I Sommation des relations de comparaison

et l’intégration

I Sommation des relations de comparaison

I.1 Cas de convergence (résultats sur les restes)

Proposition Soit (zn) une suite de nombres complexes, (bn) une suite de nombres réels positifs.

1. On suppose quez_n=O(b_n), et queX

b_nconverge. Alors Pz_nconverge (absolument). Et, si on noter_n=

+∞X

p=n+1

z_p et ρn=

+∞X

p=n+1

b_p, on a

r_n=O(ρn) 2. On suppose quez_n=o(b_n), et queX

b_nconverge. Alors

Pz_nconverge (absolument). Et, avec les mêmes notations que pré- cédemment,

r_n=o(ρn)

Proposition Soit (a_n) et (b_n) deux suites de nombres réels positifs. On suppose quea_n∼b_n, et queX

b_nconverge. AlorsP

a_nconverge.

Et, notantr_n=

+∞X

p=n+1

a_p etρn=

+∞X

p=n+1

b_p, on a r_n∼ρn

Démonstrations :

1.(avec O) On sait déjà que, par comparaison à une série à termes réels positifs, Pz_nconverge absolument.

Il existen₀etMtels que

∀n≥n₀ |zn| ≤M b_n

Alors, sin≥n₀−1, on a par inégalité trinagulaire :

∀p≥n+1

¯

¯

¯

¯

¯

p

X

k=n+1

z_k

¯

¯

¯

¯

¯

≤ M

p

X

k=n+1

b_k

et donc, prenant les limites quandp→ +∞,

|r_n| ≤Mρn

On conclut bien quer_n=O(ρn).

2.(avec o) Pour tout²>0, il existen0tel que

∀n≥n₀ |z_n| ≤²b_n

On a alors, avec les mêmes calculs que ci-dessus,

∀n≥n₀ |r_n| ≤²ρn

ce qui conclut. . .

3.(avec∼) On aan−bn=o(bn), donc|an−bn| =o(bn). On en déduit, par le2.,

+∞X

k=n+1

|a_k−b_k| = o

n→+∞(ρn) et donc a fortiori

+∞X

k=n+1

(a_k−b_k) = o

n→+∞(ρn) d’oùr_n−ρn=o(ρn) ce qui signifie bien quer_n∼ρn.

I.2 Cas de divergence (résultat sur les sommes partielles)

Proposition Soit (z_n) une suite de nombres complexes, (b_n) une suite de nombres réels positifs.

1. On suppose quezn =O (bn), et queX

bn diverge. Alors, si on note s_n=

n

X

p=0

z_p etσn=

n

X

p=0

b_p, on a

s_n=O(σn) 2. On suppose que zn=o(bn), et queX

bn diverge. Alors, si on note sn=

Xn p=0

zp etσn= Xn p=0

bp, on a

s_n=o(σn)

Proposition : Soit (a_n) et (b_n) deux suites de nombres réels positifs. On note s_n=

n

X

p=0

a_p, σn =

n

X

p=0

b_p. On suppose quea_n∼b_n, et queX

b_n diverge.

Alorssn∼σn

Démonstrations

On remarque que dans la première proposition, on ne peut pas dire si P z_n converge ou diverge. Mais siP

z_nconverge, le résultat est peu intéressant. Dans la deuxième proposition, en revanche, on a nécessairement divergence deP

a_n. 1.(avec O) Soitn₀etM tels que

∀n≥n₀ |z_n| ≤M b_n

Si on supposen≥n₀, on a donc

|s_n| = |s_n0−1+

n

X

k=n0

z_k|

≤ |s_n0−1| +M

n

X

k=n0

b_k (inégalité triangulaire)

= |sn0−1| +M(σn−σn0−1)

=Mσn+ |s_n0−1| −Mσn0−1

et il faut alors remarquer, pour conclure, que l’hypothèse implique σn−−−−−→

n→+∞ +∞

Et donc il existen₁tel que

∀n≥n₁ s_n0−1−Mσn0−1≤σn

ce qui permet d’écrire

∀n≥max(n₀,n₁) s_n≤(M+1)σn

et donc de conclure.

2.Soit²>0 ; il existen₀tel que

∀n≥n₀ |z_n| ≤² 2b_n

On reprend le calcul ci-dessus, on montre alors de manière tout-à-fait analogue qu’il existe un rangn₁tel que

∀n≥max(n₀,n₁) |sn| ≤(² 2+²

2)σn

ce qui conclut.

