Comportement M´ecanique des Mat´eriaux

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Comportement M´ ecanique des Mat´ eriaux

Roland FORTUNIER

Ecole Nationale Sup´´ erieure des Mines 158 cours Fauriel

42023 Saint-Etienne cedex 2

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Table des mati` eres

Introduction 7

1 Essais m´ecaniques - Lois simples 9

1.1 Param`etres importants . . . 9

1.1.1 El´´ ement de volume repr´esentatif . . . 9

1.1.2 Vitesse de d´eformation et temp´erature . . . 10

1.1.3 Direction de sollicitation . . . 13

1.2 Types de sollicitation . . . 15

1.2.1 Essais monotones . . . 15

1.2.2 Essais cycliques . . . 18

1.2.3 Duret´e et r´esilience . . . 21

1.3 Quelques lois simples . . . 25

2 Thermodynamique des milieux continus 29 2.1 Equations de base . . . .´ 29

2.1.1 D´efinition des variables . . . 29

2.1.2 Equations de conservation, premier principe . . . .´ 29

2.1.3 In´egalit´e de Clausius-Duhem, second principe . . . 31

2.2 lois de comportement . . . 32

2.2.1 Variables d’´etat, potentiel thermodynamique . . . 32

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2.2.2 Lois compl´ementaires, potentiel de dissipation . . . 34

2.2.3 Cas de la dissipation instantan´ee . . . 37

3 Elasticit´´ e - Viscoélasticité 39 3.1 Elasticit´´ e linéaire . . . 39

3.1.1 Loi de Hooke généralisée . . . 39

3.1.2 Energie de d´´ eformation ´elastique . . . 40

3.1.3 Relations de sym´etrie . . . 42

3.1.4 Diff´erents comportements ´elastiques . . . 43

3.1.5 Thermoélasticité linéaire . . . 46

3.2 Viscoélasticité linéaire . . . 47

3.2.1 Mod`ele de Kelvin-Voigt . . . 47

3.2.2 Mod`ele de Maxwell . . . 48

4 Plasticité - Viscoplasticité 51 4.1 Résultats expérimentaux . . . 51

4.1.1 Limite d’´elasticit´e . . . 51

4.1.2 Anisotropie . . . 53

4.2 Mod´elisation m´ecanique . . . 56

4.2.1 Contrainte ´equivalente . . . 56

4.2.2 Variables d’´ecrouissage . . . 59

4.3 Comportement ´elastoplastique . . . 61

4.3.1 Loi de normalit´e . . . 61

4.3.2 Condition de consistance . . . 63

4.4 Comportement ´elastoviscoplastique . . . 64

4.4.1 Loi de normalit´e . . . 64

4.4.2 Potentiel d’´ecoulement . . . 65

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4.5 Quelques exemples . . . 68

4.5.1 Ecrouissage isotrope . . . 68

4.5.2 Ecrouissage cin´ematique lin´eaire . . . 70

4.5.3 Ecrouissage combin´e . . . 71

5 Endommagement - Rupture 73 5.1 Endommagement . . . 73

5.1.1 Description . . . 73

5.1.2 Mesure . . . 75

5.2 Rupture . . . 78

5.2.1 Description . . . 78

5.2.2 M´ecanique de la rupture . . . 79

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Introduction

L’étude du comportement mécanique des matériaux a pour but de connaˆıtre leur réponse à une sollicitation donnée. Les variables mises en jeu dans ce domaine sont :

– le tenseur des contraintes σ – le tenseur des d´eformations

L’objectif de ce document est de donner un aper¸cu assez général du comportement mécanique des matériaux, et de sa modélisation. En effet, si l’élasticité linéaire représente actuellement le cadre de la majorité des calculs de mécanique des milieux continus réalisés dans l’industrie, d’autres types de comportement sont de plus en plus utilisés car ils s’approchent plus de la réalité, et permettent donc un dimensionnement plus strict des structures ou de certains procédés.

Un premier exemple concerne le dimensionnement d’une structure, en vue de l’adapter aux sollicitations qu’elle subira (choix du matériau, optimisation de la forme, respect des points de fonctionnement, . . . ). Dans des zones acci- dentées telles que les congés de raccordement, ou au voisinage de porosités ou d’inclusions, la sollicitation mécanique en service est amplifiée par un certain facteur. On parle de ”concentration de contraintes”. Lorsque ces zones sont relativement petites, le matériau peut avoir un comportement globalement

élastique, alors que la structure ”plastifie” localement. La prise en compte de cette ”plastification locale” permet d’améliorer par exemple les prévisions de durée de vie des structures dans l’automobile ou dans l’aéronautique.

Un autre exemple est la mise en forme d’une pièce (forgeage, emboutissage, . . . ), où la déformation plastique du matériau est à la base du procédé. La connaissance de son comportement plastique permet de mieux appréhender les efforts qui seront mis en jeu (gamme de fabrication, choix de la presse, cadence, . . . ), ainsi que les défauts susceptibles d’être générés par cette mise

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en forme.

Dans le chapitre un de ce document, nous décrivons les essais mécaniques couramment utilisés pour caractériser le comportement mécanique des matériaux, puis nous donnons quelques lois phénoménologiques utilisées dans les calculs simples. Dans le chapitre deux, nous donnons le cadre thermodynamique dans lequel les lois de comportement des matériaux doivent s’inscrire. En- suite, nous nous intéressons aux comportement élastiques, thermoélastiques et viscoélastiques linéaires, puis à la modélisation de l’écrouissage plastique ou viscoplastique. Le dernier chapitre est consacré aux principaux modèles d’endommagement et de rupture des matériaux.

Les concepts introduits dans ce document pourront ˆetre approfondis dans [4].

Le lecteur pourra également utiliser [2] pour mieux comprendre les liens entre les aspects microscopiques et macroscopiques du comportement des métaux, et [5] pour une analyse détaillée des mécanismes physiques et de la mécanique de l’endommagement.

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Chapitre 1

Essais m´ ecaniques - Lois simples

1.1 Param` etres importants

1.1.1 El´ ´ ement de volume repr´ esentatif

Pour réaliser un essai mécanique, un élément de volume ”représentatif” du matériau doit être utilisé, afin que les hypothèses des milieux continus soient satisfaites. Le tableau 1.1 donne, en fonction du type de matériau, la taille caractéristique minimale de l’éprouvette qu’il conviendra d’utiliser.

Type de type et taille élément de volume matériau des hétérogénéités caractéristique métaux et alliages grain : 0,001 à 0,1mm 0,5×0,5×0,5mm

polymères molécule : 0,01 à 0,05mm 1×1×1mm bois fibres : 0,1 à 1mm 10×10×10mm béton granulats : ≈10mm 100×100×100mm

Tab. 1.1 – ´el´ements de volumes macroscopiques

Le d´epouillement des essais consiste ensuite souvent `a transformer les courbes

”force-déplacement” obtenues en courbes ”contrainte-déformation”, appelées

”courbes rationnelles”. La figure 1.1 donne une courbe rationnelle typique obtenue pour différents types de matériaux. Il faut noter ici que la courbe rationnelle relie deux scalaires entre eux (une ”contrainte”σ et une ”déformation”

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), et non deux tenseurs. Le choix de ces scalaires d´epend du type d’essai et du type de mat´eriau.

