Sur l'image et le noyau d'une dérivation généralisée

(1)

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE DE BATNA FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES THESE

Présentée pour obtenir le diplôme de DOCTORAT EN SCIENCES

Option : Math´ematiques pures par

LOMBARKIA Farida

THEME

Sur l’image et le noyau d’une

d´

erivation g´

en´

eralis´

ee

Soutenue le 14/04/2010 devant le Jury compos´e de :

Président : A. Benbernou, Professeur Université de Mostaganem Rapporteur : A. Bachir, Maˆıtre de conférences Université de Abha Examinateur : B. Bendoukha, Professeur Université de Mostaganem Examinateur : S. Guedjiba, Maˆıtre de conférences Université de Batna Examinateur : S. E. Rebiai, Professeur Université de Batna Examinateur : M. Nadir, Professeur Université de M’sila

(2)

Remerciements

Je remercie vivement le Docteur Ahmed Bachir qui a assuré la direction de ce travail avec amabilité et compétence. Qu’il veuille bien trouver ici l’expression de ma trés profonde gratitude. J’exprime mes vifs remerciements au professeur A. Benbernou pour m’avoir fait l’honneur d’accepter de présider le jury de cette thèse. Je tiens `

a remercier les professeurs S. E. Rebiai, B. Bendoukha, M. Nadir et le Docteur S. Guedjiba pour avoir accepté de participer au jury de cette thèse et pour l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail. Je remercie mes collègues du département de mathématiques de la faculté des sciences de Batna. Je leur exprime ma profonde sympathie. Enfin mes remerciements vont à ma famille, mes amies et tous ceux qui m’ont soutenu durant l’élaboration de ce travail.

(3)

Table des mati`

eres

0 Introduction 4

0.1 Terminologie . . . 7

1 Pr´eliminaires 10

1.1 Rappels et notations . . . 10 1.2 La transformation d’Aluthge des op´erateurs p-hyponormaux et

log-hyponormaux . . . 16 1.3 La propriété de l’extension unique . . . 20 2 Le Théorème généralisé de Weyl pour dA,B 22

2.1 Introduction . . . 22 2.2 Le théorème généralisé de Weyl pour

l’op´erateur dA,B avec A et B∗

log-hyponormaux . . . 23 2.3 La propriété (gw) pour l’opérateur dA,B . . . 29

3 Le th´eor`eme de Fuglede-Putnam 38

3.1 Introduction . . . 38 3.2 Le th´eor`eme de Fuglede-Putnam pour les

op´erateurs w-hyponormaux . . . 39 3.3 Orthogonalit´e de l’image et du noyau de δA,B . . . 45

4 Exemples sur les Classes d’op´erateurs 47

4.1 Introduction . . . 47 4.2 Les op´erateurs log- et p-hyponormaux . . . 48

5 Appendices 51

5.1 Propri´et´e de l’extension unique . . . 51

(4)

5.2 Propri´et´e (GW) . . . 54 5.3 Symboles et Notations . . . 58

(5)

Chapitre 0

Introduction

Ce travail a pour but l’étude des opérateurs élémentaires satisfaisant le théorème généralisé de Weyl et la propriété de Fuglede-Putnam pour des classes d’op

´

erateurs g´en´eralisant le cas normal.

Un opérateur élémentaire sur une algèbre de Banach complexe A est une appli-cation linéaire de la forme

x 7−→

n

X

i=1

aixbi,

où ai, bi ∈ A(1 ≤ i ≤ n). Dans le cas A = L (H) , où H désigne un espace de

Hilbert complexe de dimension infinie, L (H) l’algèbre des opérateurs linéaires bornés agissant sur H, on appelle opérateur de multiplication à gauche par A (resp. à droite par B) l’opérateur LA défini sur L (H) par LA(X) = AX, (resp. RB(X) = XB),

l’opérateur élémentaire de base est MA,B = LARB défini sur L (H) par MA,B(X) =

AXB, où A, B ∈ L (H). On note par dA,B l’opérateur de dérivation généralisée δA,B

défini sur L (H) par δA,B(X) = AX − XB ou l’opérateur élémentaire ∆A,B défini

sur L (H) par ∆A,B(X) = MA,B(X) − X.

Soient K(H) l’idéal des opérateurs compacts et F (H) l’idéal des opérateurs de rang fini dans L (H).

Le spectre de Weyl est par d´efinition σW (A) =

\

K∈K(H)

σ(A + K).

H. Weyl [63] a prouv´e que si A est un op´erateur normal, alors σW (A) = σ (A) \E0(A) ,

(6)

où E0(A) est l’ensemble des valeurs propres isolées de multiplicité finie. Dans la

littérature, un opérateur qui vérifie la dernière égalité est dit satisfait le théorème de Weyl.

M. Berkani dans [18, Théorème 4.5] a montré que le spectre B-Weyl de A est σBW (A) =

\

F ∈F (H)

σD(A + F ),

où σD(A) est le spectre de Drazin de A, il a montré aussi dans [18, Théorème 4.5]

que si A est un op´erateur normal, alors

σBW (A) = σ (A) \E (A) ,

o`u E (A) est l’ensemble des valeurs propres isol´ees de A. Ceci donne une

généralisation du théorème de Weyl. Dans la littérature, un opérateur qui vérifie la dernière égalité est dit satisfait le théorème généralisé de Weyl.

La recherche sur les opérateurs satisfaisant le théorème généralisé de Weyl et le théorème de Weyl a engendré de nombreux travaux depuis une trentaine d’années et le résultat de Weyl a été généralisé pour les opérateurs de Toeplitz par Coburn [29], pour les opérateurs p-hyponormaux par M. Cho, M. Itoh et S. Oshiro [27]. B. P. Duggal et S. V. Djordjevic [35] ont démontré que si A est p-hyponormal, alors f (A) satisfait le théorème de Weyl pour toute fonction analytique f définie sur un voisinage ouvert de σ (A), le théorème généralisé de Weyl a été généralisé par M. Berkani et Arroud [21] pour les opérateurs hyponormaux et pour les opérateurs totalement héréditairement normaloid par Duggal et S. V. Djordjevic [37].

Le théorème généralisé de Weyl pour un opérateur élémentaire a été considéré pour la première fois par B. P. Duggal [36], en démontrant que si A et B∗ sont hypo-normaux et f est une fonction analytique sur un voisinage du spectre de dA,B, alors

les opérateurs dA,B et f (dA,B) satisfont le théorème généralisé de Weyl. Il est donc

naturel de poser le problème de généralisation pour d’autres classes d’opérateurs. Dans le cadre de cette thèse, nous donnons des généralisations de ce théorème pour les opérateurs élémentaires en considérant certaines classes d’opérateurs.

Vu l’importance de certaines proporiétés utilisées tout au long de ce travail, nous avons pour cela jugé utile de préciser leur principales propriétés en appendices.

Le premier chapitre de ce travail est consacré au rappel des principaux résultats et définitions concernant les spectres de Weyl et de B-Weyl. Nous présentons également un rappel de la propriété (gw), la propriété SVEP (propriété de l’extension unique) et

(7)

les différents théorèmes qui leurs sont associés, ainsi que la transformation d’Aluthge des opérateurs p-hyponormaux et log-hyponormaux.

Dans la première partie du second chapitre, nous établissons que le théorème généralisé de Weyl reste valable lorsqu’on considère l’opérateur dA,B avec A et B∗

sont des opérateurs log-hyponormaux, l’application des résultats précédents nous permettent de déduire des résultats concernant l’opérateur élémentaire

MA1,B1 − MA2,B2,

où A1, A2, B1, B2 sont des opérateurs linéaires bornés sur H.

A. Aluthge [6] a introduit une nouvelle transformation agissant sur L (H) dite transformation d’Aluthge d´efinie par eA = |A|12 U |A|

1

2, telle que A = U |A| est la décomposition polaire de A. Elle jouit de propriétés remarquables, nous citons entre autre que la tranformation d’Aluthge d’un opérateur p-hyponormal tel que 1₂ ≤ p < 1 est un opérateur hyponormal, ceci nous permet de revenir sur la classe des hyponormaux, partant de ce principe nous montrons dans la deuxième partie du second chapitre que si l’opérateur d_{A,( f}_e _B∗₎∗ − λ possède certaines propriétés, alors l’opérateur dAB− λ possède les mêmes propriétés pour tout λ ∈ C. l’application des

résultats précédents nous permettent de déduire que les opérateurs dA,B, d † A,B( le

dual topologique de dA,B) et f (dA,B) satisfont le théorème généralisé de Weyl ainsi

que la propri´et´e (gw), si l’une des conditions suivantes est satisfaite. 1. Si A, B∗ sont p−hyponormaux ou log−hyponormaux.

2. Si A, B∗ sont w−hyponormaux tels que ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B. 3. Si A est w−hyponormal tel que ker A ⊂ ker A∗ et B∗ est p−hyponormal ou

log−hyponormal.

4. Si A est p−hyponormal ou log−hyponormal et B∗ w−hyponormal tel que ker B∗ ⊂ ker B.

Ces résultats généralisent ceux obtenus par B. P. Duggal dans [38]. Rappelons que la propriété (gw) a été introduite par M. Amouch et M. Berkani dans [10], cette dernière généralise la propriété (w) introduite par Rakocevic [55]. M. Amouch et M. Berkani dans [10] ont établit un rapport entre la propriété (gw) et les différents théorèmes de Weyl.

Au troisième chapitre, nous établissons que le théorème de Fuglede-Putnam reste valable lorsqu’on considére A un opérateur dominant et B∗ w-hyponormal tel que ker B∗ ⊂ ker B, il est aussi valable lorsque A est un opérateur w-hyponormal tel que ker A ⊂ ker A∗ et B∗ est w-hyponormal tel que ker B∗ ⊂ ker B, rappelons que le théorème de Fuglede-Putnam assure que si A et B sont des opérateurs normaux, alors

(8)

AX = XB, pour certain X ∈ L (H) entraine A∗X = XB∗. Une autre formulation de cette propriété est ker δAB ⊆ ker δA∗_B∗. Ce théorème a été généralisé par plusieurs auteurs, nous citons entre autres, A. Bachir and A. Segres [14, 15] pour le cas des opérateurs dominants et p-hyponormaux, I. H. Jeon, K. Tanahashi et A. Uchiyama [48] pour les opérateurs p-hyponormaux et log-hyponormaux.

Le quatrième chapitre est consacré aux exemples des différentes classes d’opérateurs utilisées tout au long de cet exposé.