3.On passe para_n−b_n=o(bn), donc|a_n−b_n| =o(bn), etc. . .

I.3 Remarque sur le théorème de Césaro

1. Soit (u_n) une suite à termes réels positifs qui converge vers une limite`.

On suppose`>0. On peut alors écrireu<sub>n</sub>∼`. Quel résultat peut-on ap- pliquer sur les sommations de relations de comparaison ? qu’en déduit- on sur la suite (v_n) définie par

vn=u1+ · · · +un

n ?

2. Soit (u_n) une suite à termes réels positifs qui converge vers 0. On peut alors écrire u_n =o(1). Quel résultat peut-on appliquer sur les somma- tions de relations de comparaison ? qu’en déduit-on sur la suite (v_n) dé- finie par

v_n=u₁+ · · · +un

n ?

3. Soit (un) une suite à termes dans un espace vectoriel norméEde dimen- sion finie, convergeant vers`. Utiliser le résultat précédent pour montrer que la suite de terme général

v_n=u₁+ · · · +u_n n converge aussi vers`.

II Intégration des relations de comparaison : cas par- ticulier

On fera attention à bien remarquer l’analogie avec les résultats sur les séries, de manière à mémoriser ces résultats facilement. Ce cas particulier (intégrales posant problème en+∞) est celui qui est rencontré le plus fréquemment.

II.1 Cas d’intégrabilité

Proposition Soit f, φ continues par morceaux sur [a,+∞[ (a ∈R) ; on sup- pose f à valeurs complexes, etφ à valeursréelles positives, intégrable sur [a,+∞[. Alors

1. sif(x)= O

x→+∞

¡φ(x)¢ , alors

Z _+∞

x

f(t)d t= O

x→+∞

³Z _+∞

x φ(t)d t´ . 2. sif(x)= o

x→+∞

¡φ(x)¢ , alors

Z _+∞

x

f(t)d t= o

x→+∞

³Z _+∞

x φ(t)d t´ . 3. On suppose ici f à valeurs réelles positives ; sif(x) ∼

x→+∞φ(x), alors Z _+∞

x

f(t)d t ∼

x→+∞

Z _+∞

x φ(t)d t.

Remarquons que les trois hypothèses impliquent bien l’intégrabilité de f par comparaison à une fonction (φ) positive intégrable.

Démonstration :Montrons le2., pas plus difficile que le1.: Soit²>0. Il existe, et on fixe,A>atel que

∀t≥A |f(t)| ≤²φ(t) Soitx≥A; on a

∀y≥x

¯

¯

¯

¯ Z _y

x

f(t)dt

¯

¯

¯

¯≤ Z _y

x |f(t)|dt≤² Z _y

x φ(t)dt

Comme f etφsont intégrables, on peut prendre les limites quand y→ +∞et

obtenir ¯

¯

¯

¯ Z _+∞

x

f(t)dt

¯

¯

¯

¯≤² Z _+∞

x φ(t)dt On a donc montré

∀²>0 ∃A∈R x≥A =⇒

¯

¯

¯

¯ Z _+∞

x

f(t)dt

¯

¯

¯

¯≤² Z _+∞

x φ(t)dt

ce qui exprime bien que Z _+∞

x

f(t)d t= o

x→+∞

³Z _+∞

x φ(t)d t´ . Le2.implique le3.par l’écriture

g(x) ∼

x→+∞h(x) ⇐⇒ g(x)−h(x)= o

x→+∞(h(x))

II.2 Cas de non intégrabilité

Proposition Soitf,φcontinues par morceaux sur [a,+∞[ (a∈R) ; on suppose f à valeurs complexes, etφà valeursréelles positives, non intégrable sur [a,+∞[. Alors

1. sif(x)= O

x→+∞

¡φ(x)¢ , alors

Z x a

f(t)d t= O

x→+∞

³Z x

a φ(t)d t´ . 2. sif(x)= o

x→+∞

¡φ(x)¢ , alors

Z _x

a

f(t)d t= o

x→+∞

³Z _x

a φ(t)d t´ . 3. On suppose ici f à valeurs réelles positives ; sif(x) ∼

x→+∞φ(x), alors Z x

a

f(t)d t ∼

x→+∞

Z x

a φ(t)d t.

Remarquons que la troisième hypothèse implique la non intégrabilité de f par comparaison à une fonction (φ) positive non intégrable. Sous les deux pre- mières hypothèses, on ne peut rien dire, mais si f est intégrable le résultat est peu intéressant.

