Chapitre 9

Chapitre 9

Polynômes symétriques et résolution des équations

Version du 13 décembre 2004

9.1 Polynômes symétriques

9.1.1 Groupe symétrique et polynômes symétriques

Définition 9.1.1 On noteS_n le groupe des permutations de {1, . . . , n}, c.- à-d., des bijections de {1, . . . , n} sur lui-même. C’est un groupe de cardinal n!, car une permutationσ est déterminée par la donnée deσ(1), pour lequel il y an choix, puis deσ(2), pour lequel il resten−1choix, etc.

Définition 9.1.2 Soientkun corps etAunek-algèbre. Unk-automorphisme de Aest un automorphisme d’anneauφ:A→^∼ Atel queφ(λ) =λpour tout λ ∈ k. Il est clair que l’ensemble des k-automorphismes de A forme un groupe ; on le noteAut_k(A).

Lemme 9.1.1 Soitk un corps. Tout élément σ ∈S_n induit un k-automor- phisme φ_σ de la k-algèbre k[X₁, . . . , X_n], défini par

(∗) φ_σ(X_i) =X_σ(i), ∀i= 1, . . . , n.

L’application σ 7→ φ_σ est un isomorphisme de S_n sur un sous-groupe du groupe des k-automorphismes de k[X₁, . . . , X_n].

Démonstration. D’après la propriété universelle de A := k[X₁, . . . , X_n], il existe, pour tout σ ∈S_n, un unique morphisme dek-algèbres φ_σ :A→A

vérifiant(∗). De plus, il résulte de(∗)queφ_id=id_Aet queφ_σ◦φ_τ =φ_στ. Ceci entraîne, d’une part, que chaqueφ_σ est un automorphisme de A, d’inverse φ_σ⁻¹, et, d’autre part, que l’applicationσ7→φ_σest un morphisme de groupes de S_n dans Aut_k(A). Enfin, (∗) montre aussi que φ_σ = id_A ssi σ = id, et donc σ 7→ φ_σ est un isomorphisme de S_n sur le sous-groupe {φ_σ}_σ∈Sn de Aut_k(A).¤

NotationPour toutP ∈k[X₁, . . . , X_n], on écrira simplement σ(P) au lieu deφ_σ(P).

Définition 9.1.3 Soit P ∈k[X₁, . . . , X_n]. On dit que P est unpolynôme symétriquesi l’on aσ(P) =P pour toutσ∈S_n, c.-à-d., siP est invariant par toute permutation des variablesX₁, . . . , X_n. On note

k[X₁, . . . , X_n]^Sn

la sous-algèbre des polynômes symétriques. (On voit facilement que c’est une sous-algèbre.)

Exemple 9.1.1 Soitn= 2. Les polynômesX₁+X₂,X₁X₂, etX₁²X₂+X₂²X₁ sont symétriques. Le polynômeX₁+X₂² ne l’est pas.

Définition 9.1.4 (Polynômes symétriques élémentaires) On pose : σ₁ = X₁+· · ·+X_n,

σ₂ = P

1≤i<j≤nX_iX_j, ...

σ_k = P

1≤i1<···<ik≤nX_i1· · ·X_ik, ...

σ_n = X₁· · ·X_n.

Ce sont des polynômes symétriques, appelés lespolynômes symétriques élémentaires.

9.1.2 Relations entre coefficients et racines d’un polynôme Soientkun corps etP =Xⁿ+a₁Xⁿ⁻¹+· · ·+a_nun polynôme unitaire, de degrén≥1, à coefficients dansk. SoitKune extension dekdans laquelle P est scindé. Alors, dansK[X], on a l’égalité

(1) P = (X−x₁)(X−x₂)· · ·(X−x_n),

où x₁, . . . , x_n sont les racines de P dans K, non nécessairement distinctes, c.-à-d., comptées avec leur multiplicité.