Fig. 1.1 – Courbes rationnelles typiques de diff´erents mat´eriaux

1.1.2 Vitesse de d´ eformation et temp´ erature

La vitesse de déformation peut avoir une influence déterminante sur le comportement des matériaux. Lors de la réalisation d’un essai, on doit donc utiliser une vitesse aussi proche que possible de celle qui sera utilisée par la suite (e.g.lorsque l’on utilisera la loi de comportement obtenue dans un calcul de dimensionnement). Par exemple, si l’objectif est de valider la tenue en fluage d’une structure, sous l’effet de son propre poids, la vitesse de déformation à considérer sera très faible. Par contre, si l’objectif est de valider la tenue aux séismes de cette structure, alors cette même vitesse de déformation pourra prendre des valeurs beaucoup plus élevées, et la loi de comportement à utiliser ne sera sans doute pas la même. Ceci conduit à différents types d’essais, qui peuvent être classés en fonction de la vitesse de déformation mise en jeu (tableau 1.2).

Par exemple, un essai quasi-statique de compression uniaxiale sera réalisé à l’aide d’une machine hydraulique ou mécanique. l’éprouvette est fixée d’un côté sur une traverse fixe, et de l’autre sur une traverse qui se déplacera à une vitesse donnée, relativement lente. Le dépouillement de l’essai se fera dans le régime ”quasi-statique”, c’est-à-dire sans prendre en compte les effets d’inertie dans les équations d’équilibre. Par contre, dans le régime dynamique, la machine classique ne suffira plus car la traverse ne pourra plus atteindre la vitesse requise. L’essai sera alors réalisé sur un système de barres

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temps vitesse de régime régime caractéristique (s) déformation (s⁻¹) mécanique thermique

10⁶ 10⁻⁶ fluage isotherme

10⁴ `a 10² 10⁻⁴ `a 10⁻² quasi-statique isotherme

1 1 interm´ediaire interm´ediaire

10⁻² à 10⁻⁴ 10² à 10⁴ dynamique intermédiaire

10⁻⁶ 10⁶ impact adiabatique

Tab. 1.2 – temps caract´eristiques et types d’essais

de Hopkinson (figure 1.2), où l’éprouvette est sollicitée par l’onde élastique de compression arrivant de la barre incidente. Pour dépouiller l’essai, il faudra prendre en compte l’inertie mécanique du matériau, qui produit un ”pic” de force au début de la sollicitation. Enfin, dans le régime d’impact, on utilisera par exemple un essai d’impact de plaques (figure 1.3). Une plaque incidente vient impacter à 500m/s environ la plaque étudiée, qui est sollicitée directement en traction lors du croisement des ondes élastiques de traction issues de la réflexion des ondes de compression sur les faces libres avant et arrière. Le dépouillement de ce type d’essais est relativement complexe, d’une part à cause de l’électronique nécessaire pour ”capter” des phénomènes se produisant en quelques nanosecondes, et d’autre part à cause du comportement mécanique du matériau, qui s’approche ici plus d’une courbe pression- volume (diagramme de Clapeyron) que d’une courbe classique contrainte- déformation.

Fig. 1.2 – Barres de Hopkinson

Dans la suite de ce document, nous nous limiterons aux régimes mécaniques de fluage et quasi-statiques, c’est-à-dire à une vitesse de déformation comprise en 10⁻⁶ et 10²s⁻¹. Cette plage de variation couvre la majorité des procédés de mise en forme actuels, bien que la tendance soit à l’augmentation des cadences, et donc de la vitesse de déformation. Par exemple, lors du laminage

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a froid d’une tôle d’acier, la vitesse de déformation peut parfois atteindre 100s⁻¹. Dans ce type de régime, les effets d’inertie sont négligés dans le dépouillement de l’essai, et également lors de la simulation du procédé. Par contre, même à l’intérieur de ces régimes, la vitesse de déformation peut avoir

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Fig. 1.3 – Impact de plaques

une forte influence sur le comportement mécanique du matériau. La figure 1.4 illustre cette influence (résultat typique d’un essai de traction réalisé en changeant la vitesse de déformation). On dit alors que le matériau est

”sensible à la vitesse de déformation”. Cette sensibilité sera d’autant plus forte que les deux courbes en pointillés de la figure 1.4 seront éloignées.

Fig. 1.4 – Courbe de traction typique avec sauts de vitesse

Dans le cadre thermodynamique général des milieux continus, les aspects mécaniques et thermiques sont ”naturellement” couplés. Ceci met claire- ment en évidence l’importance de la température de l’éprouvette lors de la réalisation d’un essai, et le couplage de cette influence avec la vitesse de déformation.

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Dans le tableau 1.2, le régime thermique d’un essai est indiqué, en fonction de la vitesse de déformation mise en jeu. La puissance de déformation plastique σ: ˙^p est essentiellement dissipée en chaleur dans l’élément de volume considéré. Par exemple, il est aujourd’hui communément admis que, dans les métaux, environ 90% de la puissance de déformation plastique est dissipée en chaleur, le reste étant stocké dans le matériau. Cette chaleur doit donc être évacuée par conduction thermique.

Lors d’essais ”lents” (régimes mécaniques de fluage ou quasi-statiques), la chaleur a le temps de se dissiper, se sorte que l’on peut considérer que l’essai est isotherme. Dans un régime intermédiaire ou d’impact, l’éprouvette s’échauffe vite, et la chaleur produite n’a pas le temps de se dissiper. Ceci a une conséquence sur le comportement du matériau, et sur l’évolution de sa structure.

Pour simuler un procédé de mise en forme, la loi de comportement du matériau est donc souvent donnée à différentes températures. Des essais à différentes températures sont donc réalisés. Ceci peut changer non seulement le niveau de contrainte (pour une déformation donnée), mais aussi la forme de la loi elle-même (présence ou non de recristallisation dynamique, . . . ).

1.1.3 Direction de sollicitation

Lors de la réalisation d’essais mécaniques, le choix de la direction de sollicitation peut s’avérer primordial. En effet, il conditionne souvent le domaine de validité de la loi de comportement obtenue. On peut classer les directions de sollicitation en deux grandes catégories : les sollicitations uniaxiales et les sollicitations multiaxiales. On parle alors d’essai ”uniaxial” ou d’essai

”multiaxial”. Les principaux essais uniaxiaux utilis´es sont : – la traction-compression

– la torsion – la flexion

L’´eprouvette est alors sollicit´ee dans une direction de l’espace des contraintes.

La variation d’un paramètre de l’essai ne change pas cette direction. Les essais multiaxiaux sont nombreux et variés. Ils sont plus difficiles à interpréter.

Ils consistent le plus souvent `a combiner plusieurs sollicitations uniaxiales entre elles au cours du temps, de fa¸con `a tester l’influence de la direction

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de sollicitation sur le comportement du mat´eriau. L’essai multiaxial le plus courant est celui de ”traction-torsion”.

Traction-Compression

La traction-compression est l’essai le plus couramment utilisé sur les métaux (figure 1.5). Toutefois, les déformations atteintes par ce type d’essai sont limitées par la rupture du matériau (en traction), et par le flambage de l’éprouvette (en compression). Ce type d’essai est donc principalement uti- lisé pour obtenir une loi de comportement simple et rapide en traction, ou pour solliciter cycliquement le matériau en traction-compression, à faibles déformations, et obtenir une loi de comportement en fatigue (voir paragraphe suivant).

Fig. 1.5 – Sch´ematisation de l’essai de traction-compression

Pour avoir accès à une loi de comportement valable pour de plus grandes déformations qu’en traction, on réalise donc des essais spécifiques de compression (figure 1.6). Le dépouillement de l’essai est cependant rendu délicat par la présence de frottement à l’interface éprouvette-outil.

