Diraction
Les points du cours à connaître
I- Diraction de Fraunhofer
1. Cadre de la diraction de Fraunhofer
La diraction est un écart à la propagation rectiligne qui ne peut s'expliquer ni par la réexion, ni par la réfraction.
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
Phénomène de diraction vidéo
La transmission est complexe, telle que |˜t| ∈[0; 1] :
• ˜t(P) = 0⇒ la pupille est opaque enP ;
• ˜t(P) = 1⇒ la pupille est transparente enP ;
• ˜t(P) =ej ϕ(P) ⇒ la pupille est un "objet de phase" enP. Transmission d'une pupille diractante dénition
On s'intéresse à une pupille telle que
• pour x >0, ˜t(x) = 1 la pupille est transparente ;
• pour x < 0, la pupille est une lame de verre à faces parallèles d'épaisseur e d'indice n.
Déterminer ˜t(x)pour x <0. 1 Objet de phase exercice
˜t(x) =ej2πλ(n−1).e pour x <0.
dans le cadre de l'optique géométrique, les rayons émergents de la pupille devraient être dans la même direction que ceux qui sont incidents (~ki = ~kd), du fait de la propagation rectiligne de la lumière. Mais dans le cadre de la diraction, ce n'est pas nécessairement le cas :~ki 6=~kd.
remarque
La gure 1 représente les conditions de la diraction de Fraunhofer : on éclaire la pupille diractante avec une onde incidente plane monochromatique (de vecteur d'onde~ki), c'est à dire par un faisceau laser parallèle ou par une source ponctuelle dans le plan focal objet d'une lentille convergente L1, et on observe en M à l'inni (dans la direction du vecteur d'onde~kd) c'est à dire dans le plan focal d'une lentille convergente L2..
Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.
Montage académique animation
Figure 1 Montage académique
La gure 2 représente pour simplier, on peut utiliser une unique lentille juste avant la pupille diractante et regarder l'image de diraction dans le plan image de la source ponctuelle par cette lentille.
Montage simplié schéma
Figure 2 Montage simplié
2. Utilisation des fréquences spatiales
On s'intéresse à un réseau unidimensionnel d'extension innie de coecient de transmis- sion sinusoïdal
t(x) =t0
1 + cos
2π x a
et de pas a.
Décomposer t(x) en une somme d'exponentielles complexes.
2 Réseau de transmission sinusoïdale exercice
Le faisceau d'un laser, une fois passé à travers un réseau de transmission sinusoïdale, laisse trois taches sur un écran, celle du centre étant plus lumineuse.
Ecran éclairé par un laser à travers un réseau de transmission sinusoïdalephoto
On s'intéresse à une onde plane monochromatique de longueur d'onde λ incidente de façon normale sur le réseau de transmission sinusoïdal. On cherche la vibration lumineuse transmise sous la forme :
˜
α0e−j(ω t−~k0~r) + ˜α−1e−j(ω t−~k−1~r) + ˜α+1e−j(ω t−~k+1~r) Ecrire la continuité de la vibration lumineuse au passage de la pupille.
En déduire que l'onde est diractée dans trois directions qui correspondent aux fré- quences spatiale p/apar la relation sin(θp) = pλa avec p= 0, −1, ou 1.
3 Directions de diraction d'une onde plane qui passe par un réseau de trans- mission sinusoïdale exercice
Comme la vibration lumineuse incidente est A˜0e−j(ω t−~k ~r), avec ~k = 2λπ~ez, ˜s(z = 0+, t) = t(x) ˜s(z = 0−, t) soit
˜
α0e−j(ω t−~k0(x~ex+y~ey)) + ˜α−1e−j(ω t−~k−1(x~ex+y~ey)) + ˜α+1e−j(ω t−~k+1(x~ex+y~ey))
=t0A˜0e−j(ω t)
"
1 + ej2π xa
2 + e−j2π xa 2
#
⇒
˜
α−1 = ˜α+1 = α˜20 = t02A˜0
~k0~ey =~k+1~ey =~k−1~ey = 0
~k0~ex = 0
~k+1~ex = 2aπ
~k−1~ex =−2aπ
Comme la longueur d'onde ne varie pas lors de la diraction, |~k0| =|~k+1| =|~k−1| = 2λπ, on peut donc écrire
~kp = 2π
λ (cosθp~ez+ sinθp~ex) avec sinθn =naλ pourn = 0, −1, ou 1.
