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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Simon, A.-M. (1969). Déformations des groupes algébriques unipotents commutatifs (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
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THESE AEÎIEXE
Il est impossible de déformer la forme compacte
de l'algèbre de Lie réelle sl(2) en la forme non
compacte, et réciproquement.
THESE AfflSEXE
Il est impossible de déformer la forme compacte
de l'algèbre de Lie réelle sl(2) en la forme non
compacte, et réciproquement.
BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉMATIQUES L\ DE PHÏilUUE
Université Libre de Bruxelles Faculté des Sciences
Oéforcaations des groupes algébriques unipotents coi&mutatifs
-BMP
SC 53
.7
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences
Avant tout, Je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance envers les Professeurs Frans Bingen et Jacques Tits, pour l'aide tant scientifique que morale qu'ils m'ont apportée, pour les nombreuses suggestions et les conseils si précieux.
Ils m'ont aussi donné la possibi lité de participer à des séminaires à 1'étranger.
PRSFÜGE JC
Les problèmes de déformations de structures algé^ bx'iques s “étudient de manière systématique depuis quelques années seulement, bien qu“ils ne soient qu’un aspect modi fié de la conception ancienne de passage à la limite»
Dans ce mémoire, nous nous préoccupons d’intro duire un paramètre dans la structure d’un groupe algébrique et d’étudier ce que devient ce groupe lorsque le paramètre tend vers zéro. Pour étudier de telles familles de groupes le langage des schémas, que nous employons ici, s'avère très indiquée
Les déformations de groupes semi-simples sont bien connues depuis qu’on a le théorème de Demazure Q'IB 3» qui implique, en particulier, que le groupe de départ et le groupe déformé sont de même type.
La situation est toute différente pour les groupes unipotents, où n’existe pas la meme rigidité provenant du système de racines.
Au premier cnapitre, nous avons formalisé, de fa çon bien naturelle d'ailleurs, la notion de déformation pour les groupes algébriques, et nous nous sommes efforcés d’en montrer la signification intuitive.
Le second chapitre est consacré à l'étude des schémas en groupes définissant une déformation.
La remarque sur la linéarité de ces schémas est essentielle pour la suite, elle nous fournit, entre autres, le théorème 2, ainsi qu’une démonstration très rapide d’un résultat de S.G.AoD (corollaire 1). iSlle intervient éga lement poui* les problèmes concernant les quotients, et nous permet de généraliser les théorèmes de Chevalley aux sché mas en groupes ici étudiés (tnéorèmes ^,5.6)o
Signalons encore les corollaires intéressants en
eux-mêmes, et dont nous ferons grand usage pour étudier les déformations des groupes unipotents commutatifs, ainsi que le corollaire 5 pour le cas de caractéristique nulle.
Los pai‘agrapJie'8 3 et 4 foi’ment le coeur du ciiapi™ tre, nous y donnons des conditions nécessaires à Inexistence d*une déformation pour les groupes de dimension n et de
période p’^' (proposition 8), ainsi qu'une description com plète de la situation en dimension 2 (4.5 tdéorème d“exis tence) O
Il apparait que la notion de déformation définit un préordre sur l'ensemble de ces groupes»
JSn outre, la proposition 9 nous fournit des infor mations assez précises sur la structure du scnéma en groupes définissant la déformation, et nous permet de démontrer
un tnéorème de constance (4o5)o
Il est intéressant de remarquer que les groupes dont les déformations sont les moins complexes sont ceux dont l'invariant définissant la structure du groupe est purement local»
Le paragraphe 5 est indépendant, et montre à nou veau (cf II, corollaire 5) combien la théorie est plus simple en caractéristique nulle.
TABLE DES MATIERESc
■
P-Quelques notations, 1
Chapitre I» Déformations et structures entières. 3
§10 Déformations. 5
§2. Structures entières. 5
§5o Remarques sur les conditions de "séparation". 4
§4, Déformations des sous-groupes. 7
Cnapitre II. Sciiémas en groupes affine^ plat, de type fini sur un anneau de valuation
discrète complet, 11
§1. Linéarité. 11
§2, Représentations linéaires et trigonalisation. 12
§3. Groupes quotients, 15
Cnapitre III. Déformation des groupes unipotents com
mutatifs . 32
§lo Extensions de scnémas en groupes et systèmes de facteurs, groupes unipotents commutatifs
sur un corps parfait * 33
§2. A propos des images et des noyaux . 38
§3. Défoi'mations des k-groupes unipotents commutatifs
de dimension n et de période p''. 41
§4 Déformations des k-groupes unipotents commutatifs
de dimension 2 et de période p*, 47
Déformation des groupes &a en caractéristique
nulle . 60
Index. 62
Index des notations, 63
1
Ç^’UELQUES NOTATIONS c
Ija lettre k désigne toujours un corps commutatif » A sera, soit un anneau principal, soit un anneau de série formelle k [Ï>31 î ^ sera son corps des fractions»
Si G est un sciiéma en groupes défini sur Spec A, nous dirons le plus souvent que G est un A - groupe, G^^ dé signera la fibre générique de G, c'est à dire le K-groupe algébrique G x Spec K e
Spec A
Lorsque A est un anneau de valuation discrète, de corps résiduel k, nous désignerons par Gj^ la fibre spéciale de G, c'est à dire le k -• groupe algébrique G x Spec k»
Spec A
Ges notations sont résumées dans les carrés cartésiens
-)► G G
Speck
---V i,
Spec A^---Spec K»
fît si G est affine, d'algèbre affine B, nous résumons les notations employées dans les carrés cocarbésiens s
6. = B ô b, A
6 --- = e>
A K
--- f{ ---^
Mous désignerons les morphismes multiplication, inversion et injection de l’élément neutre par les lettres
<r , £ :
Sx s- —t & Spe~c A G" «
J <r
nous emploierons les mêmes lettres pour désigner les nomo- xüorpnismes d’algèbres correspondant?, lorsque G est affine :
6 —t—^
CH/.PIT3E- I
Déformations et Structures entières §1 « Déformations
1
Lorsque H est un k~groupe algébrique affine^ on introduit un paramètre dans sa structure de groupe en con sidérant un scnéma en groupes G plat, affine et do type
fini sxir l'anneau des séries formelles , tel que
la fibre générique soit isomorphe au ic((a)) - groupe H x
on demande en outre au scnéma en groupes G de satisfaire la condition de "séparation" suivante ; pour tout.•scus-scnéma en groupes F de G, plat, fermé et distinct de G, le k:-sous~ groupe F.= Feh, df, 6 * Sdi. est distinct de G.^..
W A “■ A
La fibre spéciale G de ce scnéma en groupes, (qui, comme H, est un k-groupo algébrique), sera alors une défor mation du groupe R, et le A-scnéma en groupes G est une donnée* de déformation de Ho
Ainsi, la notion de déformation d“un groupe algébri-» que affine est un cas particulier de la notion de structure entière sur une bialgèbrco
§ 2, Structures entières
Soient A un anneau principal, K son corps des frac-tiens.
Si est une K-bialgèb.i’e, une structure entière sur_^ est ur.d sous A-blalgêbre B de de type fini, engen drant Bjg- coianie i£~algèbre, et séparée pour la topologie 1-adi- que, quel que soit l'élément premier 1 de A,
Comme B est incluse à B^, B est un A-module sans torsion et donc plat,(l)
1) La platitude de B sur A donne un sens au terme sous A- bi-slgèbre, car l'inclusion B Bg. donne, par
tensorisa-ôiDn, une inclusion canonique
iânsi, B est une sous-A-bialgèbre signifie que B est une sous A-algèbre telle que
crBc.S v-l" k&t
' /I
Ainsi, B est 1‘algèbre affine d'un scnéma en groupes affine G sur A, plat et de type fini, dont la fibre générique a pour algèbre affine
Tour voir qu'une donnée de déformation est un cas
particulier de structure eutière, lorsque A * ^ ©"t
lorsque est un groupe algébrique "défini”, en fxtt, sur k (c'est a dire lorsqu'il existe un k-groupe H, d'algèbre
affine C , tel que G^. * H 23 K, 2 K), il nous reste à
k ». k h.
vérifier une proposition.
§3» Remarqués sur les conditions de"séparation" idroposition I
Soient G un scnéma affine en groupes, plat, sur un
anneau principal A, B son algèbre affine,
I
un élément pre=’mier de A, le corps A/IA,
(
1)
(
2
)
Les conditions suivantes sont équivalentes ; B est séparée pour la topologie 2-adique.
