Quelques Rappels

(1)

Rappels

Sidi Mohamed MAOULOUD

February 23, 2017

(2)

1 Statistique descriptive

2 Loi normale et ses d´eriv´ees

(3)

Statistique descriptive

On consid`ere deux variables statistiques quantitatives X = (x1,x2,· · ·,xn) etY = (y1,y2,· · ·,yn).

la moyenne de la variable X : ¯x = ¹_nPn i=1x_i la variance deX : V(X) = ¹_nPn

i=1(x_i−x)¯ ² = ¹_nPn

i=1x_i²−x¯² la covariance entre X et Y :

cov(X,Y) = _n¹Pn

i=1(x_i −x)(y¯ _i −y¯) = ¹_nPn

i=1x_iy_i −x¯y¯ la corr´elation entre X et Y : rxy = √^cov(X^,Y⁾

V(X)V(Y)

Si on dispose de p variablesX₁,· · · ,X_p, Alors leurs matrice de variance-covarianceV et de corr´elationR sont resp. deux matrices de dimension (p×p) telle queVij =cov(Xi,Xj) et R_ij =r_X_i_X_j

(4)

Loi normale

X ∼N(µ, σ²) si sa fonction de densit´e est f(x) = 1

√

2πσ²e⁻

(x−µ)2 2σ2

E(X) =µet V(X) =σ²

Sa fonction de r´epartition n’a pas de forme explicite mais elle est tabul´ee

Si µ= 0 elle est dite centr´ee et si σ² = 1 elle est dite r´eduite.

On note par Φ la fonction de r´epartition de N(0,1). On a Φ(0) = 0.5 et Φ(−x) = 1−Φ(x)

Si X ∼N(µ, σ²) alors Y = (X−µ)/σ∼N(0,1)

Soit X ∼N(µ, σ²) et F_X sa fonction de r´epartition alors on a F_X(x) = Φ ^x−µ_σ

(5)

−4 −2 0 2 4

0.00.10.20.30.40.5

loi normale N(m,s2)

x

f(x)

m= 0, s2=0.5 m= 0, s2=1 m= 0, s2=2 m=−2, s2=1

(6)

−4 −2 0 2 4

0.00.20.40.60.81.0

Fonction de répartition N(m,s2)

x

F(x) m= 0, s2=0.5

m= 0, s2=1 m= 0, s2=2 m=−2, s2=1

(7)

Loi normale

Xi ∼N(µi, σ²_i), ind´ependantesP

iXi ∼N P

iµi,P

iσ_i² Soit X1,X2, ...,Xn une suite de variables al´eatoires

indépendantes de même loi d’espéranceµ et de varianceσ²,

alors √

n( ¯X −m)

σ →N(0,1)

En d’autre termes ¯X suit approximativement (lorsquen est grand) une loi normale de param`etres µ etσ²/n et ceci quelque soit loi des X_i.

(8)

Table de loi normale

Φ(x) = 1

√2π Z x

∞

e^−t²^/2dt. On a Φ(−x) = 1−Φ(x) et Φ⁻¹(α) =−Φ⁻¹(1−α)

x 0 0.03 0.05 0.08 0.1 0.13 0.15 0.18 0.2 0.23 Φ(x) 0.5 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 x 0.25 0.28 0.31 0.33 0.36 0.39 0.41 0.44 0.47 0.5 Φ(x) 0.6 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 x 0.52 0.55 0.58 0.61 0.64 0.67 0.71 0.74 0.77 0.81 Φ(x) 0.7 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 x 0.84 0.88 0.92 0.95 0.99 1.04 1.08 1.13 1.17 1.23 Φ(x) 0.8 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 x 1.28 1.34 1.41 1.48 1.55 1.64 1.75 1.88 2.05 2.33 Φ(x) 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99

(9)

Loi du khi-deux

La loi duχ² (prononcer “khi-deux”) est caractérisée par un paramètre (entier non nul) ditdegrés de liberté

X1,· · ·,Xk,k v.a. ind. ∼N(µi, σ_i²). On a X : =Pk

i=1

Xi−µ_i σi

2

suitχ²_(k) la fonction de densit´e de χ²_(k) est

f_X(t) =







1 2^k²Γ(^k₂)

t^k²⁻¹e⁻^t² si t≥0

0 sinon

o`u Γ est la fonction Gamma d’Euler.

On a E(X) =k etσ²_X = 2k

Sa fonction de r´epartition n’a pas de forme analytique connue mais on peut trouver ses valeurs dans des tables ou `a l’aide de logiciels.

(10)

Loi du khi-deux

0 10 20 30 40 50

0.000.050.100.15

densité de khi−deux à k ddl

f(x)

k=5 k=10 k=20 k=30

Sidi Mohamed MAOULOUD Rappels

(11)

Loi de Student

Quotient entre une normale centrée réduite et la racine carrée d’une χ².

Son paramètre est le paramètre de la χ². Sa densité

f(t) = 1

√ kπ

Γ(^k+1₂ ) Γ(^k₂)

1 +t²

k −^k+1₂

E(X) est indéterminée pour k = 1 et nulle pourk >1,σ_X² indéterminée pour k = 1, infinie pourk = 2 et égale à _k−2^k pour k >2

Elle est sym´etrique.

Sa fonction de r´epartition de la loi de Student n’a pas de forme analytique connue.

Lorsquek est tr`es grand, on peut l’approximer par uneN(0,1)

(12)

loi de Student

−4 −2 0 2 4

0.00.10.20.30.4

densité de khi−deux à k ddl

f(x)

k=5 k=10 k=20 k=30

(13)

Loi de Fisher

le quotient de deux variables aléatoires indépendantes,U₁ et U2, distribuées chacune selon une loi duχ² et ajustées par leurs nombres de degrés de liberté, respectivementd₁ et d₂ : Si U1 ∼χ²_(d

1),U2 ∼χ²_(d

2) ind´ependante U1/d1

U₂/d₂ ∼F(d1,d2).

Elle admet deux degr´es de libert´e

(14)

loi de Student

0 1 2 3 4 5

0.00.20.40.60.81.0

densité de Fisher à k1 et k2 ddl

f(x)

k1= 1,k2=2 k1= 5,k2=2 k1= 10,k2=2 k1= 20,k2=2 k1= 5,k2=5 k1= 5,k2=10 k1= 5,k2=20