Une périodicitéa dans la pupille de diraction correspond à une fréquence spatiale σ = 1
a
La lumière est diractée dans une direction faisant un angleθavec l'axe optique tel que Lois de la diraction pour une fréquence spatiale à retenir
L'intensité lumineuse diractéeI est proportionnelle au module au carré du coecient de Fourier cn de la transmission de la pupille :I ∝ |cn|2.
On s'intéresse à l'onde plane monochromatique de longueur d'onde λ incidente de façon normale sur le réseau de transmission sinusoïdal
Comparer les intensités lumineuses correspondant aux trois directions de diraction.
4 Intensités relatives après un réseau de transmission sinusoïdale exercice
Les intensités lumineuses correspondant à ces directions sont proportionnelles au carré de l'amplitude (α˜n) donc des composantes de la décomposition de Fourier complexe de t(x). Ici, si l'intensité pour n= 0 est I0, alors les intensités pourn = 1 etn =−1 sont I40.
On s'intéresse à une onde plane monochromatique de longueur d'onde λ incidente de façon normale sur un réseau unidimensionnel d'extension innie de N traits équidistants de pas a, de coecient de transmission
t(x) =
n=+∞
X
n=−∞
h
tnej(2π n xa +ϕn)i
et de pas a supérieur à λ.
Dans quelles directions observe-t-on de la lumière diractée ? Retrouve-t-on les résultats du réseau ?
5 Mire unidimensionnelle innie de N traits équidistants de pas a exercice
Les fréquences spatiales sont σn = na, donc on observera de la lumière diractée dans les directions faisant un angle θn avec la normale à la mire, avec
sinθn=λ σn = n aλ
On retrouve bien la formule des réseaux :
sinθn−sinθi = n aλ car θi = 0.
3. Limitation de la résolution à cause de la diraction
On s'intéresse à une onde plane monochromatique de longueur d'onde λ incidente de façon normale sur une fente rectiligne de largeur a, de coecient de transmission
t(x) =
Z σ=+∞
σ=−∞
ej(2π σ x+ϕ(σ))dσ 6 Fente rectiligne de largeur a exercice
Comme on a vu en première année que sinθmax = λa et que d'autre part sinθ =λ σ < λ
a on peut en déduire que σmax = 1a.
On s'intéresse à une étoile qui envoie une onde plane monochromatique de longueur d'onde λ incidente de façon normale sur une lentille convergente de diamètre a.
Montrer que l'image de l'étoile dans le plan focal n'est pas un point lumineux mais une tache (appelée tache d'Airy) dont on estimera la taille.
7 Tache d'Airy exercice
Comme on l'a vu la taille angulaire de la tache de diraction estθ ≈ λa donc la tache d'Airy est de diamètre d≈ f0aλ.
On s'intéresse maintenant à deux étoiles qui envoient chacune une onde plane monochro- matique de même longueur d'onde λ incidentes sur une lentille convergente de diamètre a,
• l'une de façon normale (i1 = 0),
• l'autre inclinée par rapport à l'axe optique de i2.
Montrer que le critère de Rayleigh pour discerner les deux taches d'Airy impose que
|i2−i1|> ε, qu'on estimera.
8 Résolution angulaire exercice
Comme chaque tache d'Airy est de diamètre d ≈ fa0λ, l'une centrée en O, l'autre à une distancef0i2, il faut que
f0i2 > 1 2
f0λ
a ⇔ |i2−i1|> ε= λ 2a
La diraction par l'ouverture d'un instrument d'optique limite la résolution de ce der- nier.
Limitation de la résolution d'un instrument optique par la diractionà retenir
II- Interférences à N ondes
1. Interférences crées par N fentes inniment nes
N trous alignés équidistants (de distance a) sont éclairés par une onde plane monochro- matique de longueur d'onde λ faisant un angleθi avec la normale au plan des trous. On observe la lumière diractée à l'inni dans la direction θd avec la normale au plan des trous.
Exprimer le déphasage ϕ entre deux ondes passant par deux trous successifs.
9 Déphasage pour une onde passant par deux trous. exercice
Le déphasage entre deux ondes passant par deux trous successifs est ϕ= 2π
λ (ISn+1+Sn+1J) = 2π
λ a(−sinθi+ sinθd)
On s'intéresse au dispositif précédent de N trous alignés équidistants (de distance a).
En utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la position des ordres par condition d'interférence constructive.
Toujours en utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la demi-largeur angulaire ∆θ des franges brillantes par condition d'interférence destructive. Interpréter la dépendance de ∆θ avecN.
