂

z

V (t, x, 1) = 0,

pour

x

∈ ω,

(1.0.7) où

∂ω

est lafrontière de

ω

.

•

des onditions de type Neumann : dans e as la masse est onservée au ours du transport

(

∂

ν

N

s

(t, x) = 0,

∂

ν

V (t, x, z) = 0,

pour

x

∈ ∂ω, z ∈ (0, 1),

V (t, x, 0) = V (t, x, 1) = 0,

pour

x

∈ ω,

(1.0.8)

où

ν(x)

est la normalesortanteen

x

∈ ∂ω

.

N

s

V, (

ǫk

[V ], χ

k

[V ])

Système S hrödinger-Poisson Blo dérive-diusion (1.0.4) (1.0.1)-(1.0.3)

Figure1.1: Stru ture du système DDSP : un blo DDet un blo quasistatiqueSP.

Paranalogieave lemodèle lassiquedérive-diusion-Poisson, e systèmeest stru turé en deux blo s : un blo dérive-diusion et un blo S hrödinger-Poisson quasistatique (voir Figure 1.1). Le blo dérive-diusion permet le al ul de la densité surfa ique

N

s

en supposant le potentiel éle trostatique

V

onnu (et don

V

s

aussi est onnu grâ e à (1.0.5)). Si

N

s

estdéterminé,alorsl'étudedublo S hrödinger-Poissonpermetde al uler lepotentiel

V

etlesélémentspropresde l'Hamiltonien

(

ǫk

, χ

k

)

k≥1

quiserontalorsobtenus par diagonalisationde l'Hamiltonien.

La prin ipale di ulté soulevée par l'équation de dérive-diusion (1.0.4) vient de la dépendan e nonlinéairedupotentielee tif

V

s

(1.0.5)de

V

. Eneet, ettedépendan ese fait via la dénition des éléments propres de l'Hamiltonien. De même l'étudedu système S hrödinger-Poisson requiertdes estimations pré isesdes élémentspropresen fon tion du potentieléle trostatique

V

. Detellesestimations sontdonnées en annexede e do ument. Le ara tère bienposéde e systèmeestobtenugrâ eàdeste hniquesde minimisationde fon tionnelle développées par Nier [52, 53, 54℄. Cependant suivant ladonnée entrante du blo S hrödinger-Poisson(quiest

N

s

pourDDSPmaisquipeutêtrelefa teurd'o upation

ρ

si letransport est onsidéré auniveau inétique) etdes estimations donton dispose sur elle- i,lafon tionnelleutiliséen'est pluslamêmeetl'étudedusystème doitêtre adaptée aux estimations disponible. C'est pourquoi, aux hapitres 4,5, 6et 7,l'étudedu système

Nousallons dans lasuite de ette introdu tion détailler ha un des hapitresde ette thèse. Ces hapitres sont rédigés sous forme d'arti les, le système d'équations onsidéré étant rappelé en début de ha un, de manière à e que, pour fa iliter la le ture, ha un puisse être lu indépendemmentdes autres.

Partie I : Existen e, uni ité et omportement en temps long

Le système lassique dérive-diusion-Poisson revisité(Chapitre 3)

Ce hapitre peut être onsidéré omme un hapitre d'introdu tion de la première partie. En eet, ette partieest onsa rée à l'étudemathématique du modèle DDSP. Cependant au niveau purement lassique, le transport des parti ules hargées dans des dispositifs à semi ondu teurs ou àplasmas peut être modélisépar un système ouplé dérive-diusion-Poisson. L'obje tif de e hapitre est don de présenter dans un as plus simple les méthodes qui seront utiles par la suite dans le as du modèle DDSP.

