2éme BAC PC-SVT www.etude-generale.com Lycée Al Kadi Ayad Salé
Matière : Mathématiques Professeur : Yahya MATIOUI
Nombres complexes
1 Introduction
Résolution dans N de l’équation x+ 7 = 6:
Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les entiers relatifs, on obtient alors x = 1:
Résolution dans Z de l’équation 3x =1:
Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres rationnels, on obtient x= 13:
Résolution dans Q de l’équation x2=2:
Cette équation n’a pas de solution, mais en créant les nombres réels, on obteint x=p
2ou x= p 2:
Résolution dans R de l’équation x2+ 1 = 0:
Cette équation n’a pas de solution dansRdonc on va construire un ensem- ble plus grand que l’on appelle C (complexe) dont l’élément principal ajouté est le nombre i tel que i2= 1: On obtient donc comme solution x =i et x = i:
2 L’ensemble des nombres complexes
2.1 Dé…nition et vocabulaire
Dé…nition 1 Il existe un ensemble noté C, contenant l’ensemble R; tel que :
L’ensemble C posséde un nombre noté i tel que : i2 = 1:
L’ensemble C est l’ensemble des nombres z de la forme : z =a+ib
- Le nombre réel a s’appelle la partie réelle de z notée : Re(z):
- Le nombre réel b s’appelle la partie imaginaire de z notée : Im(z):
Cette forme z =a+ib est appelée forme algébrique.
Vocabulaire
Si Im(z) = 0 le nombre complexe z est réel. Si Re(z) = 0 le nombre complexe est dit imaginaire pur.
2.2 Égalité de deux nombres complexes
Propriété 2 On considère les nombres complexes z =a+ib et z0 =a0+ib0: z = z0 () Re(z) = Re(z0) et Im(z) = Im(z0)
a+ib = a0+ib0 () a =a0 et b =b0
2.3 Les opérations sur les nombres complexes
Propriété 3 On considère les nombres complexes z =a+ib et z0 =a0+ib0: La somme : z+z0 est dé…nie par :
z+z0 = (a+ib) + (a0+ib0) = (a+a0) +i(b+b0) Le produit : z z0 est dé…nie par :
z:z0 = (a+ib):(a0 +ib0) = (aa0 bb0) +i(ab0+a0b)
Inverse d’un nombre complexe : Tout nombre complexe z non nul admet un inverse. L’inverse de z = a+ ib est le nombre complexe
a
a2+b2 ia2+bb 2: Cet inverse est noté 1z: Exemple 4 E¤ectuer les opérations suivantes :
z1 = (4 3i)2 = 16 24i 9 = 7 24i z2 = 4 + 7i (2 + 4i) = 2 + 3i
2.4 Conjugué d’un nombre complexe
Dé…nition 5 Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est : z= a+ib: On appelle le nombre conjugué dez, le nombre noté z tel que :
z =a ib
Exemple 6 Trouver la forme algébrique du complexe suivant : z = 2 i
3 + 2i
On multiplie la fraction en haut et en bas par le complexe conjugué du dénominateur :
z = (2 i)(3 2i)
(3 + 2i)(3 2i) = 6 4i 3i+ 2i2
9 (2i)2 = 4 7i 13 = 4
13 7 13i Résoudre dans lensemble C l’équation suivante : (E) :z = (2 i)z+ 3
z = (2 i)z+ 3 () z (2 i)z = 3 () z(1 2 +i) = 3
() z = 3 1 +i () z = 3
1 i = 3(1 +i) 1 (i2) = 3
2 3 2i Donc
S = 3
2 3 2i 2.4.1 Propriétés
Propriété 7 1. Le nombre complexe z est réel équivaut à : z =z:
2. Le nombre complexe z est imaginaire pur équivaut à : z = z
3. Soit z un nombre complexe et z son conjugué, tels que : z = a+ib et z =a ib:
z+z = 2a () a = z+z 2 z z = 2ib () b= z z
2i
Propriété 8 Pour tous complexes z et z0, on a : 1. z+z0 =z+z0
2. z:z0 =z:z0
3. z = :z ( 2R):
4. (zz0) = z
z0; z0 est non nul.