10 Détermination de la position et de la largeur des ordres par les conditions d'interférences. exercice
La condition d'interférence constructive est ϕ=p2π avecp entier, soit : p2π= 2π
λ a(−sinθi + sinθd)⇔sinθd−sinθi = p λ a
La condition d'interférence destructive autour de ϕ= 0 est N∆ϕ=±2π, la largeur du pic est donc ∆ϕ= 4Nπ.
Or, en diérentiant le déphasage on trouve
∆ϕ= 2π
λ a∆ (sinθ) = 2π λ a∆θ autour de ϕ= 0. Soit :
2π 4π 2λ
La courbe de l'intensité en fonction de la direction présente des pics. En augmentant le nombre de fentes, la position des pics ne change pas, leur intensité augmente et leur largeur diminue.
Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.
Eet du nombre de fentes sur la courbe de l'intensité lumineuse animation
La largeur des taches de diraction diminue à mesure que le nombre de fentes augmente. On ne visualise de la lumière diractée que dans certaines directions appelées ordres du réseau.
L'ordre nul correspond à l'optique géométrique (pas de déviation des rayons incidents).
Vous pouvez retrouver une animation explicative sur le site alain.lerille.free.fr.
Eet du nombre de fentes sur l'image de diraction animation
L'intensité diractée parN fentes présente des pics. En augmentant le nombre de fentes, la position des pics ne change pas, leur intensité augmente et leur largeur diminue.
Eet du nombre de fentes sur la courbe de l'intensité lumineuse à retenir
2. Interférences crées par N fentes nes
On s'intéresse au dispositif précédent de N fentes alignées équidistantes (de distancea), de largeur b (bien sûr, b < a).
En utilisant le déphasage pour la distance x : ϕ(x) = 2λπ(sinθd−sinθi)x, écrire l'expression de la vibration lumineuse diractée dans la direction θd sous la forme
s(θd, t) =e−j ω t
N
X
k=1
˜ qk
Z x0=+b2 x0=−b2
e+j2λπ(sinθd−sinθi)x0dx0
Interpréter les deux termes et tracer l'allure de l'intensité en fonction de(sinθd−sinθi). 11 Prise en compte de la largeur des fentes. exercice
La vibration lumineuse est : s(θd, t) =
N
X
k=1
Z x=k a+b2 x=k a−b
2
e−j(ω t−ϕ(x))
dx=e−j ω t
N
X
k=1
Z x0=+b2 x0=−b
2
e+j ϕ(x0+k a) dx0
s(θd, t) =e−j ω t
N
X
k=1
e+j2λπ(sinθd−sinθi)k a
Z x0=+b2 x0=−b
2
e+j2λπ(sinθd−sinθi)x0dx0 cqfd
On peut interpréter les termes de la façon suivante :
• la somme discrète est due à l'interférence desN fentes
• tandis que la somme continue est due à la diraction d'une unique fente.
L'intensité diractée est donc le produit des pics trouvés pour N fentes inniment nes par
L'intensité diractée parN fentes inniment nes est modulée par l'intensité diractée par une fente de largeur non nulle.
Diraction par N fentes de largeur non nulle à retenir
III- Réseaux
1. Formule des réseaux
Un réseau par transmission est un ensemble de N pupilles identiques (N 1) régulière- ment espacées (de a suivantx).
• a est la période spatiale du réseau (en m) ;
• n = 1a est le nombre de traits par millimètres (en m−1).
Caractéristiques d'un réseau par transmission s'y retrouver
un réseau par réexion peut être compris comme un réseau par transmission accolé à un miroir plan.
Réseaux par réexion s'y retrouver
un réseau holographique est la photographie de franges d'interférences (l'interfrange iest alors la période a du réseau).
Réseaux holographiques s'y retrouver
On cherche pour quelles directions il y a interférence constructive : ∆ = a.sinθd − a.sinθi =p.λ, où p est entier. ⇒
Si on éclaire un réseau de période spatiale a
avec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) qui fait un angleθi avec la normale au plan du réseau,
l'intensité diractée est non nulle seulement dans quelques directions
repérées par les angles θp par rapport à la normale au plan du réseau, telles que sinθp−sinθi =pλ
a (p, l'ordre de diraction, est entier).
12 Formule des réseauxthéorème
Vous pouvez retrouver la vidéo de cette expérience sur le site alain.lerille.free.fr.
2. Déviation par un réseau
L'angle de déviation pour l'ordrep est
D=θp−θi
où le rayon incident fait un angleθi avec la normale au réseau, et le rayon diracté dans l'ordrep un angle θp.
Angle de déviation dénition
dD= 0 =dθp−dθi, soit dθp =dθi
Or la dérivation de la formule des réseaux donne : cosθp.dθp −cosθi.dθi = 0, soit cosθp = cosθi.
