Vers le spectre du triangle ?

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Submitted on 1 Jan 1987

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Vers le spectre du triangle ?

M. Gaudin

To cite this version:

M. Gaudin. Vers le spectre du triangle ?. Journal de Physique, 1987, 48 (10), pp.1633-1650.

�10.1051/jphys:0198700480100163300�. �jpa-00210602�

Vers le spectre ^du triangle ?

M. Gaudin

Service de physique théorique, ^CEN Saclay, 91190 Gif sur Yvette, ^France

(Requ le 30 avril 1987, accept,6 ^{le 11} juin 1987)

Résumé. ²⁰¹⁴ Le problème ^du spectre ^du laplacien ^{dans un domaine} triangulaire ^{revient à résoudre certaines}

relations fonctionnelles _pour des fonctions entières de croissance donnée. Une preuve simple ^{en est fournie}

dans le cas du triangle équilatéral ^avec conditions mixtes sur les côtés et du triangle ^{isocèle avec} les conditions de Dirichlet. Un calcul numérique ^encore rudimentaire permet d’obtenir les premiers niveaux du losange ^{et de} l’hexagone régulier.

Abstract. ²⁰¹⁴ The spectrum ^{of the} Laplacian ^{in a} triangular ^domain is related to the solution of linear functional

equations ^for entire functions of given asymptotic behaviour. A simple proof ^is given ^{in the case of the} equilateral triangle ^{with mixed} boundary conditions. A rough ^numerical calculation allows to obtain the first levels of the rhombus and regular hexagon.

Classification

Physics ^Abstracts

03.65

1. Introduction et rappels.

Dans une etude r6cente sur le billard quantique triangulaire [1], ^le probleme ^du spectre ^du laplacien

avec les conditions de Dirichlet ^ou de Neuman sur

les cotes du triangle avait ete ramen6 a la resolution

d’6quations fonctionnelles pour des fonctions enti6-

res d’une variable complexe ayant ^{une croissance} donn6e. Malgr6 ^{la forme assez} simple ^des equations,

le probl6me d’analyse ^ainsi pose ^{est encore difficile.}

Toutefois certaines equations ^{lin6aires aux diff6ren-}

ces ont pu etre r6solues explicitement par le passe ^et

fournir ainsi la solution exacte de syst6mes ^{dits non} int6grables [2], ^{et il est} permis ^de penser que la m6thode d’approche propos6e constitue effective- ment une reduction du probl6me ^initial.

Cependant ^les equations ^aux differences obtenues

ne derivaient pas de fagon n6cessaire des hypotheses

du probl6me ^{aux limites,} mais seulement de 1’exis- tence suppos6e ^d’une representation int6grale ^du type ^de Sommerfeld [3]. On voudrait montrer, ^sur

1’exemple ^du probl6me ^{mixte du} triangle equilateral (qui ^{est le cas non} integrable ^le plus simple),

comment l’on aboutit n6cessairement a des relations fonctionnelles de ^structure analogue 4 celles de (1),

bien qu’elles ^{ne leur} soient pas identiques. ^{Si 1’exis-}

tence de telles relations de structure commune est

assuree, ^{il en existe} probablement ^{une infinite,}

relatives chacune a une representation ^de la fonction d’onde dans toute bande de periodicite. ^Le probleme

de leur equivalence est ouvert.