Le système de dérive-diusion est très utilisé en mi roéle tronique pour modéliser le transport des parti ules hargées dans des dispositifs à semi ondu teurs ou à plasmas [49, 50℄. Il s'agit d'une équation de onservation dans laquelle le ourant est somme d'un ourantde dériveproportionnelàladensitéde parti ules

N

etauxfor es éle trostatiques et d'un ourant de diusion proportionnel au gradient de la densité de parti ules. Dans un domaine

Ω

⊂ R

3

, e système s'é rit :

∂

t

N

− div

x

(D(

∇N + N∇V )) = 0,

t

∈ R

+

,

où

D

est une matri e de diusion qui ontient les informations sur les ollisions que subissent les parti ules. Le potentiel éle trostatique est auto onsistant et est obtenu par l'équation de Poisson :

−∆V (t, x) = N(t, x).

Depuis Gajewski [33℄, de nombreux résultats sur l'existen e, l'uni ité et le omporte-ment en temps long des solutions de e système ont été établis. Mais généralement ils sont obtenus dans le as où la matri e de diusion

D

est supposée s alaire et onstante. Dans laréalité, ette matri en'est pas s alaireetest déterminée grâ eaux oe ientsde l'opérateur de ollisions onsidéré au niveau inétique. La dépendan e de la matri e de diusion en es oe ients n'est pas très évidente et onsupposera don dans toute ette partie pour simplierque

D

est onnue etsusamment régulièreet que

D

≥ αId

.

En temps long on s'attend à e que les solutions

(N, V )

onvergent vers la solution

(N

∞

, V

∞

)

du système stationnaire :

−div (D(∇N

∞

+ N

∞

∇V

∞

)) = 0,

−∆V

∞

= N

∞

.

Pour menerà bien l'étudede l'existen e etdu omportement en temps long des solu-tions, il onvient de dénir un adre fon tionnel et don d'avoir des estimations a priori sur lessolutions. Unequantitéprimordialepour e genrede systèmeest l'entropierelative dénie par :

E(t) =

Z

Ω

(N log

N

N

∞

+ N

∞

− N) dx +

1

2

Z

Ω

|∇(V − V

∞

)

|

2

dx.

Alors l'estimationpermettant d'avoirdes bornes sur lesquantités onsidérées est

E(t) + α

Z

t

0

Z

Ω

e

−V

|∇(Ne

V

₎

_|

2

Ne

V

dxdτ

≤ E(0).

On voitalors lairementqu'ave des onditions initiales adéquates, on obtient une borne deladensitédans

L log L

etdupotentieldans

H

1

. Cependant,lorquelamatri ededensité est supposéeégaleàl'identité,onobtientparsimplemultipli ationdel'équationde dérive-diusion par

N

et par intégration par parties une borne de

N

dans

L

2

. En prenant des onditions aux bords telles qu'on puisse utiliser la régularité elliptique de l'équation de Poisson, on obtient alors susamment de régularité pour montrer l'existen e et l'uni ité de solutionspar un pointxe [49℄.

Dans le as

L log L

, l'analyse de l'existen e requiert plus de travail. En eet, ompte tenu du manque de régularité des solutions,il est outume dans e genre de problème de régulariser le système par un paramètre

ε > 0

tel que formellementle système régularisé se réduitausystème non régularisépour

ε = 0

etde prouverl'existen e de solutionspour e système régularisé. La dernière étape onsiste alors à utiliser l'estimation d'entropie pour passer à la limite et montrer que les grandeurs ma ros opiques onvergent quand

ε

→ 0

vers des solutions de dérive-diusion-Poisson. Ave ette méthode, on ne peut malheureusement pas établirl'uni ité des solutions.

Par ailleurs dans e hapitre, on s'intéresse aussi au omportement en temps long des solutions. Cette étude repose prin ipalementsur l'entropie. Une te hnique répendue revient à montrer au moyen d'inégalités de type logarithmique Sobolev la dé roissan e exponentielledel'entropierelativevers

0

. Ce ipermetd'avoirla onvergen eexponentielle du potentiel dans

H

1

et au moyen des inégalités de Csizàr-Kullba k de la densité dans

L

1

. Cependant e traitement repose fortement sur le fait que la masse est onservée au ours du transport e qui n'est pas le as si on ne suppose plus les onditions aux bords onservatives. Nous avons don envisagé une autre appro he onsistant à linéariser l'entropie relative. Cette méthode a aussi l'avantage d'obtenir plus de régularité sur les solutionsétantdonnéquelalinéarisationapporteune bornedeladensitédans

L

2

aubout d'un ertains temps etnon plus dans

L log L

.

