Limite nie d'une fonction à valeurs réelles en un point a de R. Opérations algébriques sur les limites. Continuité
d'une fonction en un point a de R. Exemples.
Denis Vekemans∗ 18 octobre 2004
Pré-requis
Suites réelles : convergence.
Topologie : point adhérent à un ensemble.
Fonctions d'une variable réelle, à valeurs réelles : ensemble de dénition, opérations algébriques, res- triction de fonctions, exemples de fonctions (fonctions polynômes, fonctions rationnelles, fonctions circulaires).
Cadre général
Toutes les fonctions considérées dans cette leçon sont fonctions d'une variable réelle, à valeurs réelles.
Notation
1. Dans toute la leçon, et pour toute fonctionw,Dw désigne son domaine de dénition.
2. V(x,y) =]x−y,x+y[.
1 Limite nie d'une fonction à valeurs réelles en un point a de R.
1.1 Dénition et propriétés limite.
A l'oral : "On ne saurait parler de limite enasi an'est pas un point adhérent à Df. C'est pourquoi ..."
On impose
∀ >0,cardn
x tel quex∈Df\
V(a,)o
=∞, (1)
(pour pouvoir parler de limite en apourf).
Remarque : "an'appartient pas forcément àDf, mais il est adhérent à Df".
∗ Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
Si∃l∈Rtel que
∀ >0,∃η >0,tel que∀x∈Df,|x−a|< η=⇒ |f(x)−l|< , on dit que f admet lpour limite ena.
Théorème 1.1.1 Unicité de la limite.
Sous la condition (1), si f admet une limite en un pointa, elle est unique.
De plus, sif est dénie en a,l=f(a).
Remarque : Sous la condition (1), sif admet une limite l en un pointa, on peut noter l= lim
x→af(x). Exemples :
1. ∀n∈N,∀a∈R, lim
x→axn=an. 2. ∀a∈R+, lim
x→a
√x=√ a. Contre-exemple :
La fonction f dénie par
f : R→R
x7→f(x) =
( 0six6= 0 1six= 0
,
n'admet pas de limite en 0. Théorème 1.1.2
Critère séquentiel.
Sous la condition (1), si f admet l pour limite en a et si la suite(xn) est une suite de Df convergeant vers a, alors la suite (f(xn)) converge vers l. Réciproquement, si pour toute suite (xn) de Df convergeant vers a, la suite(f(xn))converge versl, alors f admet l pour limite ena.
Contre-exemple : la fonction f dénie par :
f : R+→R
x7→f(x) = cos(x1) , n'admet pas de limite nie en 0.
1.2 Dénition et propriétés limite à gauche, limite à droite.
A gauche On impose
∀ >0,cardn
x tel que x∈Df\
]− ∞,a]\ V(a,)
o
=∞, (2)
(pour pouvoir parler de limite en a, à gauche, pourf).
Si f|DfT]−∞,a] admet une limite l− en a, on dit que f admet l− pour limite à gauche en a (on note
x→a, x≤alim f(x) =l−).
A droite On impose
∀ >0,cardn
x tel que x∈Df
\[a,∞[\ V(a,)
o
=∞, (3)
(pour pouvoir parler de limite en a, à droite, pourf).
Si f|DfT[a,∞[ admet une limite l+ en a, on dit que f admet l+ pour limite à droite en a (on note
x→a, x≥alim f(x) =l+).
Théorème 1.2.1
Sous la condition (2), sif admetlpour limite à gauche enaet sous la condition (3), sif admetlpour limite à droite en a, alors f admetl pour limite ena.
Remarques :
Sous la condition (2) et sous la condition (3), la condition (1) est satisfaite.
La réciproque est fausse car la fonction f dénie par : f : R+∗→R
x7→f(x) = 0 ,
admet 0comme limite en0, admet également0comme limite à droite en0mais n'admet pas de limite à gauche en0 car non dénie sur R−.
Sous la condition (1), la condition (2) ou la condition (3) est satisfaite, mais pas forcément les deux.
