Convexité uniforme faible dans les espaces d’interpolation

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I

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Analyse fonctionnelle

Convexité uniforme faible dans les espaces d’interpolation

Weak uniform convexity in interpolation spaces

Daher Mohammad

16,squareAlbert-Schweitzer,77350LeMée-sur-Seine,France

i nf o a rt i c l e ré s u m é

Historiquedel’article : Reçule12février2016

Acceptéaprèsrévisionle12septembre 2016

DisponiblesurInternetle19septembre 2016

Présentéparlecomitéderédaction

Soit(A0,A1)uncoupled’interpolation.Onmontreque,siA0estunespaceW U R,Aθ l’est aussi.SiA^∗₀estunespacefaiblementLU R,alors(Aθ)^∗l’estaussi,pourtoutθ∈ ]⁰,1[^.

©^{2016Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.Tousdroitsréservés.}

a b s t ra c t

Let(A0,A1) beacomplexinterpolationcouple.Weshow that,if A0 isW U R,sois Aθ, θ∈ ]⁰,1[^{.Similarly,ifA∗}0isweaklyLU R,sois(Aθ)^∗.

©^{2016Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.Tousdroitsréservés.}

1. Introduction

Soit B

= (

B0

,

B1

)

uncoupled’interpolation.Lesinterpolés B_θ,

θ ∈ ]

⁰

,

1

[

^,conservent-ilsunepropriétégéométriquedon- néede B0 (on ditalorsquecettepropriété s’interpole) ?Laréflexivité, laséparabilité,laconvexitéuniformes’interpolent.

On montredans ce travailque la convexité uniformefaible, notée W U R, s’interpole. La question reste ouverte entoute généralitépourlapropriété« faiblementlocalementuniformémentconvexe » (notéeLU R),maisonmontreque,siB^∗₀estun espaceLU R,alorslesespaces

(

B_θ

)

^∗ lesontaussi.Lapreuvedansledeuxièmecasestenpartieanalogueàcelledupremier, maisplusélaborée.

2. Définitionsetrappels

Soit B

= (

B0

,

B1

)

uncoupled’interpolationausensde[2,chap. II].NotonsS

= {

^z

∈

C; ⁰

≤

^Re

(

z

) ≤

¹

}

^etS0 sonintérieur.

Désignonspar F(B

)

l’espacedesfonctions F à valeursdans B0

+

B1,continuesbornéessur S,holomorphessur S0,telles quelesapplications

τ →

^F

(

j

+

ⁱ

τ )

sontdansC0

(R,

^Bj

)

, j

∈ {

⁰

,

1

}

^{.Onlemunitdelanorme}

^F

_F(B)

=

^max

{

^sup_τ∈R

^F

(

i

τ )

B0

,

sup_τ∈R

^F

(

1

+

ⁱ

τ )

B1

}.

Soit

θ ∈ ]

⁰

,

1

[

^.L’espace

(

B0

,

B1

)

θ

=

^Bθ

=

F

(θ ) ;

^F

∈

F

(

B

)

estdeBanach[2,Th. 4.1.2]pourlanormedéfiniepar

Adressee-mail :[email protected].

http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2016.09.006

1631-073X/©^{2016Académiedessciences.PubliéparElsevierMassonSAS.Tousdroitsréservés.}

^a

Bθ

=

^inf

^F

_F(B)

;

^F

(θ ) =

^a

.

Toute F

∈

F

(

B

)

estreprésentée à partir de sesvaleurs au bordgrâceà la mesure harmonique [2,Sections 4.3, 4.5] : si z

= θ +

^{it, Q}₁⁰₋^(z_θ^{,·) et Q1(}_θ^{z,·) sontdesdensitésde}probabilitésurR^et

F

(

z

) =

R

F

(

i

τ )

Q0

(

z

, τ )

d

τ ₊

R

F

(

1

+

ⁱ

τ )

Q1

(

z

, τ )

d

τ ,

z

∈

^S0

.