Développons le terme de droite de(1). Le coefficient deXⁿest, bien sûr, 1. Celui deXⁿ⁻¹ est −(x₁+· · ·+x_n), c.-à-d., −σ₁(x₁, . . . , x_n), et celui de Xⁿ⁻² est P

i<jx_ix_j = σ₂(x₁, . . . , x_n). Plus généralement, le coefficient de X^n−r est

(−1)^r X

1≤i1<···<ir≤n

X_i1· · ·X_ir = (−1)^rσ_r(x₁, . . . , x_n).

En particulier, le coefficient constant est (−1)ⁿσ(x₁, . . . , x_n). On a donc ob- tenu la proposition suivante.

Proposition 9.1.2 (Relation entre coefficients et racines d’un poly- nôme)

Soient k un corps, P = Xⁿ+a₁Xⁿ⁻¹+· · ·+a_n un polynôme unitaire de degré n≥ 1, à coefficients dans k, et x₁, . . . , x_n les racines de P dans une extension K de k. Pouri= 1, . . . , n, on a

a_i= (−1)ⁱσ_i(x₁, . . . , x_n).

9.1.3 Le théorème fondamental des polynômes symétriques Dans ce paragraphe, kdésigne un anneau commutatif arbitraire.

Définition 9.1.5 (Éléments algébriquements indépendants)

Soit A une k-algèbre. On dit que des éléments e₁, . . . , e_n ∈ A sont algé- briquement indépendants s’ils vérifient la propriété suivante : si P ∈ k[X₁, . . . , X_n]etP(e₁, . . . , e_n) = 0, alorsP = 0. Ceci équivaut à dire que le morphisme dek-algèbresk[X₁, . . . , X_n]→Adéfini parφ(X_i) =e_i est un iso- morphisme ; ceci entraîne, en particulier, que la sous-algèbre deAengendrée pare₁, . . . , e_n est isomorphe à k[X₁, . . . , X_n].

Théorème 9.1.3 (Théorème fondamental des polynômes symétri- ques)

La sous-algèbre k[X₁, . . . , X_n]^Sn des polynômes symétriques est engendrée sur k par les polynômes symétriques élémentaires σ₁, . . . , σ_n. De plus, ces éléments sont algébriquement indépendants sur k. Donc, tout polynôme sy- métrique S s’écrit de façon unique comme un polynôme P(σ₁, . . . , σ_n). En résumé, on a un isomorphisme

k[X₁, . . . , X_n]^Sn ∼=k[σ₁, . . . , σ_n],

et le terme de droite est un anneau de polynômes.

Exemple 9.1.2 Pourr ≥1, posonsS_r =X₁^r+· · ·+X_n^r. On aS₁ =σ₁, et σ₁²=

Xn

i=1

X_i²+ 2X

i<j

X_iX_j,

d’oùS₂=σ₁²−2σ₂. De même, σ³₁ =

Xn

i=1

X_i³+ 3X

i6=j

X_i²X_j + 3! X

i<j<k

X_iX_jX_k.

D’autre part, σ₁σ₂ =

ÃX

k

X_k

! 

X

i<j

X_iX_j



=X

i<j

(X_i²X_j +X_iX_j²) + 3 X

i<j<k

X_iX_jX_k.

On en déduit queS₃ =σ³₁−3σ₁σ₂+ 3σ₃.

Démonstration.k[X₁, . . . , X_n]est unk-module libre, de base les monômes X^ν := X₁^ν1· · ·X_n^νn, pour ν ∈ Nⁿ. (On rappelle que, dans ce paragraphe, k désigne un anneau commutatif arbitraire.)

PosonsI ={1, . . . , n}. On regardeNⁿcomme l’ensemble des applications ν:I →N,i7→ν_i =ν(i). On fait agirS_nsur Nⁿpar la formule :

(σν)(i) =ν(σ⁻¹(i)), ∀σ∈S_n, ν ∈Nⁿ, i∈I.

On vérifie alors queσ(X^ν) =X^σ(ν) pour tout ν.