Vu l’importance de la propriété SVEP et la propriété (gw), nous avons jugé utile de rappeler ces propriétés en appendices.

0.1 Terminologie

1. On désigne par H un espace de Hilbert complexe, L(H) désigne l’ensemble des opérateurs linéaires bornés sur H. Si A ∈ L(H), ran(A) (resp. ker (A)) désigne l’image (resp. le noyau) de A, α(A) (resp. β(A)) désigne la nullité (resp. la déficience) de A.

2. On désigne par K(H) l’idéal des opérateurs compacts, F (H) désigne l’idéal des opérateurs de rang fini.

3. On munit L(H) par l’une des topologies suivantes. (i) Topologie uniforme (de la norme).

Une suite {An} d’op´erateurs converges en norme vers 0, si k Ank→ 0 quand

n → ∞, o`u k A k= sup{k Ax k; x ∈ H, k x k= 1}.

L’adh´erence d’un sous-ensemble E en norme de L(H) est E. (ii) Topologie forte d’op´erateurs.

Une suite {An} d’op´erateurs converges fortement vers 0, si pour tout x ∈

H, k Anx k→ 0, quand n → ∞.

4. Un sous-ensemble E de H est dit invariant si A(E) ⊂ E. Un sous-ensemble E de H est dit r´eduisant si A(E) ⊂ E et A∗(E) ⊂ E.

5. Soit A = U |A| la décomposition polaire de A, la transformation d’Aluthge de A est l’opérateur eA défini par eA = |A|12U |A|

1 2.

(9)

6. Un op´erateur A dans L(H) est dit d’ascente finie s’il existe un entier positif n tel que ker An= ker An+1.

7. Un op´erateur A dans L(H) est dit de descente finie s’il existe un entier positif n tel que ran(An_{) = ran(A}n+1_).

8. Les classes considérées dans L(H). Un opérateur A est dit :

(a) semi-Fredholm supérieur : si ran(A) est fermé et α(A) < ∞. (b) semi-Fredholm inférieur : si ran(A) est fermé et β(A) < ∞. (c) semi-Fredholm : si A est semi-Fredholm supérieur ou inférieur. (d) Fredholm : si ran(A) est fermé et α(A) < ∞ et β(A) < ∞.

(e) semi-B-Fredholm sup´erieur : si pour un entier naturel n, An: ran(An) →

ran(An_{) est un op´}_{erateur semi-Fredholm sup´}_{erieur et ran(A}n_{) est ferm´}_e.

(f) semi-B-Fredholm inf´erieur : si pour un entier naturel n, An est

un op´erateur semi-Fredholm inf´erieur et ran(An_{) est ferm´}_e.

(g) semi-B-Fredholm : si A est un opérateur semi-B-Fredholm supérieur ou semi-B-Fredholm inférieur.

(h) B-Fredholm : si pour un entier naturel n, Anest un op´erateur de Fredholm.

(i) Weyl : si A est un op´erateur de Fredholm d’indice (ind(A) = α(A) − β(A)) nul.

(j) Browder : si A est un op´erateur de Fredholm d’ascente et de descente finies. (k) B-Weyl : si A est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0.

(l) nilpotent d’ordre n : si An= 0 pour un certain entier naturel n. (m) positif : si (Ax, x) ≥ 0 pour tout x ∈ H, on note A ≥ 0.

(n) auto-adjoint : si A = A∗, ou A∗ est l’adjoint hilbertien de A (o) normal : si AA∗ = A∗A. (p) hyponormal : si A∗A ≥ AA∗. (q) co-hyponormal : si AA∗ ≥ A∗_A. (r) semi-hyponormal : si (A∗A)12 ≥ (AA∗) 1 2.

(s) dominant : si pour tout complexe λ, ran(A − λ) ⊂ ran(A − λ)∗. (t) p−hyponormal(0 < p < 1) : si (A∗A)p _{≥ (AA}∗₎p_.

(u) log −hyponormal : si A est inversible et log(A∗A) ≥ log(AA∗).

(v) w−hyponormal : si | eA| ≥ |A|, tel que eA est la transformation d’Aluthge de l’op´erateur A.

(w) normaloid : si r(A) = kAk.

(10)

inva-riant est normaloid.

(y) totalement h´er´editairement normaloid : si toute partie inversible est nor-maloid.

9. La dérivation généralisée induite par les opérateurs A, B ∈ L(H) est : l’opérateur δA,B défini par δA,B(X) = AX − XB, X ∈ L(H).

10. Opérateur élémentaire de base induit par les opérateurs A, B ∈ L(H) est : l’opérateur MA,B défini par MA,B(X) = LARB(X) = AXB, X ∈ L(H).

11. Opérateur élémentaire :

l’opérateur R(A1,A2),(B1,B2) défini par R(A1,A2),(B1,B2)(X) = A1XB1− A2XB2, X ∈ L(H). Si A2 = B2 = I, l’opérateur élémentaire est noté par : ∆A1,B1 = MA1,B1(X) − X.

(11)

Chapitre 1

Pr´

eliminaires

Dans ce chapitre nous présentons les définitions et les principaux résultats sur les opérateurs B-Fredholm et semi-B-Fredholm et les différents spectres utilisés ainsi que les différents théorème de Weyl associés. Nous présentons aussi la transformation d’Aluthge des opérateurs p-hyponormaux et log-hyponormaux, ainsi que la propriété de l’extension unique.

1.1 Rappels et notations

Soient X un espace de Banach et L(X) l’algèbre des opérateurs linéaires bornés sur X. Si A ∈ L(X) on note par ker A le noyau de A et par ran(A) l’image de A. A est dit un opérateur de Fredholm si ran (A) est fermé, α (A) = dim ker A et β (A) = co dim ran(A) sont finis.

A est dit semi-Fredholm si ran (A) est fermé et α (A) ou β (A) est fini. A est dit un opérateur semi-Fredholm supérieur (resp. inférieur) s’il est semi-Fredholm et α (A) fini (resp. β (A) fini). L’indice de A est par définition ind(A) = α(A) − β(A). L’ascente de A, notée asc (A) est le plus petit entier naturel n tel que ker An ₌

ker An+1 _{et la descente de A, not´}_{ee des (A) est le plus petit entier naturel n tel que}

ran (An) = ran (An+1) . Plus précisément on a la définition suivante : Définition 1.1.1 Pour A ∈ L (X) on définit les suites (cn(A)), (c

0

n(A)) et (kn(A))

comme suit :

1. cn(A) = dim(ran(An)/ran(An+1)),

2. c0_n(A) = dim (ker An+1_{/ ker A}n_{) ,}

3. kn(A) = dim[(ran(An) ∩ ker A)/(ran(An+1) ∩ ker A)].

(12)

La descente des (A) et l’ascente asc (A) sont d´efinies par :

des (A) = inf{n : cn(A) = 0} = inf{n : ran(An) = ran(An+1)},

asc (A) = inf{n : c0_n(A) = 0} = inf{n : ker An = ker An+1}, avec inf φ = ∞.

D´_{efinition 1.1.2 Si d ∈ N, on dit que A a une descente uniforme pour n ≥ d si} ran (A) + ker An _{= ran (A) + ker A}d_{, ∀n ≥ d ; (ce qui est ´}_{equivalent `}_{a k}

n(A) =

0, ∀n ≥ d). Si de plus, ran (A) + ker Ad _{est ferm´}_{e alors on dit que A a une descente}

uniforme topologique pour n ≥ d.

Définition 1.1.3 Un opérateur A ∈ L (X) est dit de Weyl s’il est de Fredholm d’indice 0. A est dit de Browder s’il est de Fredholm d’ascente et de descente finies. Définition 1.1.4 Le spectre essentiel, le spectre de Weyl et le spectre de Browder sont définis respectivement par

σe(A) = {λ ∈ C : A − λI n’est pas de Fredholm},

σW(A) = {λ ∈ C : A − λI n’est pas de Weyl},

σB(A) = {λ ∈ C : A − λI n’est pas de Browder}.

Soit K(X) l’espace des op´erateurs compacts, alors d’apr´es D. Lay [50] et M. Schechter [58], on a σW (A) = \ K∈K(X) σ(A + K) σB(A) = \ K∈K(X),KA=AK σ(A + K).

Par cons´equent

σe(A) ⊆ σW(A) ⊆ σB(A).

Soit Π0(A) l’ensemble des pˆoles de rang fini de la r´esolvante de A, rappelons qu’un

point isolé λ du spectre σ(A) de A est un pôle de rang fini de la résolvante de A si la projection spectrale associé à l’ensemble {λ} est de rang fini. On note que Π0(A) =

isoσ(A)\σe(A), et d’apr´es S. R. Caradus, W. E. Pfaffenberger et Y. Bertram [25]

on a si λ ∈ σ(A), alors λ ∈ Π0(A) si et seulement si A − λI est un op´erateur de

Fredholm d’ascente et de descente finies. Par cons´equent σB(A) = σ (A) \Π0(A) .

(13)

Définition 1.1.5 On dit que A ∈ L (X) satisfait le théorème de Weyl si : σW (A) = σ (A) \E0(A) ,

où E0(A) l’ensemble des valeurs propres isolés de A de multiplicité finie et A satisfait

le th´eor`eme de Browder si :

σW(A) = σB(A) = σ (A) \Π0(A) .

Il est bien connu que

Π0(A) ⊆ E0(A) .

Soit SF+(X) , la classe des opérateurs semi-Fredholm supérieurs. On définit :

SF₊−(X) = {A ∈ SF+(X) : ind (A) ≤ 0}, et σ_SF− + (A) = {λ ∈ C : A − λI /∈ SF − + (X)}.

Le spectre approch´e de A est d´efini par : σa(A) = {λ ∈ C : inf

kxk=1k (A − λI) (x) k = 0}.

Le spectre σ_SF−

+ (A) est d´efini aussi par : σ_SF− + (A) = \ K∈K(X) σa(A + K). Soit Ea

0(A) l’ensemble des valeurs propres de A de multiplicit´e finie qui sont

isol´ees dans σa(A), on note que

E0(A) ⊆ E0a(A).

Définition 1.1.6 On dit que A ∈ L (X) satisfait le théorème a-Weyl si : σ_SF−

+ (A) = σa(A) \E

a 0 (A) .

Si A satisfait le théorème a-Weyl alors il satisfait le théorème de Weyl mais la réciproque est fausse [56].

D´efinissons l’ensemble LD (X) par :

LD (X) = {A ∈ L (X) : asc (A) < ∞ et ran Aasc(A)+1 est ferm´e}.