2 Propriétés algébriques, comparaison, et composition sur les limites.
2.1 Propriétés algébriques.
Théorème 2.1.1
Propriétés algébriques.
On impose
∀ >0,cardn
xtel que x∈Df\ Dg\
V(a,)o
=∞, (4)
(pour pouvoir parler de limite en apourf et pourg surDf\ Dg).
Sif admet lf pour limite ena surDf\
Dg et si gadmet lg pour limite enasurDf\ Dg, 1. f +g est dénie surDf+g =Df\
Dg etf+g admet une limite enaqui estlf +lg. 2. f g est dénie surDf g =Df\
Dg etf gadmet une limite en aqui estlflg. 3. et si, de plus,lf 6= 0, alors 1
f admet une limite enaqui est 1 lf. Démonstration pour le produit
On a
∀ >0,∃ηf >0,tel que∀x∈Df,|x−a|< ηf =⇒ |f(x)−lf|< , et
∀ >0,∃ηg >0,tel que ∀x∈Dg,|x−a|< ηg =⇒ |g(x)−lg|< ,
et donc, avec f g =(+|lf|+|lg|),
∀f g >0,∃η= inf(ηf,ηg)>0,tel que ∀x∈Df g,|x−a|< η
=⇒ |f g(x)−lflg|
≤ |f g(x)−lfg(x)|+|lfg(x)−lflg|
=|f(x)−lf||g(x)|+|lf||g(x)−lg|
≤ |f(x)−lf|(|g(x)−lg|+|lg|) +|lf||g(x)−lg|
< (+|lg|) +|lf|=f g
Démonstration pour l'inverse
∀f >0,∃ηf >0,tel que∀x∈Df,|x−a|< ηf =⇒ |f(x)−lf|< f. Donc, en prenant f = |lf|
2 ,
∃η >0,tel que ∀x∈Df,
|x−a|< η =⇒ sup(|f(x)| − |lf|,|lf| − |f(x)|)≤ |f(x)−lf|< |lf| 2
=⇒ |lf|
2 <|f(x)|.
Ensuite, en posant 1
f = 2f l2f ,
∀1
f >0,∃η1
f = inf(ηf,η)>0,tel que ∀x∈Df,
|x−a|< η1
f =⇒ | 1
f(x)− 1
lf|= |f(x)−lf|
|lff(x)| < 2f l2f =1
f.
♦ Exemples :
1. Les fonctions polynômes admettent une limite en tout pointade R.
2. Les fonctions rationnelles admettent une limite en tout pointade leur ensemble de dénition.
D'après l'exemple 1 de la section 1.2 et d'après le théorème 2.1.1, les exemples 1 et 2 se traitent aisément (laissé en exercice au lecteur).
2.2 Comparaison.
Théorème 2.2.1 Comparaison.
On impose
∀ >0,cardn
xtel que x∈Df\ Dg
\V(a,) o
=∞, (5)
(pour pouvoir parler de limite en apourf et pourg surDf\ Dg).
On suppose quef admetlf pour limite enasurDf
\Dg et quegadmetlgpour limite enasurDf
\Dg. On suppose encore quef ≤g surDf\
Dg. Dans ces conditions,lf ≤lg.
Théorème 2.2.2
Théorème des gendarmes.
On impose
∀ >0,cardn
xtel que x∈Df\ Dg\
V(a,)o
=∞, (6)
(pour pouvoir parler de limite en apourf et pourg surDf\ Dg).
On suppose quef admet0 pour limite enasur Df\ Dg. On suppose encore que0≤g≤f surDf\
Dg.
Dans ces conditions,g admet 0pour limite enasur Df
\Dg. Exemple :
x→0limsin(x) = 0.
L'exemple est traité aisément en utilisant0≤ |sin(x)| ≤ |x|, ce qui se démontre en utilisant les aires dans le cerlce trigonométrique (laissé en exercice au lecteur).
♦
2.3 Composition.
Théorème 2.3.1 Composition.