Il y a deux solutions : soit θp = θi (et la déviation est nulle : c'est l'ordre nul, qui ne nous intéresse pas), soit θp =−θi. ⇒
Si on éclaire un réseau de période spatiale a
avec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) et que la déviation est minimale (D=Dmin ⇔θp =−θi) on a alors la formule
2 sin
Dmin 2
= p λ a
13 Minimum de déviation dans le cas du réseau théorème
3. Applications des réseaux
le spectre visible s'étale de 400nmà 750nm. Spectre visible photo
La gure 3représente Les spectres des ordres 2 et supérieurs se recouvrent. Seul l'ordre 1 est exempt de ce défaut..
Vous pouvez retrouver le schéma animé sur le site alain.lerille.free.fr.
Phénomène de recouvrement des ordres animation
sauf pour l'ordre 0, la direction de diraction dépend de la longueur d'onde.
Caractère dispersif des réseaux s'y retrouver
Figure 3 Phénomène de recouvrement des ordres
on peut analyser la lumière en créant une onde plane qui est diractée par un réseau. On réalise ainsi un spectromètre (une seule longueur d'onde en sort) ou bien un spectroscope (toutes les longueur d'onde sortent dispersées).
Spectromètres et spectroscopes s'y retrouver
le goniomètre permet d'observer (sur un réticule) une onde plane qui est diractée par un réseau, et de mesurer très précisément (avec un vernier angulaire) la déviation du faisceau.
Goniomètre s'y retrouver
Exercice traité en n de cours
Modélisation d'un spectroscope à réseau
Grâce à un miroir sphérique,N trous alignés équidistants (de distancea) sont éclairés par une onde plane monochromatique de longueur d'onde λ faisant un angle θi avec la normale au plan des trous. On observe la lumière diractée à l'inni dans la direction θd avec la normale au plan des trous, le réseau étant xé sur un miroir plan. Un second miroir sphérique focalise la lumière diractée sur une barrette de détecteurs.
1) Exprimer le déphasageϕentre deux ondes passant par deux trous successifs.
2) En utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la position des ordres par condition d'interférence constructive. En déduire la formule des réseaux.
3) Toujours en utilisant les vecteurs de Fresnel, déterminer la demi-largeur angulaire ∆θ des franges brillantes par condition d'interférence destructive. Interpréter la dépendance de∆θavecN.
4) Expliquer en quoi ∆θ limite la résolution spectrale d'un spectroscope à réseau.
Correction :
Techniques à maîtriser
I- Diraction de Fraunhofer grâce aux fréquences spatiales
Construire l'onde transmise par un réseau de transmission sinusoïdal par superposition de trois ondes planes dénies par la condition aux limites sur le réseau. Interpréter les observations dans le plan de Fourier.
Dans le cas deN traits parallèles équidistants ou d'une fente, relier une fréquence spatiale du spectre à la position d'un point du plan de Fourier. Relier l'amplitude de l'onde en ce point à la composante du spectre de Fourier correspondant. Interpréter les observations dans le plan de Fourier.
Dans le cas d'une fente, faire le lien avec la relationsinθ=λ/avue en première année.
ce qu'il faut savoir faire capacités
˜t(P) = 0⇒la pupille est opaque enP;
˜t(P) = 1⇒la pupille est transparente enP.
˜t(P) = ej∆ϕ exponentielle complexe ⇒ la pupille est un "objet de phase" en P qui introduit un déphasage∆ϕ.
A) Déterminer la transmittance d'une pupille méthode
Pour un objet de taillea, une fréquence spatialeσ= 1a (et toutes ses harmoniques) apparaissent.
Cela se caractérise par de la lumière dans une direction faisant un angle θ = λ σ avec l'axe optique.
L'intensité lumineuse est proportionnelle au module au carré du coecient de Fourier.
Observé dans le plan focal d'une lentille convergente de focale f0, on observera de la lumière à une distancef0λσ du foyer.
B) Déterminer les fréquences spatialesméthode
1.1) Diraction par une grille
On considère une mire qui présente une grille de pas a suivantx éclairée sous incidence normale par une onde plane de longueur d'ondeλ.
1) Quelle est l'allure de la mire éclairée ?
Cette mire est placée devant une lentille convergente Lde focalef0.
2) A quelle(s) position(s) observe-t-on de la lumière dans le plan focal image de la lentille L?
1) La mire éclairée est un quadrillage formés de traits suivanty. 2) Les fréquences spatiales (et leurs harmoniques sont) :
• na,0 suivantx
avecnentier. On observe de la lumière pour les positions suivantes :
• n fa0λ,0.
