Mod´ elisation m´ ecanique

4.2.1 Contrainte ´ equivalente

La contrainte ´equivalente appliqu´ee `a un mat´eriau est un scalaire, souvent not´eσ, qui repr´esente l’ensemble du tenseur des contraintes. C’est ce scalaire qui sera compar´e `a la limite d’´elasticit´e σ₀, pour savoir si le mat´eriau a plastifi´e ou non. Il incorpore donc les ´eventuels effets d’anisotropie dans sa d´efinition. Les contraintes ´equivalentes les plus utilis´ees sont celles de von Mises et Tresca pour les mat´eriaux isotropes, et de Hill et Tsa¨ı pour les mat´eriaux anisotrope.

– La contrainte ´equivalente de von Mises est d´efinie sous la forme : σ_{V M} =

r3

2S_ijS_ij avec S_ij =σ_ij −1

3σ_kkδ_ij (4.1) Elle est donc proportionnelle au second invariant du tenseur d´eviateur des contraintes S, et on peut l’´ecrire en fonction des deux premiers invariants du tenseur des contraintes, ou directement en fonction de ses composantes principalesσ_I, σ_II etσ_III (valeurs propres du tenseur des contraintes) :

– La contrainte ´equivalente de Tresca est d´efinie dans l’espaces des contraintes principales sous la forme :

σT =Sup[|σI−σII|,|σII −σIII|,|σIII −σI|] (4.3) – La contrainte ´equivalente de Hill est d´efinie de la fa¸con suivante :

σH = s

F(σ11−σ22)²+G(σ22−σ33)²+H(σ33−σ11)²

+2Lσ²₁₂+ 2M σ₂₃² + 2N σ₃₁² (4.4) Les coefficients F, G, H, L, M et N caract´erisent l’anisotropie du mat´eriau. Ils sont obtenus par exemple en effectuant des essais de trac-tion et de cisaillement dans diff´erentes directions, et en mesurant la

contrainte seuil σ_s (de traction ou de cisaillement) pour laquelle ap-paraˆıt la plasticit´e :

– traction selon −→x₁ →F +H = ^σ_σ²⁰2

Cette contrainte ´equivalente est largement utilis´ee pour repr´esenter le comportement de tˆoles lamin´ees, et plus g´en´eralement de mat´eriaux pr´esentant une sym´etrie orthotrope de leurs propri´et´es (sym´etrie par rapport `a trois plans orthogonaux).

– La contrainte ´equivalente de Tsa¨ı est de la forme :

σT S =σH +P(σ11−σ33) +Q(σ22−σ33) (4.5) Cette contrainte ´equivalente est largement utilis´ee dans le domaine des composites, des bois, . . . . Elle permet, `a l’aide des coefficientsP etQ, de rendre compte d’un comportement dissym´etrique en traction et en compression.

La notion de limite d’´elasticit´e sera donc g´en´eralis´ee au cas d’un chargement quelconque et aux mat´eriaux isotropes et anisotropes par la condition :

σ−σ₀ = 0 (4.6)

Comme la contrainte ´equivalente est une fonction scalaire des composantes du tenseur des contraintes, et que σ₀ est une caract´eristique intrins`eque du mat´eriau, cette g´en´eralisation respecte la thermodynamique des milieux continus qui stipule que la limite d’´elasticit´e d’un mat´eriau s’´ecrit sous la forme f(σ,A<sub>k</sub>) = 0, o`u les termes A_k repr´esentent les forces associ´ees aux variables internes d´efinissant le mat´eriau.

On peut maintenant tracer dans l’espace des contraintes la surface d’´equation 4.6. Cette surface est appel´eesurface d’´ecoulement. Elle d´elimite le domaine des contraintes dans lequel le comportement du mat´eriau est ´elastique (i.e.

r´eversible). La forme de la surface d’´ecoulement d´epend du type de contrainte

´equivalente utilis´e pour repr´esenter le mat´eriau, tandis que sa taille d´epend de la valeur de la limite d’´elasticit´eσ₀.

La figure 4.4 donne une repr´esentation des surfaces σ_{V M} −σ₀ = 0 et σ_T − σ₀ = 0, dans le plan associ´e aux composantes principales du d´eviateur des contraintes (pour lesquelles on a S_I +S_II + S_III = 0). Ce plan est sou-vent appel´e le plan Π. Il est largement utilis´e pour repr´esenter les surfaces d’´ecoulement associ´ees aux contraintes ´equivalentes pr´esent´ees, car celles-ci sont ind´ependantes de la trace du tenseur des contraintes (premier invariant).

