Binôme de Newton

Développement du binôme

de Newton

Exercices

1. Développer les expressions suivantes: (a) (x + y)7 (b) (x − y)7 (c) (a + 1)6 (d) (a − 2)5 (e) (2x + 3)5 (f) (2x − 3)5 (g) (3a + 2b)4 (h) (3a − 2b)6

2. Quel est le coefficient de (a) x6_y2 _{dans (x + y)}8 ? (b) x3_y7 _{dans (x − y)}10 ? (c) x6_y7 _{dans (2x + y)}13 ?

Solutions

(c) (a + 1)6= 6 P p=0 C₆pa6−p₁p₌ P6 p=0 C₆pa6−p

= a6_{+ 6a}5_{+ 15a}4_{+ 20a}3_{+ 15a}2_{+ 6a + 1}

(d) (a − 2)5= 5 P p=0 C₅pa5−p₍₋₂₎p = a5_{+ 5a}4_{(−2) + 10a}3₍₋₂₎2 + 10a2₍₋₂₎3 + 5a (−2)4+ (−2)5 = a5_{− 10a}4_{+ 40a}3_{− 80a}2_{+ 80a − 32}

(e) (2x + 3)5= P5 p=0 C₅p(2x)5−p3p = (2x)5+ 5 (2x)43 + 10 (2x)332+ 10 (2x)233+ 5 (2x) 34+ 35 = 32x5_{+ 240x}4_{+ 720x}3_{+ 1080x}2_{+ 810x + 243} (f) (2x − 3)5= 5 P p=0 C5 p(2x) 4−p₍₋₃₎p = 32x5_{− 240x}4_{+ 720x}3_{− 1080x}2_{+ 810x}2_{− 243} (g) (3a + 2b)4= 4 P p=0 C_p4(3a)4−p(2b)p

= (3a)4+ 4 (3a)32b + 6 (3a)2(2b)2+ 4 (3a) (2b)3+ (2b)4 = 81a4_{+ 216a}3_{b + 216a}2_b2_{+ 96ab}3_{+ 16b}4

(h) (3a − 2b)6= 6 P p=0 C6 p(3a) 6−p_(−2b)p

= (3a)6+6 (3a)5_{(−2b)+15 (3a)}4_(−2b)2+20 (3a)3_(−2b)3+15 (3a)2_(−2b)4+ 6 (3a) (−2b)5+ (−2b)6

= 729a6_{− 2916a}5_{b + 4860a}4_b2_{− 4320a}3_b3_{+ 2160a}2_b4_{− 576ab}5_{+ 64b}6

2. (a) (x + y)8= 8 P p=0 C₈px8−pyp Le coefficient de x6_y2 _{vaut C}2 8= 8 · 7₂ = 28 (b) (x − y)10= 10 P p=0 C₁₀p x10−p_(−y)p Le coefficient de x3_y7 _{vaut C}7 10(−1) 7 = −10 · 9 · 8 3 · 2 = −120 (c) (2x + y)13= 13 P p=0 C₁₃p (2x)13−pyp Le coefficient de x6y7 vaut C13726= 2613 · 12 · 11 · 10 · 9 · 8 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 64 · 1716 = 109824

(Saisie et mise en pages: Christophe THEIS, Iere B, LCD) 2