Tous es résultatssontprésentés dans e hapitreen essayantde montrerlesdi ultés qu'entrainent la onsidération d'une matri e de diusion non s alaire. Les te hniques présentées seront utiliséesdans lesdeux hapitres suivantslorsque leséle trons sont on-nés dans ladire tiontransverse au transport.

Théorie

L

2

pour le système DDSP (Chapitre 4)

Dans e hapitre ons'intéresseautransport diusifd'un gaz d'éle trons onné dans une nanostru ture. La dire tion de onnement est notée

z

∈ (0, 1)

tandis que le transport s'ee tue dans un domaine borné régulier

ω

du plan

R

2

. Dans ette première partie on suppose se trouver dans le régime diusif don le transport est déterminé grâ e aux grandeurs ma ros opiques ommela densitédes parti ules. Le modèle onsidéré est don le système DDSP introduit i-dessus (1.0.4)(1.0.1)(1.0.3) omplété ave les onditions

matri e de diusion est l'identité et les onditions aux bords sont hoisies telles que l'on puisse utiliser larégularité elliptique du problème de Poisson.

On présente dans e hapitre deux résultatsdistin ts. Lepremier on erne l'existen e et l'uni ité des solutions, le se ond leur omportement en temps long. De même que dans le as dérive-diusion-Poisson lassique,lefaitde onsidérerune matri ede diusion égale à l'identité simplie beau oup l'étude. En eet, on peut obtenir dire tement par des intégrations par parties des estimations

L

2

sur ladensité (et don

H

2

sur le potentiel grâ e à la régularité elliptique de l'équation de Poisson) et l'existen e peut être obtenue grâ eàun pointxe. Laquantité primordialepermettantl'établissementdes résultatsest l'entropie relativede

(ρ

k

, V )

par rapport à

(ρ

k

, V )

dénie par

W =

X

k

Z

ω

(ρ

k

log(ρ

k

/ρ

k

)

− ρ

k

+ ρ

k

) dx +

1

2

ZZ

Ω

|∇

x,z

(V

− V )|

2

dxdz

+

Z

ω

X

k

u e

−

ǫ

k

ǫk

_{[V ]}

₋

ǫk

_{[V ]}

_{− h|χ}

k

|

2

(V

− V )i

dx,

dans laquellelesquantitéssoulignéessontdes prolongementsréguliersaudomained'étude des valeurs aux bords.

Paranalogieave lesystèmedérive-diusion-Poisson,ilest judi ieuxdevoirlesystème omplet omme une équation de dérive-diusion ouplée ave le système S hrödinger-Poisson quasistatique ( f Figure 1.1). Unefois l'estimationd'entropie obtenue, la résolu-tion estbasée sur e diagramme: ilapparaitdon quetroisétapesserontné essairespour établir l'existen e. La première étape est onsa rée à l'étude du blo dérive-diusion en supposantlepotentiel

V

(etdon l'énergieee tive

V

s

) onnu. Lase ondeétapes'intéresse aublo quasistatiqueS hrödinger-Poissonen supposantladensitésurfa iquedonnée. En-n, l'existen e est prouvée grâ e à un point xe sur la densité surfa ique

N

s

. Une étude minutieuse des propriétés spe trales de l'Hamiltonienest alors né essaire pour traiter les termes orre tifs quantiques intervenant lors des al uls. Ces propriétés sont énon ées et pour ertaines d'entre elles démontrées en annexe.

Cetterésolution repose essentiellement sur deux points ru iaux: (i)le ara tère bien posé du système S hrödinger-Poisson lorsque la densité

N

s

est donnée, (ii) l'estimation d'entropie permettantde onstruire une solutionglobale en temps.

Lanon- onservationde lamasseobligeà onsidérerletraitementdu omportementen temps long par lebiais de la linéarisation de l'entropie relativepar rapport auxsolutions du systèmestationnaire. Enadaptant alorsles te hniques du as lassique(présentées au hapitre3),onmontrealors la onvergen e exponentielleen tempslongde ladensitédans

L

2

et du potentieléle trostatique dans

H

1

.