Nous avions montre que la fonction propre du

laplacien, prolong6e par reflexions ^a partir ^{du trian-} gle fondamental G, ^{est une fonction non uniforme} poss6dant ^{une infinite de} p6riodes 616mentaires reelles : sur le d6ploiement plan de la surface constitu6e par ^les deux faces oppos6es ^du triangle -6, chaque ^{famille de} trajectoires ^ferm6es paralleles ^est envoy6e ^{sur une famille} image de droites paralleles

definissant une bande infinie de largeur finie, ^{ou la} fonction t/1 (r ) ^est prolong6e ^{comme fonction} analyti-

que (des deux variables z et z ) ^de p6riode ^{2 u} (2 ^u

etant la longueur ^{commune des} trajectoires paraII6-

les de chaque famille). ^L’axe median d’une bande de

periodicite ^{est defini} par ^un segment ^de trajectoire double, chaque ^segment d6finissant une bande diffé- rente. La largeur, ^non nulle, ^{de la bande est} d6termin6e par ^la g6om6trie ^{des sommets} images

situ6s n6cessairement sur sa fronti6re et distants d’une p6riode (cf. Fig. 1). ^La periode ^{2 u est une}

translation du groupe de deplacements ^G engendre

par les trois reflexions Rj; j = 1, ^{2, 3. Cette}

translation est le carr6 d’une semi-translation consti- tu6e du produit ^{de la} translation ^u et de la reflexion

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:0198700480100163300

Fig. ^{1. - Le} triangle ^{-6 et ses} images ^le long des bandes de translation TI, T2, T3 associ6es a la trajectoire classique

minimale. La largeur des bandes est d6termin6e _par les sommets images ^les plus proches ^sur leur frontiere.

[The triangle ’G ^{and reflected} images, along ^the strips T, ^{which are} associated with the minimal classical trajec- tory. ^{The width of as} strip ^is determined by ^the presence of

a vertex on the boundary.]

Ru par rapport ^a 1’axe median auquel ^{nous lierons le}

vecteur u. Si le probl6me ^{mixte est defini} par les 3 parites _Ei.

chaque branche ip. (r) ^{poss6de la} propri6t6 :

avec

L’interet essentiel des remarques pr6c6demment rappel6es ^est de fournir des representations analyti-

ques de w ^dans chaque ^bande (u) ^{comme fonction} p6riodique developpable ^en serie de Fourier de

p6riode ^{2 u. Les} coefficients de Fourier f/J u, n ^sont

definis _par integration ^{de la} fonction d’onde le long

de la trajectoire ^double (axe ^{median de la} bande)

Chaque paire ^{de fonctions} t/J Ul ^{et t/J U2 associees aux}

bandes (ul ), (u2 ) ^{a un} domaine de definition

commun dans G, ^{autour de tout} point d’intersection de deux trajectoires ^{fermees ;} notamment qf u ^et

t/J R1 u’ ^{au voisinage du point de} reflexion de la

trajectoire ^{sur le cote n° 1.}

D’ou 1’existence des series de Fourier

en terme des coordonn6es x ⁼ r . u adaptees ^{a la} bande, ^{avec une} origine 0 pour l’instant arbitraire

sur 1’axe des abscisses u. On a vn = n’TT ju, ^{et le}

radical impair en v, ,Ik 2_ V2 = i v2 - k2 -- i v à

l’infini. On ^a utilise la symetrie (1.2). ^{La serie doit}

converger normalement dans ^la bande

ou la largeur 2 bu ^{est definie par la} geometric. ^En

resulte la condition de croissance des coefficients de Fourier

La serie (1.7) ^{doit encore} converger pour y ^{= ±} b, puisque Q ^{est par} hypothese ^{finie sur les sommets.}

Manifestement, ^les proprietes resumees par la serie (1.3) ^{sont une extension au cas de} 1’equation ^de

Helmholtz de ce qu’on observe pour la solution ^de

l’équation ^de Laplace ^{avec valeur au} bord donnee.

