Universit´e Ren´e Descartes - Paris5 licence de math´ematiques
UFR de math´ematiques et informatique licence MASS
M´ethodes num´eriques 2003/2004 Dominique Pastre
Exercices chapitre 4 Sommes de s´eries - Graphique
1. Ecrire des programes Scilab calculant des sommes de s´eries. Application : calcul deeet calcul deπen utilisant les deux s´eries mentionn´ees en cours.
Comparer les vitesses de convergence.
2. Tracer graphiquement avecScilab le graphe des fonctions sinx, xsinx, et sinx
x .
3. Tracer graphiquement avecScilable graphe de un et Sn en fonction de npour les s´eries de l’exercice 1.
4. La s´erie de terme g´en´eralun d´efini par la suite r´ecurrenteun= 2n+1n un−1
avecu0= 1 converge vers π2. En calculer une valeur approch´ee avec une machine fictive travaillant avec 4 chiffres significatifs et arrondi en base 10. On donnera toutes les valeurs deun et de la sommeSn telles qu’elles seraient donn´ees par cette machine jusqu’`a ce que la suite des valeurs calcul´ees deSn soit stationnaire.
5. Evaluer l’erreur de m´ethode et l’erreur de calcul 6. Mˆeme exercice en calculantSn−1
7. On sait que P∞
n=1 1
n2 = π62 et que 9 < π2 <10. Montrer que l’on peut faire un calcul avecp+ 1 chiffres significatifs avec une machine travaillant avecpchiffres (en base 10). Supposant que l’on calcule jusqu’`a ce que la somme soit stationnaire, donner le nombre de termes `a calculer et ´evaluer l’erreur de calcul et l’erreur de m´ethode.
8. Am´eliorer les r´esultats pr´ec´edents en consid´erant la suiteSn0 =Sn+n+11 Evaluer le nombre optimal de termes `a calculer pour minimiser l’erreur totale (erreur de calcul + erreur de m´ethode).
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