Torsion

L’essai de torsion (figure 1.7) permet d’avoir accès à une loi de comportement pour de grandes déformations, sans problèmes de frottement entre l’éprouvette et l’outil. Cependant, la déformation et la contrainte ne sont pas homogènes le long du rayon de léprouvette. On utilise donc parfois un cylindre à paroi mince comme éprouvette.

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Fig. 1.6 – Sch´ematisation de l’essai de compression

Fig. 1.7 – Sch´ematisation de l’essai de torsion

Flexion

La flexion (figure 1.8) est l’essai le plus couramment employ´e sur les c´eramiques.

La flexion quatre points permet de solliciter le matériau avec un moment constant entre les deux points d’application de la charge. Comme en torsion, la déformation et la contrainte ne sont pas constantes dans l’épaisseur de l’éprouvette.

1.2 Types de sollicitation

1.2.1 Essais monotones

Les essais monotones les plus classiques sont ceux de traction, de compression, de torsion et de flexion. La sollicitation est alors appliquée au matériau jusqu’à sa rupture (traction, torsion, flexion) ou jusqu’à une déformation suf-

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Fig. 1.8 – Sch´ematisation de l’essai de flexion quatre points

fisamment grande (compression). En fonction du mode d’application de la sollicitation, on peut réaliser principalement des essais d’écrouissage, de fluage, ou de relaxation, et les combiner entre eux (essais d’écrouissage-relaxation, . . . ).

La figure 1.9 montre une courbe ”force-allongement” (et la courbe contrainte- déformation associée) typique obtenue sur un métal lors d’un essai d’écrouissage en traction monotone. Ce type d’essai est généralement réalisé à des vitesses comprises entre 10⁻³ et 1s⁻¹. On distingue successivement :

– un domaine de comportement élastique réversible, où l’arrêt de la sollicitation permet à l’éprouvette de retourner dans son état initial, et où les contraintes et les déformations sont reliées linéairement par la loi de Hooke

– un domaine de comportement plastique homogène, caractérisé par une déformation irréversible du matériau.

– un domaine de comportement plastique hétérogène, initié par l’appa- rition d’une ”striction”. La déformation se localise dans l’éprouvette jusqu’à rupture de celle-ci.

Les essais de fluage sont réalisés en appliquant une contrainte constante au matériau, en général en traction. Le type de courbe obtenu est donné sur la figure 1.10. Elle représente la déformation de l’éprouvette en fonction du temps, pour une contrainte constante donnée. Une première déformation apparaˆıt instantanément à la mise en charge. C’est la déformation corres- pondant à la contrainte appliquée dans un essai d’écrouissage. Ensuite, une déformation lente apparaˆıt au cours du temps. La vitesse de déformation est de l’ordre de 10⁻⁶ à 10⁻⁴s⁻¹. Dans un premier temps (domaine de fluage pri- maire), elle décroˆıt, pour atteindre une valeur constante dans le domaine de

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Fig. 1.9 – Essai d’´ecrouissage en traction

fluage secondaire (ou fluage stationnaire). Enfin, cette vitesse de d´eformation augmente (domaine de fluage tertiaire) jusqu’`a la rupture.

Les essais de relaxation servent à caractériser l’évolution au cours du temps des contraintes internes d’un matériau. Pour cela, On applique une déformation constante à l’éprouvette, puis on observe l’évolution de la contrainte (figure 1.11). Ce type d’essai est très utilisé pour obtenir les propriétés viscoplas- tiques du matériau.

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Fig. 1.10 – Repr´esentation sch´ematique d’une courbe de fluage

Fig. 1.11 – Repr´esentation sch´ematique d’un essai de relaxation

1.2.2 Essais cycliques

Les essais cycliques sont caractérisés par une suite de sollicitations alternées.

Les plus courants sont ceux de traction-compression, mais on utilise ´egalement

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des essais de flexion ou de torsion alternée. L’objectif de ces essais est d’obtenir la loi de comportement ”cyclique” du matériau, qui caractérise son

évolution au fur et à mesure des cycles de sollicitation. Les essais de traction- compression peuvent être réalisés à déformation ou à contrainte imposée.

La figure 1.12 montre le type de résultats obtenus en déformation imposée (traction-compression par exemple), dans le cas d’un matériau à durcisse- ment cyclique. Lorsque l’amplitude de contrainte n’évolue plus sur plusieurs cycles, on dit que l’on a atteint le ”cycle stabilisé”. Pour obtenir la loi de comportement cyclique du matériau, on effectue plusieurs essais à déformation imposée plus ou moins grande. Pour chaque essai, on note l’amplitude de contrainte aux cycles stabilisés, que l’on trace en fonction de l’amplitude de déformation. La figure 1.13 montre le type de courbe obtenu, appelé ”courbe de consolidation cyclique”. Cette courbe ressemble à celle obtenue lors d’un essai d’écrouissage, mais ne traduit pas du tout le même type de comportement.

Fig. 1.12 – Essai cyclique à déformation imposée

Lors d’essais cycliques, le matériau rompt au bout d’un certain nombre de cycles. L’endommagement du matériau au cours de l’essai est appelé ”fatigue”. On parle donc couramment d’essais de fatigue lorsque la sollicitation est cyclique. La fréquence de sollicitation est ici donnée par le nombre de cycles par seconde. Notons également que les cycles de déformation (ou de contraintes) peuvent être plus ou moins compliqués. Ils peuvent par exemple présenter un plateau (déformation constante), de sorte qu’à chaque cycle, il

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Fig. 1.13 – courbe de consolidation cyclique typique

se produit un ph´enom`ene de relaxation des contraintes.

Fig. 1.14 – courbe de Woehler typique

Le nombre de cycles à rupture lors d’un essai de fatigue est un renseignement intéressant. Il pourra en effet être utilisé ultérieurement pour prévoir la durée de vie d’une pièce en service, en fonction de ses sollicitations. La courbe la plus largement utilisée pour représenter la durée de vie des matériaux est la courbe de ”Woehler”. L’amplitude de contrainte est donnée en fonction du nombre de cycle à rupture (figure 1.14). On distingue sur cette courbe

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un domaine dit ”oligocyclique”, où le nombre de cycles à rupture est relativement faible. Ce domaine est caractérisé par une plastification globale de l’éprouvette à chaque cycle. Dans le domaine dit ”d’endurance limitée”, la consolidation cyclique diminue la plastification de l’éprouvette au cours des cycles. Le nombre de cycles à rupture est plus élevé. Enfin, dans le domaine d’endurance, le comportement de l’éprouvette est purement élastique. Pour certains matériaux, on peut même considérer que, en-dessous d’une certaine amplitude de contrainte (la limite d’endurance), le nombre de cycles à rupture est infini.

1.2.3 Duret´ e et r´ esilience

D’autres essais mécaniques peuvent être utilisés pour caractériser le comportement d’un matériau. Les plus fréquents sont l’essai de dureté, destiné le plus souvent à estimer rapidement et simplement la limite d’élasticité du matériau, et l’essai de résilience visant à caractériser le risque de rupture fragile du matériau.

Essai de duret´e

L’essai de dureté est largement utilisé sur les métaux. Il caractérise la résistance qu’oppose le matériau à la pénétration d’un autre corps plus dur que lui.

Ainsi, pour des conditions expérimentales données, la dureté du métal sera d’autant pus grande que la pénétration du corps sera faible. Il existe trois principaux type d’essais de dureté, qui différent essentiellement par la forme du pénétrateur : l’essai Brinell, l’essai Vickers et l’essai Rockwell :

– Dans l’essai Brinell, le pénétrateur est une bille en acier extra-dur de diamètre D. On la pose sur l’échantillon à étudier et on exerce sur elle une force F pendant un temps donné t. La dureté est ensuite calculée comme le rapport entreF (exprimée enKgf) et la surfaceS(exprimée en mm²) de la calotte sphérique ainsi formée : H_B = F/S. La surface S peut être aisément calculée à partir du diamètre d de l’empreinte.