On dit que λ ∈ σa(A) est un pˆole `a gauche de A si A − λI ∈ LD (X) , et que

λ ∈ σa(A) est un pôle à gauche de A de rang fini si λ est un pôle à gauche de A et

α (A − λI) < ∞. On notera par Πa_{(A) l’ensemble de tous les pˆ}_{oles `}_{a gauche de A,}

(14)

Définition 1.1.7 On dit que A satisfait le théorème a-Browder si : σ_SF−

+ (A) = σa(A) \Π

a 0(A) .

Un opérateur A défini sur un espace de Banach X est appelé B-Fredholm s’il existe un entier naturel n tel que ran (An_{) soit ferm´}_{e et la restriction de A `}_{a ran (A}n₎

not´ee An vue comme une application de ran (An) vers ran (An) soit un op´erateur

de Fredholm.

Proposition 1.1.8 [18] Soit A ∈ L (X), s’il existe un entier naturel n tel que ran (An) soit ferm´e et tel que An soit un op´erateur de Fredholm, alors ran (Am) est

fermé où Am est un opérateur de Fredholm et ind (Am) = ind (An) pour tout m ≥ n.

Définition 1.1.9 Soient A ∈ L (X) un opérateur B-Fredholm et n un entier naturel quelconque tel que An soit un opérateur de Fredholm, l’indice de A est égal à l’indice

de l’op´erateur An.

Les opérateurs B-Fredholm ont été introduits par M. Berkani qui a donné une caractérisation importante de cette classe d’opérateurs notée BF (X).

Théorème 1.1.10 [18] Soit A ∈ L (X), alors A est un opérateur B-Fredholm si et seulement s’il existe deux sous espaces fermés M et N de X tels que X = M ⊕ N et :

1. A(N ) ⊂ N et A |N est un op´erateur nilpotent,

2. A(M ) ⊂ M et A |M est un op´erateur de Fredholm.

Si A est une algèbre unitaire d’unité e, suivant la définition dans [57], on dit qu’un élément x ∈ A est Drazin inversible s’il existe un élément b ∈ A et un entier naturel k tels que

xkbx = xk, bxb = b et xb = bx.

Dans le cas d’un opérateur linéaire borné A sur un espace de Banach X, on sait que A est Drazin inversible si et seulement s’il a une ascente et une descente finies. La notion de Drazin inversibilité joue un rôle important pour la classe BF (X). En effet si π : L (X) → L (X) /F (X) est la projection canonique, alors on a le résultat suivant

Théorème 1.1.11 [20] Soit A ∈ L (X), alors A est un opérateur B-Fredholm si et seulement si π (A) est Drazin inversible dans l’algèbre L (X) /F (X) .

(15)

On a aussi la proposition suivante qui montre que la classe BF (X) est invariante par les perturbations de rang fini avec conservation de l’indice.

Proposition 1.1.12 [18] Soit A ∈ L (X) un opérateur B-Fredholm et soit F un opérateur de rang fini. Alors A + F est un opérateur B-Fredholm et ind(A + F ) = ind(A).

Le spectre B-Fredholm σBF(A) d’un op´erateur A ∈ L (X) est d´efini par :

σBF (A) = {λ ∈ C : A − λI n’est pas B-Fredholm}.

Dans [17] il est démontré que : 1. σBF (A) est fermé.

2. σBF (A) est stable par les perturbations de rang fini.

3. σBF (A) vérifie le théorème de l’application spectrale.

Définition 1.1.13 Soit A ∈ L (X), A est un opérateur B-Weyl s’il est un opérateur B-Fredholm d’indice 0.

Le spectre B-Weyl est d´efini par :

σBW (A) = {λ ∈ C : A − λI n’est pas B-Weyl}.

Le spectre de Drazin est d´efini par :

σD(A) = {λ ∈ C : A − λI n’est pas Drazin inversible}.

Remarquons que σD(A) = σ (A) \Π (A) , o`u Π(A) est l’ensemble de tous les pˆoles de

la r´esolvante de A.

Rappelons les propriétés suivantes des opérateurs B-Fredholm et du spectre de B-Weyl pour un opérateur A ∈ L (X), démontrées dans [18]

1. A est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0 si et seulement si A = A0 ⊕ A1, o`u

A0 est un op´erateur Fredholm d’indice 0 et A1 est un op´erateur nilpotent.

2. Si 0 est isol´e dans le σ(A), alors A est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0 si et seulement si A est Drazin inversible.

3. σBW(A) =

T

(16)

Soit E (A) l’ensemble des valeurs propres isolées de A. On dit que A satisfait le théorème généralisé de Weyl si :

σBW (A) = σ (A) \E (A) .

Dans [22, Théorème 3.9] M. Berkani et J. J. Koliha ont démontré que si A satisfait le théorème généralisé de Weyl alors il satisfait le théorème de Weyl. Dans ce même article il est démontré que si A satisfait le théorème généralisé de Browder :

σBW(A) = σ (A) \Π (A) ,

alors il satisfait le th´eor`eme de Browder :

σW (A) = σ (A) \Π0(A) .

S’il existe un entier n tel que An : ran (An) → ran (An) soit un op´erateur

semi-Fredholm, alors A est appelé un opérateur semi-B-Fredholm. A est un opérateur semi-B-Fredholm supérieur (resp. inférieur) si An est un opérateur semi-Fredholm

sup´erieur (resp. inf´erieur).

Soit SBF+(X) la classe de tous les op´erateurs semi-B-Fredholm sup´erieurs. On

d´efinit : SBF₊−(X) = {A ∈ SBF+(X) : ind (A) ≤ 0}, et σ_SBF− + (A) = {λ ∈ C : A − λI /∈ SBF − + (X)}.

Soit Ea_{(A) l’ensemble des valeurs propres de A isol´}_{ees dans le spectre approch´}_e

σa(A). Un opérateur A ∈ L (X) satisfait le théorème généralisé a-Weyl si :

σ_SBF−

+ (A) = σa(A) \E

a

(A) , et il satisfait le théorème généralisé a-Browder si :

σ_SBF−

+ (A) = σa(A) \Π

a_{(A) .}

Dans [22] M. Berkani et J. J. Koliha ont étudié les différents théorèmes de Weyl et théorèmes de Browder, ainsi que les implications possibles entre ces théorèmes, nous résumons les résultats (voir [22]) dans ce qui suit :

1. Si A satisfait le théorème généralisé a-Weyl, alors il satisfait le théorème gén´ e-ralisé a-Browder.

(17)

2. Si A satisfait le théorème a-Weyl, alors il satisfait le théorème a-Browder. 3. Si A satisfait le théorème généralisé a-Weyl, alors il satisfait le théorème gén´

e-ralis´e de Weyl.

4. Si A satisfait le théorème généralisé a-Browder, alors il satisfait le théorème généralisé de Browder.

5. Si A satisfait le théorème généralisé de Weyl, alors il satisfait le théorème Weyl.

6. Si A satisfait le théorème généralisé a-Weyl, alors il satisfait le théorème de Weyl.

7. Si A satisfait le théorème généralisé a-Weyl, alors il satisfait le théorème a-Weyl.

8. Si A satisfait le théorème généralisé a-Browder, alors il satisfait le théorème a-Browder.

Dans [10] M. Amouch et M. Berkani ont introduit la propriété (gw) qui généralise la propriété (w) introduite par Rakocevic [55]. Il est démontré qu’un opérateur A ∈ L (X) satisfait la propriété (gw) si et seulement si A satisfait la propriété (w) et Πa_{(A) = E (A). Aussi si A satisfait la propri´}_et´_{e (gw), alors il satisfait le th´}_eor`_eme

généralisé de Weyl.

Définition 1.1.14 Soit A ∈ L (X), on dit que A satisfait (i) la propriété (gw) si, σa(A) \σSBF₊−(A) = E (A) .

(ii) la propri´et´e (w) si, σa(A) \σ_SF−

+ (A) = E0(A) .

Théorème 1.1.15 [10] Soit A ∈ L (X), les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) A satisfait la propriété (gw),

(ii) A satisfait le théorème généralisé a-Browder et Πa_{(A) = E (A) .}

1.2 La transformation d’Aluthge des op´

erateurs

p-hyponormaux et log-hyponormaux

Définition 1.2.1 Un opérateur A ∈ L (H) admet la décomposition polaire A = U |A|, avec U est l’isométrie partielle et |A| est la racine carrée de A∗A. L’isométrie U est déterminée d’une fa¸con unique par ker U = ker A = ker |A| et ran(U ) = ran(A).

(18)

D´efinition 1.2.2 [6] Soient A ∈ L (H) et A = U |A| la d´ecomposition polaire de A, alors eA = |A|12 U |A|

1

2 est dite transformation d’Aluthge de l’op´erateur A. D´efinition 1.2.3 Soit A ∈ L (H), on dit que A est :

(i) p-hyponormal si et seulement si (A∗A)p ≥ (AA∗)p, (0 < p ≤ 1), si p = 1 on dit que A est hyponormal et si p = 1₂, A est dit semi-hyponormal.

(ii) log-hyponormal si et seulement si A est inversible et log (A∗A) ≥ log (AA∗). (iii) w-hyponormal si et seulement si | eA| ≥ |A|.

Proposition 1.2.4 ([67], [41]) Soient A ∈ L (H) un opérateur p-hyponormal, A = U |A| la décomposition polaire de A. Soit A (s, t) = |A|sU |A|t tel que s, t > 0, la transformation d’Aluthge généralisée de A est donnée par

A (s, t) A (s, t)∗ ≤ |A|2(s+t)≤ A (s, t)∗A (s, t) ,

(i) si max (s, t) ≤ p, (i.e., la transformation d’Aluthge généralisée A (s, t) est hyponormal), et {A (s, t) A (s, t)∗} p+min(s,t) s+t _{≤ |A|}2(p+min(s,t))_{≤ {A (s, t)}∗_{A (s, t)}} p+min(s,t) s+t _, (ii) si p < max (s, t), (i.e., la transformation d’Aluthge généralisée A (s, t) est

p+min(s,t)

s+t -hyponormal).

Corollaire 1.2.5 Soit A ∈ L (H) un op´erateur p-hyponormal, (i) si 0 < p < 1

2, alors eA est (p + 1

2)-hyponormal.

(ii) si 1₂ ≤ p < 1, alors eA est hyponormal.

Théorème 1.2.6 [60] Soit A ∈ L (H) un opérateur log-hyponormal. Alors {A (s, t) A (s, t)∗}

min(s,t)

s+t _{≤ |A|}2 min(s,t)_{≤ {A (s, t)}∗_{A (s, t)}} min(s,t)

s+t _.

