11 - SURFACES - Sujet 1

(1)

CB n

^◦

11 - SURFACES - Sujet 1

Dans tout le sujet, l’espace est rapporté à un repère orthonormé(O,−→ i ,−→

j ,−→ k).

EXERCICE 1

SoientC la courbe admettant pour paramétrage :t7→





 x=t y=t² z=t³

, etS la surface réglée engendrée par les droitesTttangentes à C en M(t).

1. Déterminer un paramétrage de S.

La tangent àCenM(t)est dirigée par



 1 2t 3t²



d’où le paramétrageψdeS:(t, u)7→







x(t, u) =t+u y(t, u) =t²+ 2tu z(t, u) =t³+ 3t²u

2. Déterminer les points singuliers de S et, pour les points réguliers, donner une équation cartésienne du plan tangent àS.

Pour (t, u)∈R², on a : ∂ψ

∂t(t, u) =



 1 2(t+u) 3t(t+ 2u)



 et ∂ψ

∂u(t, u) =



 1 2t 3t²



.

La famille ∂ψ

∂t(t, u),∂ψ

∂u(t, u)

est libre si, et seulement siu 6= 0, donc les points stationnaires sont les points M(t,0), c’est-à-dire les points de C.

Pour u6= 0, le plan tangent àS en M(t, u)admet pour équation :

x−(t+u) 1 1

y−(t²+ 2tu) 2(t+u) 2t z−(t³+ 3t²u) 3t(t+ 2u) 3t²

= 0⇐⇒

x−t 0 1 y−t² 2u 2t z−t³ 6tu 3t²

= 0et comme u6= 0 on obtient :

−3t²x+ 3ty−z+t³ = 0

3. Vérifier que tous les points réguliers d’une même génératriceTtont le même plan tangent.

L’équation du plan tangent àS en M(t, u) ne dépend pas deu; on a donc bien le même plan tangent pour tous les points réguliers d’une même génératrice.

EXERCICE 2

SoitC la courbe d’équations :

x−y−1 = 0

x²+ 2z²−y−1 = 0 .

1. Déterminer la projection de C sur le plan (yOz), et la représenter.

On noteC_x la projection deC sur le plan(yOz). On a : M(0, y, z)∈Cx⇔ ∃x₀∈R,

x₀−y= 1

2 2 ⇔ ∃x₀∈R,

x₀=x−1

2 2 .

(2)

On en déduit que Cx a pour équations :

 y+1

2 + 2z²= 1 4

.

On reconnait une ellipse de centreΩ

0,−1 2,0

.

2. Donner une équation cartésienne du cylindre Σ de directrice C dont les génératrices sont parallèles à la droite d’équations

x−2y−3 = 0 x−y−z−2 = 0 .

La droite Dd’équations

x−2y−3 = 0

x−y−z−2 = 0 est dirigée par−→u =



 1

−2 0



∧



 1

−1



=



 2 1 1



. On a :

M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃t∈R, M +t−→u ∈C⇔ ∃t∈R,

(x+ 2t)−(y+t) = 1

(x+ 2t)²+ 2(z+t)²−(y+t)−1 = 0

⇔ ∃t∈R,

t=−x+y+ 1

(x+ 2(−x+y+ 1))²+ 2(z+ (−x+y+ 1))²−(y+ (−x+y+ 1)) = 1 . On obtient ainsi l’équation cartésienne deΣ:

3x²+ 6y²+ 2z²−8xy−4xz+ 4yz−7x+ 10y+ 4z+ 4 = 0

3. Donner une équation cartésienne de la surface de révolutionS engendrée par la rotation deC autour de la droite (Oy).

M(x, y, z)∈S ⇔ ∃M(x₀, y₀, z₀)∈C,

( −−−→

M M₀·−→ j =−→

0 OM0 =OM

⇔ ∃(x₀, y₀, z₀)∈R³,











x0−y0= 1

x²₀+ 2z₀²−y₀−1 = 0 y0 =y

x²+y²+z²=x²₀+y₀²+z₀²

⇔ ∃(x₀, y₀, z₀)∈R³,











y₀ =y x0= 1 +y z²₀ = 1

2 1 +y−(1 +y)²

x²+y²+z²= (1 +y)²+y²+1

2 1 +y−(1 +y)²

Il faut 1 +y−(1 +y)² ≥0, donc y∈[−1,0]; on en déduit une équation cartésienne de S : 2x²−y²+ 2z²−3y−2 = 0 avec y ∈[−1,0]

(3)

EXERCICE 3

SoitS la surface d’équation : x³+y³+z³−3xyz= 1.