Démonstration :Montrons encore le2., c’est le plus technique : Soit²>0. Il existe, et on fixe,A>atel que

∀t≥A |f(t)| ≤² 2φ(t) Soitx≥A; on a

¯

¯

¯

¯ Z x

a

f(t)dt

¯

¯

¯

¯≤ Z A

a |f(t)|dt+ Z x

A |f(t)|dt

≤ Z _A

a |f(t)|dt+² 2

Z _x

A φ(t)dt

≤k+² 2

Z _x

a φ(t)dt oùkest une constante,k=

Z _A

a |f(t)|dt−² 2

Z _A

a φ(t)dt. Mais commeφest posi- tive et non intégrable, on a

Z x

a φ(t)dt−−−−−→

x→+∞ +∞

donc il existeB tel que

∀x≥B k≤² 2

Z x

a φ(t)dt et par conséquent

∀x≥max(A,B)

¯

¯

¯

¯ Z _x

a

f(t)dt

¯

¯

¯

¯≤² Z _x

a φ(t)dt ce qui conclut bien.

III Intégration des relations de comparaison (résul- tats généraux)

Si on a bien compris le résultat précédent, on doit pouvoir trouver assez naturel ce qui suit : en quelque sorte, on remplace+∞par n’importe quel réel ou−∞.

III.1 Cas d’intégrabilité (intégrales absolument convergentes)

Proposition Soit f,φcontinues par morceaux sur ]a,b[ ;a<b,a∈R∪{−∞}, b ∈ R∪{+∞} ; on suppose φ à valeurs réelles positives, intégrable sur ]a,b[, et f à valeurs réelles ou complexes, intégrable sur ]a,b[.

1. sif(x)= O

x→b

¡φ(x)¢ , alors

Z _b

x

f(t)d t= O

x→b

³Z _b

x φ(t)d t´ . 2. sif(x)= o

x→b

¡φ(x)¢ , alors

Z _b

x

f(t)d t= o

x→b

³Z _b

x φ(t)d t´ . 3. sif est à valeurs réelles positives et si f(x) ∼

x→bφ(x), alors Z _b

x

f(t)d t ∼

x→b

Z _b

x φ(t)d t. Mais aussi bien :

1. sif(x)= O

x→a

¡φ(x)¢ , alors

Z _x

a

f(t)d t = O

x→a

³Z _x

a φ(t)d t´ . 2. sif(x)= o

x→a

¡φ(x)¢ , alors

Z _x

a

f(t)d t = o

x→a

³Z _x

a φ(t)d t´ . 3. sif est à valeurs réelles positives et si f(x) ∼

x→aφ(x), alors Z x

a

f(t)d t ∼

x→a

Z x

a φ(t)d t.

III.2 Cas de non intégrabilité

Proposition On suppose f etφcontinues par morceaux sur [a,b[ a <b, a∈ R,b∈R∪{+∞},φà valeurs réelles positives,φnon intégrable sur [a,b[

(attention ! ici, c’est enbqu’est le problème, pas ena). Alors : 1. sif(x)= O

x→b

¡φ(x)¢ , alors

Z x a

f(t)d t= O

x→b

³Z x

a φ(t)d t´ . 2. sif(x)= o

x→b

¡φ(x)¢ , alors

Z x a

f(t)d t= o

x→b

³Z x

a φ(t)d t´ . 3. sif est à valeurs réelles positives et si f(x) ∼

x→bφ(x), alors Z x

a

f(t)d t ∼

x→b

Z x

a φ(t)d t.

Proposition bis On suppose f etφ continues par morceaux sur ]a,b] a <b, a ∈R∪{−∞}, b ∈R, φ à valeurs réelles positives, φ non intégrable sur ]a,b]. Alors on a des résultats analogues en remplaçantRx

a au voisinage debparRb

x au voisinage dea.

Table des matières

I Sommation des relations de comparaison 1

I.1 Cas de convergence (résultats sur les restes) . . . 1 I.2 Cas de divergence (résultat sur les sommes partielles) . . . 3 I.3 Remarque sur le théorème de Césaro . . . 4 II Intégration des relations de comparaison : cas particulier 6 II.1 Cas d’intégrabilité . . . 6 II.2 Cas de non intégrabilité . . . 7 III Intégration des relations de comparaison (résultats généraux) 8 III.1 Cas d’intégrabilité (intégrales absolument convergentes) . . . 8 III.2 Cas de non intégrabilité . . . 9