Pour tous sous-scnéma en groupes F de G, fermé et distinct de G, le kj-sous-groupe algébrique
, plat 9 P ® kj^ de Gj « G a kj est distinct de G^ •
En outre, ces conditions sont satisfaites dès que G est de type fini et que sa fibre générique est un groupe algébrique connexe réduit. •
A un sous-groupe fermé plat F de G, distinct de G correspond un idéal non nul I de B. Si F.« s. G,cela
signifie que l'nomomorpnisme B—»B/ÏB ^ B*® A ^ se factorise à travers B/I.
Ainsi, on a I c £ B.
Comme P est iin sous-groupe plat, la A-bialgèbre B/I est t-late, par conséquent
I n £ô . « I Itî] -i. Ji. 6 )
Il en résulte que, povir tout n, I » I c B n'est pas séparée et(l) implique(2).
Réciproquement., soit ^ S(, - il est clair que S.g est un idéal,
fermé H de G, car c
(. ( «*; ï fl f<(*) fe £'"( B
I 'ÎCfcB à ^ an
Le sou3-“groux3e H est plat car B/Sj est sans torsicn : si ax = O, où a 6 A, xt-B, et x = image de x dans B/Sl, ax 6 SI,
il existe un élément b de A tel que bax fc Q t"* à ,
donc X 6 SI. ,
Bar ailleurs, S* c IB ; si ax£Qi'*B , quitte à faire les simplifications permises dans l’algèbre sans torsion B, on peut supposer que a et £ sont premiers entre eux, et alors cette relation, lue module ÎB, montre que x est dans IB,
Dpnc, l’nomoiiiorpnisme B —- B/5B se factorise à travers B/Sj', et FTj « G^.
Si B n'est pas séparée, l’idéal est non nul, le sous-groupe H est distinct de G, ce qui contredit(2).
La dernière assertion résulte de la constance de la
fonction s —» dim G^, où s est un point de Spec A et la
fibi’e de G a a dessus de s, lorsque G est A-plet de type fini (S.G.A.D.Vil, 4-.3.).
!ijp effet, si P est un sous-groupe de G, fermé plat et distinct de G, sa fibre générique Fv ®^t encox'e un sous- groupe propre de G,,, de dimension strictement inférieure à celle de lorsque G^r est connexe réduit o
(jovollaire 1
Si G est un sctxéma en groupes, affine et plat sur un anneau de valuation discrète, il existe un plus grand sous-groupe fermé et plat de G satisfaisant la condition de séparation, et dont la fibre spéciale coïncide avec colle de Ga
Le sous-groupe d’idéal 5*::Qk"B(oùa est une uniformisiinte
de A) satisfait la condition requise,,
Définitio]ri_l î
Iat;ei‘prétation des conditionB de séparation pour les p-rroupes
Proposition 2.
Soient A xin anneau de valuation discrète complet, et G un A-scnéma en groupes affine, plat et de type fini, dont la fibre générique est un K~groupe fini.
Les conditions suivantes sont équivalentes : (1) L'algèbre affine B de G est séparée. (2) G est un A-groupe fini.
(3) L'ordre de la fibre générique G™, est égal à l'ordre de la fibre spéciale G^.
On sait, par des argu.aents de dimension, que la fibre spéciale Gj^ est aussi un Ic-groupe fini, et son algèbre affine « BAB est donc \m ic-vectoriel de dimension finie (f« est une uniformisante de A, k le corps résiduel).
Lorsque B eat séparée, on peut remonter une base de Bj^ sur k en un système de générateurs de module de B sur A, ce jui montre que B est un A-module fini et G un A- groupe fini.
Lorsque G est un A-groupe fini, il est clair que l'ordre de G^^ est égal à celui de Gj^ (Î3j II 5«>2.)o
Il reste à voir que (3) implique fl).
Cornue G est un A-groupe à fibres discrètes, il est ouasi- fini 81^ A (S.G.A.D. VI B 2.8.),
Jîit, puisque A est complet, G est somme directe d'un sciaéma i. fini sur A et d'un scnéma Y quasi-fini, contenu dans la fibre générique (E.G.A. II 6.2.6.).
X et Y sont fermés iXans G, ce sont donc des scüémas affines d'algèbre affines La et üi respectivement, et on a : B * Mali; iiü est un A-module plat de type fini, donc libre et séparé,
et li est un K-vectoriel.
Si les ordres de G^ et de Gj^. sont égaux, on a « et B“ M, ce qui acbève'la démonstration.
Interpétaüion générale.
Soit G un A~scnéma en groupes cocime dans la proposi“ tion 1. Supposcas que F soit un scjué;;.a en groupes de G sur A, fermé, plat et distinct de G, et qu'on ail, = G^ pour ixn élément prem ier 1 de A,
Dans ce cas, l'ëspace nomogène / F^ est de dimension nulle. Comme il existe un schéma quotient G/F sur A, et
que la fonction 1 —► dim (G/F)^ =• dim est
semi-conti-nue supérieurement (S.G.A.D VI B.9*5, VI B 4.1), le sous- groupe F^ de la fibre générique G^ contient la composante connexe réduite de G^^.
Ainsi, le seul effet des conditions de sex^aration est d'éviter de perdre, en un certain sens, des composantes con nexes, lorsqu'on passe de la fibre généi'ique à une fibre spéciale.
U
Déformations des sous-groupes. i-roposition 5 :
Soit G un scnéœa en groupes affine et plat sur un anneau principal A, dont K est le corps des fractions.
Alors les sous-groupes fermés de la fibre générique G^ cori’espondent biunivoquement a\xx sous-scnémas en groupes fermés et plats de G, et les sous-groupes invariants se correspondent.
Lemme 1.
Avec les hypothèses de la proposition 5, identifions l'algèbre affine B de G à une sous .--algèbi'e de B^..
ü.
Si J ost un idéal de B, B/J est A-plate si et seulement si J «> J (S)KnB(fl).
A
En effet, puisque B est plate. B/J est plate si et seilement si, pour tout élément a de A,
aj « JnaB (2) (03 1.2,6.),
et les relations (1) et(2) sont trivialement équivalentes. Définition 2
Soient E un A-module plat sur un anneau principal (identifié à un sous K-module de E ® K) et fl un sous-A-module
Le aatui-û de H lv.us JS ont le Bous-modu.le Z H ®
a O E - ^ X fc £ I 3 t' ■;* a X e.
DéiXLonstx'ation de la proposition .
Kous allons d’abord établir une correspondance entre les sous-scnénas ferihés plats de G et les sous-scnémas fermés
de Gtr O *
Si tf^un sous-scixéma fermé plat de G, défini par un idéal I de l'algèbre affine B de G, on lui associe le sous-scnéma fermé Hr, « H c& K de G,,
^ A
La suite exacte o —I—*3-—«.B/I—„ o donne, par tensorisation, une suite exacte
o — I ® K —» 3g. —(B/I) c8 K —^>0.
A A
Ainsi, Hg est défini par l'idéal I fiû K de Bg
Si F un sous-scnéma fermé de la fibre générique Gg, défini par un idéal Jg de l'algèore affine Bg, on lui associe l'adnérence scüématique F de F dans G, c’est à dix'e le sous- scnéma fermé de G défini par l’idéal S « JgOB de 3,
La définition de S montre que S ® donc B/S
A ^
et F sont plats.
Grâce au lemme 1, les applications H F—F
sont réciproques l'une de l’autre.
Si H est un sous-scaéma eu groupe de G (respective- .nent un sous-scnéma en groupe invarian ts), il en est de même du K-sous-groupe Hg de Gg, par cbangement de base.
Si F est un sous-groupo fermé de Gg, défini par l'idéal Jg, il faut voir que l'idéal S « Jg^ B est encore l'idéal d’un sous-schéma en groupe^fermé de G, c'est à dirs
que éCS}-o, <rtô)c5 et lt(6) c
où t,«,ft désignent respectivement l’application neutre, l'application inverse et la comultiplicationo
5 B s
Il faut voir que ^'e ( S) * o« c“est à dire que s®
factorise en o. j>* .
Comme ^^e|l est njactif » il en résulte que
k ( C îi<SRj4^V®S •
fl A
Lorsque F est invariant dans Gg-, opère sur F par auto-xDorpnismeî intérieurs;
Gg X F ~—► F,
Appelons encore r 1’liomomorpiiisme d''algèbres corres-» pondant. On a le diagramme commutatif:
b )C
|c<e(b
J
(h <g> Ô/^:S_Z_I1
où "ji désigne le dual du morpnisme
ü X F —» G X G G, ô donnent 1*opération de G
sur lui-meme par automorpnismes intérieurs.