On sait que ^ce dernier probl6me est exactement resolu par l’application ^conforme [4] z - § ^du domaine donn6, ’G sur le demi-plan superieur Im > ^{0. La} fonction du triangle C (z ) est automor-

phe par rapport ^au groupe G, ^{mais en} general ^elle

n’est pas uniforme sauf ^dans les cas ou les trois nombres 7r/ai ^{sont entiers} (ai ^{angles de 1)). La}

fonction de Green G (r, ro), qui ^est harmonique ^en

dehors de _ro, se construit comme somme de deux fonctions analytiques conjugu6es, l’une ^{de z,l’autre}

Ce qui ^est analogue ^{a la somme} (1.4). ^D’autre part, les fonctions du triangle, qui ^{sont des} hypergeometri-

ques, ^sont clairement prolongeables ^dans chaque

bande de periodicite ^{et donnent lieu a} des series de Fourier du type ^{ci-dessus avec k =} 0, relativement à

chaque periode ^ou translation de G. On le voit bien dans le probl6me ^{mixte du} triangle equilateral

E1 = £2 = - £3 ⁼ 1, qui ^{est le} probleme de Dirichlet

du losange ^L

ir 2 (

37T ), ),

03B6 (z) s’exprime ^{en terme} de la fonction _{p de} Weier- strass pour le rapport ^des periodes [5]

Les bandes de translation sont ici assocides a tout

couple ^de periodes fondamentales (w1, Cù 2) ^issues

de (w1, W2) par transformation modulaire sur T. Les

d6veloppements periodiques ^dans chaque ^bande pourraient donc etre construits systematiquement puisque p est invariante dans les transformations modulaires homogenes.

Enfin, rappelons l’origine ^des equations ^fonction-

nelles obtenues en reference [1]. ^{Le fait essentiel est}

que deux branches t/J u1 (r) ^et t/J u2 (r) ^{relatives aux}

bandes (ul ) ^et (u2 ) representent ^la meme fonction dans leur intersection (u1 ) m (u2 ). ^{Dans ce domaine}

commun on postulait ^une representation int6grale

genre Sommerfeld

ou C 12 ^{est un contour} separant les deux series de

poles (entourant ^{les zeros de sin k.} u I dans le sens

positif) ; h12 ^le point 4’intersection ^{des axes} _ul et u2 ; 912 (k ) ^{une fonction} entiere dont la croissance est strictement inferieure a celle de cos k. (ul ^± u2 ). ^La representation (1.10) engendre ainsi les series de Fourier de t/J Ul ^{et de} t/J U2 qui effectuent ainsi le

prolongement ^de 41 _{(Ul, U2)} dans les deux bandes. On peut ^{alors montrer} qu’a ^toute trajectoire ^double

fermee correspond ^une relation fonctionnelle. En effet, supposons celle-ci formde de (2 p + 1 ) segments successifs entre les points d’incidence sur

les divers cotes de C, h12, h23, ^..., h2p+l,1 et

considdrons les (2 p + 1 ) bandes associ6es aux

segments, ^soient (ul ), (u2 ), ^..., (u2 p + 1 ). ^{On a la}

relation de coherence entre les fonctions enti6res

avec les relations de symetrie

R12 = (Rl, R2, R3 ), ^{etc. selon que} hl2 appartient ^au

cote 1, 2, 3. La relation (1.11) ^assure que ^{l’on a} dans le prolongement ^commun (u2 ) :

et (1.12) ^entraine

Nous n’avons pas prouve qu’il ^{existe des solutions}

du systeme (1.11-12) ayant ^les proprietes ^{de crois-}

sance voulues. De plus ^la definition precise ^{de la} representation (1.10) pose des probl6mes techniques

difficiles a r6soudre a priori. ^{11 est} possible que les

poles indiqu6s n’existent pas ^{tous. 11 est} probable qu’il faille dissocier les series de poles ^{selon le} signe

de Im m ou selon que Re w ⁼ 0, w, et choisir des contours diff6rents selon le cas. C’est pourquoi ^nous

ne reprendrons pas ^cette methode trop g6n6rale

dans la suite, ^{mais nous} montrerons que les 6qua-

tions aux differences, primitivement d6duites de relations telles que (1.10), ^{sont bien dans la nature}

du probleme ^en 6tablissant celles-ci dans les cas les

plus simples par deux m6thodes differentes donnant des formes analogues ^{mais non} identiques.