SoitP ∈k[X₁, . . . , X_n]un polynôme symétrique. ÉcrivonsP =P

νc_νX^ν, où lesc_ν sont nuls sauf pour un nombre fini d’entre eux. Comme lesX^ν sont linéairement indépendants surk, l’égalité

X

ν

c_νX^ν =P =σ(P) =X

ν

c_νX^σ(ν)

entraînec_ν =c_σ(ν), pour tout ν∈Nⁿet toutσ ∈S_n. Par conséquent,P est combinaison k-linéaire des polynômes symétriques obtenus en additionnant les monômes dans une même orbite :

M(ν) := X

µ∈Snν

X^µ.

Il est utile, maintenant, de choisir un représentant dans chaque orbite.

Définition 9.1.6 On dit que ν ∈ Nⁿ est dominant s’il vérifie ν₁ ≥ ν₂ ≥

· · · ≥ ν_n ≥ 0. On notera Λ l’ensemble des n-uplets dominants. Il est clair que toute orbite de S_n dansNⁿcontient exactement un élément de Λ. Pour λ∈Λ, on désignera parm_λ l’élément considéré plus haut, c.-à-d.,

m_λ = X

µ∈Snλ

X^µ.

Pour démontrer le théorème, on a besoin d’introduire surNⁿl’ordre lexi- cographique, défini comme suit.

Définition 9.1.7 Soient µ, ν ∈ Nⁿ. On dit que µ ≥ ν si µ = ν ou bien s’il existe i ∈ {1, . . . , n} tel que µ_j = ν_j pour j < i, et µ_i > ν_i. On voit facilement que c’est un ordre total, c.-à-d., quelques soient µ, ν ∈Nⁿ, on a µ≤ν ouν ≤µ.

Remarque 9.1.1 Étant donnéν ∈Nⁿ, l’ensemble desµ≤ν est en général infini. Par exemple, si n= 2 etν = (1,0)alorsν > (0, i), pour tout i∈N.

Toutefois, on a le résultat suivant.

Lemme 9.1.4 Soitλ∈Λ. L’ensemble des µ∈Λ tels que µ≤λest fini.

Démonstration.Les coordonnées d’un tel µvérifient 0 ≤µ_i ≤µ₁ ≤λ₁, donc cet ensemble est fini. ¤

Soitλunn-uplet dominant. On voit facilement queλest l’unique élément maximal, pour l’ordre≥, de l’orbite S_nλ. C.-à-d., on a :

(∗) ∀λ∈Λ,∀µ∈S_nλ, µ≤λ.

Le point crucial dans la démonstration du théorème 9.1.3 est le lemme sui- vant.

Lemme 9.1.5 (Lemme-clé) Pour tout λ, λ⁰ ∈Λ, on a m_λm_λ⁰ =m_λ+λ⁰ + X

θ<λ+λθ∈Λ ⁰

c_θm_θ.

Démonstration.D’une part, il résulte de(∗) que (1) m_λm_λ⁰ =X^λ+λ0 + X

µ∈Nⁿ µ<λ+λ⁰

c_µX^µ.

D’autre part, écrivons

(2) m_λm_λ⁰ =X

θ∈Λ

a_θm_θ,

oùa_θ = 0sauf pour un nombre fini d’indices. PosonsE:={θ∈Λ|a_θ 6= 0}; c’est un ensemble fini non-vide. Comme l’ordre lexicographique ≤ est un ordre total,E admet un unique élément maximal θ₀. On peut donc écrire : (3) m_λm_λ⁰ =a_θ0m_θ0 + X

θ<θθ∈Λ0

a_θm_θ.

Alors, d’après (∗), le monôme X^θ0 n’apparaît que dans m_θ0, et θ₀ est un élément maximal de l’ensemble desµ∈Nⁿ tels que X^µ intervienne avec un coefficient non nul dans l’écriture dem_λm_λ⁰. Comparant avec(1), on obtient queθ₀=λ+λ⁰ eta_θ0 = 1. On obtient donc que

m_λm_λ⁰ =m_λ+λ⁰+ X

θ<λ+λθ∈Λ ⁰

a_θm_θ.

