Décomposition en série de Fourier

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Fiche Pratique : http ://poujouly.club.fr

Décomposition en série de Fourier

Analyse des Signaux ver 1.0

Théorème

Un signal périodique v

( )

t de période T0peut être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux de fréquence multiple de

π ω 2

1

⁰

0

0

= =

f T

et de sa valeur moyenne.

1^ère expression de la série de Fourier

On décompose v

( )

t sous la forme suivante :

( ) ∑ ( ) ∑

^∞

( )

=

∞

=

+ +

=

1

0 1

0

0 .cos .sin

n n n

n n t b n t

a V

t

v ω ω

avec :

( )

^v

( )

^tdt

t T v V

o To

o^{= =}

∫

( )

1 v

( ) (

t n t

)

dt

a T

o To

n 0

)

( .cos

2

∫ ω

=

^v ( ) ( ^{t n t} ) ^dt

b T

o To

n 0

) (

sin

2

∫

.

ω

=

2^ième expression de la série de Fourier

En regroupant les termes « an » et « bn », on obtient l’expression suivante :

( ) ∑

^∞

( )

=

− +

=

1

0

0 .cos

n

n

n n t

c V

t

v

ω ϕ

_{avec :}

c

n

= a

n²

+ b

n² et

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

n n n

a

arctan

b

ϕ

_{{+π si}

a

n

_<

₀}

• La composante sinusoïdale à la fréquence f0s’appelle le fondamental du signal v

( )

t

• La composante sinusoïdale à la fréquence multiple de f0,n.f0, s’appelle l’harmonique de rang n du signal v

( )

t .

Quelques propriétés importantes pour le calcul des séries de Fourier :

• Si v

( )

t est pair {

v ( ) ( ) t = v − t

∀ t

} alors les coefficients bn sont nuls.

• Si v

( )

t est impair {

v ( ) t = − v ( ) − t

∀ t

}alors les coefficients an sont nuls.

• Si T v

( )

t t t

v ⎟=− ∀

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + 2

0 alors v

( )

t ne contient que des harmoniques impairs.

Représentation graphique : Le spectre d’amplitude

Il s’agit d’un mode de représentation très utilisé en électronique. Cette représentation renseigne sur l’amplitude de chaque composante fréquentielle d’un signal donné comme l’indique la figure suivante :

f₀ 2f₀

f

V₀

|c₁|

Composante fondamentale

Composante continue

Composantes harmonique de rang 2,3,4,..

Module du spectre en amplitude

|c₂| |c3|

|c4| 3f₀ 4f₀

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Décomposition en série de Fourier des signaux usuels

0

t T

T/2 +U

-U V1

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ + ⋅ + ⋅ +

⋅

= sin( 5 ) ...

5 ) 1 3 3 sin(

) 1 . sin(

) 4

1

( U t t t

t

V ω ω ω

π

0

t T +U αT

V2

0

t T +U

V3

T/2

0

t T +U

V4

T/2 T/4

0

t T T/2

+U

-U V5

0

t T

+U V6

( )

∑

^∞

=

+ + ⋅

⋅

=

0

1

sin ( 2 1 )

1 2

1 .

) 4 (

n

t n n

t U

V ω

π

( ) ( )

∑

^∞

=

⋅

⋅ +

=

1

2

2 . 1 sin cos

) (

n

t n n n

U U t

V απ ω

α π

( )

∑

^∞

=

+ −

⋅

−

=

1

3

cos 2

) 1 2 )(

1 2 (

1 .

4 ) 2

(

n

t n n

n U

t U

V ω

π π

( )

∑

^∞

=

+

− +

⋅ − +

+

=

1

1

4

cos 2

) 1 2 )(

1 2 (

) 1 ( .

) 2 2 cos(

) (

n

n

t n n

n t U

U t U

V ω

ω π π

( )

∑

^∞

=

+ +

⋅ −

=

0

2

5 2

sin ( 2 1 )

) 1 2 (

) 1 ( .

) 8 (

n

n

t n n

t U

V ω

π

∑

^∞

( )

=

⋅

−

=

1

6

. 1 sin

) 2 (

n

t n n

U t U

V ω

π