1.2) Largeur d'un faisceau laser
Un laser hélium-néon émet une onde quasiment plane et monochromatique de longueur d'onde λ= 633nm. A la sortie du laser, le faisceau est limité par un trou du diamètre du faisceau de sortie :D1= 3,0mm. 1) Déterminer l'ordre de grandeur du diamètre D du faisceau à une distance :
1.a) L= 15m; 1.b) L= 150m.
1) L'image, à l'inni, d'un trou de rayonR, éclairé par une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ), a une ouverture angulaire : ∆θ ≈ Rλ. Ainsi, si on assimile la tangente de cet angle à l'angle lui-même
D= 2L∆θ=λ.L D0
1.a) L2= 15m⇒D≈7 mm. 1.b) L3= 150m⇒D≈70 mm.
1.3) Les phares de voiture la nuit
Les deux phares avant (supposés ponctuels) d'une voiture observée à une distance D (très grande) sont distants del= 1,4m.
1) Quel est l'angleαsous lequel on voit ces deux phares ? Le diamètre de la pupille de l'÷il est d= 5mm.
2) Quelle est l'ouverture angulaire δθ de la tache de diraction donnée par un phare ? On prendra une longueur d'onde moyenne de la lumière :λ= 600nm.
Le critère de Rayleigh stipule que deux images sont séparées si la distance entre les deux images est supérieure au diamètre de la tache de chacune des images.
3) Déterminer la distance Dmax à partir de laquel l'÷il peut séparer l'image des deux phares. Application numérique.
1) α=Dl. 2) δθ≈ λd
2
=2dλ = 0,3mrad. 3) On veutα > δθ, c'est à dire
D < Dmax= l.d
λ ≈10 km
1.4) Brouillard
On observe une source ponctuelle blanche (λ ≈0,6µm) à l'inni à travers un brouillard est constitué de goutelettes opaques de rayon r. On visualise un halo irisé, de premier anneau sombre obtenu pour l'angle θ= 2◦.
1) En déduirer. Application numérique.
1) L'ouverture angulaire de la tache est :2.θ≈ λr, soit r≈ λ
2.θ = 10µm
II- Diraction de Fraunhofer grâce aux interférences
Il faut calculer la vibration lumineuse comme somme de toutes les vibrations lumineuses issues de tous les points sources de la pupille diractante.
Puis il faut calculer l'intensité résultante.
C) Déterminer l'image de diraction par interférences de N ondes méthode
2.1) Calcul de la diraction deN pupilles identiques
On éclaire un plan par une onde plane monochromatique, de longueur d'onde λ, qui fait un angle αi avec l'axe optique Oz dans le plan (xOz)(et un angle βi avec l'axe optique Oz dans le plan (yOz)). On observe l'onde diractée à l'inni dans les directions respectives αet β avec l'axe optique Oz respectivement dans le plan(xOz)et dans le plan(yOz).
Ce plan diractant est constitué deNpupilles identiques. Chaque pupille, numérotéem, centrée sur(xm, ym), a une transparencet0 identique et la transmission du plan diractant estt(x, y) =P
m
t0(x−xm, y−ym). 1) Quelle est la gure de diraction d'une pupille constituée de petits grains sphériques de même dimension ? 2) Tracer l'intensité diractée par une fente parallèle à(Ox)d'épaisseuresuivant(Oy).
3) Donner l'intensité diractée par deux fentes d'Young (deux fentes parallèles à (Ox) d'épaisseur e et distantes deasuivant(Oy)). TracerI(α).
4) On considère un réseau plan deN fentes, de largeure. Tracer l'intensité diractée pour plusieurs valeurs deN.
Vérier que le résultat est conforme à la loi des réseaux.
Les résultats sont donnés pour :λ= 632,8.10−9m, la longueur d'onde de l'hélium néon ;e= 0,3mm, la largeur de la fente suivantx;hf = 8mm, la hauteur de la fente suivanty a= 1mm, la distance entre fentes f = 1m, la focale de la lentille convergente dans le plan de laquelle on observe la gure de diraction.
1) Sauf au centre de la gure de diraction, un objet diractant composé de N pupilles identiques distribuées aléatoirement (comme des petits grains sphériques de même dimension) donne une intensité diractée N fois l'intensité diractée par une seule pupille (une tache d'Airy, en l'occurence).
2) L'intensité diractée par une fente est représentée sur la gure suivante :
On voit bien que le nombre de fentes inue sur la largeur des pics (qui diminue siN augmente), pas sur leurs positions qui est donnée par la loi des réseaux.