Théorie

L log L

pour DDSP pour un système isolé(Chapitre 5)

Le système DDSP onsidéré dans e hapitre est le même modèle ouplé quantique- lassique qu'au hapitre pré édent. Le ouplage est don dire tionnel et les eets quan-tiques sonttrans ritsvialemodèledes sous-bandes. Lesrésultatsprésentés i i on ernent

on ne onsidère plus que lamatri e de diusion soits alaireet par sou is de omplétude, on utilise des onditions aux bords de type Neumann sur la densité(1.0.8) (bien évidem-ment,en adaptantlesdémonstrations, lesrésultatsrestentvalable ave les onditionsaux bords du hapitre pré édent).

La prin ipale di ulté introduite par une matri e de diusion distin te de l'identité est lapertede l'estimationdans

L

2

de ladensité(voirProposition4.2.3). Il ne reste alors que l'estimation d'entropie et don il faut travailler ave une densité uniquement bornée

dans

L log L

et un potentiel éle trostatique dans

H

1

. Comme on l'a signalé i-dessus, pour l'analyse de l'existen e il onvient de onsidérer le système omme une équation de dérive-diusion ouplé ave le système de S hrödinger-Poisson quasistatiquepar analogie ave lesystème de dérive-diusion ouplé ave Poisson.

Lespropriétésdu systèmeS hrödinger-Poissonquasistatiquesontbien onnues[13,52, 53, 54℄. Dans e as un premier problème apparait par rapport au hapitre pré édent : le se ond membre de l'équation de Poisson (1.0.3) est le produit d'une fon tion dans

L log L

ave le arré d'une fon tion qui ne peut pas être mieux que

H

1

. Il faut pouvoir donné un sens à e produit. C'est e qui est fait grâ e aux inégalités de Young et de Trudinger (présentées en annexe) et à une étude pré ise de la dépendan e des éléments spe traux de l'Hamiltonienvis à vis du potentiel. De plus, si on veut espérer obtenir un résultatd'existen eausystème ompletdans e adre,ilestné essairedepouvoirs'assurer de l'existen e et de l'uni ité d'une solution au système de S hrödinger-Poisson pour un fa teur d'o upationdonné dans

L log L

. Ilest don primordiald'étudier minutieusement lesystèmeS hrödinger-Poissonquasistatique. Ensuite,l'existen epourlesystème omplet estobtenu ommeau hapitre2paruneméthodederégularisationetde passageàlalimite sur lessolutions du système régularisé.

Le hoixdes onditions de Neumann sur ladensité permet i ide béné ier de la on-servation dela masse. Par sou isde omplétude,onprésentei il'étudedu omportement en tempslongaumoyendes te hniquesbaséessur lesinégalitésde Sobolevlogarithmique.

Partie II : De Boltzmann vers DDSP

Le as de la dimension 2 (Chapitre 6)

Ce hapitre présente deux résultats importants : un résultat d'existen e de solutions à un modèle inétique de sous-bandes et lalimite de diusion rigoureuse de e modèle vers le modèle DDSP. Malheureusement, des di ultés te hniques ne nous permettent pas d'obtenir de résultats d'existen e dans le as où le domaine d'étude total est en trois dimensions : nous onsidérons don que letransportne s'ee tue que sur un segment de la droite réelle. Le as d'un transporten 2D sera dis utéau hapitresuivant.

On onsidère toujours un gaz d'éle trons onné dans une nanostru ture où le on-nement a lieu dans la dire tion

z

transverse au transport suivant

x

et est dé rit par le modèledes sous-bandes. Lerégime de transport onsidéré dans ettepartie est lerégime inétique. Lorsque les porteurs de harges subissent des ollisions, le transport est bien dé rit par l'équation de Boltzmann. Cette équation donne l'évolution de la fon tion de distribution

f

k

(t, x, v)

de la

k

ièmesous-bande dans l'espa edes phases

(x, v)

∈ (a, b) × R

.