Preuve. Soit A ∈ L (H) , log −hyponormal et A = U |A| . Comme A est inversible, alors U est unitaire. Par d´efinition on a log |A∗|2 ≤ log |A|2et par suite log |A∗| ≤ log |A| . D’apr´es [40], pour tout δ ∈ (0, 1) il existe α ∈ (0, 1) tel que (exp (δ) |A|)α ≥ |A∗_|α

= U |A|αU∗. Il s’ensuit que exp (αδ) |A|α ≥ U |A|αU∗ et exp (αδ) U∗|A|αU ≥ |A|α. En cons´equence

(19)

Soient B = exp (2αδ) U∗|A|αU, C = exp (αδ) |A|α et D = U |A|αU∗. Consid´erant le cas s ≤ t. Alors

{A (s, t)∗A (s, t)}s+ts ₌ |A|t_U∗|A|2s_{U |A|}t s s+t = n(exp (−αδ) C)αt _{(exp (−2αδ) B)} 2t α _{(exp (−αδ) C)} t α o_s+ts = exp −2sδ (2s + t) s + t CαtB 2t αC t α _s+ts . Si p = 2s_α, q = s+t_s et r = _αs, alors 2 (s + t) α = p + 2r ≤ (1 + 2r) q = (α + 2t) (s + t) αs .

En appliquant le th´eor`eme de Furuta [42], il vient {A (s, t)∗A (s, t)}s+ts _{≥ exp} −2sδ (2s + t) s + t CαtC 2t αC t α _s+ts = exp −2sδ (2s + t) s + t C2tα. Ainsi,

{A (s, t) A (s, t)∗}s+ts ₌ _|A|s_{U |A|}2t_U∗_|A|s s s+t = n(exp (−αδ) C)αs _D2tα (exp (−αδ) C) s α o_s+ts = exp −2s 2_δ s + t CαsD 2t αC s α _s+ts . Maintenant si p = 2t α, q = s+t s et r = s α, alors 2 (s + t) α = p + 2r ≤ (1 + 2r) q = (α + 2s) (s + t) αs . En vertu de [40], {A (s, t) A (s, t)∗}s+ts ≤ exp −2s 2_δ s + t CαsC 2t αC s α _s+ts = exp −2s 2_δ s + t C2sα.

(20)

Ainsi, {A (s, t)∗A (s, t)}s+tt _{≥ exp} −2tδ (2s + t) s + t C2tα = exp −2tδ (2s + t) s + t exp (2tδ) |A|2t ≥ exp −2tδ (2s + t) s + t exp 2stδ s + t {A (s, t) A (s, t)∗}s+tt _. Comme δ ∈ (0, 1) est arbitraire, on obtient

{A (s, t)∗A (s, t)}s+ts ≥ |A|2s ≥ {A (s, t) A (s, t)∗} s s+t_. Consid´erant maintenant le cas t < s. Alors

{A (s, t)∗A (s, t)}s+tt ₌ _|A|t_U∗_|A|2s_{U |A|}t t s+t = n(exp (−αδ) C)αt (exp (−2αδ) B) 2s α (exp (−αδ) C) t α o_s+tt = exp −2tδ (2s + t) s + t CαtB 2s αC t α _s+tt . Si p = 2s_α, q = s+t_t et r = _αt, alors 2 (s + t) α = p + 2r ≤ (1 + 2r) q = (α + 2t) (s + t) αt . En vertu de [40], {A (s, t)∗A (s, t)}s+tt ≥ exp −2tδ (2s + t) s + t CαtC 2s αC t α _s+tt = exp −2tδ (2s + t) s + t C2tα. Et,

{A (s, t) A (s, t)∗}s+tt ₌ |A|s_{U |A|}2t_U∗|A|s t s+t = n(exp (−αδ) C)αs _D2tα (exp (−αδ) C) s α o_s+tt = exp −2stδ s + t CαsD 2t αC s α _s+tt .

(21)

Si p = 2t_α, q = s+t_t et r = _αs, alors 2 (s + t)

α = p + 2r ≤ (1 + 2r) q =

(α + 2s) (s + t)

αt .

Ainsi, encore une fois par [40],

{A (s, t) A (s, t)∗}s+tt _{≤ exp} −2stδ s + t CαsC 2t αC s α _s+tt = exp −2stδ s + t C2tα. Au total {A (s, t)∗A (s, t)}s+tt _{≥ exp} −2tδ (2s + t) s + t C2tα = exp −2tδ (2s + t) s + t exp (2tδ) |A|2t ≥ exp −2tδ (2s + t) s + t exp 2stδ s + t {A (s, t) A (s, t)∗}s+tt _. Comme δ ∈ (0, 1) est arbitraire, on obtient

{A (s, t)∗A (s, t)}s+tt _{≥ |A|}2t _{≥ {A (s, t) A (s, t)}∗_} t s+t_.

Corollaire 1.2.7 Soit A ∈ L (H) un op´erateur log-hyponormal, alors eA est semi-hyponormal.

1.3 La propri´

et´

e de l’extension unique

Soient A ∈ L (X) , σ (A) et ρ (A) désignant le spectre et l’ensemble résolvant de A respectivement. L’ensemble résolvant local ρA(x) de A au point x ∈ X est

la r´_{eunion de tous les sous ensembles ouverts U de C pour lesquels il existe une} fonction analytique f : U → X qui satisfait :

(22)

Le spectre local σA(x) de A au point x ∈ X est d´efini par :

σA(x) = C\ρA(x) .

L’ensemble r´esolvant local ρA(x) est un ouvert dans C. Pour tout x ∈ X, la fonction

f : ρ (A) → X d´efinie par : f (λ) = (A − λ)−1x est analytique sur ρ (A) et satisfait (A − λ) f (λ) = x pour tout λ ∈ ρ (A) .

Ainsi l’ensemble r´esolvant ρ (A) est un sous ensemble de ρA(x), et par suite

σA(x) est un sous ensemble de σ (A).

Définition 1.3.1 Soient X un espace de Banach et A ∈ L (X) . On dit que A satisfait la propriété de l’extension unique qu’en note par SVEP au point λ0 ∈ C,

si pour tous ouvert U de λ0 la seule fonction analytique f : U → X qui satisfait

l’´equation

(A − λ) f (λ) = 0.

est la fonction constante identiquement nulle, i.e., f ≡ 0. L’op´erateur A est dit satisfait SVEP si A satisfait SVEP pour tout λ ∈ C.

Remarque 1.3.2 Une conséquence importante de la propriété SVEP est l’existence d’une fonction analytique maximale ef qui est une extension de (A − λ)−1x sur l’en-semble ρA(x), pour tous x ∈ X. La fonction ef vérifie aussi l’équation

(A − µ) ef (µ) = x pour tout µ ∈ ρA(x) .

Th´eor`eme 1.3.3 [1] Soient A ∈ L (X) et λ0 ∈ C. Si l’ascente de A − λ0I est finie,

alors A satisfait SVEP au point λ0.

Preuve. Sans restreindre la généralité, on peut supposer que λ0 = 0 et asc(A) =

p < ∞. Ainsi ∪_n∈Nker An= ker Ap.

Montrons que ran(Ap_{) ∩ ker A}p _{= {0}. Soit y ∈ ran(A}p_{) ∩ ker A}p_{, alors il existe}

x ∈ X tel que y = Apx et Apy = 0. On en déduit que Ap+nx = Any = 0 et par conséquent x ∈ ker Ap+n = ker Ap. Ainsi y = Apx = 0. En vertu de [1, Théorème 2.22], on en conclut que A satisfait SVEP au point 0.

Théorème 1.3.4 [31] Soit A ∈ L (X) tel que A satisfait la propriété de l’extension unique SVEP, alors A satisfait le théorème de Weyl si et seulement si ran (A − λ) est fermée pour tout λ ∈ E0(A) .

(23)

Chapitre 2

Le Th´

eor`

eme g´

en´

eralis´

e de Weyl

pour d

_A,B

2.1 Introduction

Soient C = (A1, A2) et D = (B1, B2) deux couples d’opérateurs linéaires bornés,

définissons l’opérateur élémentaire de base MA1,B1 et l’opérateur élémentaire RC,D sur L(H) respectivement par :

MA1,B1(X) = A1XB1 et RC,D(X) = MA1,B1(X) − MA2,B2(X), X ∈ L(H). Dans [36] B. P. Duggal a prouv´e que si A et B∗ sont hyponormaux alors 1. asc(dA,B− λ) ≤ 1,

2. dA,B est isoloid,

3. ran(dA,B− λ) est ferm´e pour tout λ ∈ isoσ(dA,B).

Ainsi dA,B et f (dA,B) satisfont le théorème de Weyl et le théorème généralisé de

Weyl pour toute fonction f ∈ H(σ(dA,B)).

Dans la première partie de ce chapitre, on montre que l’opérateur dA,B vérifie

ces propriétés si A et B∗ sont log-hyponormaux. L’application de l’étude précédente nous permet d’établir des résultats concernant l’opérateur élémentaire RC,D, en effet,

on montre que si C = (A1, A2) et D = (B1, B2) sont deux couples d’op´erateurs dans

L(H) avec A1, A2, B1∗, B ∗

2 sont log-hyponormaux tels que A1 double commute avec

A2 (A1 commute avec A2 et A∗2) et B1 double commute avec B2, alors RC,D est

d’ascente finie et satisfait SVEP au point z´ero.

Signalons que ce travail a fait l’objet d’une publication dans [51]. 22

(24)

Dans la deuxième partie, on prouve aussi que si ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B, certaines propriétés sont préservées en passant de l’opérateur d_{A,( f}_e _B∗₎∗ − λ à l’opérateur dA,B− λ, pour tout λ ∈ C. Comme application de ces derniers résultas

on g´en´eralise ceux obtenus par B. P. Duggal [38], en montrant que dA,B, d†_A,B et

f (dA,B) satisfont le théorème généralisé de Weyl et la propriété (gw), si l’une des

conditions suivantes est satisfaite.

1. Si A, B∗ sont p−hyponormaux ou log −hyponormaux.

2. Si A, B∗ sont w−hyponormaux tels que ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B. 3. Si A est w−hyponormal tel que ker A ⊂ ker A∗ et B∗ est p−hyponormal ou

log −hyponormal.

4. Si A est p−hyponormal ou log −hyponormal et B∗ w−hyponormal tel que ker B∗ ⊂ ker B.

Indiquons que ce travail a aussi fait l’objet d’une publication dans [52].