Ceci prouve le lemme.¤

On peut maintenant terminer la démonstration du théorème 9.1.3. Comme σ₁, . . . , σ_n sont invariants par S_n, la sous-algèbre qu’ils engendrent, notée k[σ], est contenue dans la sous-algèbre des invariants. Pour montrer l’inclu- sion réciproque

k[X₁, . . . , X_n]^Sn ⊆k[σ] :=k[σ₁, . . . , σ_n],

il suffit de montrer quem_λ est un polynôme enσ₁, . . . , σ_n, pour toutλ∈Λ.

On va montrer ceci par récurrence sur

N(λ) :=|{θ∈Λ|θ≤λ}|.

SiN(λ) = 0, alors λ= 0 etm_λ = 1. Pour i= 1, . . . , n, posons ε_i = (1, . . . ,1,0, . . . ,0),

où1 apparaîtifois, et observons quem_εi =σ_i.

Soit maintenant N ≥ 2 et supposons le résultat établi pour tout θ ∈Λ tel que N(θ) < N. Soit λ∈ Λ tel que N(λ) = N. Si λ= (d, . . . , d) =dε_n, alorsm_λ =σ_n^d. Sinon, soitil’unique entier ≥1 tel que

λ₁=· · ·=λ_i > λ_i+1≥ · · ·λ_n.

Posons λ⁰ = λ−ε_i. Alors λ⁰ est dominant, et est < λ. De plus, d’après le lemme précédent, l’on a

m_λ =σ_im_λ⁰− X

θ<εθ∈Λi+λ⁰=λ

a_θm_θ.

Par hypothèse de récurrence,m_θ∈k[σ], pour tout θ < λ, y compris θ=λ⁰. L’égalité ci-dessus montre alors quem_λ∈k[σ]Ceci prouve la 1ère assertion du théorème.

Il reste à voir que σ₁, . . . , σ_n sont algébriquement indépendants sur k.

Soit P ∈k[X₁, . . . , X_n]non nul. Écrivons P = X

ν∈Nⁿ

c_νX^ν,

et soit E = {ν | c_ν 6= 0}. C’est une ensemble fini non vide. Comme, pour i= 1, . . . , n,

σ_i =ε_i =X₁X₂· · ·X_i+ monômes plus petits, on déduit du lemme-clé 9.1.5 que, pour toutν ∈Nⁿ,

σ₁^ν1· · ·σ_n^νn =X₁^{ν1+···+νn}X₂^a2+···+an· · ·X_n^an+ monômes plus petits.

Ceci conduit à considérer surNⁿl’ordre¹suivant. Observons que l’applica- tion φ:Nⁿ→Nⁿ,

(ν₁, . . . , ν_n)7→( Xn

i=1

ν_i, Xn

i=2

ν_i, . . . , ν_n)

est injective, car la donnée de φ(ν) permet de retrouver ν_n, puis ν_n−1, etc.

On pose alors

ν¹ν⁰⇔φ(ν)≤φ(ν⁰);

c’est une relation d’ordre sur Nⁿ. Soit ν₀ un élément maximal de E pour

¹. Alors c_ν0 6= 0, et P(σ₁, . . . , σ_n) égale c_ν0X^ν0 plus une combinaison li- néaire finie de monômes X^µ, avec µ6≥ν₀ pour l’ordre lexicographique. Par conséquent, P(σ₁, . . . , σ_n)6= 0. Ceci achève la preuve du théorème.¤

9.2 L’équation générale de degré n

9.2.1 Action d’un groupe sur une algèbre

Soient G un groupe et E un ensemble quelconque. Notons Bij(E), ou bien Aut_Ens(E), le groupe des bijections deE de sur E.

Définition 9.2.1 (Action d’un groupe sur un ensemble)

On dit que G agit surE si l’on s’est donné un morphisme de groupes, pas nécessairement injectif, φ : G → Bij(E). Pour tout g ∈ G, x ∈ E, on écritg·x, ou simplementgx, au lieu deφ(g)(x).

L’application G×E → E, (g, x) 7→ gx s’appelle l’action de G sur E.

On voit facilement que la condition queφ:G→Bij(E) soit un morphisme de groupes équivaut aux deux conditions suivantes : pour tout x ∈ E et g, g⁰∈G,

(A) 1·x=x et g·(g⁰x) = (gg⁰)·x.