On rappelle la signi ation physique de la fon tion de distribution :

f

k

(t, x, v) dxdv

or-respond au nombre de parti ules présentent dans la sous-bande

k

dans un petit volume

dxdv

del'espa edes phasesautourdelaposition

(x, v)

. Cettefon tionsatisfaitl'équation de Boltzmann:

∂

t

f

k

(t, x, v) +

{H

k

, f

k

} = Q(f)

k

,

k

≥ 1,

où

{·, ·}

est le ro het de Poisson déni par

{g, h} = ∇

x

h

· ∇

v

g

− ∇

x

g

· ∇

v

h

. L'énergie du système dans la

k

ième sous-bande noté

H

k

est la somme de l'énergie inétique et de l'énergie potentielle:

H

k

(t, x, v) =

1

2

v

2

₊

ǫk

_{(t, x),}

oùles

ǫk

sontdénisen(1.0.1). L'opérateurde ollisionsprenden omptelesintéra tions entre leséle trons etlesphonons ets'é rit

Q(f )

k

=

X

k

′

Z

R

α

k,k

′

(v, v

′

)(

M

k

(v)f

k

′

(v

′

)

− M

k

′

(v

′

)f

k

(v)) dv

′

,

dans lequel lamaxwellienneest déniepar

M

k

(t, x, v) =

1

√

2π

P

_k

e

−

ǫ

k

(t,x)

exp(

−H

k

(t, x, v)).

Le fa teur d'o upation

ρ

k

de la

k

ième sous-bande vaut alors :

ρ

k

(t, x) =

R

R

f

k

(t, x, v) dv

. En reprenant l'expression de la densitédans le modèle des sous-bandes (1.0.2), ondéduit

N(t, x, z) =

X

k≥1

Z

R

f

k

(t, x, v)

|χ

k

(t, x, z)

|

2

dv.

Lorsque les ollisionsdeviennent nombreuses, le mouvement des parti ules entre dans un régime uide. Le libre par ours moyen qui représente la distan e entre deux olli-sions su essivesdevientnégligeableparrapportauxgrandeurs ara téristiquesdumilieu. Mathématiquement, ela se traduit après un res aling par l'apparition d'un paramètre

η

tendant vers

0

dans l'équation de Boltzmann:

∂

t

f

_k

η

(t, x, v) +

1

η

{H

η

k

, f

η

k

} =

1

η

2

Q

η

_(f

η

₎

k

.

(1.0.9)

Le ouplage de ette équation ave le modèle des sous-bandes induit que le système de S hrödinger-Poisson dépend intrinséquement du petit paramètre

η

:











−

1

2

∂

2

z

χ

η

k

+ V

η

χ

η

k

=

ǫ

η

k

χ

η

k

(k

≥ 1),

χ

η

_k

(t, x,

_{·) ∈ H}

₀

1

(0, 1),

Z

1

0

χ

η

_k

χ

η

_ℓ

dz = δ

kℓ

,

(1.0.10)

−∆

x,z

V

η

= N

η

(t, x, z) =

X

k≥1

Z

R

f

_k

η

(t, x)

|χ

η

k

(t, x, z)

|

2

.

(1.0.11)

Nous présentons don dans e hapitre une étude du système ouplé (1.0.9)(1.0.11) quenous avons hoisi de ompléter pardes onditionsde réexion spé ulaireauxbordset en parti ulier de la onvergen e quand

η

tend vers

0

de e système vers le modèle uide DDSP analysé aux hapitres 4et 5de ette thèse. De même que dans lapremière partie, ette étude s'appuie sur les te hniques utilisées dans le as lassique. La onvergen e du modèle Boltzmann-Poisson vers le système dérive-diusion-Poisson a été montrée par Masmoudi et Tayeb [47℄. Deux outils sont indispensables : lessolutions renormaliséesde Di Perna Lions et une estimation d'entropie. L'entropie du système est dénie par :