2.2 Le th´

eor`

eme g´

en´

eralis´

e de Weyl pour

l’op´

erateur d

A,B

avec A et B

∗

log-hyponormaux

Rappelons quelques définitions qui nous serons utiles dans ce chapitre. Définition 2.2.1 Soit A ∈ L(H), on définit les suites (cn(A)),(c0n(A)) par :

1. cn(A) = dim(ran(An)/ran(An+1)),

2. c0_n(A) = dim(ker An+1_{/ ker A}n_).

La descente des(A) et l’ascente asc(A) de A sont d´efinies par

des(A) = inf{n : cn(A) = 0} = inf{n : ran(An) = ran(An+1)},

asc(A) = inf{n : c0_n(A) = 0} = inf{n : ker An = ker An+1}.

D´efinition 2.2.2 Soit A ∈ L(H) la partie quasi-nilpotente de A est le sous espace H0(A) de H d´efinie par :

H0(A) = {x ∈ H : lim kAnxk

1 n = 0}. H0(A) est généralement non fermé et contient ker A.

(25)

D´efinition 2.2.3 Soit A ∈ L(H), A est dit.

(i) isoloide si isoσ (A) ⊆ E (A), où isoσ (A) est l’ensemble de tous les éléments isolés dans σ (A) .

(ii) polaroid si isoσ (A) ⊆ Π (A).

Lemme 2.2.4 Soient A, B∗ deux op´erateurs log −hyponormaux, alors asc(dA,B −

λ) = 1 pour tout λ ∈ C.

Preuve. Nous consid´erons l’un des deux cas dA,B = δA,B ou dA,B = ∆A,B, l’autre se

démontre de la même manière.

Soit dA,B = δA,B. Si A et B∗ sont log −hyponormaux, alors eA et fB∗ sont

semi-hyponormaux et à fortiori, eeA et fBf∗ sont des opérateurs hyponormaux inversibles. D’autres part compte tenu de [36, Proposition 2.3], on en déduit que

ker(δ_e e A, eBe − λ) = ker(δ_e e A, eBe − λ)2 , pour tout λ ∈ C. Il suffit de montrer que

ker(δ_{A, e}_e_B− λ) ⊃ kerδ_{A, e}_e_B− λ2. En effet, soit eB = V | eB| la d´ecompositon polaire de eB, alors

e e A| eA|12 = | eA| 1 2A et (V | e_e B| 1 2) eB = e_e B(V | eB| 1 2). Cela ´etant, consid´erons X ∈ ker(δ

e A, eB− λ) 2_{, alors on a} | eA| 1 2 (δ_{A, e}_e_B− λ)2(X)V | eB| 1 2 = (δ_e e A, eBe − λ)2(| eA| 1 2 XV | eB| 1 2 ) = 0, or par hypoth`ese

| eA| 1 2 XV | eB| 1 2 ∈ ker(δ e_e A, eBe − λ)2 _{= ker(δ} e_e A, eBe − λ), ceci conduit `a | eA| 1 2 (δ e A, eB− λ)(X)V | eB| 1 2 = (δ e_e A, eBe − λ)(| eA| 1 2 XV | eB| 1 2 ) = 0, mais comme | eA| 1 2 et V | eB| 1 2

sont inversibles, alors X ∈ ker(δ_{A, e}_e_B− λ), on en conclut que asc(δ_{A, e}_e_B− λ) = 1.

(26)

Th´eor`eme 2.2.5 Soient A, B ∈ L(H). Si A et B∗ sont log −hyponormaux, alors dA,B est isoloid.

Preuve. nous consid`erons l’un des deux cas dA,B = δA,B ou dA,B = ∆A,B, l’autre se

démontre de la même manière.

Soit λ ∈ isoσ(∆A,B) tel que λ 6= −1, d’après [39, Théorème 3.2], on sait que

σ(∆A,B− λ) = ∪{σ(−(1 + λ) + zA) : z ∈ σ(B)},

et puisque σ(A) = σ( eA) pour tout op´erateur A [8, corollaire 2.3], on en d´eduit que σ(∆A,B) = σ(∆A, eeB),

alors par [36, Th´eor`eme 2.7], il vient λ ∈ σp(∆_{A, e}e_e_B_e).

Montrons maintenant que σp(∆A, eeB) ⊂ σp(∆A,B). Pour cela, soit λ ∈ C et

suppo-sons que ∆A,B− λ est injectif et montrons que ∆A, eeB− λ est injectif.

Soit A = U |A| la d´ecomposition polaire de A. Si X ∈ ker(∆_{A, e}_e_B− λ), alors U |A|12( eAX eB − (1 + λ))|B| 1 2 = 0, comme e B|B|12 = |B| 1 2B et (U |A| 1 2) eA = A(U |A| 1 2), par cons´equent

A(U |A|12_X|B| 1 2_{)B − (1 + λ)(U |A|} 1 2_X|B| 1 2_{) = 0,} ainsi U |A|12X|B| 1

2 = 0, on en conclut que X = 0, donc σp(∆A, eeB) ⊂ σp(∆A,B).

Cela fait, on obtient de suite que

λ ∈ isoσ(∆A,B) = isoσ(∆_{A, e}e_e_B_e) ⊂ σp(∆_{A, e}e_e_B_e) ⊂ σp(∆A,B).

Théorème 2.2.6 Soient A, B ∈ L(H). Si A et B∗ sont log-hyponormaux, alors ran(dA,B− λ) est fermé pour tout λ ∈ isoσ(dA,B).

(27)

Preuve. Soient dA,B = ∆A,B et λ ∈ isoσ(∆A,B), tel que λ 6= −1

Etant donn´e Y ∈ ran(∆_{A, e}_e_B− λ), alors il existe une suite (Xn) dans L(H) tel

que

e

AXnB − (1 + λ)Xe _n −→ Y. Soit eB = V | eB| la d´ecompositon polaire de eB, alors

| eA| 1 2 e AXnBV | ee B| 1 2 _{− (1 + λ) | e} A| 1 2 XnV | eB| 1 2 _{−→ | e} A| 1 2 Y V | eB| 1 2 Comme | eA| 1 2 e A = eeA| eA| 1 2 et eB(V | eB| 1 2 ) = (V | eB| 1 2 ) eB alorse e e A| eA| 1 2 XnV | eB| 1 2_e e B − (1 + λ)| eA| 1 2 XnV | eB| 1 2 −→ | eA| 1 2 Y V | eB| 1 2 . En vertu de [36, Théorème 2.6] on en déduit que (∆_e

e A, eBe

− λ) est `a image ferm´e pour tout λ ∈ isoσ(∆_e

e A eBe

). Ainsi il existe Z ∈ L(H) tel que

e e A| eA| 1 2 XnV | eB| 1 2_e e B − (1 + λ)| eA| 1 2 XnV | eB| 1 2 −→ eeAZ eB − (1 + λ)Z.e Comme M | eA| 1

2_{,V | e}_B|12 est inversible, alors il existe X ∈ L(H) tel que Z = | eA| 1 2 XV | eB| 1 2 . Et par suite eeAZ eB −(1+λ)Z = eee A| eA| 1 2 XV | eB| 1 2_e e B −(1+λ)| eA| 1 2 XV | eB| 1 2 , de l’unicit´e de la limite, il s’ensuit e e A| eA| 1 2 XV | eB| 1 2_e e B − (1 + λ)| eA| 1 2 XV | eB| 1 2 = | eA| 1 2 Y V | eB| 1 2 , impliquant | eA| 1 2 e AX eBV | eB| 1 2 − (1 + λ)| eA| 1 2 XV | eB| 1 2 = | eA| 1 2 Y V | eB| 1 2 .

Donc eAX eB − (1 + λ)X = Y, et ainsi ∆_{A, e}_e_B − λ est `a image ferm´e pour tout λ ∈ isoσ(∆_{A, e}_e_B).

Remarque 2.2.7

1. On remarque que dans la preuve des théorèmes 2.2.5 et 2.2.6 on a supposé que λ 6= −1, en effet, si λ = −1, on obtient λ ∈ isoσ(∆A,B) entraˆıne 0 ∈

(28)

2. On note que dans la preuve du lemme et des théorèmes précédents on a utilisé le fait que fA∗ _{est p-hyponormal si et seulement si}

e A

∗

est p-hyponormal. En effet, si A = U |A| la décomposition polaire de A, alors A∗ possède la décomposition polaire A∗ = U∗|A∗_{| et v´}_erifie

f

A∗ _{= |A}∗_|1₂

U∗|A∗|12 _{= U ( e}_A)∗_U∗ et

( eA)∗ = U∗Af∗U.

Ces dernières égalités nous assurent que fA∗ _{est p-hyponormal si et seulement}

si Ae ∗

est p-hyponormal.

Lemme 2.2.8 Soient A, B ∈ L(H) deux op´erateurs log-hyponormaux, tels que A double commute avec B. Alors AB est log-hyponormal.

Preuve. Si A et B sont log-hyponormaux, alors A et B sont inversibles est log |A|2 ≥ log |A∗|2, log |B|2 ≥ log |B∗|2.

Puisque AB = BA et AB∗ = B∗A, on obtient

|AB|2 = |A|2|B|2 = |B|2|A|2 et |(AB)∗|2 = |A∗|2|B∗|2 = |B∗|2|A∗|2. Ceci entraˆıne que

log |AB|2 = lim

p→0+ (|AB|2)p_{− 1} p = limp→0+ (|A|2)p_(|B|2 )p_{− 1} p = lim p→0+ ((|A|2)p_{− 1)((|B|}2 )p_{− 1) + (|A|}2 )p_{+ (|B|}2 )p_{− 2} p = log |A|2+ log |B|2.

De la même manière on démontre que

log |(AB)∗|2 = log |A∗|2+ log |B∗|2. Ce qui donne, puisque AB est inversible et

log |AB|2 − log |(AB)∗|2 = log |A|2− log |A∗|2+ log |B|2− log |B∗|2 ≥ 0, AB est log-hyponormal.

(29)

Corollaire 2.2.9 Soient C = (A1, A2) et D = (B1, B2) deux couples d’op´erateurs

dans L(H) . Si A1, B1∗, A2, B2∗ sont log-hyponormaux, tels que A1 double commute

avec A2 et B1 double commute avec B2, alors asc(RC,D) = 1.

Preuve. En effet, on a

RC,D(X) = A2(∆(A−1₂ A1),(B1B2−1)(X))B2.