Définition
Une donnée de déformation au sens large est un
scnéma en groupe G —Spec satisfaisant les proprié
tés d*une donnée de déformation, exceptée la condition de "séparation”.
i Remarque
Si G —♦Spec est une donnée de déformation
d‘un k-groupe algébrique G'(G, » G' K), la proposition précédente associe à tout sous-groupe fermé de Gj^ un A-sous-groupe fermé P de G, et donc un k-sous-groupe fermé
^k*
Si Hg est sous-groupe de Gj^ défini, en fait, sur fc, c'est à dire s'il existe un k-sous-groupe fermé H' de G' tel que Hr, » H' x K, G induit vuae donnée de déformation au
k
au sens large H de fl', et nous dirons que est la déforma tion de H' (ou de Hg-, par abus de langage, et pour ne pas avoir à rappeler l'existence de H')o
Proposition 4
H un groupe affine sur un anneau principal. Il existe un plus grand sous-groupe-fermé plat H' de H, et les fibres génériques de H et de H' coïncident.
Soit T l'idéal de torsion de l'algèbre affine Cr de T est l'idéal d'un sous-groupe G' de G, car <r(T)cT, é(T) »^o
et jv se factorise à travers 8/T qui est sans torsion,
1® ^
^/r--- "
Remarque
Si H est un sous-groupe fermé d'un groupe G affine et plat sur A, si B est l’algèbre affine de G et I l'idéal définissant H, l'idéal définissant ET sera I © K H B, le
CHAPITRE II
ScJiémas en groupes affines, plats et de type fini sur un anneau de valuation discrète complet »
Mous aimerions avoir, pour ces scnémas, les Homo logues de tliéorèmes classiques de Cnevalley, pour en obtenir des informations sur les déformations.
Aussi, nous étudierons surtout les sciiémas en groupe qui satisfont la condition de séparation, ceux dont l"algèbi’e affine est séparée povir la topologie «-adique (of étant une uniformisante de l’anneau de base),
ii/iais la plupart des corollaires pourront s'étendre sans difficulté aux scnémas en groupe sans condition de sépa ration,
ë 1, Linéarité ■Définition 1,
Un scnéma en groupes sur un anneau A est dit liné aire s’il est isomorpne à un sous-groupe fermé du groupe des autoaorpiiismes d’un A-module libre de type fini.
Avant d’aller plus loin, remarquons que l’algèbre affine B d’un A-scnéma en groupes affine,plat et de type fini est un A-module sans torsion de type dénombrable, doc somme directe, en tant que module, d’un A-module libre et d’un
espace vectoriel sur le corps des fractions K de A, cela a&rce l'anneau A est un anneau de valuation discrète complet
( [91 tbéorème 20),
En particulier, lorsque B est séparée, B est un A- module libre, et le saturé, dans B, de tout sous-module de type
fini est aussi un module libre de type fini, dont la base ,
peut se prolonger en une base de B. Tbéorème 1
Un scHéma en groupes plat, affine et de type fini sur un anneau de valuation discrète complet est linéaire à condition que son algèbre affine B soit séparée.
Comme l'algèbre affine B du groupe est un A-module libre, et oue tout sous module de B est encore libre, on peut reprendre la démonstration de Cnevalley telle au'elle est
exposée dans S.G.A.D, e'xp.VI.B 11,5.
et couiul.tiplication s jt{ ^'v) c 6'î•
La p3'Opcsition qui ouit le fournira. Définition 2.
Soit b un élément de l'algèbre affine B, et une base de B. .écrivons u(b) »
L'espace dei^translatés de B est le A~module engendré par les 9 il est libre de type fini»
la^oposition 1
L'espace des translatés de b est stable pour la comultiplication (S G A D VI B 11.5)s et contient b»
L'axl«me d'associativité donne ;
i •= H (ei)
Il en résulte :
L“axiome du neutre donne : W s t £(.«.)
Komai'quons aussi que le saturé d'un module de type fini stable pour est encore stable pour ^ .
S 2. Représentation linéaire et trigjonalisation. Dé fin x; ion 3,
Une représentation linéaire d'un sebéma en groupes G défini sur un anneau A est un A-boiaouiorpnisiue de G dans
le .'icnéma en groupes GL^(m) des automorpUismes d'un A-oiodule
litre de type fini j»..
Comme le senéma en groupe GLj^(M) opère sur le senéma ea modules Spec (S(M)) «‘^»(S(M) est l'algèbre symétrique de
se donner une représentation linéaire de G dans GL^(feî) équivaut à se donner une opération de G sur (A,
Lorsque G est affine, d'algèbre affine B, c'est encore équivalent à la donnée d'une structure de B-comodule
sur M : M B œ M , avec (_ ®,
A
’> étant A-linéaire (cf 0-53,
(5 On i)Out remplacer M par
fini de S, stable par ,( }v(!0 c on considère l'bomomorpiiisme M—« un sous-'iaodule ïT de type B ® lO do la façon suivante: A y\„ oi. B (S> M —^ B g) A * B , où A A
f est une application A^linéaire de m dans A, et on remplace M par son image Ü dans B.
Lorsque l'anneau de base est principal^ et que le scnéma affine en groupes G est plat sur A, le A-module K est encore libre et les représentations linéaires correspondent donc aux sous-modules de type fini de B, stables par ^ .
Proposition 2,
Soit G un scnéma en groupes affine plat sur
anneau principal A, et p une représentation linéaire de G dans Mo
Si la représentation P ^ de la fibre générique Gj. de G est trigonalisable sur K, alors la représentation f du scnéma en groupes G est trigonalisable sur A.
La représentation p équivaut à une structure de B- co-module sur M, et la représentation pjg. de Gg. à la structure de Bg-CD-module sur obtenue par tensorisation ;
M--- iO M
1
0î
%
b
A
Comme pg- est trigonalisable, il existe un drapeau complet de
invariant sous G^î ocrc...cF cF-M
^ a ' /h-( ~ k i “ /
avec ® Ft
Identifions (respectivement B c» M) à un sous-enserable de A
(^*®®P®®^ivement de B^ cb M^.) par l'homomorpuisme c s Tl OIT V \t,e K
et considérons le drapeau de M formé des sous^-modules
■®i ^i^ Mg-o
Puisque cnaque est saturé dans il existe une base
n Dès lors, tout élément x (respectivement y) de B O M
A
(respectivement de s'écrit de façon unique ;
K
t); fe ^
C • É. &
X - ^ b; ,
y - ^ c-i ®3; > -i - - K
Il en résulte que le drapeau de Ifi est invariant sous G, >> (E. ) C B 00 E. , et trigonalise p sur A»
1^1
Définition 4
Un A-scnéma en groupes linéaire est dit trigonali- sable sur A s'il est A-isomorpne à un sous-groupe fermé du
scJiéma en groupes des matrices triangulaires supérieureso
Tnéoràme 2
Soient A un anneau de valuation discrète complet et G un A-scnéma en groupes, affine, plat, de type fini, satis faisant la condition de séparation.
Alors G est trigonalisable sur A si et seulement si sa fibre générique G^ est trigonalisable sur K. Et, dans ce cas, toute représentation linéaire de G est trigonalisable sur A,
On sait déjà que G est isomorphe à un sous-schéma en groupes du groupe f ^ (théorème 1)«
Comme toute 'représentation linéaire fidèle de Gj^ est trigonalisable sur K (ClAl prop. 5, c£ aussi ClJ Sol), le tnéorème découle de la proposition 2,
Ainsi nous pouvons retrouver un résultat du séminaire Demazure i.S.G.A.D VI B 6.4)
Corollaire 1
Soit G un schéma en groupe affine, plat et de type fini sur un anneau de valuation discrète complet A.
Si la fibre générique est xin groupe réduit, résoluble et connexe, la fibre spéciale est un groupe résoluble.
La condition de séparation est satisfaite (1-3-prop.1)
Si n'est pas trigonalisable sur K, il existe une extension algébrique finie K de K telle que soit trigona lisable sur K (il suffit de prendre une extension qui déploie
16" Il ne reste plus alors qu'à faire le cnange^nent de base A —>► Â, où Â est la clôture intégrale de A dans S, et à api/liquer la proposition 2, car A est un anneau de valuation discrète (Clâ[|2.2 10).
Corollaire 2.
Soit G un; scbéma en groupes affine, plat et de type fini sur un anneau de valuation discrète complet.
Si la fibre générique est un groupe unipotent, il en est de même pour la fibre spéciale.
On se ramène au théorème 2 en remplaçant G par le plus grand sous-schéma en groupes fermé et plat de G satis faisant la condition de séparation (I. 3" corollaire 1).