W

η

(t) =

X

k

ZZ

(a,b)×R



f

_k

η

log

f

η

k

M

k

− f

η

k

+ M

k



dxdv +

1

2

ZZ

Ω

|∇

x,z

V

η

|

2

dxdz

et letaux de dissipation par :

R

η

(t) =

1

2

X

k

ZZ

(a,b)×R

q

f

_k

η

₋

q

N

s

η

M

η

_k



2

dxdv,

où

M

k

= K exp(

−

1

2

(v

2

_+k

2

₎₎

ave

K

unfa teurde normalisationtelque

P

k

R

R

M

k

dv = 1

. Alors, l'estimationd'entropie s'é rit :

0

_{≤ W}

η

_{(t) +}

α

1

2η

2

Z

t

0

R

η

_{(s) ds}

_{≤ C,}

(1.0.12)

où

α

1

et

C

sont des onstantes positives. On remarque qu'il ne s'agit pas d'une entropie relativeetdon l'estimationobtenue nedonnequ'unebornesurlafon tiondedistribution et sur le potentiel. L'utilisation des solutions renormalisées apparaît don naturellement ompte tenudu peu de régularité quenous avons. Ainsidans l'équationde Boltzmannle terme des for es éle trostatiquesn'est pas mieux que

L

2

et don son produit ave

f

η

k

qui

est dans

L log L

n'a de sens que dans un on ept de solutionsrenormalisées.

L'estimation d'entropie permet alors le passage à la limite faible sur des solutions renormaliséesjudi ieusesdel'équationde Boltzmannen utilisantlethéorèmede Dunford-Pettis etleslemmesde moyenne. Formellement,ilapparaît lairementave (1.0.9)quela limitede lafon tiondedistribution

f

η

k

doitapparteniraunoyaude l'opérateurde ollision qui est engendré par les maxwelliennes. Et le taux de dissipation mesure la distan e entre les fon tions de distribution et leurs équilibres. De plus, il est important d'établir lairementladépendan e du potentiel(et don des élémentspropresde l'Hamiltonien)vis à vis des fa teurs d'o upation

(ρ

k

)

k≥1

. Tous es outils permettent alorsde déterminerla limite des solutionsrenormalisées

(f

η

k

, V

η

)

du système (1.0.9)(1.0.11).

Dans leur arti le [13℄, les auteurs ont démontré l'existen e de solutions au système Vlasov-S hrödinger-Poisson uniquement sous l'hypothèse supplémentaire de données ini-tialespetites. Sans ettehypothèse,l'uni itédessolutionsdusystèmeS hrödinger-Poisson n'est plus assurée. Par onséquent, l'existen e des solutions au système Boltzmann-S hrödinger-Poisson (1.0.9)(1.0.10)(1.0.11)n'est établie que dans le as où lesdonnées initiales sont supposées petites. Tout d'abord, on ee tue une tron ature et une régu-larisation. La régularisation a lieu sur le système de S hrödinger-Poisson pour avoir des estimations meilleures que

H

1

permet d'obtenir une borne

L

∞

de la fon tion de distribution et l'existen e au système régularisé par une méthode de point xe omme en [13℄. Il sut alors de fairetendre les paramètres de régularisation vers

0

en utilisant des te hniques similaires à la limite de diusion. Malheureusement,dans le as oùletransports'ee tue dans un domaineborné du plan, les te hniques employées n'assurent plus l'uni ité des solutions au système de S hrödinger-Poisson etdon l'existen e des solutions du système ouplé ne peut pas être démontrée.

Le as de la dimension 3 (Chapitre 7)

Comme on l'a pré isé i-dessus, l'existen e des solutions au système (1.0.9)(1.0.11) n'a pas pu être établie dans le as où le transport s'ee tue dans un domaine du plan

R

2

. Cependantsionadmetavoir onstruitunesolutionrenormalisée omme elaaétéee tué dans le hapitre pré édent, il est possible de prouver la limite de diusion du système (1.0.9)(1.0.11) vers le modèleDDSP. Eneet, ela revient à onsidérer que leparamètre de régularisation est

η

et on se rappro he don des solutions, dont on suppose qu'elles existent, du système de dérive-diusion-S hrödinger-Poisson. La démonstration de ette limite de diusion fait l'objet de e hapitre.

