Liste d’exercices N°2

Université Bordeaux L2/2015 Topologie des espaces topologiques

Liste d’exercices N°2

Exercice 1

Déterminer lesquelles des applications suivantes de R×Rdans R définissent des distances sur R.

1. d₁(x, y) =x−y;

2. d₂(x, y) =|x−y|;

3. d₃(x, y) =|x²−y²|;

4. d4(x, y) =|x³−y³|;

5. d₅(x, y) = ¹₂ si x6=y, et 0 si x=y;

6. d₆(x, y) =|x−2|+|2−y| si x6=y, et 0 si x=y.

Exercice 2

Soit d une distance sur un ensemble X. On rappelle que la boule ouverte de centre x ∈ X et de rayon r >0est définie par B(x, r) ={y∈X :d(x, y)< r}.

1. Décrire les boules ouvertes de rayon ¹₃ et de rayon 2 autour de 1 pour d₂, d₅, et d₆ (voir exercice 1).

2. Déterminer si les ensembles]0,1],]0,3],{2},{3}et[2,∞[sont ouverts et/ou fermés pour ces distances.

Exercice 3

Soit (E, d) un espace métrique et soitϕ : R⁺→R⁺ une application vérifiant : ϕ(x) = 0 ⇐⇒ x= 0 et pout tous x, y ∈R⁺, ϕ(x+y)≤ϕ(x) +ϕ(y).

1. Montrer que l’applicationδ: E×E →R⁺définie parδ(x, y) = ϕ((d(x, y))est une distance surE.

2. Application :

ϕ(x) = inf(1, x); ϕ(x) = ln(1 +x); ϕ(x) = x 1 +x.

Exercice 4

Soit X un ensemble et soit d : X×X →R⁺ une application.

1. On suppose que dest définie pard(x, y) = 0six=yetd(x, y) = 1sinon. Prouver quedest une distance sur X. Décrire les parties ouvertes et les parties fermées de l’espace métrique (X, d).

2. On suppose que X =]0, +∞[. On suppose que d est définie par d(x, y) =|ln(^x_y)|. Prouver que d est une distance sur X et déterminer les boules ouvertes B(x, r), x ∈ X et r > 0.

Que peut-on dire de la topologie définie par d?

Exercice 5

SoitN une norme surRⁿ.Pourx= (x₁, . . . , x_n),y= (y₁, . . . , y_n)∈Rⁿ,on définit l’application d surRⁿ×Rⁿ par

d(x, y) =N(x−y).

1

1. Vérifier que d est une distance sur Rⁿ, (appelée distance associée àN).

2. On définit les applications N₁, N₂ etN_∞ sur Rⁿ par :

N₁((x₁, . . . , x_n)) =

n

X

i=1

|x_i|, N₂((x₁, . . . , x_n)) = v u u t

n

X

i=1

|x_i|²,

N_∞((x₁, . . . , x_n)) = max

1≤i≤n|x_i|.

Montrer queN₁, N₂ et N∞ sont des normes équivalentes sur Rⁿ. On note d₁, d₂ et d∞ les distances respectivement associées àN1, N2 etN∞.Que peut-on dire des topologies définies respectivement par d₁, d₂ etd∞?

3. On suppose que n = 2. On noteO = (0,0) l’origine du plan R².Dessiner pourd₁, d₂ etd∞

la boule de rayon 1 et de centre O = (0,0). On définitδ sur R² par :

δ(P, Q) =

d₂(P, Q) si O, P, Q sont align´es d₂(P, O) +d₂(O, Q) sinon .

Montrer que δ est une distance sur R² et dessiner pour δ la boule de rayon 1 et de centre O = (0,0).

Exercice 6

Soit C[0,1] l’ensemble des applications continues de [0,1] dans R. Montrer que d(f, g) = sup_x∈[0,1]|f(x)−g(x)| définit une distance sur C[0,1]. Déterminer pour quel r la fonction f(x) = 2x+ ¹₂ est un élément de la boule ouverte de rayon r autour de la fonction g(x) = x². Est-ce que l’ensemble {f ∈ C[0,1] : ¹₂ < f(x)< 1} est ouvert dans la topologie déterminée par la distance ? Même questions pour la distance d₂(f, g) =´₁

0 |f(x)−g(x)|dx.

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