(2.1)

NotonsG

(

B

)

l’espacedesfonctions gàvaleursdansB0

+

^B1,continuessur S,holomorphesàl’intérieurde S,tellesque (i) sup_z∈S ^g(₍^z₁⁾_+|^B_z^0+B_|) ¹

< ∞

^,

(ii) g

(

j

+

ⁱ

τ ) −

^g

(

j

+

ⁱ

τ

) ∈

^Bj,

∀ τ , τ

_∈

_R, j

∈ {

⁰

,

1

}

^{etlaquantitésuivanteestfinie :}

^g.

_QG(B)

=

^max

sup_τ=τ∈^R

(

g

(

i

τ ) −

g

(

i

τ

)

B₀

/| τ − τ

|),

sup_τ=τ∈^R

(

g

(

1

+

i

τ ) −

g

(

1

+

i

τ

)

B₁

/| τ − τ

|)

.

Ceci définit unenorme sur l’espace QG(B

)

quotientde G(B

)

par les applications constantesà valeurs dans B0

+

^B1 [2, Lemma4.1.3].L’espace

(

B₀

,

B₁

)

^θ

=

^Bθ

=

g

(θ );

^g

∈

G(^B

)

estdeBanach[2,Th. 4.1.4]pourlanorme

^a

B^θ

=

^inf

^g.

_QG(B)

;

^g

(θ ) =

^a

.

Onnote H(B0

,

B1

)

l’espacedesfonctions F

:

^S

→

^B0

+

^B1,holomorphessur S0,tellesque

τ _→

F

(

j

+

ⁱ

τ )

estfortement mesurableàvaleursdansB_j(ausensde[5,chap.2]), j

∈ {

⁰

,

1

}

^.

Pour1

≤

^p

≤ ∞

^et

θ ∈ ]

⁰

,

1

[

^,F_θ^p

(

B0

,

B1

)

désignelesous-espacedeH

(

B0

,

B1

)

desfonctionsvérifiant(2.1)ettellesque, sip

= +∞

^,

^F

_Fθ^∞(B0,B1)

=

^max

{

^F

(

i

· )

L^∞(Q0(θ,·)dτ,B0)

,

^F

(

1

+

ⁱ

· )

L^∞(Q1(θ,·)dτ,B1)

} ,

ou,si p

< +∞

^,

F

_F^pp

θ(B₀,B₁)

=

R

F

(

i

τ )

^p_B0Q0

(θ, τ )

d

τ ₊

R

F

(

1

+

ⁱ

τ )

^p_B1Q1

(θ, τ )

d

τ

soientfinies.F_θ^∞

(

B0

,

B1

)

nedépendpasde

θ

,car Q0

(θ, .)

et Q1

(θ, .)

sontcontinuesstrictementpositivessurR^.Comme F_θ^∞

(

B₀

,

B₁

) =

F_θ^∞

(

B₀

,

B₁

)

isométriquement,onnoteraparfoisF_θ^∞

(

B₀

,

B₁

) =

F^∞

(

B₀

,

B₁

)

.F(^B0

,

B₁

)

estisométriquement unsous-espacedeF^∞

(

B0

,

B1

)

.

Rappelonsque

(

B0

,

B1

)

estuncoupleréguliersiB0

∩

^B1 estdensedansB0 etB1. Onutilisera,entreautres,lespropriétéssuivantes :

1) si

(

B0

,

B1

)

estuncouplerégulier,ledualde

(

B0

,

B1

)

_θ est

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

^θ [2,Th. 4.5.1]; 2) d’après(2.1),pourtouteF

∈

F

(

B0

,

B1

)

,ona

^F

(θ )

(B0,B1)θ

≤

^F

_F¹

θ(B)

≤

^F

_F²

θ(B)

;

^(2.2)

3) pour

θ ∈ ]

⁰

,

1

[

^{notons B∞}_θ

=

F

(θ );

^F

∈

F_θ^∞

(

B₀

,

B₁

)

,munidelanorme

^b

B^∞_θ

=

^inf

{

^F

_Fθ^∞(B0,B1); F

(θ ) =

^b

}

^.D’après [3,Prop. 2]B_θ

=

^B∞_θ isométriquement,donc

^b

(B0,B1)θ

≤

^F

_Fθ^∞(B0,B1)pourtouteF

∈

F_θ^∞

(

B0

,

B1

)

tellequeF

(θ ) =

^b.

