Chapitre 8
Suites : Relations de comparaison
I - Négligeabilité I.1 - Dénition
Définition 1 (Négligeable).
La suite u est négligeable par rapport à la suite v, noté un =o(vn), s'il existe une suite ε de limite nulle telle qu'à partir d'un certain rang, un=εnvn.
Propriété 1.
On suppose quevne s'annule pas à partir d'un certain rang. Alors,un=o(vn)si et seulement si lim
n→∞
un
vn = 0.
Exercice 1.Montrer que
1. ln(n) =o(n). 2.n=o((n+ 1)2). 3. en=o(e2n).
I.2 - Propriétés Propriété 2 (o& Limite).
un=o(1)si et seulement si lim
n→∞un= 0. Propriété 3 (o& Opérations).
Soientu, v, w trois suites.
(i). Si un=o(vn) etvn=o(wn), alors un=o(wn). (ii). Si un=o(wn) etvn=o(wn), alors un+vn=o(wn). (iii). Si un=o(vn), alors unwn=o(vnwn).
Exercice 2.Pour tout entier natureln non nul, on note Hn =
n
P
k=1 1
k. On rappelle qu'il existe un réel γ tel que lim
n→+∞(Hn−lnn) =γ. Montrer que
2n
X
k=1
(−1)k
k =−ln 2 +o(1).
En déduire la limite de la suite de terme général Pn
k=1
(−1)k+1 k . Propriété 4 (Exemples Classiques).
Soientα, β ∈Reta, b∈R?+. (i). Si α < β, alors nα =o(nβ). (ii). Si a < b, alors an=o(bn). (iii). Si α >0, alors (lnn)β =o(nα).
(iv). Sia >1, alors nα=o(an). (v). an=o(n!).
II - Équivalence II.1 - Dénition Définition 2 (Équivalent).
La suite u est équivalente à la suite v, noté un ∼ vn, s'il existe une suite η de limite 1 telle qu'à partir d'un certain rang, un=ηnvn.
Stanislas A. Camanes
Chapitre 8. Suites : Relations de comparaison MPSI 1
Propriété 5.
On suppose quevne s'annule pas à partir d'un certain rang. Alors,un∼vnsi et seulement si
n→∞lim un vn
= 1.
Exercice 3.Montrer que
1. n+ 1∼n. 2.ln(1 +n1)∼ 1n. 3. sin1n ∼ 1n. II.2 - Propriétés
Propriété 6 (Relation d’équivalence).
La relation ∼est une relation d'équivalence.
Propriété 7 (∼et Limite).
(i). Soit`∈K?. La suite uconverge vers`∈K? si et seulement siun∼`.
(ii). Soientu, v deux suites telles queun∼vn. Alors, soituetvdivergent, soit elles tendent vers une même limite.
Exercice 4.Soientu, v deux suites convergeant vers un réel`. 1. Montrer que, si`6= 0, alors un∼vn.
2. Montrer que ce résultat ne subsiste pas lorsque`= 0. Propriété 8 (∼& Opérations).
Soientu, v, w, t quatre suites etλ∈K?. (i). Si un∼vn, alors λun∼λvn.
(ii). Si un∼vnetwn∼tn, alors unwn∼vntn et wunn ∼ vtn
n.
(iii). Soienta∈Retu, v des suites à termes strictement positifs. Siun∼vn, alors uan∼vna. Exercice 5.Soitx∈R. Déterminer un équivalent de 1 +xn
n∈N? puis de 1 +xnn
n∈N?. Propriété 9.
Siun∼vn, alors, à partir d'un certain rang,u etv sont de même signe.
Propriété 10 (Équivalent eto). Soientu, v, w, t quatre suites.
(i). Si pour tout entier natureln,un=vn+wn etwn=o(vn), alors un∼vn. (ii). Si un=o(vn), wn∼vnettn∼un, alors tn=o(wn).
(iii). un∼vnsi et seulement si un−vn=o(vn). Propriété 11 (Exemples Classiques).
Soit uune suite de limite nulle et α∈R.
(i). Logarithme, Exponentielle, Puissances
ln(1 +un)∼un, eun−1∼un, (1 +un)α−1∼αun. (ii). Trigonométrie circulaire
cos(un)−1∼ −u2n
2 , sin(un)∼un, tan(un)∼un. (iii). Trigonométrie circulaire réciproque
arccos(un)−π
2 ∼ −un, arcsin(un)∼un, arctan(un)∼un.
Stanislas A. Camanes
Chapitre 8. Suites : Relations de comparaison MPSI 1
(iv). Trigonométrie hyperbolique
cosh(un)−1∼ u2n
2 , sinh(un)∼un, tanh(un)∼un.
Exercice 6. (Attention)
1. Soitu= (n3+ 2n)n∈N etv= (n3)n∈N. Comparer u etv puis étudier u−v. 2. Soitu= (n)n∈N etv= (n+ 1)n∈N. Comparer u etv puis(eun)n∈Net(evn)n∈N. 3. Soitu= 1 + 2n
n∈N? etv= 1 + n1
n∈N?. Comparer u etv puis(lnun)n∈N? et(lnvn)n∈N?
Exercice 7.Déterminer un équivalent de la suite de terme généralnsinq
1 +n3 −1 . Théorème 1 (Formule deStirling).
n!∼√
2πnn e
n
.
Exercice 8. (Nombres deCatalan)Pour tout entier naturel n, le nombre de Catalan d'ordrenest l'entier Cn= n+11 2nn
. Déterminer un équivalent de(Cn)lorsque ntend vers +∞. III - Domination
III.1 - Dénition Définition 3 (Domination).
La suiteuest dominée par la suitev, noté un=O(vn), s'il existe une suiteδ bornée telle qu'à partir d'un certain rang,un=δnvn.
Propriété 12.
On suppose que v ne s'annule pas à partir d'un certain rang n0. Alors, un = O(vn) si et seulement si
un vn
n>n0
est bornée.
Exercice 9.Montrer que 1. ln(n) =O(n).
2. On dénit, pour tout entier natureln,u2n= 2netu2n+1= 3n. Montrer queun=O(n). III.2 - Propriétés
Propriété 13 (O& Bornée).
un=O(1)si et seulement si(un)est bornée.
Propriété 14 (O& Opérations). Soientu, v, w trois suites.
(i). Si un=O(vn) etvn=O(wn), alors un=O(wn).
(ii). Si un=O(wn) etvn=O(wn), alors un+vn=O(wn). (iii). Si un=O(vn), alors unwn=O(vnwn).
Propriété 15 (o, ∼, O).
(i). Si un=o(vn), alors un=O(vn). (ii). Si un∼vn, alors un=O(vn).
Stanislas A. Camanes