Fig. ^{2. - Le} losange ^{i3 +} R2 -G ^{dans le} plan de la variable z, a appliquer ^{sur le} demi-plan Im t > 0.

[Embedding ^{of the} rhombus i3 + R2 G (in ^{the z} plane) ^on

the half-plane ^{Im t} > 0.]

2. Le problème ^du losange ^{et de} l’hexagone r6gulier.

Traitons les cas les plus simples ^de probl6me ^mixte

par ^une methode tres directe. 11 s’agit ^{du cas du} triangle equilateral ^avec £1,2 = - £3, equivalent ^par-

tiellement ^au problème de Dirichlet pour ^le losange

7r 2 7T

3 3

systeme de coordonnees cartesiennes Ox, Oy, ^le triangle 13 ^{est defini} par les ^{droites y =} ± x / B/3

(cotes ^{1 et} 2) ^{et x =} ’IT / V3 (cote 3) ; ^la longueur ^du

cote est donc 2 7T /3, ^{ceci pour reprendre la conven-}

tion de la reference [1] ^{ou la} longueur ^{de la} trajec-

toire fermee minimale ^a ete choisie egale ^{a w} (p6riode fondamentale 2 -a).

Les conditions aux bords _E3 ⁼ 1, _{el, 2} = -1, ^don-

nent le cas du losange ^{L = 1) +} R3 -G ; et £3 = - 1,

£1,2 = 1, ^{est le cas de} 1’hexagone ^H (1)+ images engendrees par R1 ^et R2). ^{Dans les deux cas, la}

fonction d’onde est ainsi prolongee ^dans l’hexagone

de centre 0 et rayon ’IT / B/3. ^{On la} prolonge ^ensuite

par reflexions successives par rapport ^{au cote 3 et ses} images parall6les, ^ce qui ^{donne une fonction} periodi-

que ^{en x,} de p6riode ⁴ 7r / V3, dans la bande Cette bande constitue donc ^une bande de translation relative a la classe de trajectoi-

4 -ff

res de longueur .)3 _{pour L} comme pour H.

3

Nous avons les deux types ^de conditions ^sur

4, (x, Y)

L) Periodicite

4’L ^{est donc} antip6riodique

Ddriv6e normale nulle sur 1 et 2

4’H antipdriodique

Enfin la symetrie ^de reflexion par rapport ^{a Ox} entraine 1’existence d’une parité n

On ddsignera par Hn ^et L 71 ^{les cas} correspondants.

Une solution de 1’equation ^{des ondes} Aw ⁼ k2 tf, ^de parite ^n, antip6riodique ² 7r/ .J3 ^{en x, admet la}

representation ^{suivante en} serie de Fourier convergente ^{dans la} bande I y

-- 3

avec le choix ^cos (11 = 1 ), ^{ou sin} (n = - 1). La condition sur les cotes 1, ² s’dcrit, ^{dans le cas L}

Le systeme de fonctions e 3 iny , n ^E Z, ^6tant complet ^sur

donc :

la condition ^au bord de L s’ecrit

ou encore, ^en distinguant ^les parités, ^{et dcrivant}

2022 11 ⁼ 1 : Partie paire ^en J , impaire ^{en n}

. 11 _ -1 : Partie impaire en -,/ ^, paire ^{en n}

C’est-A-dire :

ou l’on a pose : ^:

L’existence de singularités de branchement sur la frontière de la bande entraine Ie comportement exponentiel ^dominant I at ^oc exp (- 7Tf /2 B/3) ^{ou lim f-l} log I aé ^{= 0. De plus,} la fonction d’onde etant continue et finie ^aux sommets de 1), les series doivent encore converger pour x ⁼ I , y ^{= ±} 7T , ^ce qui

v3 ³

entraine :

Les series consid6r6es en (2.3 ^et 7) ^{sont donc} normalement convergentes.