1. Donner une équation du plan tangent tangent àS en A(1,0,0).

On notef(x, y, z) =x³+y³+z³−3xyz−1.

On a −−−→

Gradf(x, y, z) =





3x²−3yz 3y²−3xz 3z²−3xy



 donc −−−→

Gradf(1,0,0) =



 3 0 0



.

On en déduit l’équation du plan tangent àS enA :x= 1.

2. On pose s=x+y+z ett=x²+y²+z². Montrer que l’équation de S s’écrit :3st−s³= 2.

3st−s³ = 3(x+y+z)(x²+y²+z²)−(x+y+z)³ = 2(x³+y³+z³−3xyz) = 2

3. SoitB une base orthonormée directe, dont le premier vecteur est colinéaire à −→u =−→ i +−→

j +−→ k. A l’aide de la question précédente, donner une équation deS dans le repère(O,B).

Si on note (x, y, z) les coordonnées d’un point M dans le repère initial et(x1, y1, z1) ses coordonnées dans (O,B), on a : x1 = 1

√3(x+y+z) et x²₁ +y²₁+z₁² =x²+y² +z², donc l’équation de S dans (O,B) devient : 3√

3x₁(x²₁+y₁²+z₁²)−3√

3x³₁ = 2, soit encore : 3√

3x₁(y₁²+z₁²) = 2

4. En déduire que S est une surface de révolution autour de la droite D= (O,−→u).

Les intersections de S avec les plans d’équationsx₁=ksont des cercles de centre sur l’axe (O,−→u).

On en déduit que S est une surface de révolution autour de la droite D= (O,−→u).

(4)

CB n

^◦

11 - SURFACES - Sujet 2

Dans tout le sujet, l’espace est rapporté à un repère orthonormé(O,−→ i ,−→

j ,−→ k).

EXERCICE 1

SoitS la surface admettant pour paramétrage :(u, v)7→







x=u+v² y=v+u² z=uv

1. Montrer que le point A de S de paramètres (1,1) est un point régulier, et déterminer une équation cartésienne du plan P tangent à S en A.

On noteψ le paramétrage de S.

Pour (u, v) ∈ R², on a : ∂ψ

∂u(u, v) =



 1 2u

v



 donc ∂ψ

∂u(1,1) =



 1 2 1



 et ∂ψ

∂v(u, v) =



 2v

1 u



 donc

∂ψ

∂v(1,1) =



 2 1 1



 . La famille

∂ψ

∂u(u, v),∂ψ

∂v(u, v)

est libre doncA est un point régulier de C.

Le plan tangent à S en A(1,1)admet pour équation :

x−2 1 2 y−2 2 1 z−1 1 1

= 0, c’est-à-dire

x+y−3z−1 = 0

2. Montrer que la courbe Γ admettant pour paramétrage : t 7→







x= 1 +t² y= 1 +t z=t

est tracée surS et passe parA.

On noteϕle paramétrage de Γ. On aϕ(t) =ψ(1, t) donc Γ est tracée surS.

De plus A=ψ(1,1) =ϕ(1)donc A est surΓ.

3. Donner un paramétrage de la tangente àΓ enA, et vérifier qu’elle est dansP. La tangente à Γen A estT =A+Vect(−−−→

ϕ⁰(1)) d’où son paramétrage :

t7→







x= 2 + 2t y= 2 +t z= 1 +t

, t∈R

De plus, pour tout réel ton a :(2 + 2t) + (2 +t)−3(1 +t)−1 = 0donc T ⊂P

(5)

EXERCICE 2

SoitC la courbe d’équations :

x−y−1 = 0 x²−z²−y= 0 .