Il est évident que la valeur H_B obtenue doit être accompagnée des caractéristiques de l’essai : la force appliquéeF, le temps d’application t, et le diamètre de la bille D. La valeur de la charge peut atteindre 3000Kg, et le diamètre D de la bille est en général de 5 ou 10mm.

– Dans l’essai Vickers (figure 1.15), le pénétrateur est une pyramide en diamant à base carrée dont l’angle au sommet est de 136^◦. L’empreinte

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formée est donc pyramidale. Si S est la surface latérale de cette empreinte (exprimée en mm²), d sa diagonale (en mm) et F la force appliquée (en Kgf), alors la dureté est : H_v = F/S ≈ 1,8544F/d². La charge utilisée est en général comprise entre 5 et 120Kg. Toute- fois, il est possible de faire des essais dits de microdureté avec des charges n’excédant pas 100g si l’on veut étudier une zone très locale du matériau. Ces essais sont alors réalisés et analysés sous microscope.

– Dans l’essai Rockwell, le pénétrateur est soit une bille, soit un cône de diamant d’angle au sommet 120^◦, avec une extrémité sphérique de 0,2mmde diamètre. On ne mesure plus la surface de l’empreinte, mais sa profondeur. On applique en général une précharge d’environ 10Kg avant l’essai, et on mesure l’évolution de la profondeur de l’empreinte lors du passage à la charge totale. La valeur de la dureté est notée HR, avec un indice supplémentaire donnant le type de bille ou cône utilisé et la chargeF utilisée. Par exemple,H_RA correspond à un cône et une charge de 60Kg, et H_RB à une bille de diamètre 1,59mm (1/16 de pouce) et une charge de 100Kg.

Fig. 1.15 – Essai de duret´e Vickers

Pour déterminer la dureté d’un matériau, il est indispensable de faire plusieurs mesures et d’adopter une valeur moyenne. Parfois, les mesures succes- sives sont réalisées le long d’une droite, par exemple dans l’épaisseur d’une pièce préalablement coupée. On parle alors de profil de dureté. Entre deux empreintes, il convient de laisser suffisamment de distance, pour éviter que la déformation du métal lors de l’essai précédent ait une influence sur le résultat de l’essai courant.

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L’essai Brinell est peu sensible à l’état de surface car il conduit à des empreintes relativement larges. Par contre, il n’est pas possible de l’utiliser cor- rectement sur des métaux très durs. Les essais Vickers et Rockwell peuvent être utilisés sur tout type de métal, mais sont sensibles à l’état de surface.

L’essai de dureté le plus utilisé aujourd’hui est l’essai Vickers. On en déduit une duretéH_v. Parfois, on parle de ”dureté vraie”, et on la noteH. En fait, cette dureté vraie est la rapport entre la force appliquée, F (en Kgf), et la surface de l’empreinte projetée sur la face étudiée, S_p (en mm²). Il existe des abaques pour relier H à H_v, et également pour relier les différents types de dureté entre eux. La dureté vraie H est utilisée car elle permet d’avoir une première estimation, par un essai simple, de la limite d’élasticité du matériau σ₀. On peut en effet considérer en première approximation que H = 3σ₀. Un facteur correctif est cependant souvent utilisé pour rendre compte de l’écrouissage du matériau.

L’essai de r´esilience

L’essai de résilience sur éprouvette entaillée a pour but de caractériser le risque de rupture fragile du matériau. On appelle résilience l’énergie de rupture ramenée ou non à la section sous entaille de l’éprouvette. Elle s’exprime donc enJ/cm² ou en J. C’est une mesure de la ténacité du matériau, c’est-

`

a-dire de sa capacité globale à absorber de l’énergie.

L’appareil couramment utilisé pour les essais de résilience est le ”mouton de Charpy” (figure 1.16). Un couteau de masseM situé à l’extrémité d’un bras de longueurlvient rompre par impact une éprouvette. L’énergie absorbée par la rupture est M gl(cos(β)−cos(α)), oùg est l’accélération de la pesanteur, α l’angle de départ du bras, etβ l’angle de remontée du bras après impact.

Il convient cependant de soustraire à cette valeur le travail de frottement du bras sur son axe et celui des fragments de matériau projetés. Les valeurs courantes de résilience ainsi mesurées sont de l’ordre de 100 à 300J sur des aciers. Les éprouvettes sont des parallélépipèdes entaillés à l’opposé du point d’impact. Si l’entaille est en forme de V, la résilience est notéekV. Si l’entaille est en forme de U, la résilience est notéek_U. Les dimensions des éprouvettes et des entailles sont normalisées.

L’essai de résilience est très facile à mettre en oeuvre. Il est largement utilisé dans l’industrie pour évaluer l’incidence d’une opération de mise en forme ou de traitement thermique sur les caractéristiques du matériau. Par exemple, la résilience d’un acier normalisé est donnée, et devra être respectée par le fa-

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Fig. 1.16 – Essai de r´esilience

bricant de cet acier. Par contre, des essais de résilience ne pourront être com- parés que s’ils sont réalisés dans les mêmes conditions (forme d’éprouvette, température, . . . ).

La résilience mesurée par un essai Charpy n’est qu’une valeur d’énergie globale caractérisant le matériau dans les conditions de l’essai. Elle n’est pas en relation directe avec une propriété intrinsèque du matériau. Pour remonter

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a des propriété plus locale, on peut par exemple utiliser un essai de Charpy instrumenté, où on mesure l’évolution de la charge au cours du temps. En fait, la résistance à la rupture brutale d’un matériau est maintenant étudiée

`

a l’aide de la mécanique de la rupture. Un facteur d’intensité de contraintes critique k_Ic caractérise par exemple la résistance d’un matériau à la pro- pagation brutale d’une fissure en déformation plane. C’est un paramètre intrinsèque du matériau. Des corrélations empiriques ont été établies pour certains matériaux entre les valeurs dek_Ic et la résiliencek_V. Le facteur d’in- tensité de contraintes est décrit plus en détails dans le dernier chapitre de ce document.

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1.3 Quelques lois simples

Le principal objectif des essais mécaniques est la mise en place d’une loi des- tinée à être utilisée pour la prévision du comportement du matériau. Cette loi de comportement pourra par exemple être appliquée lors de la mise en forme d’une pièce, pour calculer les efforts nécessaires (choix des outillages et de la presse), pour évaluer l’aptitude du matériau à cette mise en forme (remplissage des formes), . . . . Pour ce type d’application, il n’est parfois pas nécessaire de faire appel à des lois compliquées. On se contente alors de relations simples, qui servent simplement à décrire le comportement du matériau dans un cas particulier. Nous allons voir ici quelques relations d’ecrouissage issues d’essais de traction.

Une courbe contrainte-déformation (σ−) lors d’un essai d’écrouissage est caractérisée par une partie élastique et une partie plastique. Nous nous intéressons ici principalement à la partie plastique. Cette courbe sera donc parfois transformée comme décrit sur la figure 1.17. La déformation plastique sera notée _p et la contrainte σ. Dans le cas d’un essai de traction par exemple, on auraσ= ^F_S, oùF est la force appliquée, et Sla section courante de l’éprouvette, et _p = −_e =ln(_l^l

0)− _E^σ, où l est la longueur de la partie utile de l’éprouvette (l₀ la longueur initiale) et E le module d’Young du matériau.