Comme(2.1)restevalablepardéfinitionpourF

∈

F_θ^∞

(

B0

,

B1

)

,(2.2)restevalablepourunetelle F;

3bis)labouleunitédeF(^B0

,

B₁

)

estdensedanscelledeF_θ^∞

(

B₀

,

B₁

)

pourlanormede F_θ²

(

B₀

,

B₁

)

.Celarésultedela preuvede[3,Prop. 2].

Définition2.1.Soit X un espace de Banach. C’est un espace faiblement unifomément convexe(W U R) (resp. faiblement localement uniformément convexe(faiblement LU R)) si,pour toutes suites

(

xn

)

n≥⁰,

(

yn

)

n≥⁰ bornéesdans X (resp.pour toutesuite

(

xn

)

n≥⁰ bornéedansX ettoutx

∈

^X)tellesque

^xn

²

+

^yn

²

2

−

^xn

+

^yn

2

²

→

n→+∞0

(resp. ^xn2₂^+x2

−

^xn₂^{+x 2}

→

n→+∞0),alorsxn

−

^yn

→

n→+∞0 (resp.xn

−

^x

→

n→+∞0)faiblementdans X.

LapropriétéW U Rentraîneévidemmentlapropriété« faiblement LU R».

3. Préliminaires

Lelemme 3.2(conséquencedulemme 3.1)serautilisédanslespreuvesdesthéorèmes 4.1et5.3ci-dessous.

Lemme3.1.Soit

(

B0

,

B1

)

uncoupleréguliertelquelesBjsontséparables,j

∈ {

⁰

,

1

}

^etsoitG

∈

G(B^∗₀

,

B^∗₁

)

.Alors

a)[4,Lemme 3.10]ilexistedesfonctionsbornées :

τ →

^Uj

( τ )

,j

∈ {

⁰

,

1

}

^,R

→

^B∗_j^{,mesurablespour}

σ (

B^∗_j

,

Bj

)

,tellesqueG

(

z

) →

Uj

( τ )

pour

σ (

B^∗₀

+

^B∗1

,

B0

∩

^B1

)

lorsquez

→

^j

+

ⁱ

τ

nontangentiellement ;

b) si F

∈

F^∞

(

B0

,

B1

)

,lafonction

τ →

(

F

(

j

+

ⁱ

τ ),

Uj

( τ )

estmesurableetl’expression

F

(θ ),

G

(θ )

,

θ ∈ ]

⁰

,

1

[

^{,estdéfinie.De} plus

F

(θ ),

G

(θ ) ≤

⎡

⎣

R

|

^F

(

i

τ ),

U0

( τ ) |

^Q0

(θ, τ )

1

− θ

^d

τ

⎤

⎦

1−θ

⎡

⎣

R

|

^F

(

1

+

ⁱ

τ ),

U1

( τ ) |

^Q1

(θ, τ )

θ

^d

τ

⎤

⎦

θ

.

(3.1)

Démonstration. b 1)Considéronsd’abord F

∈

F(^B0

,

B1

)

.Alors

F

(θ ),

G

(θ )

estbiendéfinid’aprèslerappel1)etlesfonc- tions

τ _→

F

(

j

+

ⁱ

τ ),

Uj

( τ )

sont bornées d’après a). L’inégalité (3.1) est démontrée dans [4, Lemme 3.10, (3.13)] pour F

∈

F0

(

B₀

,

B₁

)

, définidans[2,Lemme 4.2.3].Les élémentsde F0

(

B₀

,

B₁

)

sont,enparticulier, descombinaisonslinéaires finies d’atomes f

⊗

^{b, b}

∈

^B0

∩

^B1, f

:

C

→

Cholomorphe ; la mesurabilité des fonctions

F

(

j

+

ⁱ

· ),

Uj

(.)

est alors évi- dente. Comme F0

(

B₀

,

B₁

)

est densedans F(^B0

,

B₁

)

d’après[2,Lemme4.2.3],lamesurabilité de

F

(

j

+

ⁱ

·),

^Uj

(·)

lorsque F

∈

F(^B0

,

B₁

)

etlepassageàlalimitedans(3.1)sontimmédiats.