On impose
∀ >0,cardn
x tel quex∈Df\
V(a,)o
=∞, (7)
(pour pouvoir parler de limite en apourf).
On suppose quef admetl pour limite ena.
On se restreint au cas où il existe un ensembleE ⊂Df tel queasoit adhérent àE et tel quef(E)⊂Du (A l'oral : "Donc, l est adhérent àf(E), d'après le théorème 1.1.2".) et tel que
∀ >0,cardn
f(x)tel que f(x)∈Du\
V(l,)o
=∞, (8)
(pour pouvoir parler de limite en l pouru).
On suppose queu admet L pour limite enl.
Dans ces conditions,u◦f admet Lpour limite en asurE. Exemples :
1. lim
x→0cos(x) = 1.
2. Les fonctions circulairessinetcos admettent une limite en tout pointade R.
3 Continuité d'une fonction à valeurs réelles en un point a de R.
3.1 Dénition et propriétés continuité.
On se restreint au cas oùa∈Df. On impose
∀ >0,cardn
x tel quex∈Df\
V(a,)o
=∞, (9)
(pour pouvoir parler de limite en apourf).
A l'oral : "Il s'agit du même cadre que celui qu'on avait décrit pour traiter la notion de limite, mais cette fois, le point aappartient à Df".
Sif admet lpour limite en a, on dit quef est continue ena. Cette limite est alors l=f(a), d'après le théorème 1.1.1.
A l'oral : "Il faut absolument se détacher de l'idée intuitive qui dit : lorsqu'une fonction est continue (localement), sa représentation graphique peut être réalisée (localement) sans lever le crayon. En eet, la fonction f dénie par :
f : R→R
x7→f(x) =
( 0 six /∈ {n1,n∈N∗} x six∈ {n1,n∈N∗}
,
est continue en 0".
3.2 Dénition et propriétés continuité à gauche, continuité à droite.
A gauche
On se restreint au cas oùa∈Df. On impose
∀ >0,cardn
x tel que x∈Df\
]− ∞,a]\ V(a,)
o
=∞, (10)
(pour pouvoir parler de limite en a, à gauche, pourf).
Sif admet une limite à gauche en a, on dit quef est continue à gauche ena. A droite
On se restreint au cas oùa∈Df. On impose
∀ >0,cardn
x tel que x∈Df
\[a,∞[\ V(a,)
o
=∞, (11)
(pour pouvoir parler de limite en a, à droite, pourf).
Sif admet une limite à droite en a, on dit quef est continue à droite en a. Théorème 3.2.1
Sous la condition (10), si f est continue à gauche enaet sous la condition (11), sif est continue à droite en a, alors f est continue ena.
Remarques :
Sous la condition (10) et sous la condition (11), la condition (9) est satisfaite.
La réciproque est fausse.
4 Propriétés relatives à la continuité.
Les propriétés relatives aux limites en un pointase transportent facilement pour déduire des propriétés relatives à la continuité en un point a.
Il ressort en particulier les résultats évidents suivants :
1. Les fonctions polynômes sont continues en tout pointade R.
2. Les fonctions rationnelles sont continues en tout pointade leur ensemble de dénition.
3. Les fonctions circulairessinetcos sont continues en tout point adeR.
5 Prolongement par continuité
On se restreint au cas oùf n'est pas dénie en a.
Lorsquef admet une limite l ena, on peut dénir la fonction f par : f : DfS
{a} →R
x7→f(x) =
( f(x)pour x∈Df l pourx=a , . La fonction f ainsi dénie est appelée le prolongement par continuité de f en a.
Annexe : Démonstrations laissées de côté ...
Exemples de la section 1.1.
Exemple 1 :
On prend=η n(|a|+η)n−1 . Alors, ∀ >0,∃η >0,tel que∀x∈Df,
|x−a|< η =⇒ |xn−an|=|x−a||xn−1+axn−2+. . .+an−2x+an−1|
< η|xn−1+axn−2+. . .+an−2x+an−1|
=⇒ |xn−an|< η |x|n−1+|a||x|n−2+. . .+|a|n−2|x|+|a|n−1
=⇒ |xn−an|< η n(|a|+η)n−1
=.