Soit H ce sous-groupe, sa fibre générique est uni potent e, donc automatiquement trigonalisable, avec des 1 sur la diagonale.
Il en est donc de même pour le scnéma en groupes H, et pour sa fibre spéciale * Gj^.
§ 3. Groupes quotients.
Dans ce paragrapne, nous nous proposons de généi*ali- ser le tnéorème de Cnevalley qui dit que le quotient d'un groupe algébrique affine défini sur un corps par un sous- groupe fermé invariant est encore un groupe affine.
3.1 Définition 4.
Soit G un A-schéma en groupes et H un sous-scnéma en poupes de G, la restriction de la multiplication à H x G
définit une opération de H sur 6, X : H ^ G —► G. ^
Le quotient (à droite) de G par H est le conoyau du couple
H X G ^G (où
A 1^* '
désigne la second© pro jection de H ^ G sur G), si ce conoyau existe dans la caté gorie des A-préscnémas.
3.2. Remarques
Le couple de flècne (>, ) définit une relation
d'équivalence (S.G.A.D IV 3.1.1.,3»2.2).
Les conoyaux n'existent pas toujours*, par ailleurs, même s'ils existent, ils ne sont pas nécessairement stables par cnangement de base.
C'est pourquoi on introduit une notion de topologie sur la catégorie des préscnémas, et de faisceaux quotients par une relation d'équivalence pour la topologie considérée,
IG On est ainsi raiaené à des problèmes de représenta— bilicé.
i/o UT les problèmes concernant le quotient d'un groupe pax' un sous-gi'oupe, la topologie fidèlement plate quasi-com- pacte est toute indiquée, comme on pourra le constater.
Nous n'aurons cependant pas trop à nous préoccuper de topologie, si ce n'est dans les références, car les fais ceaux quotients représentables que nous rencontrerons seront représentés par des conoyaux, grâce à une propriété fondamen tale desmorpnismes fidèlement plats quasi-compacts (qui sont, par ailleurs, stables par cnangement de base;.
Proposition 5 (A. Grotnendieck - Séminaire BourbaM déc.1959
■i. S.G.A.D IV 2.3).
Soit f : X —♦¥ ma morpnisme fidèlement plat quasi-compact.
Alors f est le conoyau du couple de flècnes où pr^ désigne la projection sur le ième facteur. ^
11 est des cas où on peut montrer l'existence d“un quotient.
Tnéorème 5 (cf S.G.A.D VI B. 9.2.9.5).
Soit G un scnéma en groupe de type fini sur un anneau noetnérien A, et H un sous-groupe plat et fermé de G.
Alors 1) le quotient à droite G/H de G par H existe et est de type fini sur A, il est plat lorsque G est plat.
2) le morphisme canonique p : G —^/A est
fidèlement plat quasi-compact. ^
5) le morphisme H x G —* A
santés , est un isomorpnisme.
iün outre, ce quotient est stable par changement de base, et, si H est invariant dans G, G/H est un schéma en groupes et P un nomomorphisme,
±"our la démonstration, il faut se reporter à S.G.A.D VI B 9.2, où sont exposées les propriétés du faisceau quotient lorsqu'il est représentable.
Da représentabilité de ce faisceau se trouve dans la démonstration du tnéorème 6.1 de l’exposé V de S.G.A.D (à con fronter avec les remarques du § 7)« et ce faisceau est repré senté par le conoyau, en vertu de la proposition 3 citée plus haut.
Comme les ouverts de G sont quasi-compacts (c’est essentiellement le théorème de la base d'Hilbert), le morphis me P est quasi-compact.
Quant au fait eue G/ est de type fini, cela vient du lemme suivant!
compo-Lemiae I (SoG.A.D V,9*l)
Soient X Y Z des morpùismes de préscliémas, tels que t soit de type fini et f fidèlement plat et do présentation finie. Alors g est de type fini.
Nous allons commencer par généraliser les tiiéorèmes de Chevalley concernant l'existence d'une représentation d'un
groupe algébrique, de noyau donné (cf C5Jî et aussi S.G.A.D
VI B 11). Définition 4
Soit G un A-scnéma en groupes affine, opérant sur un A-module libre, on a f;M—*3048, oùB est l'algèbre
' A
affine de G.
Un élément y de M est semi-invariant sous G, de
poids , si f(v) « % CS V.
Géométriquement, cela signifie que la "demi-droite” Av de M est invariante sous G,
Théorème
Si G est un schéma en groupes affine, plat, de type fini sur un anneau de valuation discrète complet, satisfaisant la condition de séparation, et si H est un sous-groupe fermé de G, il existe un nombre fini d'éléments u^ de l'algèbre
affine B de G, semi-invariants sous H et ayant tous même poids sous H; en outre, H est le plus grand sous-groupe fermé sous lequel les u^ sont semi-invariants.
Le sous-groupe H de la comultiplication ;
B . — B 0 B
opère sur B par la restriction
I est l'idéal définissant H, engendré par un nombre fiQ^^d‘éléments g^ de B, et p est l'homomorpnisme canonique B —*>B/I.
Considérons le A-module M engendré par les espaces
de; translatés desg-i (* (it) c- B ® M (1, prop l)fit m est
-u-w A-tno<Lik'^« i'tWra cie J-i'h'i •nA-nl' le6 g;.
Par i*estriction, X (W) est donc contenu dans l'image canonique de B/I ® M dans B/I a B.
Le A-module N Mo I est encore un module libre de type fini contenant les giy donc engendrant l'idéal I.
Comme I est l'idéal d'un sous-groupo, H' (I) CI ® B A +BS>I , etX(l) est contenu dans l'image canonique de
A
B/I ® I dans B/I (S B.
A ’ A
Par conséquent, X (N) est contenu dans l'image
canonique de B/I @ N dans B/I sfe B I 2„6).
A A
Autrement dit, le scbéma en groupe G opère sui* M et le sous-module N de SS est stable sous H»
Si N est de rang r, considérons l'opération p de G
dans le A-module libre E » provenant de l’opération
de G dans k, et la restriction o* de p à H :
B/I ® E A
Nous allons exniber un élément de E semi-invariant sous Ho
Il existe iine base fi; de M, ^ i *• f.-m , et des élé
ments a^ de A, ■iili'ï.i'VM , tels que les forment
une base de N. ( VII 4o2)o
Considérons alors une base f. de E, o i l 'h .
telle que f^ « .... a
Si a l'élément af^ * w^A...aw^ est semi-invariant
sous H, puisque N est stable sous H,
Posons pf. « L. ® f..
‘ ^ ‘•J J
On a <r(afg,) « X p(as . ) © fdonc p(as^.) « o et as . s. I
J '^ü <J oj oj
pour 1 £ j 4 -Vw.
Les as^j a m, sont semi-invariants sous H,
de poids x “ H*»*)
En effet, l’axime d'associativité, appliqué àf(f„). donne ;
r
j
K N'
«le H <
Comme les f* forment: une base de E, on a
K iS> 6*‘J |« ( a
S'
Zi Æ à tî> •Jet >^Ca r X pour ]>,d.
Considérons maintenant un sous^ scnéma en groupes F de G sous lequel les u.* sont semi-invariants, et montrons que|^t?^r P est défiïii par un idéal J et opère sur B par la restric’ tion de ; g --- - BOB
A.
B/J O B. A
Si les a;sont semi-invariants sous F, il existe des éléments de B/J tels que
mais on a ;
) - (C| . j») (m;) - ( C( ^ ^
= <4 s.^ «ijO -- \ Sji
Appliquons ^0t à >î (u.j), il vient donc ;ii S fe(u;>= <1 ( M-j'> t ^ &ji > , i
Comme les u; , i >y4. , appartiennent à l'idéal I d'un sous-
groupe, t(u;> » O pour X >,± ; par ailleurs, l'axinme du
neutre donne f. » et
T~i é J j
Il résulte de tout ceci que, pour i:j<L , bCu-;) =* o, et les appartiennent à l'idéal J de F.
Appelons T la restriction de la représentation le G à F ;
E ---£--- „B 0 E
A On a donc :
T(afo) » % ^^®®oi^ ®
et afô est semi-invariant sous F,
mais a 1,3 « a ---a w.^,,
écrivons k,.«e, ,
q( So y @ af O,
Zo Dire que a f, est semi-invariant sous F signifie
q - O pour j> r.
iSt, si W*^est le saturé de W dans cela signifie encore que ^ (w) est contenu dans l'image canonique de B/J Q W**
A dans B/J 0
Soit 1“ le saturé de I dans B, est l'idéal du plus grand sous-groupe plat H' de H.