2.2) Limitation de la détection d'une étoile par la diraction (d'après Centrale 2007)
1) Grâce au dispositif de la gure précédente (de focale f0= 100cm), on observe une source à l'inni (une étoile vue sous l'angleε= 310).
On pointeSy vers une étoileE à l'inni, on observe une tache comme image.
2.b) Où est le plan de l'image ?
2.c) Donner l'intensitéI(x, z). Commenter : dépendance ena,f,λ,...
On observe une étoile sous l'angle ε.
2.d) Comment évolue l'intensitéI(x, z)par rapport au casε= 0? On observe deux étoiles séparées angulairement deα.
2.e) Quelle est l'ouverture angulaire minimale pour les distinguer ? 1) Optique géométrique :
1.a) ABest dans le plan focal.
1.b) AB=f0.ε= 9,0mm. 2) Diraction :
2.a) La pupille carrée de côté2aest sur le miroir.
2.b) Le plan de l'image est le plan focal.
2.c) L'intensité diractée est :
I(x, z) =I0.sinc2
2.π.a.x λ.f0
.sinc2
2.π.a.z λ.f0
2.d) L'intensité diractée centrée surB : I(x, z) =I0.sinc2
2.π.a.x λ.f0
.sinc2
2.π.a.(z−f0ε) λ.f0
2.e) Le critère de Rayleigh donne : le min est en zmin =ε.f0+k.λ.f2.a0 aveck =±1 le max est en zmax= 0. Soit :
ε > α= λ 2.a
2.3) Réseau d'antennes (extrait de Mines 2006)
Soient (O0, O1, ..., On−1)nantennes identiques distantes deλ/2et se comportant comme des sources en phase (voir gure ci-contre).
1) Calculer la fonctionf(θ)telle que l'intensité recueillie dans la directionθ soit de la forme :
I(θ) =I0f(θ)
I0étant l'intensité émise par O0 dans la directionθ= 0.
2.4) Diraction par des ouvertures rectangulaires (Centrale 2006, Physique II avec ordinateur)
1) 1.a) Calculer l'éclairement obtenu pour une ouverture rectangulaire de dimensions respectives aet b selon Oxet Oy.
1.b) Que se passe-t-il si l'on translate l'ouverture d'une distancedsuivant l'axe Ox? On se place dans le cas de la diraction de Fraunhofer.
2) On considère l'ouverture constituée de motifs rectangulaires de la gure ci-contre ; elle comportenmotifs suivant Ox,pmotifs suivant Oy. 2.a) Que vaut l'amplitude de l'ondes0,0(M, t)diractée par l'ouverture située à l'origine ?
2.b) Exprimer le déphasageϕn,p entre les ondes provenant de On,pet O centres respectifs des motifs et .
2.5) Diraction par une fente
On s'intéresse à une fente de largeurasuivantx, et innie suivantyéclairée par une onde plane monochro- matique (de longueur d'ondeλ).
1) Montrer que I(x, y) = 0, dès quey6= 0. 2) DéterminerI(x, y= 0).
3) Montrer que l'ouverture angulaire de la tache principale est∆θ= 2.λa .
1) On repart de l'intensité diractée par une ouverture rectangulaire : I(x, y) =
A˜0
2
.(a.b)2.sinc2 π.a.x
λ.f20
.sinc2 π.b.y
λ.f20
avec b → ∞. Le sinus cardinal étant non nul en 0, mais quasi nul, dès que |π.b.yλ.f0
2| 1, on a bienI(x, y6=
0) = 0. 2)
I(x, y= 0) =
A˜0
2
.(a.b)2.sinc2 π.a.x
λ.f20
3) La première annulation a lieu si π.a.xλ.f0
2
=±π, soit ∆x=2.λ.fa 20 =f20.∆θ(cqfd).
2.6) Diraction par une grande ouverture On s'intéresse à une ouverture très grande.
1) Montrer que I(x, y) = 0, dès qu'on est hors de l'image géométrique de la source.
1) On repart de l'intensité diractée par une ouverture rectangulaire : I(x, y) =
A˜0
2
.(a.b)2.sinc2 π.a.x
λ.f20
.sinc2 π.b.y
λ.f20
aveca→ ∞etb→ ∞. Le sinus cardinal étant non nul en0, mais quasi nul, dès que|π.a.xλ.f0
2 | 1et|π.b.yλ.f0 2| 1, on a bienI(x, y) = 0, dès quex6= 0 ouy6= 0 (cqfd).