Ceci illustre le fait que la d´eformation plastique s’effectue sans changement de volume, et donc que l’application d’un chargement purement triaxial (tenseur des contraintes proportionnel `a l’identit´e) ne peut provoquer de plastification.

Sur la figure 4.4, un point correspondant `a un essai de traction uniaxial (selon la direction−→x₃) a ´et´e trac´e, avec ses composantes dans le plan.

Fig. 4.4 – σ_{V M} −σ₀ = 0 et σ_T −σ₀ = 0 dans le plan Π

Un autre plan largement utilis´e pour repr´esenter les surfaces d’´ecoulement est celui associ´e aux composantes σ−τ du tenseur des contraintes, o`u σ est une contrainte de traction et τ une contrainte de cisaillement (chargement

de traction-torsion). Le d´eviateur des contraintes s’´ecrit alors :

S =





−¹₃σ 0 0 0 −¹₃σ τ 0 τ ²₃σ



 (4.7)

On montre facilement que les surfacesσ_{V M}−σ₀ = 0 etσ_T−σ₀ = 0 s’´ecrivent respectivement dans ce cas σ² + 3τ²−σ₀² = 0 et σ² + 4τ² −σ₀² = 0. Leur repr´esentation est donn´ee sur la figure 4.5.

Fig. 4.5 – σV M −σ0 = 0 et σT −σ0 = 0 dans le plan σ−τ

Nous venons de d´efinir la surface d’´ecoulement d’un mat´eriau dans l’espace des contraintes par sa forme et sa taille. Sa forme vient du type de contrainte

´equivalente utilis´ee, tandis que sa taille est donn´ee par la limite d’´elasticit´e σ₀.

4.2.2 Variables d’´ ecrouissage

Les variables thermodynamiques A_k introduites dans l’expression de la sur-face d’´ecoulement (chapitre 2) ont une grande importance. En effet, la forme de la surface, donn´ee par le type de contrainte ´equivalente choisi (et les facteurs correctifs par direction de sollicitation), et sa taille, donn´ee par la limite d’´elasticit´e σ₀, ne suffisent pas `a la caract´eriser totalement. En effet, cette surface ´evolue au cours d’une d´eformation plastique. Cette ´evolution

sera sch´ematis´ee par un d´eplacement de son centre et une variation de sa taille (nous ne traiterons pas ici le cas d’une variation de forme en cours de d´eformation). D’un point de vue macroscopique, on utilise pour cela deux variables :

– une variable R scalaire, ditevariable isotrope, qui fournit la taille de la surface d’´ecoulement, et surtout dont l’´evolution donne celle le la taille de la surface en cours de d´eformation (il est ´evident que l’on aR =σ₀

`

a l’´etat initial)

– une variable X tensorielle, dite variable cin´ematique, dont les compo-santes sont homog`enes `a des contraintes, qui fournit la position de la surface (par exemple de son centre) dans l’espace des contraintes, et donc ´egalement son ´evolution en cours de d´eformation.

Ces deux variables sont `a la base de la mod´elisation macroscopique du com-portement m´ecanique des mat´eriaux. La surface d’´ecoulement sera donc for-mul´ee de la fa¸con suivante :

f(σ−X,R) = (σ−X)−R= 0 (4.8) o`u l’expression de la contrainte ´equivalente agit non plus sur le tenseur σ, mais sur la quantit´eσ−X. La figure 4.6 donne une repr´esentation sch´ematique de la surface d’´ecoulement d’un mat´eriau dans l’espace des contraintes.

Si une contrainte ´equivalente de von Mises est choisie, alors la surface d’´ecoulement s’exprimera sous la forme :

(σ−X)_{V M} −R = 0 (4.9)

Sa repr´esentation dans le plan Π est donn´ee sur la figure 4.7.

Nous venons de d´efinir des variables internes, qui d´ecrivent l’´etat du mat´eriau

`

a un instant donn´e. Nous allons maintenant nous int´eresser `a l’´evolution de ces variables en cours de d´eformation, qui correspond `a sa loi de comporte-ment.

Fig. 4.6 – Repr´esentation sch´ematique d’une surface d’´ecoulement dans l’es-pace des contraintes