Comme W engendre l'idéal I, on voit encore que (1) est contenu dans l'image canonique de B/J fl I*dans B/J fi B,
A A
Comme on a la suite exacte
B/J e --- - B/J 0 B --- »B/J (S B/1*^--- S.O, A A A et le diagramme commutatif I --- --- ^ J? (B/J a 1*) ♦ B - •■ ■ ■—B/ J 0 B f <) * A
on en déduit, par passage au quotient, iin domomorpnisrae B/I--- - B/J 0 B/I^
A
En termes de groupes, on a donc le diagramme commutatif
1
!..G <!---G X G, où les flècnes verticales
r A
sont les inclusions canoniques, ceci montre que F est conte nu dans H.
Corollaire à la démonstration.
Si G est un schéma en groupei affine, plat, de type fini sur un anneau de valuation discrète complet, si G
satisfait la condition de séparation et si H est un sous-
groupe fermé de G, il existe une ra linéaix*e a de 6
Reüiarquons que, lorsque H est plat sur A, on peut choisir l'élément x maximal dyis Jfi, c'est à dire que la relation
X a ay, a fe A, entraîne que a est inversible.
Dans ce cas, au lieu de n'avoir qu'une demi-droite de Jîi stable sous H, on a une droite entière.
I 3.^ Théorème 3.
Soit G xm scnéma en groupes affine, plat, de type fini sur un anneau de valuation discrète complet.
Si G satisfait la condition de séparation, et si H est un sous-groupe invariant fermé et plat de G, il existe une représentation linéaire de G, de noyau H, pourvu que l'une des deux conditions suivantes soit satisfaite :
1) H est unipotent
2) La fibre générique G^ de G est un £-groupe connexe et réduit^corn^tric^uement.
Le tnéorème précédent nous a donné une représenta tion linéaire de G dans B et un élément maximal e de E semi-invariant sous H, de poids
% est un caractère de H, et définit im homoœorpnis- me de H dans le groupe multiplicatif.
Cet nomomorpnisme est nul sur la fibre générique si H est unipotent, c'est à dire que l'image de v dans l'al gèbre affine de Hg. est l'identité, comme H est plat, on a donc « 1.
Soit T : B/l —-.B dc B/I l'homomorphisme d'algèbres
A
correspondant à l'opération à droite de G sur H par auto morphismes intérieurs (B est l'algèbre affine de G et I l'idéfJ de H).
Bous voulons voir que »i»y, c'est à dire que
le caractère jt de H est invariant sous G.^ Ceci est évident lorsque H est unipotent.
Il reste donc à examiner le cas où Gg. est connexe et léduit.
Comme tout est plat, il suffit de le vérifier sur la J’ibre générique.
Soit g (respectivement h) un point de Gg(respecti-veraent do Hg) à valeur dans K (g est un homomorphisme de Bg daiis K, h un homomorpnisme de (B/l3rr dans K) f K = «re ,
^ OLC. K J.
zz Si est le caractère de %défini par (d) « 'y^(g~'iig), g9^ est donc une valeur propre de H opérant dans Be
Si ^ b; • a; , W , A; t (3/j^^ ^ ,
gj^^ est le caractère ^ ® d^de
Comme ion n'a qu'un nombre fini de valeurs propres,
les de peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs»
Si Bg- est intègre, à cause de l'nomomorpliisme 6 : B —ï*K, Bg ne contient aucun élément algébrique sur K, et, danrs ce cas, les b^^ doivent donc être dans K»
Ainsi s% ne dépend pas de G et G(%) * 1 a x (cf. D-53 exposé 7)»
Dès lors, la démonstration de ce tdéorème est
identique à celle que l'on fait pour les groupes algébriques sur un corps, (cf. S.G.A.D VI B 11.9» et 1153» exposé 7)o
Indiquons-en les grandes lignes.
On a des éléments u^ de l'algèbre affine B de G, aemi-invariants sous H de poids
On considère le module V engendré par les espaces des translatés des u^^, il est stable pour la comultiplication, contient les u^ et tous ses éléments sont semi-invariants
sous H de poids
On a donc une représentation linéaire de G dans GL(V), telle que le diagramme suivant soit commutatif.
G --- ^---V GL(V)
î --- i^ QÙ les flèches verticales sont les inclusions canoniques et où (r^ est le groupe multiplicatif.
Bn outre, ce diagramme est cartésien car H est le plus grand sous-groupe sous lequel les u. sont semi-inva
riants . ^
t5 Remarque.
Dans le cas des groupes algébriques sur un corps, ce tnéorème permet de montrer très vite que le quotient d'un groupe affine par un sous-groupe invariant fermé est encore affine.
Si e est la représentation de G de noyau H,
G •—»GL(v),, le quotient sera l'image du groupe G dans L (V)î et cetj|te image est toujours fermée.
Lorsqu'on travaille sur un anneau en place d'un corps, on peut encore considérer l'image fermée p (G) de G dans GL(V), maisj?ien ne permet d'affirmer à priori que le morpnisme G flf)__ soit surjectif, ni surtout que la
fibre spéciale de fi<r) est le quotient de la fibre spéciale de G par la fibre spéciale de fl.
Aussi nous devrons encore faire quelques détours. d:
3.5 flous sommes maintenant en mesure de prouver le théorème désiré.
Tnéorème 6.
Soit G un scaéma en groupes affine, plat et de type fini sur un anneau de valuation discrète complet, satisfai sant la condition de séparation, et H un souS’-scnéma en groupes de G, invariant, plat et fermé.
On suppose en outre satisfaite l'une des deux con ditions suivantes ;
1) la fibre générique G^- est un K-groupe connexe réduit. 2) K est unipotent. ^
Alors, dans la catégorie des schémas en groupes affines sur A, il existe un conoyau pour la relation d'équi valence sur G défini# par H, ce conoyau est A-plat et ses fibres sont isomorphes aux fibres du schéma en groupes quo tient G/H.
Soient B l'algèbre affine de G et I l'idéal définis
sant le sous-groupe H. y
Aux morphismes H x G ---* G correspondent les
A y
homomorphismes d'algèbres B —^ B/l ® B 1 A
où q(b) * 1 ® b et où V est l'homomorphisme composé B--- ►B ® B
B/I (2 B (c est le morphisme
Soit B" 1''ens3nibl€i des éléments de B dont les images par >> et q coïncident, B® est une A-algèbre.
iMous allons monti?eîr que Spec B® est un scliéma en groupes, satisfaisant les conditions requises.
a) B' est saturée dans B, et « B ® K est l'algèbre
’ A
affine du groupe algébrique affine .
Soit X un élément de B tel que «<x soit dans B', et soit b^ une base de B, ( «< est une uniformisante de A).
Ona: 't & ci y , «wj^bX.
-a << \ '
. fi *^'1 ■
Par ailleurs, on a c<x » 0(1 a* k. « où a. A.
i * *■ ^
On obtient ainsi . o( ).. ^ oC +• «
Comme I est saturé, étant 1‘idéal d'un sous-groupe
plat (I,^, lemme 1), •" dans I et
f4(ctx) -s el ^ »oc +
il ne reste plus qu'à diviser par t*- .
Quant à la seconde assertion, elle résulte du tbéo- rème ue Cnevalley pour les groupes algébriques sur un corps (S.G.yi.D VI B 11;, car B'^ est clairement l'ensemble des éléments de qui ont même image par >\g- et q^.
b) B' est une bialgèbre. Il est clair que B'
Introduisons les algèbres B. et ..
^ S
est stable pour & B
e.(B')c. A,
B ^ w I b e B| |i (b) U 1 0 b mod I 0 B ^
A •' B^ «IbéBl |t (b) = b®l mod B ® 1
Les axiomes de groupes donnent le diagramme comjuutatif
où per désigne l‘noiaoffiorpJiisme pei'î(e C3 f) f ^ e. Il eii résulte : r c , et par symétrie û" B c B. O (U
c5 ^
Par ailleurs, on a ; |«,(B^)c.B^ -S* B (et, par symétrie
[i(Bg)c B ® Bg). (i) A.
JSn effet, soit b é- B^, on a :
(b) = -^ 0 iû + ^ j. ® loj ^ où les 0^ sont
dans I et où les b^ appartiennent à une base de B, qui est un A-module libre (l.)®
Appliquons l'axiome d'associabivité ; >ie|4(b)+'Xjj<Sj^(b;) -s -ia-ioW Si |v(b.) « ^ ^ <s> 4 0 W -I-^iic ® obtient ^ 4 ® j- + 1-^ j-■= *■ "t Kj;) - 1 0 di ^ » jié B et (B^) C © B. A Coiüiae Bg et sur H tatif
I est l'idéal d'un sous-groupe invariant, les algèbre^ coïncident.