Donc, se donner une action deGsurE équivaut à se donner une application G×E →E vérifiant les deux conditions ci-dessus.

Définition 9.2.2 (Action d’un groupe par automorphismes)

Supposons que l’ensemble E soit muni d’une structure algébrique et no- tonsAut(E) le sous-groupe de Bij(E) formé des bijectionsE →^∼ E qui pré- servent la structure algébrique donnée. Alors, on dit que G opère (ou agit) sur E par automorphismes si l’on s’est donné un morphisme de groupes G→Aut(E).

Par exemple, si E = A est un k-algèbre, G opère sur A par automor- phismes ssi on s’est donné une actionG×A→Atelle que, pour toutg∈G eta, b∈A, l’applicationη_g:a7→g·a, soit un automorphisme dek-algèbre.

Exemple 9.2.1 On a vu dans le lemme 9.1.1 que S_n agit par automor- phismes d’algèbres surk[X₁, . . . , X_n].

Lemme 9.2.1 Soient A un anneau intègre et K son corps des fractions.

Tout automorphisme τ de A se prolonge de façon unique en un automor- phisme τe de K. De plus, l’application τ 7→ τe est un morphisme injectif de groupes.

Démonstration. Soit τ ∈ Aut(A) et soient a, b ∈, avec b 6= 0. L’égalité a= (ab⁻¹)b dansK montre que toute extension eτ de τ doit vérifier

(∗) τe(ab⁻¹) =τ(a)τ(b)⁻¹.

Réciproquement, on peut définir une application τe : K → K par la for- mule ci-dessus. Elle est bien définie, car si ab⁻¹ =cd⁻¹ alorsad =bc, d’où τ(a)τ(d) =τ(b)τ(c).

On vérifie alors sans peine que eτ est un automorphisme de K. De plus, (∗)montre quegid_A=id_K et queστf =eσeτ. Doncτ 7→eτ est un morphisme de groupes, de Aut(A)vers Aut(K). Il est de plus injectif, puisqueτe(a) =τ(a), pour tout a∈A.¤

Définition 9.2.3 (Sous-algèbre des invariants)

SoitGun groupe agissant par automorphismes sur unek-algèbre A. On noteA^G l’ensemble des éléments invariants, c.-à-d.,

A^G={a∈A| ∀g∈G, g·a=a}.

On voit facilement que c’est une sous-algèbre deA.

Proposition 9.2.2 Soient Aun anneau intègre,K son corps des fractions, et G un groupe fini agissant par automorphismes surA.

1) Tout élément deK s’écrit sous la forme a/b, oùb∈A^G. 2) Par conséquent, K^G=Frac(A^G).

Démonstration.1) Soitx=c/ddansK. CommeGest fini, on peut écrire x= c

d = cQ

g6=1g(d) Q

g∈Gg(d) , et ceci prouve 1). D’autre part, il est clair que

Frac(A^G) ={ab⁻¹ |a, b∈A^G, b6= 0}

est un sous-corps de K^G. Réciproquement, soit x ∈ K^G. D’après 1), on peut écrire x=a/b, avec b∈A^G. Alors, pour tout g∈G, l’égalité g(x) =x entraîneg(a) =a. Donca∈A^Getx∈Frac(A^G). Ceci prouve la proposition.

¤

9.2.2 Fractions rationnelles symétriques

Soit k un corps et soient X₁, . . . , X_n des indéterminées. On a vu que le groupe symétrique S_n opère par automorphismes dans k[X₁, . . . , X_n] et k(X₁, . . . , X_n). On rappelle que σ₁, . . . , σ_n désignent les polynômes symé- triques élémentaires.

Théorème 9.2.3 (Théorème des fractions rationnelles symétriques) 1) On a k(X₁, . . . , X_n)^Sn =k(σ₁, . . . , σ_n).

2) Par conséquent, l’extension k(σ₁, . . . , σ_n) ⊂ k(X₁, . . . , X_n) est galoi- sienne, de groupeS_n.