b 2) Soit F

∈

F^∞

(

B0

,

B1

) =

F_θ^∞

(

B0

,

B1

)

.D’après le rappel 3, F

(θ ) ∈

^Bθ, donc

F

(θ ),

G

(θ )

est bien défini. D’après le rappel 3 bis,il existe unesuite bornée

(

Fn

)

n≥⁰ dans F

(

B0

,

B1

)

, convergeant vers F dans F_θ²

(

B0

,

B1

)

. D’après la fin du rappel 3,

Fn

(θ ) −

^F

(θ )

Bθ

→

n→+∞0 ; enparticulier,

Fn

(θ ) −

^F

(θ ),

G

(θ )

→

n→∞0. Parailleurs, il existe une sous-suite

(

Fn_k

)

_k≥0tellequep.s. Fn_k

(

j

+

ⁱ

· ) −

^F

(

j

+

ⁱ

· )

Bj

→

k→+∞0, j

∈ {

⁰

,

1

}

^;enparticulier,

Fn_k

(

j

+

ⁱ

· ) −

^F

(

j

+

ⁱ

· ),

Uj

( · )

→

k→∞0, p.s.L’inégalité (3.1)étantvraiepour Fn_k,lepassageàlalimiteestimmédiat,enappliquantdeuxfoisàdroitelethéorème deconvergencedominée. 2

Lemme 3.2.Soient

(

B0

,

B1

)

un couple d’interpolation,

θ ∈ ]

⁰

,

1

[

^et

(

Fn

)

n≥¹ une suite bornée dans F_θ^∞

(

B0

,

B1

)

. Si p.s.

Fn

(

i

·) →

n→+∞0,faiblementdansB₀,alorsF_n

(θ ) →

n→+∞0faiblementdansB_θ.

Démonstration. a) Réduction : on peut supposer les Bj séparables. En effet, les Fn

(

j

+

ⁱ

· )

sont p.s. à valeurs dans un sous-espace fermé séparable B_j

⊂

^Bj, j

∈ {

⁰

,

1

}

^etF_θ^∞

(

B₀

,

B₁

)

estisométriquement un sous-espace de F_θ^∞

(

B₀

,

B₁

)

.Par ailleurs, l’identité :

(

B₀

,

B₁

)

θ

→

^Bθ étantcontractante,laconvergencefaibledans

(

B₀

,

B₁

)

θ impliquelaconvergencefaible dans B_θ.

Soit B_jl’adhérencede B0

∩

^B1 dans B_j, j

∈ {

⁰

,

1

}

^{.D’après[2,Th. 4.2.3]}F(^B0

,

B1

) =

F(^B₀

,

B₁

)

.Vérifionsque,isométri- quement,

F_θ^∞

(

B0

,

B1

) =

F_θ^∞

(

B₀

,

B₁

).

Il estclairqueF_θ^∞

(

B₀

,

B₁

)

estisométriquementunsous-espacedeF_θ^∞

(

B₀

,

B₁

)

.IlsuffitdoncdevoirqueF_θ^∞

(

B₀

,

B₁

)

est un sous-ensembledeF_θ²

(

B₀

,

B₁

)

.Parlerappel 3bis,F

(

B0

,

B1

)

estdensedansF_θ^∞

(

B0

,

B1

)

pourlanormedeF_θ²

(

B0

,

B1

)

. Or,l’adhérencedeF

(

B0

,

B1

) =

F

(

B₀

,

B₁

)

dansF_θ²

(

B0

,

B1

)

estenfaitdansF_θ²

(

B₀

,

B₁

)

.

SilesBjsontséparables,lesB_jaussi.Onpeutdoncsupposerque

(

B0

,

B1

)

estuncouplerégulierd’espacesséparables.

b) Supposons que

(

B0

,

B1

)

est un couple régulier d’espaces séparables. Soit a^∗

∈ (

Bθ

)

^∗. D’après le rappel 1,il existe G

∈

G(^B∗₀

,

B^∗₁

)

tellequea^∗

=

^G

(θ )

.D’aprèslelemme 3.1,ilexisteunefonctionU₀

(

i

·)

^{,bornéeàvaleursdansB∗}₀^,telleque

_Fn

(θ ),

a^∗

≤

C

(θ )

⎡

⎣

R

|

Fn

(

i

τ ),

U0

(

i

τ )|

^Q0

(θ, τ )

1

− θ

^d

τ

⎤

⎦

1−θ

.