Les grandes idées de la démonstration sont similaires à elles du as du transport monodimensionnel. Cependant, omme les inje tions de Sobolev donnent des estima-tions plus faibles, il onvient d'utiliser pleinement toutes les informations fournies par l'estimation d'entropie (1.0.12). De la mêmemanière qu'au hapitre 5,l'emploi judi ieux des inégalitésde Trudinger etde Youngpermetde mettre en dualitél'espa e

L log L

ave le arré de fon tions dans

H

1

, e qui utile ompte tenu de laforme du membre de droite de l'équation de Poisson (1.0.11). Et les propriétés des éléments propres ont dues être perfe tionnées (voiren annexe).

Partie III : Simulations numériques

Simulation d'un transistor double grille ave le modèle DDSP (Chapitre 8)

L'appli ation la plus en vue des modélisations ee tuées est leur utilisation à des ns numériques pour obtenir des simulations du transport dans des nanostru tures. Le dis-positif onsidéré i i est un nanotransistor de type MOSFET (Metal Oxid Semi ondu tor Field Ee t Transistor) à deux grilles sur lesquelles un potentiel peut être appliqué. Les transistors àeetde hampssont omposésd'un orps ondu teur, appelé anal, onne té àdeuxéle trodes. Enappliquantauxéle trodesunpotentieldrain-sour e

V

DS

,un ourant drain-sour e est établi.

LeMOSFETestundispositifunipolaire,i.e. le ourantesttransportéparseulementun type de porteurs (les éle trons). Letransistor est onstitué d'un substrat semi ondu teur (sili ium

Si

)àl'intérieurduqueldeux régionsfortementdopées sontintroduites(lasour e et ledrain). Lesgrilles sont isolées de la régiona tivepar une ou he d'oxyde

SiO

2

. Une

Sour e Drain

N

+

Si

N

+

Si

L

S

L

C

Gate Gate

V

GS

Si

N

L

D

V

DS

ℓ

ox

ℓ

ox

ℓ

Si

SiO

2

SiO

₂

x = L

x = 0

z = 0

z = ℓ

Figure 1.2: Représentation s hématique du MOSFET à double grilles simulé numérique-ment. Le transport des éle trons s'ee tue dans le anal, la région a tive entre la sour e et ledrain.

Uneparti ularitéduMOSFET estquelegazd'éle tronsest onné dansladire tion

z

de telle manièrequela dimension de l'espa ede propagationest réduite. Dessimulations numériques grâ e à des modèles de type S hrödinger-Poisson ont été obtenues pour de tels dispositifs [51, 55℄. Cependant les algorithmes, même a élérés, restent d'un oût numérique assez élevé. Dans e hapitre nous utilisons le modèle ouplé DDSP présenté dans la première partie de ette thèse pour la simulation numérique d'un Double-Gate MOSFET. On utilise une dis rétisation par éléments nies et une itération de Gummel. Le modèle des sous-bandes présente l'avantage de réduire onsidérablement le oût de la simulationde l'équationdeS hrödinger. Eneet, ilsutjustedans e as dediagonaliser l'Hamiltoniensur haque tran he verti aledu maillage. Les résultatssont présentés dans le as stationnaire.

Couplage de DDSP ave un modèle omplétement quantique(Chapitre 9)

Ce dernier hapitre présente une modélisation hybride quantique lassique du transport dans le nanotransistor présenté i-dessus. La prin ipale équation rendant ompte des eets quantiques est l'équation de S hrödinger. Vu que es eets sont prin ipalement lo alisésdans le anal,il peut être judi ieux de simuler ette zone par un modèle de type S hrödinger-Poissonetd'utiliserlemodèledessous-bandesDDSPpourlamodélisationde la sour e et du drain. Il s'agit alors d'un ouplage spatial. Une attention parti ulière est don portée sur les onditions d'interfa e. Une représentation s hématique du dispositif est donnéFigure 1.3.

