Math Sup ES01- Algèbre

T.S.V.P.

Math Sup PTSI - ICAM Toulouse ES01- Algèbre

Math Sup ES01- Algèbre

2014-2015

EXERCICE I

On note ^{U = ∈}

{

^{z ℂ/ z = =1}

} {

^{e /iθ θ∈ −π π}

]

^;

] }

^.

Soit

(

^{a b c d; ; ;}

)

^{∈ℂ4 tel que ad−bc≠0}. On appelle homographie définie par la relation

( )

^{az b}

h z cz d

= +

+ l’application h à valeurs dans ℂ qui à tous z∈ℂ tels que cz+ ≠d 0 associe az b cz d + + .

Première partie : Etude d’un exemple.

Soit g l’homographie définie par ^{g z}

( )

^{z i}

z i

= − + .

1. Montrer que g établit une bijection de ^ℂ\

{ }

⁻ⁱ sur un ensemble D à déterminer.

2. a) Montrer que ^{∀ ∈z ℝ,g z}

( )

^∈U.

b) Montrer que ^{e ,}

( ( )

^e

)

^cos2

sin2

i i

U D g z z

θ θ

θ

 

 

∀ ∈ = ⇔ = − θ

 

∩ .

3. a) Montrer que ^{∀ ∈eiθ U\ e}_ ^{−i2π}_^,g

( )

^{eiθ =itan}_^{θ π}₂⁻₄^_^.

b) En déduire l’image de U\ e ⁱ²

−π

 

 

  par g.

c) Montrer géométriquement que les antécédents des imaginaires purs sont dans U\ e ⁱ²

− π

 

 

 .

Deuxième partie : Homographies conservant U

L’objectif est de déterminer l’ensemble des homographies h telles que :

( )

,

z U h z U

∀ ∈ ∈ . 1. Soit ^{θ∈ −π π}

]

^;

]

et h l’homographie définie par ^{h z}

( )

^ei

z

= θ. Montrer que ^{∀ ∈z U h z,}

( )

^{∈U .}

2. Soient α ∈ℂ tel que ^{α∉U,θ∈ −π π}

]

^;

]

et h l’homographie définie par

( )

^e

1

i z

h z z

θ + α

= α + . a) Montrer que h est bien une homographie, et que h est définie sur U.

b) Montrer que ^{∀ ∈z U h z,}

( )

^∈U.

Réciproquement, nous allons démontrer que seules les homographies h étudiées dans les questions 1.

et 2. sont telles que :^{∀ ∈z U h z,}

( )

^∈U.

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3. a) Montrer que ^∀

( )

^{a b; ∈ℂ2,a+b2=a2+b2+2 Re}

( )

^{a b .}

b) Soit

( )

^{a b; ∈ℂ2}, montrer que :

(

^{∀θ∈ −π π}

]

^;

]

^{, a+2 Re}

(

^{be− θi}

)

⁼⁰

)

^⇒

^{( (}

^{a= ∧ =0}

^{) (}

^{b 0}

^{) )}

4. Soient

(

^{a b c d; ; ;}

)

^{∈ℂ4 tel que ad−bc≠0}, et h l’homographie définie sur U par ^{h z}

( )

^{az b}

cz d

= +

+ telle que ^{∀ ∈z U h z,}

( )

^{∈U .}

a) Montrer que ^{∀θ∈ −π π}

]

^;

]

^{, a2+ b2+2 Re}

(

^{a be− θi}

)

^{= c2+ d2+2 Re}

(

^{c de− θi}

)

^.

b) En déduire que a²+ b²= c²+ d² et a b=c d.

c) Si a = 0 : montrer que h est du type étudié à la question 1.

d) Si a≠0 : montrer que

(

^{a2− c2}

)(

^{a2− d 2}

)

^=0.

e) Montrer que le cas a²= c² est impossible de par la condition ad −bc≠0.

f) Montrer que le cas a²= d² conduit à une homographie du type étudié à la question 2.

EXERCICE II

Soit

2 1 1

6 2 4

4 1 3

A

−

 

 

= − − 

− 

 

.

1. Montrer que : A³ = 6A – A².

2. Montrer qu’il existe deux suites réelles

( )

an n_≥2 et

( )

bn n_≥2 telles que :∀ ≥n 2,Aⁿ=a A_n ²+b A_n ^{, et} établir des relations de récurrence vérifiées par les suites

( )

an n_≥2 et

( )

bn n_≥2.

3. a) Montrer que ∀ ≥n 2,a_n+2 = −a_n+1+6a_n :

b) En déduire les formes explicites des suites

( )

an n_≥2 et

( )

bn n_≥2 pour tout n≥2^.

EXERCICE III

Dans le plan complexe, on considère trois points non alignés A, B et C d’affixes a, b et c respectivement.

Montrer qu’il existe un unique triangle dont les côtés ont pour milieux A, B et C, et préciser les affixes de ses sommets.

NB : toute trace de recherche sera prise en compte dans la notation.

Barème envisagé : 12 points - 5 points- 3 points