Stanislas
T.D. 9
Relations de comparaison
Développements asymptotiques MPSI 1
2015/2016
Exercice 1.Soitf la fonction dénie pour toutx∈R?+ parf(x) =x−lnx. 1. Montrer que pour toutn∈N?, il existe un uniqueun∈]0,1]tel que f(un) =n.
Nous allons dans les questions suivantes établir un développement asymptotique de la suiteu. 2. Montrer queu est strictement décroissante et converge vers0.
3. Montrer queun∼e−n.
4. En déduire queun=e−n+e−2n+o(e−2n).
Exercice 2.Pour tout entier strictement positif n, on note an la plus grande solution réelle de l'équationx2n−2nx+ 1 = 0.
1. Montrer que pour toutn∈N?,an∈[1,2[. 2. Montrer quelnan∼ ln2nn.
3. En notantan= 1 +εn, montrer quean= 1 +ln2nn+o lnnn .
Exercice 3.
1. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, l'équation |xsin(x)|= 1 admet une unique solution dans l'intervalle
nπ, nπ+π2
. Cette solution sera notéexn. 2. Montrer quexn∼nπ.
3. Montrer quexn−nπ∼ nπ1 .
Stanislas A. Camanes