5. (zn) = (z)n:
Exemple 9 Donner la forme algébrique du conjuguéz du complexe suivant : z = 31+ii
z = 3 i
1 +i
= 3 i 1 +i
= 3 +i 1 i
= (3 +i)(1 +i) (1 i)(1 +i)
= 3 + 3i+i 1 2
= 1 + 2i
2.5 Représentation graphique des nombres complexes
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;!u ;!v ):
Théorème 10 A tout nombre complexez =a+ib, on peut faire correspondre un point M(a; b) dans un plan orthonormal (O;!u ;!v ): On dit que z est l’a¢ xe de M. On écrit alors M(z):
On peut représenter alors le nombre complexe z =a+ib
Propriété 11 A(zA), B(zB), C(zC) et I(zI) sont des points du plan com- plexe (P):
Le vecteur AB! a pour a¢ xe zB zA:
Le point I milieu de [AB] a pour a¢ xe zI = zA+z2 B:
Les pointsA; B etC sont alignés () zzBc zzAA =k 2R:(AveczB zA6= 0):
3 Forme trigonométrique des nombres com- plexes
3.1 Module et argument d’un nombre complexe
3.1.1 Module d’un nombre complexe
Dé…nition 12 On considère le point M d’a¢ xe z =a+ib:
On appelle module dez la distanceOM, c’est la quantité notéejzj tel que :
jzj=p
a2+b2
Exemple 13 Déterminer le module des nombres complexes suivants : z1 = 1 + 2i et z2 = 1 p
3i jz1j=p
12+ 22 =p
5 et jz2j= q
12+ ( p
3)2 =p 4 = 2
Remarque 14 Soient zA, zB et zC les a¢ xes des points A,B et C avec zA 6=zC:
1. AB =jzB zAj 2. Si zzB zA
C zA = ABAC = 1; alors le triangle ABC est isocèle en A.
Propriétés du module d’un nombre complexe : Propriété 15 1. 8z 2C; jzj= 0 () z = 0
2. 8z 2C; jzj=jzj=j zj
3. 8(z1; z2)2C2; jz1:z2j=jz1j:jz2j 4. 8z 2C ; 1z = j1zj
5. 8(z1; z2)2C C ; zz1
2 = jjzz1j
2j
6. (8z 2C )(8n2Z); jznj=jzjn 7. 8z 2C ; jzj= 1 () z = 1z:
Exemple 16 Calculer les modules des nombres complexes suivants:
z1 = 4i( 2 + 3i) et z2 = 7 1 + 2i jz1j=j4i( 2 + 3i)j=j4ij j 2 + 3ij=p
16:p
22+ 32 = 4:p 13 jz2j= 1+2i7 =
p72
p12+22 = p7
5 = 7p55
3.1.2 Argument d’un nombre complexe
Dé…nition 17 on appelle argument dez; une mesure de l’angle !u ;\OM! , c’est à dire la quantité notée arg(z) telle que si est un argument de z on ait :
arg(z) [2 ] et 8<
:
cos = a
jzj
sin = jbzj
Exemple 18 Déterminer l’argument du nombre complexe suivant : z = 1 +p
3i
On a 8
<
:
cos = p 1
12+(p
3)2 = p1 4 = 12 sin = p p3
12+(p
3)2 = p23 Donc : arg(z) 3 [2 ]:
3.2 Forme trigonométrique
Dé…nition 19 On appelle forme trigonométrique d’un nombre complexe z (z 6= 0) dont l’écriture algébrique est a+ib, l’écriture suivante :
z =jzj(cos +isin ) avec : cos = a
jzj et sin = b
jzj:
Exemple 20 Trouver la forme trigonométrique des nombres complexes: z1 = 1 +i ; z2 = 2 + 2p
3i; z3 =p 3 i Pour le nombre complexe z1 :
Cherchons le module de z1 : jz1j=p
1 + 1 =p 2 z1 =p
2( 1
p2 +i 1
p2) =p 2(
p2 2 +i
p2 2 ) = p
2(cos
4 +isin 4) Pour le nombre complexe z2 :