Comme A−1₂ et (B₂−1)∗ = (B₂∗)−1 sont log-hyponormaux par [8, Lemme 1.1] et A−1₂ A1, (B1B2−1)

∗ _{sont log-hyponormaux en vertu du lemme 2.2.8. Par ailleurs, en}

appliquant le lemme 2.2.4 on obtient, d’une part asc(∆_(A−1

2 A1),(B1B−12 )) = 1, et d’autre part, comme

ker R2_C,D = A2₂(ker ∆2_(A−1 2 A1),(B1B2−1))B 2 2 = A2(ker ∆(A−1₂ A1),(B1B2−1))B2 = ker RC,D,

on arrive ainsi `a asc(RC,D) = 1.

Corollaire 2.2.10 Soient C = (A1, A2) et D = (B1, B2) deux couples d’op´erateurs

dans L(H). Si A1, B1∗, A2, B2∗ sont log-hyponormaux, tels que A1 double commute

avec A2 et B1 double commute avec B2, alors RC,D satisfait SVEP au point z´ero.

Théorème 2.2.11 Soient A, B ∈ L(H). Si A et B∗ sont log-hyponormaux, alors f (dA,B) satisfait le théorème de Weyl, où f ∈ H(σ(dA,B)).

Preuve. Compte tenu du Lemme 2.2.4, on en d´eduit que dA,B satisfait SVEP, ainsi

il s’ensuit du [31, Théorème 2.5] et des théorèmes 2.2.5 et 2.2.6 que dA,B satisfait le

th´eor`eme de Weyl.

Comme la propriété SVEP est stable par le calcul fonctionnel [49, Proposition 4.10.4] f (dA,B) satisfait SVEP pour toute f ∈ H(σ(dA,B)), aussi par [54, Théorème

2.3] on a

σW(f (dA,B)) = f (σW(dA,B)).

Ainsi

f (σW(dA,B)) = f (σ(dA,B)\E0(dA,B)) = σ(f (dA,B))\E0(f (dA,B)),

(30)

Théorème 2.2.12 Soient A, B ∈ L(H). Si A et B∗ sont log-hyponormaux, alors f (dA,B) satisfait le théorème généralisé de Weyl, pour toute f ∈ H(σ(dA,B)).

Preuve. Montrons d’abord que dA,B satisfait le théorème généralisé de Weyl. Soit

λ ∈ σ(dA,B)\σBW(dA,B), alors dA,B− λI est un op´erateur B-Fredholm d’indice 0 et

par [23, Th´eor`eme 3.3], asc(dA,B− λ) < ∞ et des(dA,B− λ) < ∞, entraˆınant ainsi

que λ ∈ isoσ(dA,B) et isoσ(dA,B) = E(dA,B), ceci d´ecoule, bien entendu du fait que

dA,B est isoloid.

R´eciproquement, si λ ∈ E(dA,B), alors dA,B − λ est de Fredholm d’indice 0 en

vertu du théorème 2.2.5 et du théorème 2.2.6, par conséquent E(dA,B) ⊂ σ(dA,B)\σBW(dA,B).

Ainsi, dA,B satifait le théorème généralisé de Weyl.

Soit f ∈ H(σ(dA,B)), par [20, Corollaire 2.4], on a σD(f (dA,B)) = f (σD(dA,B)).

Sachant que dA,B et f (dA,B) possèdent la propriété SVEP, en appliquant

[23, Th´eor`eme 3.3] on en tire

σD(dA,B) = σBW(dA,B) et σD(f (dA,B)) = σBW(f (dA,B)),

ceci entraˆıne que

f (σBW(dA,B)) = f (σ(dA,B)\E(dA,B))

= σ(f (dA,B))\E(f (dA,B))

= σD(f (dA,B))

= σBW(f (dA,B)).

Et ainsi f (dA,B) satisfait le théorème généralisé de Weyl par [21, Théorème 2.10].

2.3 La propri´

et´

e (gw) pour l’op´

erateur d

A,B

Dans cette partie, en considérant A et B deux opérateurs dans L(H) vérifiant ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B, On montre que si (d_{A( f}_e_B∗₎∗ − λ) est d’ascente et de descente finies et H0(dA( feB∗)∗ − λ) = ker(dA( feB∗)∗ − λ) pour tout λ ∈ C, alors

(dAB − λ) possède les mêmes propriétés. Des applications à ces résultats seront

donn´ees.

(31)

1. Si l’ascente de (d

e

A( fB∗₎∗ − λ) est finie pour tout λ ∈ C, alors l’ascente de (dAB − λ) est finie pour tout λ ∈ C et asc(dA( feB∗)∗− λ) = asc(dAB − λ).

2. Si la descente de (d_{A( f}_e_B∗₎∗− λ) est finie pour tout λ ∈ C, alors la descente de (dAB − λ) est finie pour tout λ ∈ C et des(dA( feB∗)∗− λ) = des(dAB − λ).

Preuve. Le cas dAB = δAB.

1. La preuve se fait en deux ´etapes.

– 1`ere ´etape . Supposons que A et B∗ sont injectifs, comme l’ascente (δ_{A( f}_e_B∗₎∗− λ) est finie pour tout λ ∈ C, alors il existe un entier positif m tel que asc(δ

e

A( fB∗₎∗ − λ) = m. Montrons que

ker(δAB− λ)(m+1) ⊂ ker(δAB − λ)m.

Soient A = U |A| et B∗ = V∗|B∗_{| la d´ecomposition polaire de A et B}∗

respectivement, alors e A|A|12 _{= |A|} 1 2_{A et |B}∗| 1 2_{( f}_B∗₎∗ _{= B|B}∗| 1 2_. Soit X ∈ ker(δAB− λ)(m+1), il vient

|A|12_(δ AB− λ)m+1(X)|B∗| 1 2 _{= (δ} e A( fB∗₎∗ − λ) m+1 (|A|12_X|B∗| 1 2_{) = 0.} Comme |A|12_X|B∗| 1 2 ∈ ker(δ e A( fB∗₎∗ − λ) (m+1) = ker(δ_{A( f}_e_B∗₎∗ − λ) m , on a (δ e A( fB∗₎∗− λ)m(|A| 1 2_X|B∗| 1 2_{) = |A|} 1 2_(δ AB− λ)m(X)|B∗| 1 2 _{= 0.} De l’injectit´e de |A|12 _{et |B}∗| 1 2_{, il vient (δ} AB − λ)m(X) = 0 entraˆınant

ker(δA,B− λ)(m+1) ⊂ ker(δAB− λ)m. D’autre par, puisque l’inclusion inverse

est vérifiée pour tous les opérateurs, on en déduit que ker(δAB − λ)(m+1) = ker(δAB − λ)m,

(32)

– 2`eme _´_{etape. Supposons que A et B}∗ _{sont non injectifs, alors l’hypoth`}_ese

ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B implique que

A = 0 ⊕ A2 suivant la d´ecomposition H = ker A ⊕ (ker A)⊥,

B = 0 ⊕ B2 suivant la d´ecomposition H = ker B∗ ⊕ (ker B∗)⊥,

avec A2 et B2 sont injectifs. Consid´erons l’op´erateur

X : ker B∗⊕ (ker B∗)⊥ → ker A ⊕ (ker A)⊥, qui poss`ede la repr´esentation matricielle suivante X = [Xij]2i,j=1.

Si X ∈ ker(δAB − λ)(m+1), il vient   (−1)m+1λm+1X11 (δ0B2 − λ) m+1_(X 12) (δA20− λ) m+1_(X 21) (δA2B2 − λ) m+1_(X 22)  = 0. En supposant λ 6= 0, on en tire (−1)mλmX11= 0 et X12∈ ker(δ0B2 − λ) m+1 , X21 ∈ ker(δA20− λ) (m+1) X22 ∈ ker(δA2B2 − λ) (m+1) .

On montre par une méthode similaire comme celle considérée dans la premi-ère étape que

ker(δ0B2 − λ) (m+1) = ker(δ0B2 − λ) m et ker(δA20− λ) (m+1) _{= ker(δ} A20− λ) m_,

Ce qui met en évidence en vertu de la première étape que ker(δA2B2 − λ)

(m+1) _{= ker(δ}

A2B2 − λ)

m_,

et ainsi, X ∈ ker(δAB − λ)m.

Le cas λ = 0 se démontre de la même manière. 2. La preuve se fait en deux étapes.

– 1`ere _´_{etape . Supposons que A et B}∗ _{sont injectifs. Comme la descente de}

(δ

e

A( fB∗₎∗ − λ) est finie pour tout λ ∈ C, alors il existe un entier positif p tel que des(δ_{A( f}_e_B∗₎∗− λ) = p.

(33)

Montrons alors que

ran(δAB− λ)p ⊂ ran(δAB− λ)p+1.

Soit Y ∈ ran(δAB−λ)p, alors il existe X ∈ L(H) tel que Y = (δAB−λ)p(X),

par cons´equent |A|12_{Y |B}∗| 1 2 ∈ ran(δ e A( fB∗₎∗− λ)p. Comme ran(δ e A( fB∗₎∗− λ)p = ran(δ e A( fB∗₎∗− λ)p+1, il s’ensuit que |A|12_{Y |B}∗|

1

2 ∈ ran(δ

e

A( fB∗₎∗− λ)p+1, et ainsi il existe X ∈ L(H) tel que |A|12_{Y |B}∗|

1 2 _{= (δ} e A( fB∗₎∗− λ)p+1(X) = |A| 1 2_(δ AB− λ)p+1(X)|B∗| 1 2_{. De} l’injectivit´e de |A|12 _{et |B}∗| 1 2_{, il vient Y ∈ ran(δ}

AB− λ)p+1et par cons´equent

ran(δAB− λ)p ⊂ ran(δAB− λ)p+1.

Puisque l’inclusion inverse est vérifiée pour tous les opérateurs on en déduit que

ran(δAB− λ)p+1 = ran(δAB − λ)p.

Ce qui permet de conclure que des(δAB − λ) = p pour tout λ ∈ C.

– 2`eme _´_{etape. Supposons que A et B}∗ _{sont non injectifs, l’hypoth`}_{ese ker A ⊂}

ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B implique que

A = 0 ⊕ A2 suivant la repr´esentation H = ker A ⊕ (ker A)⊥,

B = 0 ⊕ B2 suivant la repr´esentation H = ker B∗⊕ (ker B∗)⊥,

avec A2 et B2 sont injectifs. Soit Y ∈ ran(δAB − λ)p, alors il existe X ∈

L(ker B∗⊕ (ker B∗₎⊥_{, ker A ⊕ (ker A)}⊥_{) tel que}

  Y11 Y12 Y21 Y22  =   (−1)p_λp_X 11 (δ0B2 − λ) p_(X 12) (δA20− λ) p_(X 21) (δA2B2 − λ) p_(X 22)  .