(3.2)

Parhypothèse,onap.s.

^Fn

(

i

·),

^U0

(

i

·) →

n→+∞0.Parlethéorème deconvergencedominée,letermede droitedans(3.2) tendvers0 lorsquen

→ ∞

^.Donc

^Fn

(θ ),

a^∗

→

n→∞0. 2

4. LapropriétéWUR

Théorème4.1.SoientA

= (

A0

,

A1

)

uncoupled’interpolationet

θ ∈ ]

⁰

,

1

[

^.SiA0estfaiblementunifomémentconvexe(WUR),A_θl’est aussi.

Démonstration. Soient

(

an

)

n≥¹

, (

bn

)

n≥¹ deuxsuitesbornéesdans Aθ.Pourtoutnilexiste Fn

,

Hn

∈

F(A

)

vérifiantFn

(θ ) =

an

,

Hn

(θ ) =

^bn,

^an

²A_θ

≥

^Fn

²_F(A)

−

¹_n^,

^bn

²Aθ

≥

^Hn

²_F(A)

−

¹_n^{.Notons,pour j}

∈ {

⁰

,

1

}

^,

0

≤

^Sn

(

j

, τ ) =

Fn

(

j

+

i

τ )

²_Aj

+

Hn

(

j

+

i

τ )

²_Aj

2

−

^Fn

(

j

+

ⁱ

τ ) +

^Hn

(

j

+

ⁱ

τ )

2

²

A_j

.

D’après(2.2), ^Fn+^Hn 2

Fθ²(A)

≥

^Fn+^Hn 2

(θ )

A_θ

=

^an+^bn 2

A_θ.Donc

R

S_n

(

0

, τ )

Q₀

(θ, τ )

d

τ +

R

S_n

(

1

, τ )

Q₁

(θ, τ )

d

τ

=

^Fn

²_F2

θ(A)

+

^Hn

²_F2 θ(A)

2

−

^Fn

+

^Hn

2

²

Fθ²(A)

≤

Fn

²_F(A)

+

^Hn

²_F(A)

2

−

^Fn

+

^Hn

2

²_F2

θ(A)

≤

¹

n

+

^an

²_Aθ

+

^bn

²A_θ

2

−

^an

+

^bn

2

²

A_θ

.

Supposons que ^an

2 Aθ+bn²Aθ

2

−

an+^bn 2 ²

Aθ

→

n→∞0. Comme S_n

(

j

, τ ) ≥

^{0,on déduitque}

R

S_n

(

0

, τ )

Q₀

(θ, τ )

d

τ →

n→∞0.

Il existedoncunesous-suitetellequep.s.Snk

(

0

, · ) →

n→∞0.

L’espace A₀ étant W U R,p.s. F_nk

(

i

·) −

^Hnk

(

i

·) →

k→∞0, faiblementdans A₀.D’après lelemme 3.2, a_nk

−

^bnk

→

k→∞0, faiblementdans A_θ.Parunargumentstandard,an

−

^bn_n→∞

→

^{0,faiblementdansA}θ,donc A_θ estWUR. 2

5. LapropriétéfaiblementLUR

L’énoncéduthéorème 4.1reste-t-ilvraisionyremplace« WUR » par« faiblementLUR » ?Leproblèmeestd’obtenirpour a

∈

^Aθ unefonctionH

∈

F_θ^∞

(

A0

,

A1

)

tellequeH

(θ ) =

^aet

^H

_Fθ^∞(A0,A1)

=

^a

Aθ,aulieud’unesuitedansF(A0

,

A1

)

.Grâce auxlemmes 5.1et5.2,onpeutlefairedanslesespacesduaux,d’oùlecadreduthéorème 5.3ci-dessous.

