TD 7
Logarithme népérien et exponentiel le
T.S
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My Maths Space - 2016
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I Équations et inéquations
1⊲ Résoudre les équations suivantes en déterminant au préalable l’ensemble de définition de chacune d’entre elles.
• ln(x) + ln(x−1) = ln(6) • ln(3x) + ln(2−x) = ln(2).
2⊲ Avec changement de variable.
1. Résoudre l’équation :X2−2X−15 = 0.
2. En déduire les solutions des équations suivantes :
• e2x−2ex−15 = 0 • (ln(x))2−2 ln(x)−15 = 0.
3⊲ Résoudre les inéquations suivantes en déterminant au préalable l’ensemble de définition de chacune d’entre elles.
• ln(x) + ln(2x+ 5)6ln(3) • ln(x2−x−2)>2 ln(3−x).
4⊲ On cherche le plus petit entierntel que : 1−
1
5 n
>0,999 1. Résoudre cette inéquation algébriquement.
2. Proposer une vérification algorithmique de votre résultat.
II Dérivées et variations
1. Calculer les dérivées des fonctions suivantes en indiquant leur domaine de validité :
• f(x) = 2x+ ln x+ 1
x
• g(x) = x+ ln(x) x2 . 2. Soit la fonctionf définie sur ]0; +∞[ par :f(x) = (ln(x))2−6 ln(x) + 5
(a) Déterminer la fonction dérivée def. (b) En déduire les variations de f sur ]0; +∞[.
III Limites
Calculer les limites suivantes : 1. lim
x→+∞
2 ln(x) + 1
2x ;
2. lim
x→+∞xln
1 + 1 x
; 3. lim
x→0+ln(ex−1) ;
IV Étude de fonction
Soitf la fonction définie sur [0; +∞[ par :
f(x) = 1 +x−xln(x) six >0 f(0) = 1
1. Montrer que la fonctionf est continue en 0.
On admet que la fonctionf n’est pas dérivable en 0.
2. Calculer la limite def en +∞.
3. Déterminer la fonction dérivée def sur ]0; +∞[. en déduire le tableau de variations def sur [0; +∞[.
4. Démontrer que l’équationf(x) = 0 admet une unique solutionαsur l’intervalle [0; +∞[. Déterminer un encadrement deαà 10−2 près.
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V Un Vrai/Faux à justifier
Soitf la fonction définie parf(x) = x
2 − 1
ln(√x), et soitDf son ensemble de définition,Cf sa courbe représentative.
a : Df =]0; +∞[ ;
b : Cf « se rapproche » de la droitey= x
2 en +∞; c : Pour toutxdeDf,f(x)<x
2; d : Pour toutxdeDf,f′(x) =1
2 + 2
x(ln(x))2 ;
VI Avec des exponentielles
g1 etg2 sont les fonctions définies surRpar
g1(x) =xe−x etg2(x) =x2e−x
1. (a) Étudier les limites deg1 et deg2 en−∞et en +∞. Interpréter graphiquement.
(b) Étudier le sens de variation deg1 et deg2.
2. Dans un repère orthonormal du plan, on noteC1 etC2 les courbes représentatives des fonctionsg1et g2. Préciser la position relative des deux courbes.
3. (a) Donner une équation de la tangente à la courbe⌋1 au point d’abscissea(aréel).
(b) Cette tangente coupe l’axe des ordonnées en un point N. Déterminer en fonction de a, l’ordonnée deN.
VII Exercice 100 p 178
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