Pour le voir, désignons par t l'opération de G par automorpnismes intérieurs, on a le diagramme commu
\
H X G ...—s» G
A multiplication à G x H.où >> est la restriction de la
Il y correspond le dj-agramme coinmutatif B/I ® B .s--- B
(comiue d'iiabitude, nous emplo yons la même lettre pour dési gner un morpnisme de groupes et l'homomorpnîsme d’algebrescor respondant). Ainsi, pour béB^, '^(b) « ®l)X^C'®)) « (T ( iil ^ ®:L)) (H eU) « b ® 1 , ec b £ Bg. On a donc symétrie : B^ « B^. (5)
Comme B* « B^, les relations (1) montrent que B'' est stable pour <r.
Pour voir que B' est stable pour u, , en appliquant les relations (2), il nous reste à montrer :
B ® B* n B' ® B » B' 0 B*.
A A ^
Soit Z fe 3 ® B* n B' ® B,
A A
on a Z ^ b*' ^ où <r 6> , b; t (^).
Le saturé dans B du module engendré par les b''^ est un A-module libre de type^it^cfi, et (9) tnéorème 20), et il est contenu dans fl* puisque B’ est saturée.
Prenons une base c^^ de ce sous-module
(Cj^e B'), et prolongeons U en une base c^, dj^, (-liU.iw) de B (Il 1 corollaire 1).
Réécrivons (4) : z c;» g^ , ou 6 3.
Par ailleurs, z est dans B fit B' et s'écrit donc de façon A
unique ; z «I C; ® + I , où , m. 6 B*.
i, * '*' 1 K
Il en résulte ; g^ » m. » O et Z est dans B' ® B’.
c) L°nomofliorp.n.iaiae de scnémas en groupes ; G —>• Spec B”«G° ,
correspondant à l*inclusion est sur,1ectif»
On sait déjà, pai‘ a) gue 1'JaoiGorpnisme<f^ :
est surjecx;if, puisque G’k -
V^ï-Soit k: le corps résiduel de A.
ruisque B' est saturée dans B, l'JtioiûomorpnisÆe de
ïc-algèbre B'j^ « —*■ ® B/«iB est encore injectif, ce
qui signifie que l'ùomomorpnisme de K-groupes ff, est dorai-nant, et donc surjectif puisque k est un corps et que
est de type fini (S.G.A.D VI B 1. 2). Ainsi, If est surjectif.
d) Le sous-scntma en groupes » k^rc^ est égal à H, est plat et est un conoyau dans la catégorie des A- groupes affines.
Comme les K-groupes et sont égaux, H est égal à H', le plus grand sous-groupe fermé et plat de K, et H c N (I, 4, prop.4)o
Par ailleurs, le tdéorème précédent nous a donné une représentation linéaire 4* de G dans un 6rt^ , de noyau H,
Donc le diagramme suivant est commutatif :
H X G -«•GLn
ainsi que le diagramme correspondant des algèbres affines B/I ® B ^ : B—Ü!—6 , où C. est l'algèbre affina
A
de GL^, et «p l'nomoiaorpnisme d ' algèbre* correspondant à , Ceci montre que $ se factorise à travers B“, donc que l'ûomomorpnisme de scnémai en groupes se factorise à
travers G" * Spec B' : « G'
G <--- ^GL^
ip n
On en déduit : ker <f * JS c ker 4» « H.
e) (Spec B‘est isomorpùe au couoyau (G/H)|,,
On sait que le conoyau G/H existes et on a le
où U et V sont des monorpnismes puisque Icer p = kex‘ (p -
ker 'I « H, et où u est surjectif.
Voyons ce qui se passe au-dessus du point fermé, Bar le tiiéorème de Cùevalleys on sait que le k- groupe algébrique (G/H). « G/H ® k est un gi'oupe affine de
^ A
type fini, soit D son algèbre affine.
On a donc le diagramme commutatif ;
Le morpnisme de k-groupes s (G/H)^^. —»■ (GL^
est un monomorpiiisme, comme (G/H) et iC
k (GL^)jç. sont de type fini, c'est une immersion^feraée (S.G.A.D VI B 1.4,2), et
l'nomorpnisme d'algèbre est surjectif.
Par ailleurs, on a vu que cj? ^ était injectif car B' est saturée dans B, il en résulte que est un isomor- pnisme, ce qui acnève la démonstration.
Remarque
Soient A un anneau de valuation discrète et G un A-sciaéma en groupes affine, plat, de type fini, dont la fibre générique soit, ou bien unipotente ou bien connexe
et réduite» t|u« (r 6*K*^a*^ covd»^*^ d<- »
Soit H un sous-groupe invariant, plat et fermé de G, défini par un idéal I de l'algèbre affine B de G»
On a ; \ \
B ZZ B/I ® B.
^ A
Si la sous-algèbre B' de B (forméedes éléments ayant même image par X et q) est de type fini sur A, alors Spec B' est isomorpù.8 au quotient G/H»
En effet, nous avions un monomorpnisme surjectif
u : G/H -—> Spec B* « G"qui induit un isomorphisme sur
cnacxire des deux fibres, il suffit alors d'appliquer S.G. A.D, VI, B, cor 2.6.
Corollaire 3»
Corollaire 4.
Soient G et F deux A-scnémas en groupes affines satisfaisant les hypothèses du théorème Q.
Four qu’un homomorphisme u : G—i*H soit fidèlement plat quasi-compact, il faut et il suffit que 1'homomorphis me d‘algèbres correspondant C—♦B soit injectif et fasse
de C* une sous-algèbre saturée de B,
Cela découle immédiatement du corollaire 3 et du
tnéorème 3 .
Corollaire 5.
Avec les nypothèses et notations du théorème précé dent, si le corps résiduel de l'anneau de base est de carac téristique nulle, le quooient G/H est affine, d'algèbre affine .
(Ceci impliquera automatiquement que B' est de type fini).
3:-Kous avions une représentation linéaire de G de noyau H, se factorisant à travers G'.
Désignons par F® l'image fermée de G par cet domo morpnisme, par 3a son algèbre affine, qui est plate et de type fini, par v» le monomorpiiisnie G' F®, par v, l'in
jection d*algèbre* B' correspondante, et par tfgle
ûiorpbisme G —► F«. '
L'algèbre B', en tant que sous-module de B, est un A-module libre de type dénombrable, soient e; , i<si\, une base de B', et fj, 14 j ^ /yi , les images, dans B', des
générateurs de 3, - "
Pour tout n, on considère l'espace des transla tés dans B' des îj et des e^ tels que i$ n.
est un A-module de type fini stable pour la comultipli cation de B', et contient les fj et les e^ pour i& n
(I, prop 1).
V,„ donne une représentation linéaire de G',
désignons par F^ (resp.jf"^) l'image fermée de G' par cette représentation (resp. l'algèbre affine de Fj,), et par v^^
(resp. i U 6-WiO ^ c r ^ V; i« —» F/„ ( Ê*) i
Si il. est une base de V^, et si u.(ii; ) » Z. b. .îsii.,
3, H I * ^ tü
les bj^^ engendrent l'algèbre , et, comme lo.j
l'algèbre % contient les f ^ et les e. pour i itn/
«1
Ainsi on a le diagramme commutatif.
où G' - lim F^o
G et F sont de type fini sur A, donc sur F ;
•a n
dans ces conditions, comme <f est surjectif, il existe un entier n tel que soit aussi surjectif (EoGoA IV d,10,5)o
Si ô est l'bomomorpiiisme canonique de G/H dans G' désignons par w' l'nomomorpnisme v^,c6 de G/H dans F^,
w est un monorpnisme surjectif, donc une immersion fermée sur cbacune des deux fibi*es.
Coüime les groupes algébriques sux' un corps de cax*ac- téristique nulle sont réduits par le tnéorèxne de Cartier
(£ll3), w est uu isomorpnisme sur ciiacune des deux fibres.
On en déduit que w est un isomorpnisme puisque G/H et sont de typf fini, (S.G.AoD VI B 2..6).
Utiliî.ant les propriétés du conoyau, on voit encore que \ est un isomorpnisme.
CHAPITRE III»
32^
Déformations des groupes unipotents commutatifs.
Dans ce cnapitre, nous étudions des déformations de groupes algébriques affines* connexes et géométriquement réduits (1), et nous demandons à la déformation d'être éga lement connexe et géométriquement réduite.
Ainsi* la donnée de déformation G —*- Spec A est un scnéma en groupes lisse à fibres connexes (2).