Lemme5.1.Soit

(

B₀

,

B₁

)

uncoupled’interpolationréguliertelque B₀, B₁ sontséparablesetB^∗₀,B^∗₁ ontlapropriétédeRadon–

Nikodym.Soient

θ ∈ ]

⁰

,

1

[

^etb∗

∈ (

B^∗₀

,

B^∗₁

)

_θ.Alors,ilexisteH

∈

F^∞

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

tellequeH

(θ ) =

^b∗et

^b∗

(B^∗₀,B^∗₁)θ

=

^H

_F^∞(B^∗₀,B^∗₁).

Démonstration. a)Soit X

=

^L1

(

R

,

d

τ ,

B0

) ⊕

1L¹

(

R

,

d

τ ,

B1

)

.Comme B^∗₀

,

B^∗₁ ontlapropriétédeRadon–Nikodym,ona,d’a- près[5,Th. 1,chap. IV],

X^∗

=

^L∞

(

d

τ ,

B^∗₀

) ⊕

_∞^L∞

(

d

τ ,

B^∗₁

).

Comme B0

,

B1 sontséparables, X l’est aussi ;la boule unitéde X^∗ est doncmétrisable (et compacte)pour latopologie préfaible.

Soit J:F^∞

(

B^∗₀

,

B^∗₁

) →

^X∗l’applicationqui,àunefonctiondeF^∞

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

,associesarestrictionauborddeS.Pardéfini- tion, J estuneisométriesursonimage.Vérifionsquelabouleunitéde J

(F

^∞

(

B^∗₀

,

B^∗₁

))

estséquentiellementpréfaiblement ferméedans X^∗.

Soitdoncunesuite

(

Fn

)

n≥¹ de norme

≤

^{1 dans} F^∞

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

,telleque

(

J

(

Fn

))

n≥¹ convergepourlatopologiepréfaible de X^∗ versF

∈

^{X∗, vuecomme fonctiondéfinie sur lebord de S.Par laformule(2.1),on peut prolonger}F enfonction bornéesur S0;onnote F lafonctionainsidéfiniesur S.Comme

(

B0

,

B1

)

estrégulier, B^∗₀

+

^B∗₁ ^{estledualde B}0

∩

^B1.Par (2.1)etlethéorème deconvergencedominée,pourtout z

∈

^{S0, F}n

(

z

) →

n→∞F

(

z

)

pourlatopologiepréfaiblede B^∗₀

+

^B∗1. On saitalors que

^F

,

b

^{est holomorphe sur S}0, pour toutb

∈

^B0

∩

^B1. Donc, dans un voisinage convenable de z₀

∈

^S0,

^F

(

z

),

b

=

k≥⁰

α

k

(

b

)(

z

−

^z0

)

^ket

^Fn

(

z

),

b

=

k≥⁰

a_k,n

,

b

(

z

−

^z0

)

^k.Pardéfinitionetlethéorèmedeconvergencedominée,

α

_k

(

b

) =

^limn

a_k,n

,

b

, d’où l’existence de a_k dans la boule unité de B^∗₀

+

^B∗₁^{, tel que}

α

_k

(

b

) =

^ak

,

b

^{, k}

≥

^{0. Donc F est} holomorphe :S0

→

^B∗0

+

^B∗1.Alors F estdansF^∞

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

,doncF

=

^J

(

F

)

estdans J

(F

^∞

(

B^∗₀

,

B^∗₁

))

.

b) Soit b^∗

∈ (

B^∗₀

,

B^∗₁

)

θ. Il existe une suite H_n

∈

F

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

telle que H_n

(θ ) =

^{b∗ et}

^b∗

(B^∗₀,B^∗₁)θ

≤

^Hn

_F(B^∗₀,B^∗₁)

<

^b∗

(B^∗₀,B^∗₁)θ

+

¹

/

n. D’après a) une sous-suite de

(

J

(

H_n

))

n≥1 converge pour

σ (

X^∗

,

X

)

et il existe H

∈

F^∞

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

, telle que

^H

_F^∞(B^∗₀,B^∗₁)

≤

^b∗

(B^∗₀,B^∗₁)θ etb^∗

=

^H

(θ )

.D’aprèslerappel 3,

^b∗

(B^∗₀,B^∗₁)θ

≤

^H

_Fθ^∞(B^∗₀,B^∗₁),cequiachèvelapreuve. 2

Pourpouvoirappliquerlelemme 5.1danslapreuveduthéorème 5.3onutiliseralelemmesuivant.

