Math Sup ES01- Analyse

T.S.V.P.

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse ES01- Analyse

Math Sup ES01- Analyse

EXERCICE I

L’objectif du problème est le calcul approché d’une racine carrée d’un nombre réel A.

Pour cela, on considère deux suites (xn) et (yn), telles que :

0 0

1 1

1 ,

,

n n n

n n n

x y

x x y n

y y Ax n

+ +

= =



= + ∀ ∈

 = + ∀ ∈



ℕ ℕ

Première partie : Calcul approché de A, avec A > 0.

1. Montrer que les suites (xn) et (yn) sont strictement positives et strictement croissantes.

2. Montrer que les suites (xn) et (yn) sont divergentes.

3. Pour tout n∈ℕ,on pose : _n ⁿ

n

r y

= x ^. a) Montrer que pour tout , ₁

1

n n

n

r A

n r

+ r

∈ = +

ℕ + .

b) Etudier, en fonction de A, les variations de la fonction f définie sur ℝ⁺par : ( ) 1 x A f x x

= +

+ . 4. On suppose que 0 < A < 1.

Montrer que la suite (rn) converge et déterminer sa limite.

5. On suppose que A > 1. Pour tout n∈ℕ,on pose : u_n=r_2n et v_n=r_2n+1. a) Montrer que pour tout n∈ℕ,u_n≤ A≤v_n.

b) Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

c) En déduire que la suite (rn) converge et déterminer sa limite.

Deuxième partie : Majoration de l’erreur

1. Montrer que pour tout n≥2, x_n > +(1 A x) _n−2 ; en déduire que pour tout n≥1: x_2n> +(1 A)^n.

2. Vérifier que pour tout n∈ℕ, ^{yn2+1−Axn2+1= −}

(

) (

)

en déduire que pour tout n∈ℕ_: yn²−Axn² = −

(

)

3. On suppose que A > 1.

Montrer que pour tout n∈ℕ,

( )

2 2

1 2

n n

n

u A A

x

− +

− < ; en déduire que

1 1 2

2 1

n n

A A

u A

A

−  − 

− <  

+

  .

4. On suppose que 0 < A < 1.

Montrer que pour tout n∈ℕ,

( )

2 2

1 2

n n

n

u A A

Ax

− +

− < ; en déduire que

1 1 2

2 1

n n

A A

u A

A A

−  − 

− <  

+

  .

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse ES01- Analyse

EXERCICE II

On considère l’équation différentielle suivante :

3 2

'' 2 ' 3 e

ch ( )

x

y y y

− − = x (E)

1. Donner les solutions de l’équation différentielle homogène : '' 2 ' 3 0 y − y− y= (H)

2. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si la fonction z définie sur ℝpar z x( )=e^−3xy x( ) est solution de l’équation différentielle :

( )

2

'' 4 ' 1 z z ch

+ = x (L1)

3. Montrer que pour que z soit solution de (L1) il suffit que z soit solution de l’équation différentielle :

( ) ( )

' 4 sh ch z z x

+ = x (L2)

4. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel x :

2

4 2 2

2 2

e 1

e e e

e 1 1 e

x

x x x

x x

a b c

− =  + + 

+  + 

5. Résoudre (L2).

6. Donner l’ensemble des solutions de (E).

Barème envisagé : 12 points - 8 points