Evidemment, cette propriété de G n'est pas héré ditaire , ce qui nous amènera quand même à étudier certains A-scnémas en groupes à fibres non connexes, non lisses et meme non plats.
Nous savons déjà qu'une déformation d'un groupe unipotent est unipotente (II, 2, (or. X ),
Par ailleurs, il est clair que la donnée de déf<s?r mation est un scnéma en groupes commutatif dès que la fibre générique est commutative.
(1) Un k~groupe algébrique réduit est géométriquement réduit si le corps Je est parfait.
(2' Un morphisme lisse est un morphisme localement de pré sentation finie, plat, et régulier. (E-G.A IV 17,3.1, 17.5.2)
Ainsi, un scnéma en groupes df iSurtjr. !hrunea.a.
5.3
§
1.
Extension de sciiémas en groupe s et systèmes de facteurs,, p;roupes unipotents co[üiAUtat£?s sur _un_ corps par-
fait. ’ ~
Avant d'aborder le problème de la déformation des groupes unipotents, rappelons d'abord leur structure.
1
.
1.
Soit H un groupe algébrique unipotent co minutât if, connexe et réduit défini sur un corps parfait fc.
Si la caractéristique de k est nulle, le groupe H est isomorpüe à un produit de groupes additifs, et nous montrerons en fin de cnapitre que les déformations de ces groupes sont aussi simples qu'il le semble.
En caractéristique ^ i:. o, H est une extension multiple de groupes additifs, puisque toute forme de 6-^
sur un corps parfait est iaomorpüe à Ér*, (cf. S.G.AoD exp. XVII, 2,3; 3,5, voir aussi Cl7J, VII, 7)c
1.2. Extensions.
Supposons momentanément que le corps k est algé- briquement clos.
Lorsque L et F sont des k-groupes algébriques
commutatifs et réduits (c'est à dire des groupes algébriques au sens classique du terme), une extension de L par F est une suite exacte
E ; O -J— G -Jlo- L —* o,
où G est aussi un k-groupe algébrique commutatif réduit, où i fait de F un sous-groupe de G, et où p fait de L un quotient de G par F.
On appelle Ext (L,F) l'ensemble des classes d’’ex tensions de L par F, et la métnode de Baer munit cet ensem ble d'une structure de groupe (cf. Cl73, VII, 1).
Rappelons encore quelques notations.
Si U est un nomomorpiiisme de F dans un k-groupe algébrique F', on appelle uE (ou encore uG par abus de lan gage) l'unique extension de L par F“ telle qu'on aie un homorpiaisme u*^ de G dans ufr et que le diagramme
E o ■■■ F ....--- -»-L --- »o
i U. J It» Il
uE o--- >P'--- - uG---►L --- o soit com
'J s Par ailleurs, on peut aussi introduire le groupe
h‘*(L,F) des classes de systèmes de facteurs symétriques
sur L à valeurs dans F, un système de facteurs étant un morpiiisme de variétés f : L x L —» F, tels que, pour tous
K
points X, y, z’ de L à valeurs dans k, on aife : f(y,z) + f(x,y+z) » f(x,y) + f(x+y,z).
(Un système de facteurs f est dit équivalent à zéro s'il existe un morphisme de variété g de L dans F tel que
f(x,y) - g(x+y) ~ g(x) ~ g(y) ) (cf.
(173
VII, (4) XIV §4)„Lorsque L et F sont des groupes affines connexes ç, l'existence d'une section s ; LG (paS « 1^ ) donne un
isomorphisme H'^ (L^F)^—» .Ext (Ïj^F)
( Cl?) VII prop 4, prop 7)®
Supposons maintenant que F et L sont des scnémas en groupes commutatifs sur une base quelconque S.
Une suite exacte de S-schémas en groupes est une suite E o —• F -i-* G JL* L —0, où G est commutatif, où i et P sont des nomomorpnismes de S-scnémas en groupes, et où, pour tout préschéma T au dessus de S, la suite d'ho- momorphismes de groupes ;
o Hmg(T,F)-_^Hm^(T,G) — Ha^(T,L)
est exacte»
En particulier, si i est une immersion et si L représente le faisceau quotient (pour la topologie f»poq.c) de G ppr la relation d'équivalence définie par F, la suite E est exacte,, puisque le diagramme
F--- 1---*G
es‘; cartésien (st est le morphisme structural de F) (S.G.Aol) VI B 9o2)o
Léfinition
Une suite exacte o —♦F—►G—L—^o est une
extension de Hocnscnild de L par P si p admet une section
CoEuae pour- les groupr.T» algébi’j.ques ou les gx'oupas
abstraits, on peut définir un groupe sous-groupe
du deuxième groupe de de Hocnscnild de L à valeurs
dans i\ et on a le même résultat que pour les groupes algé briques connexes réduits.
iTopositioa 1. |
Soit F et L deux schémas en groupes coHUüutatifs définis sur S. L'ensemble des classes d'extensions de Hochschild de L par P est isomorpne au groupe H®‘(L,F)^c
(cf. fl53 exposé 6, 1.2)0
lo3 Groupes unipotents commutatifs de dimension deux sur un corps parfait de caractéristique p, \Ë)xt~Tb~a,. ,
Soit P le système de facteurs de b* à valeurs dans G«, défini par le polynôme P(y,y') « T
(à F correspond un nomomorphisme d'algèbre -»• icCy»y'1,
qui envoie z sur F(y,y') ).
Proposition 2. ( C17Jî prop 8, (10) lemme 3)
Les puissances p'*’"^ du système de facteurs F for ment une base du k-espace vectoriel H®’(Ggis,,jGdî,)go
Le groupe algébrique correspondant au système de facteurs F est le groupe additif W2 des vecteui’s de Witt de longueur 2 (voir aussi 0-63, II 6)»
Si w4. désigne l'anneau des endomorphismes de Ga, Lxt (Ga, Ga) est mupi d'une structure de cX-module à droits et à gaucne par les opérations fG, Gf.
Il en résulte que, pour tout groupe unipotent com mutatif (connexe et réduit) de dimension 2, il existe un endomorphisme # (respectivement 'î' ) de Ga, tel que G " ^ ^2 (respectivement G* V/2'l')o
fît le groupe G est isomorphe à Ga x Ga à condition que ^(ou >P) soit nul.
tftais nous utiliserons aussi une autre caractérisa tion du groupe G.
36 Si n est le plus petit entier positif tel que P*" « O, on dit que G est un gi’oupe de période o
(On a évidemment : n4dim G).
On sait aussi qu'un groupe unipotent commutatif de
période p est isomorpJae à un produit de groupes Ga ( 0-7J
VII prop 11).
Revenons!; aux groupes G de dimension 2 et de pério»- de P* (G connexe réduit).
Désignons par I l'image do G par p et par N le noyau de p.
Puisque p* » o, I est contenu da^s N, et l'immer sion ferméé M --«» G induit une immersion fermée
N/I-^G/I - Ga, Proposition 3.
Le sous-groupe N/I de G/I » Ga caractérise le grou pe G de période p^ j <■ oyn^o»€K\t\rt loca.lt tlt ^//x
Réciproquement, à tout sous-groupe fini de Ga dont la composante locale est non nulle correspond xin grou pe unipotent, commutatif (connexe et réduit) de dimension 2 et de période p^ .
Un sous-groupe algébrique F de Ga défini sur un corps parfait correspond à un idéal ( 7. a.xK' ) de kfxl,
l'algèbre affine de Ga. ^
Si r est le plus petit i tel que a^ soit non nul, l'idéal (x*^^ ) définit un sous-groupe de F, la composante locale de F. encore appelée .
Rappelons aussi que est le sous-groupe cor
respondant à l'idéal ^ bj^x^"^ , où = a^, et que F est
isomorphe au produit I*2.oc ^ ^red’
(cfo S.G.A.D XVII prop 1.5« et fljj proposition 6,3) <> Dès lors, soit f «Za-F^* le système de facteurs
t p
non nul corresponûant au groupe G de période p , Si kCx,y} est l'algèbre affine G, on a ;
1 (S> X
1 * TC H)
pondant à p
jc(x) X a 1
K (y) - yc2>l + lOy + ^ <‘>'1 ( X x
‘ ^ 4 (p-î)j(.