Lemme5.2.SoitX unespacedeBanach.Lesassertionssuivantessontéquivalentes : a) X^∗estfaiblement LU R ;

b) pourtoutsous-espaceferméséparableY de X ,Y^∗estfaiblementLU R ;

c) pourtoutsous-espaceferméséparableY deX ,ilexisteunsous-espaceferméséparableZ contenantY telque Z^∗estfaible- ment LU R.

Démonstration. a)

=⇒

^{b) : Soient}

(

a^∗_n

)

n≥⁰ une suite dans Y^∗ et a

∈

^{Y∗ tels que a∗n 2Y∗+}₂ ^{a∗ 2Y∗}

−

^a∗n+^a∗ 2 ²

Y^∗

→

n→+∞0.

D’après lethéorèmede Hahn–Banach,ilexisteb^∗_n,b^∗

∈

^{X∗,dontlesimagescanoniquesdans Y∗ sont}respectivementa^∗_n

,

a, telsque b^∗_{n X∗}

=

a^∗_{n Y∗},n

≥

^1,et

^b∗

X^∗

=

^a∗

Y^∗.Comme

0

≤

b^∗_n

²

X^∗

+

^b∗

²_X∗

2

−

^b∗n

+

b^∗ 2

²

X^∗

≤

a^∗_n

²

Y^∗

+

^a∗

²_Y∗

2

−

^a∗n

+

a^∗ 2

Y^∗

,

letermedumilieutendvers0.Comme X^∗estfaiblementLU R,b^∗_n

→

n→+∞b^∗faiblementdansX^∗,donca^∗_n

→

^{a∗faiblement} dansY^∗.

b)

=⇒

^{c) estévident.}

c)

=⇒

^{a) :soient}

(

b^∗_n

)

n≥⁰ unesuitedans X^∗ etb^∗

∈

^{X∗.Soit E le}sous-espace ferméséparablede X^∗ engendrépar les b^∗_n etb^∗. Ilexiste unsous-espace fermé séparableY

⊂

^{X telque E seplonge}isométriquement dans Y^∗. Parhypothèseil existeun sous-espaceferméséparable Z,telque Y

⊂

^Z

⊂

^{X ettelque Z∗ soitfaiblement LU R.Notonsc∗}n

,

c^∗ (resp.a^∗_n

,

a^∗) lesrestrictionsdeb_n^∗

,

b^∗à Z (resp.Y),d’où

0

≤

c_n^∗

²

Z^∗

+

^c∗

²_Z∗

2

−

^c∗n

+

^c∗ 2

²

Z^∗

≤

b_n^∗

²

X^∗

+

^b∗

²_X∗

2

−

^an∗

+

^a∗ 2

²

Y^∗

=

b^∗_n

²

X^∗

+

^b∗

²_X∗

2

−

^b∗n

+

^b∗ 2

²

X^∗

.

Siletermede droitetendvers0 lorsquen

→ ∞

^,c∗n

−

^c∗

→

n→+∞0 faiblementdans Z^∗,puisque Z^∗ estfaiblement LU R.

Pardéfinition,b^∗_n

−

^b∗

→

n→+∞0 faiblementdans E etdoncfaiblementdans X^∗. 2

Théorème5.3.SoientA

= (

A0

,

A1

)

uncoupled’interpolationet

θ ∈ ]

⁰

,

1

[

^.SiA∗0estfaiblementLU R,alors

(

Aθ

)

^∗l’estaussi.

Remarque.Ce théorème est bien l’analogue du théorème 4.1 si A est un couple régulier. En effet, on a alors

(

Aθ

)

^∗

= (

A^∗₀

,

A^∗₁

)

^θ parlerappel1.Or

(

A^∗₀

,

A^∗₁

)

θ esttoujoursunsous-espaceferméde

(

A^∗₀

,

A^∗₁

)

^θ [1].