Le modèle utilisé dans la zone lassique est elui simulé au hapitre pré édent. Le modèle quantique est présenté en [51℄. Il s'agit d'un modèle des sous-bandes pour le sys-tème de S hrödinger-Poisson. La fon tiond'onde

ψ

solutionde l'équationde S hrödinger

Sour e modèle ouplé uide/quantique Zone a tive omplet modèlequantique uide/quantique modèle ouplé Drain ouplage ouplage

Figure 1.3: Représentation s hématiquedes diérentes zones de des riptiondu dispositif.

l'opérateur de S hrödinger

(χ

k

)

k≥1

dans ladire tion

z

:

ψ(x, z) =

X

k≥1

φ

k

(x)χ

k

(x, z).

Leproblèmesetrouvedon réduitauxéquationssatisfaitesparles

φ

k

, fon tionsne dépen-dantquede

x

,solutionsd'équationsde S hrödingerprojetéessur ladire tiondetransport

x

. Cette méthode permet de réduire la dimensionnalité et don le oût numérique de la simulation. De plus l'approximation WKB, qui onsiste à her her des solutions de l'équation de S hrödinger sous laforme

φ(x) = α(x)e

iS(x)/h

,permet d'a élererdavantage l'algorithme de résolution. Le le teur intéressé pourra se réferer à l'arti le ité pour un exposé détailléde l'approximation WKB.

Unestratégie du ouplage entre la zonequantique et lazone lassique a été présentée en [7,24℄. Dans [7℄, l'auteur s'est intéressé au ouplage entre l'équationde Boltzmannet l'équation de S hrödinger. En utilisant es résultats, l'arti le [24℄ présente un ouplage entre l'équation de dérive-diusion et l'équation de S hrödinger. Nous nous proposons d'étendre es résultats au modèle ave les sous-bandes. Aux interfa es, les éle trons sont soit transmis, soit réé his sur une autre sous-bande. La zone a tive doit alors être on-ne tée à lasour e et audrain par des onditions ouvertes aux bords qui tiennent ompte de es rée tions ettransmissions. Les onditions d'interfa e doivent alors rendre ompte

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Les modèles de sous-bandes, du

mi ros opique au ma ros opique

2.1 The modeling

In this hapter, we use the subband de omposition method to model the transport of a quasi bidimensionalele tron gas onned inananostru ture. The maininterestof su ha modelingistoobtainnumeri alsimulationsofthetransportofparti lesinnanostru tures. Itplaysanimportantroleinthedeterminationofthelimitsizeofthenanos aleMOSFETs as well as the design of new devi es. In these ultimate size devi es, ele trons might be extremely onned in a dire tion. This dire tion will be referred to as the onnement dire tion and denoted by

z

. To simplify we assume that the onnement is realizedby a innite barrier at

z = 0

and

z = 1

, whi h implies that the partial Hamiltonian in the

z

dire tion admits an innite sequen e of eigenvalues. The transport dire tion is denoted by

x

.

In a full quantum system, the ballisti transport is well modeled by a S hrödinger equation whi h an be oupledto a Poisson equation if we want to take into a ount the ele trostati s intera tions. A derivation of subband models from the linear S hrödinger equation was introdu ed in [3℄. In this arti le, the potential

V

is assumed to be given and the

x

variable is assumed to besemi lassi al. By introdu ing the parameter

ε

whi h represents the quotient between the hara teristi s length in the

z

and the

x

dire tions and aftera res aling, the transport ismodeled by the following S hrödingerequation :

i

_ε∂

_t

_ψ

ε

₌

₋

ε

2

2

∆

x

ψ

ε

−

1

₂

∂

_z

2

ψ

ε

+ V ψ

ε

.

(2.1.1)

An important ondition to allow a separation of the onnement and of the transport dire tion is that the time does not play the same role in the

x

and in the

z

dire tions. In fa tthe quantum ee ts are quasistati s with respe t to time. If we take formally the limit

ε = 0

inthe above equation,we are naturallyindu ed to onsider the eigenspa es of the partialHamiltonianinthe

z

dire tion, usually alledsubbandsin thephysi literature