Désignons par |# 1'^homomorphisme d'algèores corres à p, on a donc ; |s (x) » o
f (y) Z a. xi*
t
37 Le groupe I est défini par 1^'idéal (x), et le
groupe fn par l'idéal y) *= ( ■^ «i ~ ^ yl ^
Le groupe h/l correspond donc à l'idéal )
de k^xl, et sa composante locale est non nulle. *'
Lorsqu'on se donne un sous-groupe du groupe addi tif, les coéficiqnts a^ ne sont pas entièrement déterminés; lorsqu'on a fait cnoix de x, ils sont dé,terminés à un fac
teur près, et l'image do l'idéal (:&«,;x ) par
l'auto-morpnisme x —► bx du groupe addit‘if est l'idéal (
? a« lo ^ ) C "*0)
Ainsi, la démonstration sera acnevée lorsqu.'on
aura constaté que deux systèmes de facteizrs f ,
f définissent des groupes isomorpnes (isomorpnes
4
en tant que groupes, non en tant qu'extensions) à condition qu'il existe des éléments b,e non nuis dans te, tels que a^ » be»»***
^Et ceci provient du fait qu'un groupe G de période P** peut être considéré comme extension de G/I par I (I est
aussi isomorpne à Ga), et qu'un automorpnisme de G induit un automorphisme des groupes additifs I et G/I.
Remarque
Si G est un groupe unipotent commutatif de péi^iode , correspondant au système de facteiirs no.n nul "f P
on a G » , où est l'isogénie du ^groupe Ga.
Si y est l'isogénie de Ga, de noyau R/I, on a donc y=
ou fr désigne l'homomorpnisme de Frobenius xl* T
4
Parallèlement, on a trs: w» où 'î est 1
et on a encore la relation "y ■=.
isogénie
^ 2o A propos des igagea et des noyaux«
i-'uisque 1 *jaomoniorpiiisme "iculoiplication par
dorme des invariants pour la structure d'un groupe unipo- tent com..*utatif, nous l'utiliserons pour étudier les défor- üiations de ces groupes.
2ol JNoyaux.
Soit un jaoîaoaiox'pùisme de scuéuias en groxipes
affines sur un anneau A : ; G —s» H.
Le noyau de a se définit par le carré cartésien G —ï---- -H
II]--- - SpecA
Coiame est une immersion fermée, il en est de meme pour i.
D'autre part, cette définition du noyau monti*e qu'il est stable par cnangement de base (cf. fi,G.A I 5ao, 3»5.11).
Cependant, meme si G et H sont plats sur il peut arriver que M ne le soit pas.
Lorsque A est un anneau de valuation discrète’, on considère alors le plus grand sous-groupe fermé et plat de JM, soit L‘’o
Jj" immersion fermée JM't—r K donne encoré^ une immer
sion^ fermée au-dessus du point fermé de SpecA.
Comme les fibres et Wg- sont égales, ceci montre
que le noyau grossit après déformation (I^ ^ , y r• ) ••
Rappelons encore le fait suivant.
2.2 Iniap:e ferniée
O Avec les notations du numéro précédent, 1 Minage fexvnée 1 de G par 1 ®nomoiiiorpuisaie est le sous-groupe fermé de H défini par IMdéal <ery .
Comme (P est un iiomomorpùisme, Icer/y est IMdéal
d'un sous-group4 de H, ^
On a donc c f B , où i est injectif o
\ A
Pour que 1 Mmage fermée soit conservée x^ar cnangement de base A -—»= A', il faut (et il suffit) que i ® 1 : C/ker<p ffi A* —» B A' soit encore injectif.
De tout cela, on tire les propositions suivantes jt^oposition 4.
LMmage fermée est conservée par les ctiangements ne base plats.
jg-oposition 3°
Si A est principal, et si G est A-plat, 1Mmage fermée de G par est plate.
Si G satisfait les conditions de sépai-ation, il en est de même pour 1 Mmage fermée I de G.
Supposons maintenant que A est un anneau de vaiua tion discrète, de corps résiduel k et
Ainsi, l'image fermée 1“ de G^. par est conte nue dans If. sous-groupe de
Ct;oi montre que l’image fermée diminue après défor-mation.
---■■■■' --- 5, I
Propos».tien 6»
ioit A un axmeau de valuation discrète, de corps résiduel i. L*imaf;e fermée I de G par y est conservée par le changement de base k-r ic (c“est à dire * I') si et
seulemer ; si ^ est saturée dans B. ^
(on a identifié ^ à une sous-algèbre de B par i).
En effet, « I ' signifie que l‘api^lication ij^ est i/ijective.
Remarque.
iSignalona encore que l'image fermée d'un schéma en groupes connexe (respectivement réduit) est un senéma en groupes connexe (respectivement réduit)»
Corollaire 1 »
Soit if un homomorphisme de A-schémas affines en sroupo de type rini G —► H; <f se factorise en G-^I<-*H,
1 désignant l'image fermée de G par (jp » »
Lorsque A est un anneau de valuation discrète complet, de co;'ps résiduel ic et que, G est xin A-groupe
plat satisfaisant la condition de séparation, dont la fibre générique est, soit unipotente, soit connexe réduite, les conditions suivantes sont équivalentes :
(1) ^ est fidèlement plat quasi-compact.
(2) Le k-groupe est l'image fermée de par 1 •homomorphisme
C’est une conséquence directe de la proposition 6
Si 3o
^i<L Déformations des k-groupes iinipotents commutatifs
de dimension n et de période p^. (k parfait ,c<v% k,s^)
5ola Dans ce para^rapiie, G sera un scnéma en groupes affine»
Tisse et de type fini sur un anneau de valuation ctis-
crète complet A O Jnous supposons que G satisfait la
condition oe séparation^ que ses fibres sont connexes et que la fibre générique est un groupe uni pote nt commutatif de dimension n et de période p^.
G est donc aussi commutatif et le morpJaisme p (mul tiplication par p) est un ùomomorpiiisme.
Désignons par Jr l'image fermée de G par l'nomo-morpnisme p^, ^ ^ ' Jr « im p .t • r
Nous obtenons ainsi une suite de sous-scnémas en groupes fermés et plats de G (2, propo5) :
et les fibres de Jr sont de dimension n-r, puisque Gj^ et G sont de période p^o La platitude de Jr nous permet l'abus de langage : dim Jr » n-r.
JfJous aimerions savoir sous quelles conditions les scnémas en groupes G/Jr sont affineso
Lemme 1»
Soit H un scbéma en groupes affine, plat, à fibres connexes réduites, défini sur un anneau de valuation discrè te A, et satisfaisant la condition de séparation.
Si la fibre générique est isomorpüe au groupe additif Ga,K , H est lui-même isomorpüe au groupe additif Ga,^. (üin particulier, G est de type fini).
Soient C l'algèbre affine de H, » Kfxl l'algèbre
affine de Soit ov une uniformisante de A, l'idéal «t C
est premier.
Tout élément x de C pst un polynôme en x à coef ficients dans fC ; z « 2: j.. x'
On a : , '
fc(z) « 6 A,
a
C.tioisissous un élément a de K tel que ax soit maximal dans G, et écrivons
Z « ax Z “.
tSl Z* n'était pas dans G, il existerait un entier s>£> tel que «.*z* soit maximal dans G, et-»n aurait
o(®z « ax. c(* z' 4 * G, ax c(*z' 4 G,
ce qui contredit 1'dypotnèse : dC est premier.
. Par induction sur le degré, on a donc, V i.
, et on a G » AÇaxjc:
Proposition
7
Si les ic-groupes Jr,^ sont connexes réduits pour O i r4 s , le scdéma en groupes G/Js est affine.
En particulier, le scnéma en groupes G/J» est isomorpde à Ga.
a) Examinons d'abord le cas de G/J:’, .
Gomme G^ est extension multiple de groupes addi tifs, son algèbre affine est un anneau de polynômes
KCx^... » (pour fixer les idées, j<(x^) ^ x^ ® 1 +
i ® X. modulr l'idéal engendré par les x.^js , "'(x^) * o).
Gomme G^ est de période p^, le K-groupe
H»
e=5C un groupe unipotent, connexe réduit de dimension 1, ±1 est isomorpne au groupe additif et son algèbre affine
est la sous-algèbre KCx^^} de B^,
Soit B l'algèbre affine de G.
Pour montrer que ü/J]^ est affine, il faut montrer que ]a sous-algèbre B' » B’^^n B est de type fini (II, cor.3)O
Pi;.o.Bque la fibre spéciale G^^ est connexe réduite, l'idéal s4 B de B est premier, ainsi que l'idéal «B' » B'ri B de B'. (B' est saturée)»
Par le'tûéorème 6 (II, §3), B' est une bialgèbre. et B’ est de type fini par le lemme 1,
2 » X g O-,
écrivons encore f J X «*. i
(ax)^ est maximal, donc
(ax)^ jk
