(1+⅟n)n sans logarithme népérien

Étude de la suite de terme général



1 +

1

n



n

Samuel Rochetin

Lundi 18 février 2019

Le but de ce document est d’étudier la suite  1 +1 n n n∈N∗ de façon élémentaire, c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et de la notion de dérivation. Le terme général de la suite sera noté un.

1

Monotonie

Proposition 1. (un)n∈N∗ est croissante.

Démonstration. L’inégalité arithmético-géométrique permet de prouver la croissance de (un)n∈N∗. Cette inégalité ne repose pas nécessairement sur

la concavité du logarithme népérien : il en existe plusieurs démonstrations élémentaires, dont une d’Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

∀n ∈ N∗, n+1√_u n= n+1 v u u t1 × n Y k=1  1 +1 n  ≤ 1 + n P k=1  1 +1 n  n + 1 = 1 + 1 n + 1

La croissance de la fonction puissance (n+1)-ième permet de conclure.

2

Majoration

2.1

Définition de e

Démonstration. Cette suite est croissante comme suite des sommes par-tielles d’une série à termes positifs.

∀n ∈ N, n X k=0 1 k! ≤ n X k=0 1 2k−1 = 1 + 2  1 − 1 2n  ≤ 3

Ainsi, cette suite est également majorée donc d’après le théorème de la limite monotone, elle converge.

Définition 1. Notons e := lim

n→+∞ n P k=0 1 k!.

2.2

Majoration de (u

)

Proposition 3. (un)n∈N∗ _{est majorée.}

Démonstration. La formule du binôme de Newton permet d’établir un lien entre unet e. ∀n ∈ N∗, un= n X k=0 n k ! 1 nk = n X k=0 1 k!× n n× n − 1 n × · · · × n − k + 1 n ≤ n X k=0 1 k! ≤ e

3

Limite

Démonstration. Soit ε > 0 un réel fixé.

Par définition de la limite, par croissance de la suite  _n P k=0 1 k!  n∈N et d’après la définition 1, ∃n0∈ N∗, n ≥ n0 =⇒ e − n P k=0 1 k! ≤ ε 3. En outre, ∀k ∈ N, lim n→+∞ 1 k!× n n× n − 1 n ×· · ·× n − k + 1 n = 1 k!, la limite étant obtenue en croissant. Donc ∀k ∈ N, ∃n1(k) ∈ N∗, n ≥ n1(k) =⇒

1 k! − n k
1 nk ≤ ε 3(n0+ 1)

. Posons n1 := max{n1(k), k ∈ _{J0; n}0_{K}. Ainsi,}

n ≥ n1 =⇒ n0 P k=0 1 k!− n k
1 nk ≤ ε 3. 2

Par ailleurs, on a : ∀n ≥ n0+ 1, n X k=n0+1 1 k! − n k ! 1 nk ≤ n X k=n0+1 1 k! ≤ e − n0 X k=0 1 k! ≤ ε 3

Posons N := max(n0+ 1, n1). N ne dépend que de ε. On a :

∀n ≥ N, e −un= e − n X k=0 1 k!+ n0 X k=0 1 k!− n k ! 1 nk + n X k=n0+1 1 k!− n k ! 1 nk ≤ε 3+ ε 3+ ε 3 = ε 3