1. Déterminer la projection de C sur le plan (xOz), et la représenter.

On noteCy la projection deC sur le plan (xOz). On a : M(x,0, z)∈Cy ⇔ ∃y₀∈R,

x−y₀ = 1

x²−z² =y₀ ⇔ ∃y₀ ∈R,

y₀ =x−1

x²−z²=x−1 . On en déduit que Cy a pour équations :





 y= 0

z²−

x−1 2

2

= 3 4

.

On reconnait une hyperbole de centreΩ 1

2,0,0

.

2. Donner une équation cartésienne du cylindre Σ de directrice C dont les génératrices sont parallèles à la droite d’équations

x−2y−3 = 0 x−y−z−2 = 0 .

La droite Dd’équations

x−2y−3 = 0

x−y−z−2 = 0 est dirigée par−→u =



 1

−2 0



∧



 1

−1



=



 2 1 1



. On a :

M(x, y, z)∈Σ⇔ ∃t∈R, M +t−→u ∈C⇔ ∃t∈R,

(x+ 2t)−(y+t) = 1

(x+ 2t)²−(z+t)²−(y+t) = 0

⇔ ∃t∈R,

t=−x+y+ 1

(x+ 2(−x+y+ 1))²−(z+ (−x+y+ 1))²−(y+ (−x+y+ 1)) = 0 . On obtient ainsi l’équation cartésienne deΣ:

3y²−z²−2xy+ 2xz−2yz−x+ 4y−2z+ 2 = 0

3. Donner une équation cartésienne de la surface de révolutionS engendrée par la rotation deC autour de la droite (Ox).

M(x, y, z)∈S ⇔ ∃M(x0, y0, z0)∈C,

( −−−→

M M₀·−→ i =−→

0 OM0 =OM

⇔ ∃(x₀, y₀, z₀)∈R³,











x0−y0 = 1 x²₀−z₀²=y₀ x0 =x

x²+y²+z² =x²₀+y²₀+z₀²

⇔ ∃(x₀, y₀, z₀)∈R³,







x₀ =x y0 =x−1 z² =x²−x+ 1

(6)

Pour tout réel x, on ax²−x+ 1>0on en déduit une équation cartésienne deS : 2x²−y²−z²−3x+ 2 = 0

EXERCICE 3

SoitS la surface d’équation : x³+y³−xy²−x²y+ 2xz²+ 2yz² = 1.

1. Donner une équation du plan tangent tangent àS en A(1,0,0).

On notef(x, y, z) =x³+y³−xy²−x²y+ 2xz²+ 2yz²−1.

On a −−−→

Gradf(x, y, z) =





3x²−y²−2xy+ 2z² 3y²−2xy−x²+ 2z²

4xz+ 4yz



donc −−−→

Gradf(1,0,0) =



 3

−1 0



.

On en déduit l’équation du plan tangent àS enA :3x−y−3 = 0.

2. On pose s=x+y ett=x²+y²+z². Montrer que l’équation de S s’écrit :2st−s³= 1.

2st−s³ = 2(x+y)(x²+y²+z²)−(x+y)³ =x³+y³−xy²−x²y+ 2xz²+ 2yz²= 1

3. SoitB une base orthonormée directe, dont le premier vecteur est colinéaire à −→u =−→ i +−→

j. A l’aide de la question précédente, donner une équation deS dans le repère(O,B).

Si on note (x, y, z) les coordonnées d’un point M dans le repère initial et(x1, y1, z1) ses coordonnées dans(O,B), on a : x1 = 1

√

2(x+y) etx²₁+y²₁+z²₁ =x²+y²+z², donc l’équation deS dans(O,B) devient : 2√

2x₁(x²₁+y₁²+z²₁)−2√

2x³₁ = 1, soit encore : 2√

2x₁(y₁²+z₁²) = 1

4. En déduire que S est une surface de révolution autour de la droite D= (O,−→u).

Les intersections de S avec les plans d’équationsx₁=ksont des cercles de centre sur l’axe (O,−→u).

On en déduit que S est une surface de révolution autour de la droite D= (O,−→u).