♦ Exemple 2 :
Premier cas :a6= 0. On prend= √ηa.
Alors, ∀ >0,∃η >0,tel que∀x∈Df,
|x−a|< η =⇒ |√ x−√
a||√ x+√
a|< η
=⇒ |√ x−√
a|< η
|√ x+√
a| < η
√a =.
Second cas :a= 0. On prend=√
η.
∀ >0,∃η >0,tel que ∀x∈Df,
|x|< η =⇒ |√ x|<√
η=.
♦
Contre-exemple.
C'est immédiat.
♦ Démonstration du théorème 1.1.1.
Sif admet deux limites distinctesl1 etl2, alors,
∀ >0,∃η1 >0,tel que ∀x∈Df,|x−a|< η1 =⇒ |f(x)−l1|< , et
∀ >0,∃η2 >0,tel que ∀x∈Df,|x−a|< η2 =⇒ |f(x)−l2|< .
Ainsi,∀ >0,∃η= inf(η1,η2)>0,tel que ∀x∈Df,|x−a|< η=⇒06=|l1−l2| ≤ |f(x)−l1|+|f(x)−l2|<
2.
Cependant, ceci doit être vrai pour tout, mais c'est faux pour= |l1−l2|
3 6= 0 (par exemple).
Par l'absurde, il est montré que la limite est unique lorsqu'elle est dénie.
♦ Sif admet lpour limite et si f est dénie en atel que f(a)6=l, alors
∀ >0,∃η >0,tel que ∀x∈Df,|x−a|< η =⇒ |f(x)−l|< .
Cependant, ceci doit être vrai pour tout x∈Df tel que |x−a|< η et pour tout , mais c'est faux pour x=aet= |f(a)−l|
2 6= 0 (par exemple).
Par l'absurde, il est montré que si f admet lpour limite en aen étant dénie ena, alors f(a) =l.
♦ Démonstration du théorème 1.1.2.
Sif admet lpour limite en a, alors
∀ >0,∃η >0,tel que ∀x∈Df,|x−a|< η =⇒ |f(x)−l|< . Si la suite(xn) (avecxn∈Df) converge vers a, alors
∀x >0,∃N ∈N,tel que ∀n > N,|xn−a|< x. Par conséquent, en prenantx=η,
∀ >0,∃η >0et∃N ∈N,tels que∀n > N,|xn−a|< x=η =⇒ |f(xn)−l|< ,
puis ∀ >0,∃N ∈N,tel que ∀n > N,|f(xn)−l|< , ce qui signie que la suitef(xn)converge versl.
♦
Réciproquement, si gn'admet pas lcomme limite ena,
∃ >0,∀η >0,∃x∈Df,tel que |x−a|< η et|f(x)−l| ≥.
En particulier,∃ >0,∀n∈N,∃xn∈Df tel que xn∈]x−n1,x+n1[et|f(xn)−l| ≥. On a donc construit une suite (xn) qui converge vers a, mais qui est telle que la suite (f(xn))ne converge pas vers l.
Par l'absurde, il est montré queg admet l comme limite ena.
♦ Démonstration du contre-exemple de la section 1.1.
Si f admettait l pour limite nie en 0, alors, en considérant la suite (xn) donnée par xn= 1 2nπ qui converge vers0, on auraitl= 1; mais en considérant la suite(xn) donnée parxn= 1
(2n+ 1)π qui converge vers 0, on aurait l=−1. C'est absurde, par unicité de la limite, et doncf n'admet pas de limite nie en0.
♦ Démonstration du théorème 1.2.1.