On obtient de meme les conditions pour H :

etc. et finalement

On peut condenser les conditions obtenues ^sous la forme :

coefficients pairs :

coefficients impairs :

Nous avons donc les systemes lin6aires infinis

avec la notation

L’ecriture precedente ^{n’a de sens} que si ^le param6-

tre spectral k’2 est different des entiers 1, 3, 7, 9, 13, 19, ^... qui constituent une suite de « poles ^» (cf.

Tab. III). Cependant ^les expressions (2.12) ^restent

finies en ces points, ^{car les} coefficients a’ ^et b’ s’y ^annulent d’apres (2.5). ^{Nous verrons} que ^ces

poles ^en k 2 sont les niveaux correspondant ^{a des}

conditions aux limites p6riodiques.

3. Les premiers niveaux du spectre.

Oubliant un instant qu’il s’agit ^de syst6mes infinis,

ou les equations de convergence jouent ^{un role} crucial, ^on obtiendrait les equations pour le spectre

en annulant les determinants infinis suivants :

avec

Les elements de matrice ci-dessus ont ete obtenus à

partir ^de (2.12) ^en regroupant ^{les termes} ± l,

compte ^{tenu de la} parite ^des ai, bi.

Quel ^sens ont ces objets ? Puisque ^{les series} (2.12)

sont normalement convergentes ^{en vertu de} (2.6), ^le systeme lin6aire infini pourrait etre consid6r6

comme limite, ^{si elle} existe, ^du systeme tronqu6 ^de

dimension P x P, 1--f -- 2P -1, 1--n--P (n =1 ), lorsque ^P augmente ind6finiment.

Cependant ^les determinants (3.1) n’appartiennent

pas a la categorie ^{des «} determinants convergents ^»

au sens defini _par Whittaker et Watson (Modern Analysis, ^{Sect. 2.8,} p. 36) [5]. ^En effet d6t A est dit convergent, c’est-A-dire que la limite des d6termi- nants tronqu6s peut ^etre prouvee, ^{si le} produit

n ^{I Ann I et la serie} double E ^{Anm I} convergent.

n n#m

Or il s’en faut _pour cette derni6re d’une divergence logarithmique.

11 n’est pourtant pas exclu que ^les determinants

tronqu6s ^d’ordre P, Ap, d6finissent des suites de zeros convergeant ^{vers le} spectre, ^d’autant plus que la structure polaire ^{de ces} approximations ^rationnel-

les est d6jA ^{celle de} 1’eventuelle limite meromorphe

pour les premiers ^{niveaux. La} position ^des poles

fixes contraint celle des zeros dans une certaine

mesure. C’est ce qu’un ^calcul num6rique pr6limi-

naire assez rudimentaire semble indiquer.

Le tableau I donne les positions ^{des zeros de} Ap pour les valeurs ^{P =} 6, 8, 10, 12, manifestant une

stabilite des quatre premiers ^chiffres significatifs ; ^ce qui ^{ressemble a une} convergence a la precision ^du

calcul qui pourrait d’ailleurs etre perfectionne. ^Cette stabilite, pour les premiers ^{niveaux au} moins, ^est

assez remarquable ^vu que ^{P reste} limite du fait des variations importantes d’ordre de grandeur ^de Ap ^{avec P.}

Les tableaux II et III pr6sentent ^la partie ^du spectre k 2- k 25, _{pour les} quatre ^cas trait6s. Les

3

quantit6s k 2 representent ^{si l’on veut} les niveaux du

triangle r6gulier ^{de surface} 7r 2/ ,J3. ^{En comparai-}

son, sont places ^les niveaux estim6s « a l’ordre le

plus ^{bas » en} d6veloppant ^la fonction d’onde en serie de Bessel, ^{avec les} symetries convenables. Prenant

Tableau I. ^- Les zeros du d6terminant Ap (k’2 ) ^pour quelques valeurs de la dimension P. Sous chaque valeur,

encadré Fy- l’ordre de grandeur ^{y du} determinant A oc 10 Y, ^{calculé au} voisinage ^{de ses zeros.}

[The ^zeros of the determinants 4 p (k’2) ^{for a} few values of the dimension P. Under each value is quoted ^{in a}

box the ^{order of} magnitude y of the determinant A oc 10 Y, computed ^{in the} vicinity ^{of the} zero.]