Fig. 1.17 – courbe de traction

En pratique, pour beaucoup de matériaux (dont la plupart des métaux), la partie élastique de la déformation est très faible devant la partie plastique lors d’une opération de mise en forme. Il est donc fréquent, dans une approche phénoménologique, de négliger_e, et donc de confondre et _p.

Les principales lois de comportement phénoménologiques utilisées sont les

(26)

suivantes :

– la loi de Hollomon ou loi puissance, décrite sur la figure 1.18, où la contrainte est donnée sous la forme (K et n sont deux paramètres) :

σ =Kⁿ (1.1)

Fig. 1.18 – loi de Hollomon

Pour identifier les paramètres K et n, on transforme la courbe en ln(σ) − ln(), qui devient linéaire. La pente de cette courbe donne le coefficientn = ^dln(σ)_dln(), appelécoefficient d’écrouissage.

– la loi de Ludwik, d´ecrite sur la figure 1.19, qui a la forme (σ_e, K et n sont des param`etres) :

σ =σ_e+Kⁿ (1.2)

Fig. 1.19 – loi de Ludwik

(27)

Pour obtenir les paramètres σ_e,K etn, il faut dans ce cas tout d’abord identifierσ_e, qui est en fait la limite d’élasticité du matériau, puis transformer la courbe enln(σ−σ_e)−ln() pour obtenir les deux autres pa- ramètres. Il faut signaler ici que le paramètrenn’est pas ici le coefficient d’écrouissage du matériau.

– la loi de Swift ouloi de Krupkowski, représentée sur la figure 1.20, qui s’écrit (K,₀ et n sont des paramètres) :

σ=K(0+)ⁿ (1.3)

Fig. 1.20 – loi de Swift

On remarque qu’avec cette loi, la limite d’élasticité du matériau vaut σ_e = Kⁿ₀, et que le paramètre n n’est pas le coefficient d’écrouissage du matériau.

(28)

(29)

Chapitre 2

Thermodynamique des milieux continus

2.1 Equations de base ´

2.1.1 D´ efinition des variables

Le comportement mécanique des matériaux doit être schématisé en respectant les énoncés fondamentaux de la thermodynamique. Pour cela, on isole une partie quelconque Ω_A d’un solide Ω. Dans cette partie Ω_A, le solide est soumis à des forces volumiques −→

f_v (par exemple son poids propre), et re¸coit une densité volumique de chaleur r (par exemple lors d’un chauffage par induction). La frontière ∂Ω_A, de normale unitaire −→n, entre cette partie et le solide complet Ω, est soumise à un vecteur contrainte −→

t = σ.−→n (qui schématise les actions mécanique de Ω sur Ω_A). Elle échange également un flux de chaleur −→q (par conduction thermique entre Ω et Ω_A). Ceci est schématisé sur la figure 2.1.

2.1.2 Equations de conservation, premier principe ´

En notant ρ la masse volumique du matériau, et −→v la vitesse des points matériels qui le constituent, on peut maintenant écrire les lois de conservation

(30)

Fig. 2.1 – Sollicitation thermodynamique appliqu´ee `a un solide suivantes :

– conservation de la quantit´e de mouvement d

dt Z

ΩA

ρ−→v dv = Z

∂ΩA

−

→t ds+ Z

ΩA

−

→f vdv (2.1) – conservation de la masse

d dt

Z

ΩA

ρdv= 0 (2.2)

– conservation de l’´energie (ou premier principe de la thermodynamique) dE

dt +dK

dt =P_e+Q (2.3)

Les quantités mise en jeu dans la dernière équation peuvent être obtenues de la fa¸con suivante :

– la variation d’énergie interneE, en définissant l’énergie interne spécifique e du matériau :

dE dt = d

dt Z

ΩA

ρedv (2.4)

– la variation d’énergie cinétique K, en utilisant la conservation de la masse et en définissant l’accélération−→γ = ^d_dt⁻^→^v des points du matériau :

dK dt = d

dt Z

ΩA

1

2ρ−→v .−→v dv = Z

ΩA

(ρ−→γ).−→v dv (2.5)

(31)

– la puissance des efforts mécaniques, en utilisant la conservation de la quantité de mouvement, la conservation de la masse, et le théorème de la divergence :

P_e = Z

∂ΩA

−

→t .−→v ds+

Z

ΩA

−

→f_v.−→v dv = Z

ΩA

(ρ−→γ).−→v dv+

Z

ΩA

σ: ˙dv (2.6) – le taux de chaleur re¸cu par le matériau, en utilisant le théorème de la

divergence :

Q= Z

∂ΩA

−−→q .−→n ds+ Z

ΩA

rdv=− Z

ΩA

div(−→q)dv+ Z

ΩA

rdv (2.7) On voit maintenant apparaˆıtre les tenseurs des contraintes σ et des vitesses de déformation ˙. En utilisant toutes ces équations, et le fait qu’elles doivent être vérifiées dans tout domaine Ω_A, on aboutit à la relation suivante :

ρe˙ =σ: ˙+r−div(−→q) (2.8) Cette relation donne la variation d’énergie interne du matériau, par unité de volume, en fonction de sa vitesse de déformation (et des contraintes associées) et de son flux de chaleur re¸cu (en surface et en volume).

2.1.3 In´ egalit´ e de Clausius-Duhem, second principe

La température T et l’entropie S sont les deux variables introduites par le second principe de la thermodynamique, qui stipule que la vitesse de variation de l’entropie est toujours supérieure ou égale au taux de chaleur re¸cu divisé par la température :

dS dt ≥

Z

ΩA

r Tdv−

Z

∂ΩA

−

→q .−→n

T ds (2.9)

Cette inégalité peut aussi s’écrire, en utilisant l’entropie spécifique du matériau s telle que S =R

ΩAρsdv, de la fa¸con suivante :

Z

ΩA

(ρds

dt +div(

−

→q T )− r

T)dv ≥0 (2.10)

(32)

En exprimant r `a l’aide de la relation issue du premier principe, en remar- quant que div(⁻^→_T^q) = ^div(_T⁻^→^q⁾ − ⁻^→^{q .}

−−→grad(T)

T² , et en multipliant par T (variable positive), on en déduit l’inégalité locale suivante :

σ: ˙+ρ(Ts˙−e)˙ −

−

→q T .−−→

grad(T)≥0 (2.11) En introduisant finalement l’énergie libre spécifique du matériauψ =e−T s, on obtient l’inégalité de Clausius-Duhem :

σ: ˙−ρ( ˙ψ+sT˙)−

−

→q T .−−→

grad(T)≥0 (2.12)

2.2 lois de comportement

2.2.1 Variables d’´ etat, potentiel thermodynamique

Nous allons postuler que l’état thermomécanique du matériau est complètement défini, en un point et pour un instant donné, par la connaissance de la valeur de certaines variables en ce point. Ces variables sont appelées variables d’état. Leur variation au cours du temps n’intervient pas dans la définition de l’état du matériau à l’instant considéré.