Cherchons le module de z2 : jz2j= q
22+ (2p
3)2 =p 16 = 4 z2 = 4(2
4+i2p 3
4 ) = 4(1 2+i
p3
2 ) = 4(cos
3 +isin 3) Pour le nombre complexe z3 :
Cherchons le module de z3 : jz3j= q
(p
3)2 + ( 1)2 =p 4 = 2 z3 = 2(
p3 2 i1
2) = 2(cos(
6 ) +isin(
6 )) Remarque 21
cos isin = cos( ) +isin( ) cos isin = cos( + ) +isin( + ) cos +isin = cos( ) +isin( ) Exemple 22 Trouver la forme algébrique de : z =p
3 cos 3 +isin3 :
Propriété 23 Pour tous complexes z etz0 non nuls, on a les relations suiv- antes :
arg(z:z0) arg(z) + arg(z0) [2 ] arg(zn) narg(z) [2 ]
arg(z
z0) arg(z) arg(z0) [2 ] arg(z) arg(z) [2 ]
Exemple 24 Soient les nombres complexes: a= (p 6 +p
2) +i(p
6 p
2);
b = 1 +ip
3 et c=p
2 +ip 2:
1. Véri…er que : bc=a:
2. Écrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique.
3. Déduire la forme trigonométrique du nombre complexe a:
Solution 25 1. Véri…ons que : bc=a:
bc = (1 +ip 3)(p
2 +ip 2)
= (1 +ip 3)(p
2 ip 2)
= p
2 ip
2 +ip 6 +p
6
= (p 2 +p
6) +i(p
6 p
2) 2. La forme trigonométrique des nombres complexes : b et c:
Le nombre complexe : b On a : jbj=
q
12+ (p
3)2 =p
4 = 2: Donc b= 1 +ip
3 = 2(1 2+i
p3
2 ) = 2(cos
3 +isin 3) Le nombre complexe : c
On a : jcj= q
(p
2)2+ (p
2)2 =p
4 = 2: Donc c=p
2 +ip 2 = 2(
p2 2 +i
p2
2 ) = 2(cos
4 +isin 4)
3. On déduit la forme trigonométrique du nombre complexe a : On cherche le module de a:
On sait d’après la question 1 que : bc = a. Donc, par passage au module on obtient :
jaj = jbcj
= jbj jcj
= 2 2 = 4 On cherche l’argument de a:
On a : bc=a. Donc, par passage à l’argument on obtient : arg(a) arg(bc) [2 ]
arg(b) + arg(c) [2 ] arg(b) arg(c) [2 ]
3 4 [2 ] 12[2 ]
Donc, on obtient la forme trigonométrique suivante : a = 4(cos
12+isin 12)
4 La formule de Moivre
Théorème 26 Pour tout nombre complexe z =jzj:(cos +isin ) non nul, on a :
zn =jzjn(cosn +isinn )
Exemple 27 Trouver la forme trigonométrique du nombre complexe (1 ip
3)5 :
On cherche la forme trigonomérique du nombre complexe z = 1 ip 3 : on a jzj=
q
12+ ( p
3)2 =p 4 = 2 z = 2(1
2 i p3
2 ) = 2(cos(
3 ) +isin(
3 ))
Donc (1 ip
3)5 = 2(cos(
3 ) +isin(
3 ))
5
= 32(cos( 5
3 ) +isin( 5 3 )) Déterminer la forme algébrique de ((1+i)p3+i)43 :
On cherche les formes trigonométriques des nombres complexes suivants : 1 +i et p
3 +i 1 +i=p
2(cos
4 +isin
4) et p
3 +i= 2(cos
6 +isin 6):
Ensuite (1+i)4 = (p
2)4(cos4
4 +isin4
4 ) = 4( 1) = 4 et (p
3+i)3 = 23(cos3
6 +isin3
6 ) = 8i
Donc (1 +i)4
(p
3 +i)3 = 4 8i = 1
2i
5 Notation exponentielle
Dé…nition 28 On appelle forme exponentielle d’un nombre complexe z la forme suivante :
z =jzj:ei avec est un argument de z:
Ainsi z =jzj(cos +isin ) =jzj:ei Propriété 29 Pour tous réels et 0.