Tableau II. ^- Niveaux k 2 du triangle équilatéral ^avec conditions mixtes, parité

[Levels ^{k’2 of the} equilateral triangle ^{with mixed} boundary conditions ; parity

Tableau III. ^- Niveaux du triangle ^avec conditions mixtes dans les quatre ^cas trait,6s, compares ^{à l’ordre zero}

donne _par les zeros des fonctions ^{de Bessel} indiquees.

[Levels ^{of the} equilateral triangle with mixed conditions in the four cases H+ , L+ , compared ^{with the « zero}

order » given by ^{the roots} of the indicated Bessel Fonction.]

comme centre le sommet 3 du triangle equilateral ^{C, on a les} developpements ^evidents

et, par consequent, ^{si l’on} appelle R ^{le rayon du}

cercle equivalent ^{en surface a} 1’hexagone ^tel que

R2 ^{= 2} ir / J3, ^les conditions aux limites sur le cote 3 sont grossi6rement ^realisees par les equations

en k,

D’ou le spectre approche ^donne simplement pour la classification et l’ordre de grandeur ^des premiers

niveaux.

Sans doute la m6thode des determinants tronques permettrait-elle de calculer avec une precision ^analo-

gue les ^autres niveaux de 1’hexagone ^{associ6s a des}

valeurs non nulles du «moment angulaire»

JL = 0, 1, ..., 5. ^Les equations lineaires semblables à

(2.12) que l’on obtient ^au chapitre 5 pour le triangle

isocele quelconque par ^une m6thode legerement diff6rente, rel6veraient aussi de la meme m6thode

numerique ^avec l’avantage d’une matrice sym6tri-

que. Quoi qu’il ^en soit de l’interet numerique, ^une

definition math6matiquement ^correcte de d6termi- nants equivalents ^a (3.1) ^{reste a trouver.}

4. Relations fonctionnelles.

Toujours ^{dans les cas L et H} de la section prece- dente, ^nous etablissons des relations fonctionnelles

equivalentes ^aux equations (2.12) que ^nous presen-

tons en manifestant les poles ^dans I’argument f ^{de la}

sommation. Nous ecrivons ici

On introduit alors les fonctions mdromorphes ^{en z}

paire ^{en z, en vertu de} (2.10), ^et

impaire ^{en z.} Series uniformement convergentes

d’apres (2.6) ^{dans tout} compact ^du plan ^{z ext6rieur}

aux poles (entiers impairs).

Les fonctions b (z ) ^et a (z) introduites en (4.3) ^sont

donc entieres et leur croissance _{n’est pas} sup6rieure

a exp

( 7r 2

z ),

Prenons la seconde equation (4.1) ^{relative au cas} (L_ ), ^la plus simple. ^Elle exprime que ^la fonction :

s’annule toutes les fois que ^{2 z est un} entier _n, c’est- a-dire sur les zeros de sin 2 irz). ^Or 1’expres-

sion (4.4) ^divisee par J k’z - 3 ^{z 2 est une fonction}

uniforme et m6romorphe. ^{On en} deduit 1’existence d’une fonction enti6re A (z) telle que 1’expres-

sion (4.4) ^soit identique ^{A :}

Afin d’6viter de considerer ^les choses sur deux feuillets du fait du radical ^on uniformise celui-ci en

passant ^a la variable complexe w d6finie par

On a ainsi

On pose A (w ) = ^{sin w} A ^{et l’on}

obtient l’identit6, equivalente ^a (4.1) ^{relative à} (L- ) :