Le choix des variables d’état a un caractère subjectif. Il dépend en effet du phénomène étudié. Dans notre cas, nous choisirons les variables suivantes :

– le tenseur des déformations élastiques ê – la température T

– une série de variables V_k, qui représentent l’état interne du matériau (en particulier sont ”état” de plastification)

L’état thermodynamique du matériau sera alors représenté localement par un potentiel dépendant de ces variables d’état. Nous choisissons ici naturellement le potentiel ”énergie libre spécifique” ψ(ê,T,V_k), ce qui permet d’écrire :

ψ˙ = ∂ψ

∂^e : ˙^e+ ∂ψ

∂T

T˙ + ∂ψ

∂V_k

V˙_k (2.13)

(33)

L’inégalité de Clausius-Duhem devient alors, en utilisant la partition en vitesses de déformations ˙ = ˙ê + ˙^p, où ˙ê est le tenseur des vitesses de déformation élastique, et ˙^p celui des vitesses de déformation plastique :

(σ−ρ ∂ψ

∂−→^e) : ˙^e+σ : ˙^p−ρ(s+∂ψ

∂T) ˙T −ρ∂ψ

∂Vk

V˙_k−

−

→q T .−−→

grad(T)≥0 (2.14)

Cette inégalité doit être vraie pour tout type de transformation. En imaginant une transformation élastique réversible isotherme, sans modification des variables internes, on aboutit à l’égalité suivante :

σ =ρ∂ψ

∂^e (2.15)

En imaginant maintenant une transformation thermoélastique réversible, à température homogène et sans modification des variables internes, on aboutit

` a :

s=−∂ψ

∂T (2.16)

Le tenseur des contraintes est donc la force thermodynamique associée au tenseur des déformations élastiques. Par analogie, on définit les forces ther- modynamiques associées aux variables internes sous la forme :

Ak =ρ∂ψ

∂V_k (2.17)

La donnée du potentiel thermodynamique ψ(,T,V_k) permet donc d’écrire des relations entre les variables d’état (,T,V_k) et leurs variables associées (σ,s,A_k), à un instant donné. Par contre, cette donnée ne permet pas de décrire l’évolution de ces variables au cours d’une transformation. Cette

évolution sera donnée par une loi complémentaire : la loi de comportement du matériau.

(34)

2.2.2 Lois compl´ ementaires, potentiel de dissipation

Compte-tenu des relations précédentes, l’inégalité de Clausius-Duhem s’écrit sous la forme d’un terme de dissipation Φ positif ou nul :

Φ =σ : ˙^p−A_kV˙_k−−−→

grad(T).

−

→q

T ≥0 (2.18)

Pour décrire l’évolution des variables d’état au cours de la transformation, tout en respectant le second principe de la thermodynamique , on postule l’existence d’un potentiel de dissipation φ, s’exprimant comme une fonction scalaire continue des variables ”flux”, soitφ( ˙^p,V˙_k,⁻^→_T^q ). Ce potentiel doit être positif, convexe et nulle à l’origine. Le terme de dissipation Φ sera alors donné par ce potentiel sous la forme :

Φ = ∂φ

∂˙^p : ˙^p+ ∂φ

∂V˙k

V˙_k+ ∂φ

∂⁻^→_T^q .

−

→q

T (2.19)

Les variables ”duales” seront alors obtenu à partir des lois complémentaires suivantes, exprimant que les variables duales sont les normales à la surface d’iso-potentiel de dissipation (φ = cste), dans l’espace des variables flux (figure 2.2) :











σ = ∂φ

∂˙^p A_k =−∂φ

∂V˙_k

−−→grad(T) =−∂φ

∂⁻^→_T^q

(2.20)

En pratique, on utilisera plutˆot le potentiel de dissipation dual deφ,φ^∗(σ,A_k,−−→

grad(T)), s’exprimant comme une fonction scalaire continue, positive, convexe et nulle

`

a l’origine des variables duales. Le terme de dissipation Φ s’exprimera alors sous la forme :

Φ =σ : ∂φ^∗

∂σ +A_k∂φ^∗

∂A_k +−−→

grad(T). ∂φ^∗

∂−−→

grad(T)

(2.21) L’évolution des variables flux sera alors obtenu à partir des lois complémentaires

(35)

Fig. 2.2 – propriété de normalité des variables duales

suivantes, exprimant que les variables flux sont les normales `a la surface d’iso- potentiel φ^∗ =cste, dans l’espace des variables duales (figure 2.3) :











˙^p = ∂φ^∗

∂σ V˙_k =−∂φ^∗

∂A_k

−

→q

T =− ∂φ^∗

∂−−→

grad(T)

(2.22)

Pour passer du potentiel φ au potentiel dual φ^∗, on peut utiliser la transformation suivante (de Legendre-Frenckel), illustrée sur la figure 2.4 dans le cadre d’une variable scalaire flux ˙^p associée à une variable scalaire duale σ:

φ^∗(σ,A_k,−−→

grad(T)) = sup

( ˙^p,V˙k,^→⁻_T^q)

Φ−φ( ˙^p,V˙_k,

−

→q T )

(2.23)

Tout le problème de la modélisation du comportement des matériaux réside dans la détermination de l’expression analytique d’un potentiel thermodynamique ψ, pour l’obtention des variables d’état à un instant donné, et d’un potentiel de dissipationφ ouφ^∗, qui donne l’évolution des variables au cours du temps. Toutefois, leur identification à partir d’expériences caractéristiques est difficile, car leur valeur est quasiment inaccessible à la mesure (il s’agit

(36)

Fig. 2.3 – propriété de normalité des variables flux

Fig. 2.4 – passage de φ `a φ^∗ dans le cadre d’une variable scalaire

d’énergies le plus souvent dissipée sous forme de chaleur). La modélisation porte donc le plus souvent sur les variables flux et sur les variables duales, qui se prêtent mieux à la mesure.

Les relations de normalité sont suffisantes pour respecter le second principe, mais elles ne sont pas nécessaires. Les matériaux pour lesquels ces règles

(37)

s’appliquent sont appelésmatériaux standards généralisés. La première règle conduit aux lois de la plasticité et de la Viscoplasticité. La seconde exprime les lois d’évolution des variables internes, tandis que la dernière loi conduit

`

a la loi de Fourier en thermique.

2.2.3 Cas de la dissipation instantan´ ee

Lorsque la dissipation thermique est instantanée, la contrainte mécanique à un instant donné σ est indépendante de la vitesse de déformation plastique

`

a cet instant ˙^p. De même, les forces associées aux variables internes sont indépendantes de leur vitesse de variation. Elles ne dépendent que de leur valeur à l’instant considéré.

Pour modéliser ce type de comportement (matériau insensible à la vitesse de déformation), on utilise un potentiel φ homogène et de degré 1 en ˙^p et en V˙_k. En effectuant la transformation décrite sur la figure 2.4 pour un potentiel homogène de degré 1, on trouve que le potentiel dual φ^∗ est nul tant que la contrainte n’atteint pas une certaine valeur, puis infini ensuite. Il n’est donc pas différenciable.

La contrainte limite obtenue dans le cas d’une variable se g´en´eralise par le

”convexe” d’une fonctionf(−→σ ,Ak),f = 0, tel que : f <0⇒φ^∗ = 0 ⇒˙^p = ˙V_k= 0

f = 0 ⇒φ^∗ → ∞ ⇒˙^p,V˙_k indéterminés (2.24) Nous verrons que la condition f < 0 fournit le domaine d’élasticité du matériau. De plus, en nous limitant à la plasticité dite ”associée”, les vitesses de déformation plastique et les vitesses de variation des variables internes sont obtenues, lorsque f = 0, sous la forme :







˙

^p = ˙λ∂f

∂σ V˙k =−λ˙ ∂f

∂A_k

(2.25)

C’est la théorie de la plasticité indépendante du temps. Le terme ˙λ interve- nant dans l’équation précédente est obtenu par une condition de consistance f˙ = 0, stipulant que les variables duales ne peuvent ”sortir” du convexe f = 0.