Démonstration. 1) résulte de la proposition précédente et du théorème fondamental des polynômes symétriques. Le point 2) découle alors du théo- rème d’Artin.¤

Remarque 9.2.1 SoitX une autre indéterminée ; considérons le polynôme suivant, à coefficients dans le corpsk(σ₁, . . . , σ_n),

(∗) Q=Xⁿ−σ₁Xⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)ⁿσ_n.

Dans l’extensionk(σ₁, . . . , σ_n)⊂k(X₁, . . . , X_n), ce polynôme a pour racines X₁, . . . , X_n, qui sont deux à deux distinctes. Par conséquent,Qest séparable sur le corpsk(σ) :=k(σ₁, . . . , σ_n).

9.2.3 L’équation générale de degré n

Soient k un corps, a₁, . . . , a_n des indéterminées, K = k(a₁, . . . , a_n) le corps des fractions rationnelles en ces indéterminées. SoitX un autre indé- terminées. Considérons le polynôme

(∗∗) P =Xⁿ−a₁Xⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)ⁿa_n.

L’équationP(x) = 0 s’appelle l’équation générale surk de degrén.

Lorsque car(k) = 0, on voudrait savoir s’il existe une formule “univer- selle” exprimant les racines de P (dans une extension de K) comme une fonction des a_i obtenue par itération de fonctions polynômiales et de fonc- tions “extraction de racines” d-èmes (pour tout entier d≥2). Par exemple, pourn= 2, on sait que les racines de

X²−aX+b= 0 sont(a±√

∆)/2, où∆désigne le “discriminant"a²−4b. On rappelle que cette formule s’obtient en “complétant le carré” deX−a/2, c.-à-d., en écrivant

X²−aX +b= (X−a

2)²+b−a² 4 .

On verra plus loin qu’il existe des formules analogues, mais plus compliquées, pour les équations de degré3ou 4, mais qu’il n’existe pas de telles formules pour l’équation générale de degrén≥5. Commençons par établir le théorème suivant.

Théorème 9.2.4 (S_n est le groupe de Galois de l’équation générale de degré n)

SoitL=K(x₁, . . . , x_n) un corps de décomposition surK =k(a₁, . . . , a_n)du polynôme P ci-dessus. Alors l’extension K ⊂ L est galoisienne, de groupe S_n. En particulier, les x_i sont deux à deux distincts et P est séparable sur K.

Plus précisément, soient X₁, . . . , X_n des indéterminées et σ₁, . . . , σ_n les polynômes symétriques élémentaires enX₁, . . . , X_n. Alors l’isomorphismeφ: k[σ]→^∼ k[a₁, . . . , a_n] défini par φ(σ_i) =a_i pour i = 1, . . . , n se prolonge en des isomorphismes

(†)

k(σ₁, . . . , σ_n) ⊂ k(X₁, . . . , X_n)

∼=



y ^∼=

 y k(a₁, . . . , a_n) ⊂ k(x₁, . . . , x_n)

Démonstration. On a vu que les σ_i sont algébriquement indépendants donc engendrent un anneau de polynômes. Par la propriété universelle, il existe un unique φ comme indiqué, et c’est un isomorphisme puisque les a_i sont algébriquement indépendants. Par conséquent, φ induit un isomor- phisme des corps de fractions, qu’on désignera encore par φ.

PosonsQ=Xⁿ−σ₁Xⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)σ_n. Alors, k(X_i) est un corps de décomposition sur k(σ_i) de Q. De plus, φ(Q) = P et, par hypothèse, L = K(x_i)est un corps de décomposition deP surK. Donc, par le 1er théorème fondamental 7.3.5, φse prolonge en un isomorphisme ψ:k(X_i)→^∼ L.

De plus, ψ induit une bijection entre l’ensemble des racines deQ et de P. Par conséquent, lesx_i sont deux à deux distincts etP est séparable sur K. Donc, d’après le 2ème théorème fondamental 7.4.4, l’extension K ⊂ L est galoisienne. Déterminons son groupe de Galois Gal(L/K) =Aut_K(L).