On a les symetries

Par un raisonnement identique, ^{on obtient} pour le cas (L+ ) :

avec

Les deux cas de parite relevent de la meme equation fonctionnelle, ^{et le} probl6me ^du losange ^{est r6duit à}

celui ci :

Trouver deux fonctions enti6res a (w ) ^{et A} (w ), vérifiant l’identit6

de sorte que la croissance de a (w ) ^{ne soit} pas superieure ^{a celle de cos}

On obtiendrait enfin _{pour les} ^cas (H) ^{les identites entre} les fonctions enti6res b (w ) ^et B (.w ) :

avec

et pour (H_ ) :

avec

On obtient donc essentiellement la meme equation fonctionnelle dans les quatre ^{cas du} probleme ^{mixte du} triangle, la seule difference etant due a la parite ^{et a la} p6riode.

Signalons finalement qu’on pourrait aussi bien traiter selon le meme procddd ^{le cas du} triangle ^isocele d’angle a ^{= 7r} /N ^et plus g6n6ralement ^le probleme de Dirichlet du polyg6ne r6gulier ^{de 2 N} cotes pour les etats de moment angulaire ^{g. Donnons} 1’equation fonctionnelle que nous avons obtenue pour JL ⁼ 0 ; ^{R est la} longueur ^{des cotes 1 et 2 :}

de sorte que la croissance de b (w ) ^{ne soit} pas

superieure a celle de cos kR ^{cos a} ₂ ^cos co ^{on a}

les parites

Nous reviendrons, ^{section 6 sur la nature du} probl6me ^de divisibilit6 pose par les relations prece-

dentes.

5. Un probleme ^de Schrodinger p6riodique.

Le probleme de Dirichlet du triangle ^{et du} parall6lo-

gramme quelconque ^est abord6 dans cette section par ^une m6thode un peu diff6rente des pr6c6dentes

dans son principe. On avait d’abord cherch6 A

comprendre ^le prolongement multiforme de la fonc- tion d’onde et l’on avait ainsi utilise 1’existence des bandes de translation liees ^aux trajectoires ^ferm6es

pour obtenir des representations commodes de la fonction d’onde parce que p6riodiques. ^On pourrait

meme construire des representations ^doublement periodiques, quoique ^non uniformes. Dans les deux cas, il y ^{en a une} infinite, ^{et aucune ne} pr6vaut ^sur

les autres.

Dans la m6thode qui suit, ^nous repr6sentons ^la

fonction d’onde comme fonction p6riodique ^{dans le} plan mais relativement a un reseau unique, ^celui qui

est engendre par les trois c6t6s du triangle ’G, consid6r6s comme trois vecteurs de somme nulle.

Nous consid6rons le probleme de Dirichlet comme un probleme ^{limite de} Schrodinger ^{avec un} potentiel p6riodique constitu6 par une mesure doublement

periodique supportee ^{par les} cotes. Le probleme ^se rapproche ^ainsi beaucoup ^{dans sa} formulation de

probl6mes ^de particules ^en interaction delta sur un

axe dont certains cas non intdgrables ^ont d6jA ^6t6

r6solus dans le pass6 par la m6thode des equations

aux differences.

Appelons sj ^{les sommets de C, on a}

b, les normales exterieures aux c6t6s aj, bl . a1 = 0, normalisees de sorte que

On en deduit

et

Le reseau engendre par (bj ) ^{est le} reciproque ^du

reseau (aj). ^{La longueur des b est} bj = "r _S a,, S ⁼ surface de ’G, puisque l’on verifie

On consid6re alors le probleme ^de Schrodinger

suivant dans ^un potentiel p6riodique (ai) :

avec la fonction delta de pdriode ^{2 7r}