(38)

(39)

Chapitre 3

Elasticit´ ´ e - Visco´ elasticit´ e

3.1 Elasticit´ ´ e lin´ eaire

3.1.1 Loi de Hooke g´ en´ eralis´ ee

La loi de Hooke a été généralisée par Cauchy (1789-1857), qui a proposé d’exprimer chaque composante du tenseur des contraintes comme une fonction linéaire des composantes du tenseur des déformations. La loi de Hooke est donc aujourd’hui souvent écrite sous la forme :

σ =C: (3.1)

oùC est un tenseur du quatrième ordre appelé tenseur des rigidités ou tenseur d’élasticité (les composantes covariantes de ce tenseur sontC_ijkl). Le tenseur des rigidités fait intervenir l’ensemble des caractéristiques élastiques du matériau. De même, les déformations sont reliées linéairement aux contraintes par la relation inverse :

=S :σ (3.2)

oùS est les tenseur des compliances ou tenseur des complaisances élastiques du matériaux (ses composantes covariantes sont S_ijkl).

Les tenseurs C etS ont a priori 81 composantes (chaque indice varie de 1 `a 3). Toutefois, nous avons vu que les tenseurs des contraintes de Cauchy et

(40)

des déformations sont symétriques. Ils n’ont donc chacun que 6 composantes indépendantes, et leur liaison linéaire peut alors être réalisée à l’aide de 36 termes seulement. La forme suivante est souvent utilisée, dans un repère orthonormé, pour relier les composantes des contraintes et des déformations :





 σ₁₁ σ₂₂ σ₃₃ σ₂₃ σ₃₁ σ₁₂







=







C₁₁₁₁ C₁₁₂₂ C₁₁₃₃ C₁₁₂₃ C₁₁₃₁ C₁₁₁₂ C₂₂₁₁ C₂₂₂₂ C₂₂₃₃ C₂₂₂₃ C₂₂₃₁ C₂₂₁₂ C₃₃₁₁ C₃₃₂₂ C₃₃₃₃ C₃₃₂₃ C₃₃₃₁ C₃₃₁₂ C₂₃₁₁ C₂₃₂₂ C₂₃₃₃ C₂₃₂₃ C₂₃₃₁ C₂₃₁₂ C₃₁₁₁ C₃₁₂₂ C₃₁₃₃ C₃₁₂₃ C₃₁₃₁ C₃₁₁₂ C₁₂₁₁ C₁₂₂₂ C₁₂₃₃ C₁₂₂₃ C₁₂₃₁ C₁₂₁₂





 .





 ₁₁ ₂₂ ₃₃ 2₂₃ 2₃₁ 2₁₂





 (3.3)

avec la conditionC_ijkl =C_ijlk =C_jikl =C_jilk. Les composantes de la matrice présente dans la relation précédente sont souvent notées CIJ, avec I et J variant de 1 à 6.

3.1.2 Energie de d´ ´ eformation ´ elastique

Nous avons jusqu’à présent utilisé la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, ainsi que leur relation linéaire via la loi de Hooke. Nous pou- vons maintenant utiliser l’autre caractéristique de la déformation élastique, qui est sa réversibilité. Considérons donc un solide Ω, et isolons un sous- domaine Ω_A soumis à des forces volumiques −→

f_v, et `a un vecteur contrainte

−

→t sur sa frontière (pas de forces d’accélération, figure 3.1).

Fig. 3.1 – Solide en cours de transformation

(41)

Nous nous intéressons à une transformation élémentaire associée aux efforts appliqués sur le sous-domaine Ω_A. Cette transformation élémentaire réversible sera caractérisée par un vecteur déplacement δ−→u, et une énergie interne dE sous la forme :

dE =δW +δQ avec (

δW =R

∂ΩA

−

→t .δ−→u ds+R

ΩA

−

→f_v.δ−→u ds

δQ=T dS (3.4)

oùT est la température absolue et S l’entropie. Toutefois le termeδW peut être modifié comme suit, en utilisant le théorème de la divergence, le fait que le système est en équilibre, et la symétrie du tenseur des contraintes :

δW = Z

ΩA

σ :δdv (3.5)

Il est donc possible d’écrire l’énergie interne par unité de volume dans le solide desous la forme de=σ:δ+T ds. La température est dans notre cas constante (pas d’échange de chaleur entre Ω_A et l’extérieur). De plus, e ets sont des fonctions d’état, de sorte quedeetdssont des différentielles totales.

Le travail δw s’´ecrit donc sous la forme :

δw=de−T ds=d(e−T s) =dw =σ :d (3.6) On peut en d´eduire que :

∂w

∂ =σ =C : , d’o`u ∂²w

∂∂ =C (3.7)

L’énergie de déformation par unité de volume est finalement la forme qua- dratique définie positive suivante :

w= 1

2C :: (3.8)

Les relations précédentes se traduisent par le fait que la matrice 6x6 de l’équation 3.3 est symétrique et définie positive. Cette matrice ne possède donc que 6x7/2=21 composantes indépendantes. Le tenseur des rigidités

élastiques C ne possède donc que 21 composantes indépendantes dans le

(42)

cas le plus général. Un raisonnement analogue nous aurait conduit au même résultat pour le tenseur des compliancesS, qui ne possède aussi que 21 composantes indépendantes.

3.1.3 Relations de sym´ etrie

En pratique, les matériaux possèdent des symétries supplémentaires qui permettent de restreindre encore le nombre de composantes indépendantes du tenseur des rigidités. Les principaux cas rencontrés sont l’orthotropie (symétrie par rapport à trois plans orthogonaux), qui réduit le nombre de composantes

`

a 9 (c’est le cas par exemple du bois et des cristaux orthorhombiques), la symétrie cubique (orthotropie avec des propriétés identiques dans les trois directions orthogonales aux plans de symétrie), qui réduit le nombre de composantes à 3 (c’est la cas de la structure de nombreux métaux), et l’isotropie (mêmes propriétés dans toutes les directions), qui réduit le nombre de composantes à 2 (cette hypothèse est largement utilisée en mécanique des milieux continus, pour les matériaux courants).

Sym´etrie cubique

Dans le cas de la symétrie cubique, les trois composantes indépendantes de C sont souvent notées C₁₁(= C₁₁₁₁), C₁₂(= C₁₁₂₂) et C₄₄(= C₂₃₂₃). Des notations identiques pourS conduisent aux relations suivantes :





 σ₁₁ σ₂₂ σ₃₃ σ₂₃ σ₃₁ σ₁₂







=







C₁₁ C₁₂ C₁₂ 0 0 0 C₁₂ C₁₁ C₁₂ 0 0 0 C₁₂ C₁₂ C₁₁ 0 0 0

0 0 0 C₄₄ 0 0

0 0 0 0 C₄₄ 0

0 0 0 0 0 C₄₄





 .





 ₁₁ ₂₂ ₃₃ 2₂₃ 2₃₁ 2₁₂







(3.9)





 11

₂₂ ₃₃ 223

2₃₁ 2₁₂







=







S11 S12 S12 0 0 0 S₁₂ S₁₁ S₁₂ 0 0 0 S₁₂ S₁₂ S₁₁ 0 0 0

0 0 0 S44 0 0

0 0 0 0 S₄₄ 0

0 0 0 0 0 S₄₄





 .





