TP 3
Ecoulement laminaire longitudinal entre deux plaques parallèles
Utilisation du logiciel LS-DYNA
OBJECTIF :
Il s’agit ici de résoudre à l’aide d’un logiciel élément finis un problème simple de la mécanique des fluides.
Dans un premier temps, les équations de la dynamique des fluides pour un écoulement entre deux plaques (Poiseuille et Couette) seront résolues analytiquement. Ces solutions analytiques serviront ensuite de support pour une comparaison avec les solutions éléments finis obtenues à l’aide du logiciel.
1 Présentation du problème
On désire résoudre le problème de l’écoulement laminaire permanent longitudinal d’un fluide visqueux incompressible newtonien entre deux plaques planes, parallèles, de largeur infinie (>>h).
Paroi supérieure
Sortie Entrée
Paroi inférieure
x y
h
Fluide L
1.1. Démontrer que la forme générale du champ des vitesses du fluide est :
⎟ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎜
⎝
⎛
= 0 0
) ( ) , , , (
y
u
t
z
y
x
u r
1.2. Démontrer que les équations du mouvement peuvent s’écrire :
v
du f grad p u ρ dt r = r − uuuuur + Δ μ r
Où ρ est la masse volumique,
p
la pression et µ est la viscosité dynamique. Par application de ces équations (dites de Navier Stokes) et en négligeant les force de volumef r
v, calculer le champ de pression et démontrer :
2 0 2
dy p u d dx
dp = μ = −
(1)p
0 est une constante appelée chute linéique de pression (gradient de pression).1.3. Donner l’expression de cette chute linéique de pression en fonction de (pression d’entrée), (pression de sortie) et .
p1
p2
L
2 Ecoulement de Poiseuille
Lorsque les deux plaques sont fixes, l’écoulement est appelé écoulement de Poiseuille.
2.1- Résoudre l’équation différentielle (1) en considérant que les plaques sont fixes. En déduire que le champ des vitesses s’écrit :
( )
p y(
h y)
y
u = −
μ
20
Tracer le profil des vitesses en fonction du signe de
p
0.2.2. Calculer la vitesse maximale
u
max et démontrer que la vitesse moyenne est :3
max2 u u =
2.3. Mettre en données le problème avec LS-DYNA. Sachant que les paramètres de calcul sont donnés dans le tableau suivant :
L (m) h (m) ρ (kg/m3) µ (Pa.s ou Pl) p1 (Pa) p2 (Pa)
5 1 1 0,01 0,6 0
Rq : La masse volumique n’est pas physique mais permet d’avoir des temps de calcul acceptables en séance de TP.
2.4. Calculer le nombre de Reynolds (Re=
ρ
uh/μ
) et vérifier que l’écoulement est bien laminaire.2.5. Comparer le profil de vitesses obtenu analytiquement avec la solution éléments finis.
2.6. Appliquer une pression de sortie égale à la pression d’entrée. Que se passe-t-il ? Est-ce que ce phénomène est physique ?
3 Ecoulement de Couette
Lorsqu’une des plaques est mobile, l’écoulement est appelé écoulement de Poiseuille. On suppose que c’est la plaque supérieure qui est animée d’une vitesse horizontale
V
0= 1 m/s
.3.1. L’équation différentielle (1) régissant le comportement du fluide est toujours valable. Par utilisation des nouvelles conditions aux limites, résoudre analytiquement le problème. En déduire alors que le champ des vitesses :
( ) ( )
yh y V h p y y
u 0 0
2 − +
=
μ
Le premier terme est relatif à l’écoulement de Poiseuille et le second est donné pour un écoulement à chute linéique de pression nulle.
3.2. Réécrire cette relation sous la forme suivante :
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ −
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ +
=
04
222 1
2 1 h
K y h V y
y u
K est relatif à une chute linéique de pression adimensionnelle. En déduire l’expression de K.
3.3. Calculer la vitesse maximale
u
max et la vitesse moyenneu
. En déduire le nombre de Reynolds 3.4. Modifier la mise en données du problème de Poiseuille pour simuler l’écoulement de Couette. On réalisera alors diverses simulations en faisant varier le gradient de pression adimensionnel K, soitSimulation N° L (m) h (m) ρ (kg/m3) µ (Pl) p1 (Pa) p2 (Pa)
1 5 1 1 0,01 0,3 0
2 5 1 1 0,01 0,3 0,15
3 5 1 1 0,01 0,3 0,3
4 5 1 1 0,01 0,15 0,3
5 5 1 1 0,01 0 0,3
Calculer la valeur de K, de Re (en déduire si l’écoulement est laminaire). Représenter pour chaque simulation le profil des vitesses et comparer sur un même graphe. En déduire l’influence du gradient de pression sur le comportement du fluide.
4 Conclusions
Dans le cadre de ce TP, l’étudiant conclura sur les compétences qu’il pense avoir acquises à la fin de l’exercice. Il notera les notions essentielles qu’il a retenues ainsi que les points qu’il doit éclaircir pour une parfaite compréhension et maîtrise des calculs menés.