2.7) Diraction de Fraunhofer et transformée de Fourier On note :
•αi l'angle que fait le vecteur d'onde incident~ki avec~uz dans le planXZ,
•βi l'angle que fait~ki avec~uz dans le planY Z,
•αd l'angle que fait le vecteur d'onde diracté~kd avec~uz dans le planXZ,
•βd l'angle que fait~kd avec~uz dans le planY Z.
1) Exprimer les vecteurs d'onde~ki et~kd dans le repèreOxyz.
2) ExprimerxO etyO les coordonnées deO par rapport àF20 en fonction deαi et βi. 3) ExprimerxM etyM les coordonnées deM par rapport àF20 en fonction deαd etβd.
On repère dorénavant par rapport àO la position du point d'observationM(x, y)dans le plan focal imagexOy deL2.
4) Exprimerxet y les coordonnées deM par rapport àO en fonction deαi,βi,αd et βd.
5) En déduire que l'amplitude complexe de l'onde au point d'observationM, c'est à dire diractée dans la direction donnée par les anglesαd, βd, est
1) Dans l'approximation de Gauss,
( ~ki= 2πλ (αi.~ux+βi.~uy+~uz)
~kd= 2πλ (αd.~ux+βd.~uy+~uz) 2) xO=αi.f20 et yO=βi.f20.
3) xM =αd.f20 etyM =βd.f20.
4) x=xM −xO = (αd−αi).f20 ety=yM −yO = (βd−βi).f20 . 5) −−→
CP =X.~ux+Y.~uy, soit A˜(αd, βd) = ˜A0
Z
X
Z
Y
˜t(X, Y).e2.i.πλ ((αi−αd).X+(βi−βd).Y).dX.dY
III- Réseaux
Confronter le modèle de N trous d'Young à l'étude expérimentale du réseau plan.
Utiliser un grapheur pour discuter l'inuence de N sur la nesse sans calculer explicitement l'inten- sité sous forme compacte. Utiliser la construction de Fresnel pour établir la condition d'interférences constructives et la demi-largeur 2π/N des franges brillantes.
ce qu'il faut savoir faire capacités
Utiliser la construction de Fresnel pour établir la condition d'interférences constructives et la demi- largeur2π/N des franges brillantes. A FAIRE....
D) Retrouver la formule des réseaux et la nesse des ordresméthode
Si on éclaire un réseau de période spatialeaavec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) qui fait un angleθi avec la normale au plan du réseau, l'intensité diractée est non nulle seulement dans quelques directions repérées par les angles θp par rapport à la normale au plan du réseau, telles que
sinθp−sinθi=pλ a (pest entier).
E) Appliquer la formule des réseauxméthode
3.1) Séparation d'un doublet par un réseau
Un réseau comporte n = 130traits/mm et est éclairé par un faisceau en incidence normale d'extension spatialeL= 5mm dans la direction perpendiculaire aux traits. On se placera aux petits angles.
1) Rappeler :
1.a) l'angleθsous lequel est envoyée la lumière à l'ordreppour la longueur d'ondeλ; 1.b) la largeur angulaire∆θde ce faisceau.
2) On s'intéresse au doublet du sodium : λ= 590nm, et∆λ= 0,6nm. Le critère de Rayleigh stipule que deux images sont séparées si la distance entre les deux images est supérieure au diamètre de la tache de chacune des images.
2.a) Quel est le plus petit intervalle de longueur d'onde séparable ∆λmin dans l'ordre p autour de λ= 590nm?
2.b) Application numérique dans l'ordre 1. Sépare-t-on le doublet du sodium ? 2.c) Application numérique dans l'ordre 2. Sépare-t-on le doublet du sodium ?
1) 1.a) sinθ=p.n.λsoit
θ=p.n.λ
1.b) ∆θ=n.λN oùN =n.Lest le nombre de traits éclairés, soit :
∆θ= λ L 2) Critère de Rayleigh :
2.a) p.n.(λ1−λ2)>Lλ. Soit
∆λ >∆λmin= λ p.n.L
2.b) p= 1 : ∆λmin = p.n.Lλ = 0,9nm >∆λ. On ne sépare pas le doublet du sodium dans l'ordre 1. 2.c) p= 2:∆λmin= p.n.Lλ = 0,45nm <∆λ. On sépare le doublet du sodium dans l'ordre 2.
3.2) Positions des ordres d'un réseau
Soit un réseau à 8 000 LPI (traits par pouce, où 1in= 2,5cm).
1) Situer les positions angulaires θp (en◦) des maxima principaux pour un faisceau en incidence normale et de longueur d'ondeλ= 546nm.