 σ11

σ₂₂ σ₃₃ σ23

σ₃₁ σ₁₂







(3.10)

(43)

Isotropie

Dans le cas isotrope, le nombre de coefficients est réduit à deux par la relation C₄₄ = ¹₂(C₁₁−C₁₂). Il existe plusieurs fa¸con d’exprimer ces coefficients. On peut par exemple choisir ceux de Laméλ = ¹₂(C₁₁+C₁₂) etµ= ¹₂(C₁₁−C₁₂), ou le module d’YoungE =µ^3λ+2µ_λ+µ et le coefficient de Poisson ν = _2(λ+µ)^λ vus dans le cas de l’essai de traction. La loi de comportement élastique linéaire s’écrit dans le cas isotrope de la fa¸con suivante :

σ = 2µ+λtr()I = E

1 +ν(+ ν

1−2νtr()I) (3.11) et dans le sens inverse :

= 1

2µσ− λ

2µ(3λ+ 2µ)tr(σ)I = 1 +ν E σ− ν

Etr(σ)I (3.12) o`uI est le tenseur identit´e.

Notons enfin que le module de compression hydrostatique K est également utilisé. Il relie la partie hydrostatique de la déformation (_H = tr()) à la contrainte hydrostatique (σ_H =tr(σ)). Il peut être exprimé en fonction des coefficients de Lamé ou en fonction deE et ν sous la forme :

K = 3λ+ 2µ= E

1−2ν (3.13)

La figure 3.2 donne le module d’Young (enGP a) et le coefficient de Poisson (sans unité) de différents matériaux à différentes températures. On constate que le coefficient de Poisson est souvent voisin de 0,3. Si on calcule l’augmentation relative de volume du matériau en cours de traction (par la trace du tenseur des déformations), on remarque qu’elle vaut (1−2ν)₃₃. Dans un essai de traction, le matériau s’allonge et augmente généralement son volume dans le domaine d’élasticité.

3.1.4 Diff´ erents comportements ´ elastiques

Le domaine d’élasticité est donc souvent représenté par une relation de pro- portionnalité entre la contrainte et la déformation (loi de Hooke). Il est cependant important de savoir que ceci n’est qu’une schématisation plus ou

(44)

matériau température module d’Young coefficient (degré C) (GP a) de Poisson

Alliage 20 72 0,32

d’aluminium AU4G 200 66 0,325

500 50 0,35

Alliage de titane 20 315 0,34

Ti 4Al 4Mn 200 115 0,34

Acier XC10 20 216 0,29

200 205 0,30

600 170 0,315

Fonte grise 20 100 0,29

Acier inoxydable 20 196 0,3

aust´enitique 316 200 170

700 131

Aluminium (A5) 20 68 0,33

Bronze 20 130 0,34

180 61

Plexiglass 20 2,9 0,4

Araldite 20 3 0,4

Caoutchouc 20 0,002 0,5

verre-epoxy (sens long) 20 19 0,3

carbone-epoxy (sens long) 20 87,6 0,32

B´eton 20 30 0,2

Granit 20 60 0,27

Pin sylvestre (sens long) 20 17 0,45

Pin sylvestre (sens trans.) 20 1

Fig. 3.2 – exemples de caract´eristiques ´elastiques

(45)

moins réaliste du comportement réel du matériau. En effet, le comportement

élastique d’un matériau n’est jamais strictement linéaire.

An´elasticit´e

Tous les solides sont plus ou moins ”anélastiques”, c’est-à-dire que leur courbe de traction ne suit pas exactement une droite dans le domaine d’élasticité, et de l’énergie est ”dissipée” au cours d’un essai de traction. La figure 3.3 donne la courbe obtenue lors d’un cycle de traction-compression effectué sur de la fibre de verre. De l’énergie est dissipée au cours d’un cycle (surface hachurée sur la figure 3.3), ce qui confère au matériau un pouvoir amortissant, permet- tant de réduire les vibrations ou le bruit. Les polymères et les métaux mous (plomb) ont un fort pouvoir amortissant. Les polymères sont par exemple utilisés dans les ”tôles sandwich”. Les métaux plus durs et le verre ont une très faible anélasticité. Ils servent à fabriquer les ressorts (aciers), les cloches (bronzes), . . .

Fig. 3.3 – cycle de traction-compression d’une fibre de verre (d’apr`es [1])

Elasticit´´ e non-lin´eaire

Le cas particulier du caoutchouc est donné sur la figure 3.4 (courbe de traction). Son comportement est quasi-élastique, mais fortement non-linéaire.

(46)

On parle alors d’élasticité non-linéaire. Le solide emmagasine de l’énergie au cours de la traction, puis la restitue totalement lorsque l’on arrète la contrainte. Vous vous êtes sûrement déjà servis de cette propriété pour vous faire involontairement mal aux doigts !! Pour représenter ce comportement, on utilise une ”loi de Hooke” où les coefficients du tenseur de rigidité varient en fonction de la déformation.

Fig. 3.4 – courbe de traction d’un caoutchouc (d’apr`es [1])

3.1.5 Thermo´ elasticit´ e lin´ eaire

Les matériaux sont souvent soumis à des chargements thermiques qui ont pour effet de dilater les structures. Les déformations thermiques sont directement proportionnelles à la variation de température ∆T, par le coefficient de dilatation thermique α:

^th=α∆T I (3.14)

Lorsque la structure n’est pas liée mécaniquement à l’extérieur, alors ce champ de déformation thermique ne générera pas de contraintes s’il vérifie les équations de compatibilité. On montre qu’une telle condition impose un champ de températures linéaire dans la structure. Dans le cas contraire, ou si la structure est liée mécaniquement à l’extérieur (on parle alors de dilatation contrariée), alors des contraintes seront générées dans le solide.

Par exemple, lorsque l’on chauffe de fa¸con homogène une barre de métal, celle- ci se dilate sans qu’il y ait création de contraintes à l’intérieur. Par contre,

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si on impose à celle-ci de garder la même longueur, alors une contrainte de compression sera créée dans la barre pour respecter cette condition. Une autre fa¸con de créer des contraintes dans la barre est de la chauffer de fa¸con non homogène. Par exemple, lors d’un chauffage par induction à haute fréquence, le diamètre extérieur de la barre est plus dilaté que le centre. La partie extérieure de la barre sera donc mise en compression par la partie intérieure.

D’une fa¸con plus générale, lors d’une sollicitation dite ”thermomécanique”, les déformations thermiques s’ajoutent aux déformations mécaniques, elles- même reliées aux contraintes par la loi de comportement du matériau. Dans le cas élastique linéaire isotrope, on obtient une relation entre les déformations et les contraintes sous la forme :

= 1 +ν

E σ+ (α∆T − ν

Etr(σ))I (3.15)

L’inversion de cette relation nous fournit la loi de comportement dite ”thermo´elastique”

du mat´eriau :

σ = E

1 +ν(+ ν

1−2νtr()I)− E

1−2να∆T I (3.16)

3.2 Visco´ elasticit´ e lin´ eaire

La viscoélasticité sert à décrire le comportement de matériaux réversibles, mais sensibles à la vitesse de déformation. On peut citer par exemple les po- lymères, et dans une moindre mesure, le béton et le bois, comme matériaux

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a comportement viscoélastique. Dans ce document, nous nous limiterons aux schématisations linéaires de ce type de comportement. Dans le cadre thermodynamique décrit au chapitre 2, on peut citer les modèles de Kelvin-Voigt et de Maxwell. Ces modèles s’appliquent principalement au comportement viscoélastique des polymères.

3.2.1 Mod` ele de Kelvin-Voigt

La variable d’état du système est ici la déformation (élastique) totale du matériau : . Le potentiel thermodynamique décrivant l’état du système est donné sous la forme :