Si λ 6= 0, en vertu de la premi`ere ´etape il existe X0 ∈ L(H) tel que Y = (δAB − λ)p+1(X0), on en conclut que Y ∈ ran(δAB − λ)p+1.

Le cas λ = 0 se démontre de la même manière. Le cas dAB = ∆AB se démontre de manière analogue.

(34)

Corollaire 2.3.2 Soient A, B ∈ L(H) tels que ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B, alors Π(d_{A( f}_e_B∗₎∗) ⊂ Π(dAB). Preuve. Soit λ ∈ Π(d e A( fB∗₎∗), alors d e

A( fB∗₎∗ − λ est d’ascente et de descente finies, du th´eor`eme 2.3.1, on en tire que dAB− λ est d’ascente et de descente finies. Ainsi

λ ∈ Π(dAB).

Th´eor`eme 2.3.3 Soient A, B ∈ L(H) tels que ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B. Si H0(dA( feB∗)∗ − λ) = ker(dA( feB∗)∗− λ) pour tout λ ∈ C, alors

H0(dAB− λ) = ker(dAB − λ) pour tout λ ∈ C.

Preuve. Le cas dAB = ∆AB.

– 1`ere _´_{etape . Supposons que A et B}∗ _{sont injectifs.}

Soit X ∈ H0(∆AB−λ) pour tout λ ∈ C, alors limn→+∞k(∆AB−λ)n(X)k

1 n = 0 pour tout λ ∈ C. Comme

k(∆_{A( f}_e_B∗₎∗− λ) n (|A|12_X|B∗| 1 2_)kn1 = k|A| 1 2_(∆ AB − λ)n(X)|B∗| 1 2k1n, on en d´eduit que |A|12_X|B∗|

1

2 ∈ ker(∆

e

A( fB∗₎∗−λ) impliquant X ∈ ker(∆AB−λ).

Comme l’inclusion inverse est vérifiée pour tous les opérateurs, alors H0(∆AB − λ) = ker(∆AB − λ) pour tout λ ∈ C.

– 2`eme _´_{etape. Supposons que A et B}∗ _{sont non injectifs, l’hypoth`}_{ese ker A ⊂}

ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B nous donne

A = 0 ⊕ A2 suivant la d´ecomposition H = ker A ⊕ (ker A)⊥,

B = 0 ⊕ B2 suivant la d´ecomposition H = ker B∗⊕ (ker B∗)⊥,

avec A2 et B2 sont injectifs.

Consid´erons l’op´erateur

X : ker B∗⊕ (ker B∗)⊥→ ker A ⊕ (ker A)⊥, qui poss`ede la rep´esentation matricielle X = [Xij]2i,j=1.

Si X ∈ H0(∆AB− λ) pour tout λ ∈ C, alors

lim n→+∞k   (−1)n_{(1 + λ)}n_X 11 (−1)n(1 + λ)nX12 (−1)n(1 + λ)nX21 (∆A2B2 − λ) n_(X 22)  k 1 n = 0,

(35)

ceci implique que limn→+∞k(−1)n(1 + λ)nXijk

1

n = 0 pour (i, j) = (1, 1), (i, j) = (1, 2), (i, j) = (2, 1) et limn→+∞k(∆A2B2 − λ)

n_(X 22)k

1 n = 0.

Si λ 6= −1, alors −(1 + λ)X11 = −(1 + λ)X12 = −(1 + λ)X21 = 0 et X22 ∈

ker(∆A2B2 − λ). Ainsi X ∈ ker(∆AB − λ).

Comme l’inclusion inverse est vérifiée pour tous les opérateurs, on en déduit que

H0(dAB − λ) = ker(dAB− λ) pour tout λ ∈ C.

Pour le cas λ = −1, le résultat voulu est obtenu par une méthode similaire. Le cas dAB = δAB se démontre de la même manière.

Corollaire 2.3.4 Soient A, B ∈ L(H), alors

1. asc(dAB − λ) ≤ 1 pour tout λ ∈ C. En particulier dAB satisfait SVEP.

2. H0(dAB− λ) = ker(dAB − λ) pour tout λ ∈ isoσ(dAB).

3. dAB est polaroid,

si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

1. A, B∗ sont p−hyponormaux ou log−hyponormaux.

2. A, B∗ sont w−hyponormaux tels que ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B.

3. A est w−hyponormal tel que ker A ⊂ ker A∗ et B∗ est p−hyponormal ou log −hyponormal.

4. A est p−hyponormal ou log −hyponormal et B∗ w−hyponormal tel que ker B∗ ⊂ ker B.

Preuve.

1. Si A, B∗ sont log −hyponormaux ou p−hyponormaux (0 < p ≤ 1₂)

ou w−hyponormaux avec ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B, alors de [36, Proposition 2.3] on a asc(d

g

( eA)[ g( fB∗_)]∗ − λ) ≤ 1, pour tout λ ∈ C, en appliquant le th´eor`eme 2.3.1, il vient asc(dAB − λ) ≤ 1, pour tout λ ∈ C. Ainsi dAB

satisfait SVEP en tout λ ∈ C.

2. En vertu de la preuve du th´eor`eme 2.7 dans [36], on a si A et B∗ sont hy-ponormaux, alors H0(dAB − λ) = ker(dAB− λ) pour tout λ ∈ isoσ(dAB). On

applique les mêmes arguments et le théorème 2.3.3 pour obtenir le résultat voulu.

(36)

3. Par [36, Th´eor`eme 2.7], on a si A et B∗ sont hyponormaux, alors dAB est

isoloid et par [36, Théorème 3.3] on a dAB satisfait le théorème généralisé de

Weyl, et par [24, Lemme 3.2], on obtient dAB est polaroid.

Comme isoσ(dAB) = isoσ(dA( feB∗)∗). On applique les mˆemes arguments pr´ec´

e-dents et le Corollaire 2.3.2 pour obtenir

λ ∈ isoσ(dA,B) = isoσ(dA( feB∗)∗) ⊂ Π(dA( feB∗)∗) ⊂ Π(dA,B).

Ainsi dAB est polaroid.

Corollaire 2.3.5 Soient A, B ∈ L(H), alors dAB, d †

AB , f (dAB), f (d †

AB) satisfont

le théorème généralisé de Weyl, pour toute f ∈ H(σ(dAB)), si l’une des conditions

suivantes est satisfaite :

1. A, B∗ sont p−hyponormaux ou log −hyponormaux.

4. Si A est p−hyponormal ou log −hyponormal et B∗ w−hyponormal tel que ker B∗ ⊂ ker B.

Preuve. D’aprés le corollaire précédent on a dAB est polaroid et d †

AB est polaroid

en vertu de [5, Th´eor`eme 2.5]. Comme dAB est polaroid, on a f (dAB) satisfait le

théorème généralisé de Weyl par [2, Théorème 3.15], pour toute f ∈ H σ(dAB). Or

σ(d†_AB) = σ(dAB), σBW(d † AB) = σBW(dAB), Π(d † AB) = Π(dAB), E(d † AB) = E(dAB),

et ainsi d†_AB satisfait le théorème généralisé de Weyl. Puisque d†_AB est polaroid, de [2, Théorème 3.15] on a f (d†_AB) satisfait le théorème généralisé de Weyl pour toute f ∈ H(σ(dAB)).

Th´eor`eme 2.3.6 Soient A, B ∈ L(H), alors dAB, d †

AB, f (dAB) satisfont la

pro-pri´et´e (gw), pour tout f ∈ H(σ(dAB)) qui n’est pas constante sur aucune composante

de σ(dAB), si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

(37)

Preuve. Compte tenu des corollaires 2.3.4 et 2.3.5 et de [10, Théorème 2.8], on a d†_AB satisfait la properiété (gw).

Par [3, Corollaire 2.5] dAB satisfait le théorème généralisé a-Browder. Montrons

que Πa(dAB) = E(dAB).

Soit λ ∈ E(dAB), alors λ ∈ Π(dAB) ⊂ Πa(dAB). Si λ ∈ Πa(dAB), alors par

[22] dAB − λ est un op´erateur de descente topologique uniforme, et prouvons que

λ ∈ isoσ(dAB).

Si λ /∈ isoσ(dAB), alors il existe une suite {µn} ⊂ σ(dAB) telle que µn → λ.

Ainsi α(dAB − µn) = c00(dAB − µn) = c00(dAB − λ) = α(dAB − λ) > 0, (voir [43]),

ce qui implique que λ est un point d’accumulation du σp(dAB). Ceci constitue une

contradiction du fait que dAB satisfait SVEP, donc λ ∈ isoσ(dAB) et comme dAB est

polaroid, on `a fortiori λ ∈ Π(dAB) = E(dAB).

Ainsi Πa(dAB) = E(dAB).Par [10, Théorème 2.6] la propriété (gw) est satisfaite

pour dAB. Si dAB satisfait SVEP alors f (dAB) satisfait SVEP, par [1], et par [3]

f (dAB) satisfait le théorème généralisé a-Browder, pour f ∈ H(σ(dAB)) qui n’est

pas constante sur aucune composante du σ(dAB) et ainsi Π(f (dAB)) = E(f (dAB))

par [24, Th´eor`eme 3.3].

Par une m´ethode similaire on prouve que Πa_{(f (d}

AB)) = E(f (dAB)) impliquant

f (dAB) satisfait la propri´et´e (gw).

Corollaire 2.3.7 Soient A, B ∈ L(H), alors d†_AB satisfait le théorème généralisé a-Weyl, si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

Preuve. En vertu du Corollaire 2.3.4, dAB satifait SVEP et en appliquant [10,

Théorème 2.8], le résultat en dećoule.

Dans l’exemple suivant on donne un shift unilatéral pondéré qui satisfait la propriété (gw).

(38)

Exemple 2.3.8 Soit T le shift unilatéral pondéré défini sur H = l2 par :

T (x1, x2, x3, ...) = (0, α1x1, α2x2, α3x3, ....),

tel que (αn) est une suite de nombres r´eels positifs et αn −→ 0, alors

σp(T ) = ∅ et σ(T ) = {0}. Montrons que σSBF₊−(T ) = σa(T ).