1) sinθp−sinθi = p.n.λ, avec θi = 0 et n = 320traits/mm. Soit : θ0 = 0, θ1 = 9,9◦, θ2 = 20,1, θ3= 31,1◦,θ4= 43,5◦,θ5= 59,3◦.
3.3) Détermination d'une raie inconnue par un réseau
On eclaire un réseau den= 547traits/mmen incidence quasi-normale par une raie de longueur d'ondeλ inconue et on observe les déviations suivantes :θ−2=−32◦340,θ+2= 32◦310.
1) Déterminerλ.
1) sinθp−sinθ0=n.p.λ. Soitsinθ+2−sinθ−2= 4.n.λ λ=sinθ+2−sinθ−2
4.n = 492nm
3.4) Réseau eclairé par une lampe à vapeur de mercure
On eclaire un réseau de pas a par la raie verte du mercure (λ = 546,1nm), et on observe les déviations suivantes :θ−3=−63◦400,θ−2=−36◦410, θ−1=−17◦240,θ+1= 17◦220,θ+2= 36◦220,θ+3= 63◦370.
1) Déterminer :
1.a) a, le pas du réseau ;
1.b) n, le nombre de traits parmm du réseau.
1) sinθp−sinθ0=p.λa . Une modélisation donne : 1.a) a= 1,828µm;
1.b) n= 547traits/mm.
3.5) Réseau eclairé par une lumière blanche
2.a) le nombre de spectres complets observables ; 2.b) les ordres des spectres sans recouvrement.
1) Ordre1 :θmin1 = 11,55◦ etθmax1 = 22,02◦; ordre2: θmin2 = 23,62◦ etθmax2 = 48,59◦; ordre3: θmin3 = 36,96◦ etθmax3 : pas de solution.
2) On en déduit :
2.a) nombre de spectres complets observables : 4 (ordres -2,-1,+1,+2) ; 2.b) ordres des spectres sans recouvrement : -1 et +1.
3.6) Réalisation d'un monochromateur
Un réseau 15 000 LPI (traits par pouce, où 1in= 2,5cm) est éclairé en incidence normale par une lumière blanche. Un spectre se forme sur un écran parallèle au réseau, situé àd= 50cmdu réseau.
1) Si on perce un trou de∆x= 5mmde côté dans l'écran et dont le centre est placé àx= 20cmde l'image géométrique parallèlement aux traits du réseau, quel sera le domaine de longueurs d'onde sélectionné par le trou ?
1) sinθp−sinθi=p.n.λ, avecθi= 0etn= 600traits/mm. Soit :λ= sinθp.n avectanθ=xd. On est dans l'ordre p= 1. On trouve :
λmin=n1sin
arctanx−∆x 2
d
= 622nm λmax=n1sin
arctanx+∆x 2
d
= 635nm
(C'est du rouge).
3.7) Minimum de déviation pour un réseau
Si on éclaire un réseau de période spatiale a avec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) qui fait un angle θi avec la normale au plan du réseau, l'intensité diractée est non nulle seulement dans quelques directions repérées par les anglesθp par rapport à la normale au plan du réseau.
1) Que verieθp (formule des réseaux) ?
On dénit l'angle de déviation pour l'ordrepparD=θp−θi.
2) Si la déviation est minimale (D=Dmin), qu'est-ce que cela impose surθi et θp? 3) Exprimersin Dmin2 , en fonction dep,aetλ.
1) sinθp−sinθi=pλa (pest entier).
2) D=Dmin⇔θp=−θi. 3) sin Dmin2
=p.λ2.a.
3.8) Recouvrement des ordres
On éclaire un réseau par transmission qui possèden= 130traits/mmde façon normale, avec de la lumière blanche (λ∈[λmin= 400nm;λmax= 750nm]).
On observe sur un écran placé parallèlement au réseau, dans le plan focal image d'une lentille convergente de focaled= 2,5m, et repéré par un axe(Ox), l'axe(Oy)étant confondu avec l'ordre nul.
1) Calculer la position des bords des spectres : 1.a) x1(λmin)etx1(λmax)pour l'ordre 1 ; 1.b) x2(λmin)etx2(λmax)pour l'ordre 2 ; 1.c) x3(λmin)etx3(λmax)pour l'ordre 3.
2) Quels sont les ordres qui se recouvrent ? 1) Si les angles sont petits :x≈d.n.p.λ
1.a) x1(λmin) = 13cmetx1(λmax) = 24cmpour l'ordre 1 ; 1.b) x (λ ) = 26cmetx (λ ) = 49cmpour l'ordre 2 ;