On voit facilement que l’application τ 7→ψ◦τ◦ψ⁻¹

est un isomorphisme de G = Aut_k(σi)(k(X_i)), dont l’isomorphisme inverse est donné par σ 7→ ψ⁻¹◦σ ◦ψ. On obtient donc, en utilisant le théorème 9.2.3, les isomorphismes

Gal(L/K)∼=Gal(k(X₁, . . . , X_n)/k(σ₁, . . . , σ_n))∼=S_n. Ceci prouve le théorème. ¤

Remarque 9.2.2 Signalons également une autre façon de montrer que l’ex- tensionK ⊂ L est galoisienne, sans utiliser le 2ème théorème fondamental 7.4.4. Posant H =Aut_K(L), il suffit de montrer que L^H =K. Or, comme L=ψ(k(X_i))etH =ψGψ⁻¹, l’on a

L^H ={ψ(x)| ∀τ ∈G, ψ(x) =ψ(τ(x))}, d’où

L^H =ψ(k(X_i)^G) =ψ(k(σ_i)) =K.

9.3 Le corps C est algébriquement clos

Il existe de nombreuses démonstrations du fait queCest algébriquement clos. Nous allons en donner deux. La 1ère n’utilise que des méthodes élémen- taires d’analyse ; elle est attribuée à Argand, en 1814 (voir [Esc, p.5]). La 2ème est une jolie application de la théorie de Galois ; elle nécessite quelques préliminaires sur les groupes que l’on développera plus bas.

9.3.1 La démonstration d’Argand

SoitP ∈C[X]un polynôme de degrén≥1. Sans perte de généralité, on peut supposerP unitaire. Écrivons

P =Xⁿ+a₁Xⁿ⁻¹+· · ·+a_n.

Raisonnons par l’absurde et supposons queP ne s’annule pas sur C. Alors, en particulier,a_n6= 0. Notons|·|la norme usuelle surC, c.-à-d., siz=x+iy alors

|z|=√

zz=p

x²+y². Commelim_|z|→+∞|P(z)|= +∞, il existeR >0tel que

|z| ≥R ⇒ |P(z)|>|a_n|.

Explicitement, on peut prendre R = max{1,2na}, où a = maxⁿ_i=1|a_i|. En effet, pourz≥R etd= 1, . . . , n, on a|z^d| ≥ |z| ≥2na d’où

¯¯

¯¯

¯ Xn

d=1

a_d z^d

¯¯

¯¯

¯≤ Xn

d=1

|a_d| 2na ≤ 1

2.

Comme|u−v| ≥ |u| − |v|, on obtient que, pour|z| ≥R, on a

|P(z)|=|zⁿ| ·

¯¯

¯¯

¯1− Xn

d=1

a_d z^d

¯¯

¯¯

¯≥ |z| ·1

2 ≥n|a_n|.

Comme le disque D de centre 0 et de rayon R est compact, la fonction continue f : z 7→ |P(z)| y atteint son minimum r₀, et r₀ > 0 puisqu’on a supposé que P ne s’annule pas. Comme de plus

r₀ ≤ |P(0)|=|a_n| ≤f(z), ∀z6∈D,

alorsr₀est le minimum def surCtout entier. Soitz₀ ∈Dtel quef(z₀) =r₀. En remplaçant z par z−z₀ et P(z) par Q(z) := f(z₀)⁻¹P(z−z₀), on se ramène au cas où z₀ = 0 et oùQ(0) = 1 est le minimum deg=|Q|sur C.

Observons queQest, commeP, de degrén. Notonskl’ordre d’annulation en 0 deQ−1. On peut alors écrire

Q(X) = 1 +b_kX^k+· · ·+b_nXⁿ.

avec b_kb_n 6= 0. Écrivons b_k =re^iθ, avec r >0 etθ ∈[0,2π[. Soit r⁰ l’unique racinek-ème de r dansR^∗₊. Pourε∈R^∗₊, posons

z_ε= ε

r⁰e^i(π−θ)/k, et q(ε) =Q(z_ε).