Démonstration. a)Réduction :d’aprèslelemme 5.2c)

⇒

a) appliquéà X

=

Aθ,ilsuffitdedémontrerlapropriétéc).

SoientY un sous-espaceferméséparablede A_θ et

(

dn

)

n≥⁰ unesuitedensedans Y.Pour tousm

,

n

≥

^{0,ilexiste F}m,n

∈

F

(

A0

,

A1

)

telqueFm,n

(θ ) =

^dnet _Fm,n

F(A0,A1)

<

^dn

Aθ

+

¹

/

m.CommelesFm,n

(

j

+

ⁱ

· )

sontàvaleursdansunsous-espace fermé séparableB_j de A_j, j

∈ {

⁰

,

1

}

^{,Y seplonge}isométriquementdans Z

= (

B₀

,

B₁

)

θ.SoitB_jlesous-espacefermé (donc séparable) de B_j engendrépar B₀

∩

^B1.

(

B0

,

B1

)

estdoncuncoupled’interpolation régulierd’espacesséparables.D’après [2,Th. 4.2.2] Z

= (

B₀

,

B₁

)

_θ

= (

B0

,

B1

)

_θ.D’aprèslerappel 1,pourtout

α ∈ ]

⁰

,

1

[

^,

(

B_α

)

^∗

= (

B^∗₀

,

B^∗₁

)

^α

.

Onmontreraenb)que Z^∗

= (

Bθ

)

^∗ estfaiblement LU R,cequiachèveraladémonstration.

D’après l’hypothèse etle lemme 5.2 a)

⇒

^{b), B∗}₀ ^{estfaiblement LU R. D’après [6], B∗}₀ ^{a donc lapropriété de Radon–}

Nikodym. Alors,d’unepart,B^∗₀ estséparable[5,Corol. 8Chap. VII-2]et,parconséquent,

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

_α estséparablepourtout

α ∈ ]

⁰

,

1

[

^{(voirparexemple[4,Rappel2-c]).D’autrepart,lesfonctions}lipschitziennes :R

→

^B∗₀ ^sontp.s.différentiables[5, chap. IV,th. 2,p. 107].Alors,

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

_α

= (

B^∗₀

,

B^∗₁

)

^α pourtout

α ∈ ]

⁰

,

1

[

^{[2,lemma4.3.3].Ilenrésulteque}

(

Bα

)

^∗estundual séparablepourtout

α ∈ ]

⁰

,

1

[

^,enparticulier

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

_α alapropriétédeRadon–Nikodym.

D’aprèslethéorèmederéitération[2,Th. 4.6.1],si

θ < α <

1,pourunevaleurde

η

convenable,

(

B^∗₀

,

B^∗₁

)

θ

= (

B^∗₀

, (

B^∗₀

,

B^∗₁

)

α

)

η (5.1)

Donc,isométriquement,

Z^∗

= (

B_θ

)

^∗

= (

B^∗₀

,

B^∗₁

)

^θ

= (

B^∗₀

,

B^∗₁

)

_θ

= (

B^∗₀

, (

B_α

)

^∗

)

_η

et

(

B0

,

Bα

)

estuncouplerégulierd’espacesséparablesdontlesduauxontlapropriétédeRadon–Nikodym.

b) Soient a^∗ et une suite bornée

(

a^∗_n

)

n≥0 dans Z^∗

= (

B^∗₀

,

B^∗₁

)

θ, soit

η

défini comme en (5.1). D’après le lemme 5.1, il existe H

∈

F^∞

(

B^∗₀

, (

Bα

)

^∗

)

telle que H

( η ) =

^{a∗ et}

^H

_F^∞(B^∗₀,(B_α)^∗))

=

^a∗

(B^∗₀,(B_α)^∗)_η. Soit Fn

∈

F

(

B^∗₀

, (

Bα

)

^∗

)

telle que

^Fn

²_F(B∗

0,(B_α)^∗))

≤

a_n^{∗ 2}

(B^∗₀,(Bα)^∗)η

+

_n^1,etFn

( η ) =

^a∗n,n

≥

^{1.Commedanslapreuvedu}théorème 4.1,ilenrésulteque