On a d’apr´es [11] σ_SBF−

+(A) ∪ {λ ∈ C : A ne satisfait pas SVEP au point λ} = σLD(A), pour tout A ∈ L(H) et par [22, Th´eor`eme 3.1]

σ_SBF− +(A) ⊇ σa(A)\E a (A) si et seulement si σ_SBF− +(A) = σLD(A), pour tout A ∈ L(X).

Comme l’opérateur T satisfait SVEP et d’aprés les résutats précédent on obtient σ_SBF−

+(T ) = σa(T )\E(A) = σa(T ), alors T satisfait la propriété (gw) ainsi que le théorème généralisé de Weyl.

Remarque 2.3.9 Soit A ∈ L(H), si A ne possède pas de valeurs propres, alors A satisfait la propriété (gw).

(39)

Chapitre 3

Le th´

eor`

eme de Fuglede-Putnam

3.1 Introduction

Soient H1et H2deux espaces d’Hilbert complexes s´eparables de dimension infinie

et L(H1, H2) l’espace des opérateurs linéaires bornés de H1dans H2. Si H1 = H2 = H

on note L(H) au lieu de L(H, H).

Un op´erateur A est dit dominant d’apr`es J. Stampli et B.L. Wadhwa [59] si pour tout complexe λ, ran(A − λ) ⊂ ran(A − λ)∗.

Ceci est équivalent à l’existence d’un réel Mλ tel que

k (A − λ)∗)x k≤ Mλ k (A − λ)x k, pour tout x ∈ H.

S’il existe une constante M telle que Mλ ≤ M, pour tout λ, A est appel´e

M −hyponormal, et si M = 1, A est hyponormal. Par cons´equent nous avons les inclusions suivantes :

{N ormal} ⊆ {Hyponormal} ⊆ {M − Hyponormal} ⊆ {Dominant}. Soit A ∈ L(H) et A = U |A| la décomposition polaire de l’opérateur A, avec U une isométrie partielle et |A| = (A∗A)12.

On associe à A un opérateur trés utile, qu’on appelle transformation d’Aluthge e

A = |A|12_{U |A|} 1

2_{. Il est connu que e}_{A = A si et seulement si A est quasinormal (A} commute avec A∗A). Ainsi fA est diff´erent de A si A n’est pas quasinormal.

Un opérateur A ∈ L(H) est dit w-hyponormal si | eA| ≥ |A|. De la définition il s’ensuit que si A est w-hyponormal, alors eA est semi-hyponormal. Aluthge et Wang dans [7] et [8] ont démontré que la classe des w-hyponormaux contient strictement la

(40)

classe des p-hyponormaux et des log-hyponormaux, donc nous avons les inclusions suivantes :

{hyponormaux} ⊂ {p − hyponrmaux} ⊂ {w − hyponormaux}.

{inversible − hyponormaux} ⊂ {inversible − p − hyponrmaux} ⊂ {log − hyponormaux} ⊂ {w − hyponormaux}.

Rappelons que le théorème de Fuglede-Putnam assure que si A et B sont des opérateurs normaux et AX = XB, pour certain X ∈ L (H), alors A∗X = XB∗. Ce théorème a ètè généralisé par plusieurs auteurs, nous citons entre autres, A. Bachir et A. Segres [14, 15] pour le cas des opérateurs dominants et p-hyponormaux, I. H. Jeon, K. Tanahashi et A. Uchiyama [48] pour les opérateurs p-hyponormaux et log-hyponormaux.

Dans ce chapitre on prouve que le théorème de Fuglede-Putnam reste valable pour A un opérateur dominant et B∗ w-hyponormal tel que ker B∗ ⊂ ker B, le théorème de Fuglede-Putnam est vérifié aussi lorsque A et B∗ sont w-hyponormal tels que ker A ⊂ ker A∗ et ker B∗ ⊂ ker B. Signalons que ce travail a été soumis [16].

3.2 Le th´

eor`

eme de Fuglede-Putnam pour les

op´

erateurs w-hyponormaux

Dans cette section nous présentons les principaux résultats sur le théorème de Fuglede-Putnam. Les théorèmes principaux de ce chapitre repose sur le Théorème 3.2.3 et lemme 3.2.4 qui ajoutent des propriétés importante à la classe des w-hyponormaux.

Définition 3.2.1 On dit que la paire (A, B) vérifie le théorème de Fuglede-Putnam. Si AX = XB pour un certain X ∈ L(H), alors

A∗X = XB∗.

Th´eor`eme 3.2.2 [33] Soient A ∈ L(H1) et B∗ ∈ L(H2) sont p−hyponormaux.

Si AX = XB pour certain X ∈ L(H2, H1), alors A∗X = XB∗, R(X) r´eduit A,

ker(X)⊥ r´eduit B, et A |_R(X), B |_{(ker X)}⊥ sont des op´erateurs normaux unitairement ´

(41)

Théorème 3.2.3 Soit E un sous-espace invariant par un opérateur w-hyponormal A ∈ L(H), alors A |E la réstriction de A sur E est w-hyponormal.

Preuve. Soit P la projection orthogonale sur E. On a AP = P AP .

Comme P est une projection, I − P est aussi une projection et I − P ≥ 0, d’o´u AP P A∗ ≤ AA∗ _{et ainsi on en d´}_{eduit que}

|(AP )∗|2 ≤ |A∗|2.

En appliquant le théorème de Löwner Heinz [45], on obtient

|(AP )∗| ≤ |A∗|. (3.2.1)

Comme |AP |2 = P A∗AP = P |A|2P , de l’in´egalit´e de Hansen [44], on obtient |AP | ≥ P |A|P,

ainsi

P |AP |P ≥ P |A|P.

Comme ker P ⊂ ker AP = ker |AP | ⊂ ker A = ker |A|, en appliquant [46, Lemme 8], on obtient

|AP | ≥ |A|. (3.2.2)

Comme A est w-hyponormal, alors

(|A∗|12|A||A∗| 1 2₎

1

2 ≥ |A∗|. (3.2.3)

En appliquant l’inégalité (3.2.1), (3.2.3) et [65, Lemme 5], il vient (|(AP )∗|12|A||(AP )∗| 1 2₎12 ≥ |(AP )∗|. (3.2.4) De (3.2.2) on obtient |(AP )∗|12|A||(AP )∗| 1 2 ≤ |(AP )∗| 1 2|AP ||(AP )∗| 1 2_. En appliquant le théorème de Löwner Heinz [45], on obtient

(|(AP )∗|12|A||(AP )∗| 1 2₎12 ≤ (|(AP )∗| 1 2|AP ||(AP )∗| 1 2₎12. (3.2.5) De (3.2.4), (3.2.5) il en r´esulte que

(|(AP )∗|12|AP ||(AP )∗| 1

2₎12 ≥ |(AP )∗|. D’o`u alors AP est w-hyponormal.

(42)

Lemme 3.2.4 Soient A ∈ L(H) un opérateur w-hyponormal et E un sous espace invariant par A et réduisant par eA, tel que eA |E la réstriction de eA sur E soit un

op´erateur normal injectif, alors A |E= eA |E et E r´eduit A.

Preuve. Soient e A = A0 0 0 ∗ , A = A1 B 0 D sur H = E ⊕ E⊥.

Comme A est w-hyponormal, alors | eA| ≥ |A| ≥ |( eA)∗|. Soit P la projection ortho-gonale sur E, alors

(A∗₀A0) 1 2 = P | eA|P ≥ P |A|P ≥ P |( eA)∗|P = (A₀A∗ 0) 1 2. En appliquant le théorème de Löwner Heinz [45] on obtient

|A0| 1 2 = P | eA| 1 2 P ≥ P |A|12_{P ≥ P |( e}_A)∗| 1 2 P = |A∗₀|12. on a |A|12A = eA|A| 1 2 et P |A| 1 2_{P = |A} 0| 1 2, on en d´eduit que |A0| 1 2A₁ = A₀|A₀| 1 2

Comme A0 est un op´erateur injectif et normal. Alors A1 = A |E= A0 = eA |E, ainsi

A = A0 B 0 D sur H = E ⊕ E⊥. Ce qui donne A∗A = A∗₀A0 A∗0B B∗A0 B∗B + D∗D sur H = E ⊕ E⊥. Comme l’op´erateur A0 est normal, |A|

1 2 est de la forme |A|12 = |A0| 1 2 _X X∗ Y sur H = E ⊕ E⊥. On a P |A|12|A| 1 2P = |A 0|,

on en d´eduit que |A0| = |A0| + XX∗, ainsi X = 0.

D’o`u alors |A| = |A0| ⊕ Y2 impliquant A∗A = A∗0A0 ⊕ Y4. Par cons´equent

(43)

Th´eor`eme 3.2.5 Si A ∈ L(H1) est dominant et B∗ ∈ L(H2) est w-hyponormal tel

que ker B∗ ⊂ ker B, alors la paire (A, B) vérifie le théorème de Fuglede-Putnam. Preuve. Nous considérons deux cas.

Cas 1. Supposons que B∗ est injectif et AX = XB pour un certain X ∈ L(H2, H1). Comme R(X) est invariant par A et (ker X)⊥ est invariant par B∗, on

peut consid´erer les d´ecompositions suivantes : H1 = R(X) ⊕ R(X)

⊥

, H2 = (ker X)⊥⊕ ker X,

et par suite les op´erateurs A et B peuvent s’´ecrire sous les formes suivantes : A = A1 A2 0 A3 , B = B1 0 B2 B3 . X = X1 0 0 0 : (ker X)⊥⊕ ker X → R(X) ⊕ R(X)⊥. De AX = XB on obtient A1X1 = X1B1. (3.2.6) Soit B∗₁ = U∗|B∗

1| la d´ecomposition polaire de B1∗. Multiplions les deux membres

de (3.2.6) par |B₁∗|12, on obtient A1X1|B1∗| 1 2 = X 1B1|B1∗| 1 2, ainsi A1X1|B1∗| 1 2 = X₁|B∗ 1| 1 2( fB∗ 1) ∗ ,

Comme A1 est dominant par [59] et B1∗ est w−hyponormal par le Th´eor`eme 3.2.3,

alors fB∗

1 est semi-hyponorml, en appliquant [62] on obtient la paire (A1, fB1∗) satisfait

le théorème de Fuglede-Putnam. Par conéquent A1 |

R(X1|B1∗| 1 2)et fB ∗ 1 |_ker(X 1|B∗1| 1 2)⊥sont des op´erateurs normaux.

Comme X1 est injectif `a image dense et |B∗1|

1

2 est injectif ainsi R(X1|B1∗| 1 2) = R(X₁) = R(X), et ker(X1|B∗1| 1 2) = ker(X₁) = ker(X).