1. ei ei 0 =ei( + 0) 2. eeii0 =ei( 0) 3. ei =e i
5.1 Formules d’Euler
Pour tout réel ;
cos = ei +e i
2 et sin = ei e i 2i
6 Equation du second degré
Théorème 30 Toute équation du second degré dans C admet toujours deux solutions distinctes ou confondues. Si cette équation est à coe¢ cients réels, c’est-à-dire
az2+bz+c= 0; a 2R; b2R et c 2R elle admet comme solutions dansC:
1. Si 0; l’équation admet deux solutions réelles distinctes : z1 = b+p
2a et z2 = b p 2a 2. Si = 0; l’équation admet une solution réelle :
z = b 2a
3. Si 0; l’équation admet deux solutions complexes conjuguées:
z1 = b+ip
2a et z2 = b ip 2a Exemple 31 Résoudre dans l’ensemble C l’équation suivante :
z2 2z+ 4 = 0 Calculons :
= b2 4ac = 4 4 1 4 = 12 0; donc l’équation admet deux solutions complexes conjuguées :z1 = b+i2ap = 2+i2p12 = 2+2i2p3 = 1 +ip
3 et z2 =z1 = (1 ip
3): Donc S =n
1 ip
3;1 +ip 3o
7 Application des complexes à la géométrie
7.1 Complexes et vecteurs
Dé…nition 32 Soit le plan complexe muni du repère orthonormal;on a alors si le point M(z)
OM =jzj et (!u ; !
OM) arg(z) [2 ]
D’une facon générale
Pour tous points A et B du plan complexe, on a : (!u ;AB)! arg(zB zA) [2 ]
Propriété 33 Pour tous pointsA; B etC du plan d’a¢ xes respectiveszA; zB et zC ,tels que A6=B :
(AB;! AC)! arg(zC zA zB zA
) [2 ]
7.2 Angle orienté
D’après les règles sur les angles orientés, on obtient :
(AB;! CD)! (AB;! !u) + (!u ;CD) [2 ]! (!u ;CD)! (!u ;AB) [2 ]!
arg(zD zC) arg(zB zA) [2 ] arg(zD zC
zB zA) [2 ] On en déduit la propriété suivante :
Propriété 34 Pour tous points A; B; C et D du plan d’a¢ xes respectives zA; zB; zC et zD ,tels que A6=B :
( !
AB; !
CD) arg(zD zC zB zA) [2 ] Conclusion (Orthogonalite et parall elisme )
(AB) k (CD) () zD zC zB zA 2R (AB) ? (CD) () zD zC
zB zA 2iR (est un imaginaire pur)
8 Ecriture complexe de transoformations du plan
8.1 La translation
Propriété 35 Soit t!u la translation de vecteur !u d’a¢ xe z!u. Pour tout point M du plan d’a¢ xez , son image M0 par la translation de vecteur !u a pour a¢ xe z0.
M
M'
MM'→ u→
t!u(M) =M0 () !
M M0 =!u () z0 z =z!u () z0 =z+z!u
8.2 L’hommothétie
Propriété 36 Soit un point d’a¢ xe ! et k un réel non nul. Pour tout point M du plan d’a¢ xez; son image M0 par l’homothétie de centre et de rapport k a pour a¢ xe z0:
h(M) = M0 () !
M0 =k M! () z0 !=k(z !) () z0 =!+k(z !)
8.3 Rotation
Propriété 37 Soit un point d’a¢ xe ! et un réel non nul. Pour tout point M du plan d’a¢ xe z; son image M0 par la rotation de centre et d’angle a pour a¢ xe z0
R(M) =M0 ()
( M0 = M ( M;! !
M0) [2 ]
M0 = M () jz0 !j=jz !j () z0 ! z ! = 1 et ( M;! !
M0) [2 ] () arg(zz !0 !) [2 ]; donc zz !0 ! =ei z0 !=ei (z !) () z0 =!+ei (z !)
FIN
Pr : Yahya MATIOUI www:etude generale:com