Si
∀ >0,∃η1>0,tel que ∀x∈Df\
]− ∞,a],|x−a|< η1=⇒ |f(x)−l|< , et si
∀ >0,∃η2>0,tel que ∀x∈Df\
[a,∞[,|x−a|< η2=⇒ |f(x)−l|< , alors
∀ >0,∃η = inf(η1,η2)>0,tel que ∀x∈Df,|x−a|< η=⇒ |f(x)−l|< .
♦ Démonstration du théorème 2.1.1 pour la somme.
On a
∀ >0,∃ηf >0,tel que∀x∈Df,|x−a|< ηf =⇒ |f(x)−lf|< , et
∀ >0,∃ηg >0,tel que ∀x∈Dg,|x−a|< ηg =⇒ |g(x)−lg|< , et donc, avec f+g= 2,
∀f+g >0,∃η= inf(ηf,ηg)>0,tel que ∀x∈Df+g,|x−a|< η
=⇒ |(f+g)(x)−(lf +lg)|
≤ |f(x)−lf)|+|g(x)−lg|
<2=f+g
♦
Démonstration du théorème 2.2.1.
D'après le théorème 2.1.1,lf −lg = lim
x→af(x)−g(x). On va supposer quelf > lg.
∀ >0,∃η >0,tel que ∀x∈Df
\Dg,|x−a|< η=⇒ |g(x)−f(x)−lg+lf|< .
Donc, en prenant = |lg−lf| 2 ,
∃η >0,tel que ∀x∈Df
\Dg,
|x−a|< η =⇒ lf −lg−f(x) +g(x)≤ |g(x)−f(x)−lg+lf|< |lg−lf|
2 = lf −lg
2
=⇒ g(x)−f(x)<−lf−lg
2 <0.
C'est absurde carg(x)−f(x)≥0 surDf
\Dg et on a donc montré que lf ≤lg.
♦ Démonstration du théorème 2.2.2.
Si0≤g≤f, on déduit|g| ≤ |f|. Sif admet 0pour limite en a, alors
∀ >0,∃η >0,tel que ∀x∈Df\
Dg,|x−a|< η =⇒ |g(x)| ≤ |f(x)|< , puis
∀ >0,∃η >0,tel que ∀x∈Df\
Dg,|x−a|< η =⇒ |g(x)|< , ce qui signie que la fonction g admet 0 pour limite en a.
♦
Démonstration du théorème 2.3.1.
Sif admet lpour limite en a, alors
∀f >0,∃ηf >0,tel que∀x∈Df,|x−a|< ηf =⇒ |f(x)−l|< f, puis
∀f >0,∃ηf >0,tel que∀x∈E ⊂Df,|x−a|< ηf =⇒ |f(x)−l|< f. Siu admetL pour limite enl, alors
∀ >0,∃ηu >0,tel que ∀y ∈Du,|y−l|< ηu =⇒ |u(y)−L|< , puis, en prenant f =ηu,
∀ >0,∃ηf >0 et∃ηu >0,tels que∀x∈E (et, par conséquent, ∀f(x)∈f(E)⊂Du),
|x−a|< ηf =⇒ |f(x)−l|< f =ηu =⇒ |u(f(x))−L|< , puis
∀ >0,∃ηf >0,tel que∀x∈E,|x−a|< ηf =⇒ |u(f(x))−L|< , ce qui signie queu(f) converge versL sur E.
♦ Exemples de la section 2.3.
Exemple 1.
Soitx∈[−π2,π2], on acos(x)≥0 etcos(x) =|cos(x)|=p
1−sin2(x). Puis, comme lim
x→0sin(x) = 0, on a
x→0limcos(x) = 1.
♦ Exemple 2.
On a sin(a+h) = sin(a) cos(h) + cos(a) sin(h). Donc, en posantx=a+h,
x→alimsin(x) = lim
h→0sin(a) cos(h) + cos(a) sin(h) = sin(a).
On a cos(a+h) = cos(a) cos(h)−sin(a) sin(h). Donc, en posantx=a+h,
x→alimcos(x) = lim
h→0cos(a) cos(h)−sin(a) sin(h) = cos(a).
♦