Comme e^iπ=−1, alors

q(ε) = 1−ε^k+ε^kh(ε), où h(ε) =P_n

j=1 bj

bkz_ε^j. Comme lim_ε→0h(ε) = 0, il existeε₀ ∈]0,1[tel que

∀ε≤ε₀, |h(ε)| ≤ 1 2. On a alors

|Q(z_ε0)|=|1−ε^k₀+ε^k₀h(ε₀)| ≤1−ε^k₀+1

2ε^k₀ = 1−1 2ε^k₀.

Ceci contredit l’hypothèse que1 =Q(0)était le minimum de g=|Q|surC.

Cette contradiction montre que l’hypothèse que P ne s’annule pas surCest impossible. On a donc démontré le

Théorème 9.3.1 Cest algébriquement clos.

9.3.2 Interlude sur les groupes finis : théorème de Sylow et p-groupes

On va donner dans le paragraphe suivant une démonstration du théorème précédent basée sur la théorie de Galois. Pour cela, on aura besoin de deux théorèmes importants sur les groupes finis, que nous énonçons ci-dessous.

Théorème 9.3.2 (Théorème de Sylow)

Soient G un groupe fini, p un nombre premier divisant |G|, et pⁿ la plus grande puissance depdivisant|G|. NotonsS_p(G)l’ensemble des sous-groupes deG de cardinal pⁿ. Alors :

1) S_p(G) est non-vide, c.-à-d., il existe au moins un sous-groupe deGde cardinalpⁿ.

2) Les éléments deS_p(G) sont tous conjugués, c.-à-d., pour toutH, H⁰ ∈ S_p(G), il existe g∈Gtel que H⁰ =gHg⁻¹.

3) |S_p(G)| divise|G|et est congru à 1 modulo p.

Définition 9.3.1 Tout sous-groupe de G de cardinal pⁿ est appelé un p- sous-groupe de Sylow de G.

Remarque 9.3.1 Dans la littérature, les points 1)–3) du théorème sont aussi appelés les trois théorèmes de Sylow.

Démonstration. Pour la démonstration, on renvoie pour le moment à [Pe1, § I.5], ou [BR, Chap. 4], ou [Se, § 8.4], ou [Ja1, § 1.13]. Si le temps le permet, on donnera une démonstration dans la suite du cours.¤

Définition 9.3.2 (p-groupes finis) Soitpun nombre premier. Un groupe finiGest un p-groupe si |G|est une puissance dep.

Définition 9.3.3 (Centre d’un groupe) Soit G un groupe. On appelle centre deG, et l’on note Z(G), le sous-ensemble

Z(G) ={h∈G| ∀g∈G, hg=gh}.

Lemme 9.3.3 Z :=Z(G) est un sous-groupe de G, tel queφ(Z) =Z pour tout automorphisme deG. En particulier,Z(G)est un sous-groupe distingué.

Démonstration.D’abord,Z(G) contient l’élément1. Soientz, z⁰ ∈Z(G) etg∈G. D’une part, l’égalitégz =zg entraîne z⁻¹g=gz⁻¹. D’autre part, on a gzz⁰ = zgz⁰ = zz⁰g. Ceci montre que Z(G) est un sous-groupe de G.

Observons aussi que

Z(G) ={z∈G| ∀g∈G, gzg⁻¹ =z}.

Soitφun automorphisme deG. Pour tout g∈G, on a φ(z) =φ(g)φ(z)φ(g)⁻¹,

et commeφ(g) parcourtG, ceci montre queφ(z)∈Z, c.-à-d.,φ(Z)⊆Z. De même,φ⁻¹(Z)⊆Z et donc φ(Z) =Z. Ceci prouve le lemme. ¤

Remarque 9.3.2 1) Gest abélien ssiG=Z(G).

2) Pour un groupeG6={1} arbitraire, on peut avoir Z(G) ={1}. C’est le cas, par exemple pourG=S₃ (exercice !).

Théorème 9.3.4 (Propriétés des p-groupes finis) Soit G unp-groupe fini, de cardinalpⁿ, où n≥1.

1) On a Z(G)6={1}.

2) G contient au moins un sous-groupe distingué de cardinalpⁿ⁻¹. Démonstration.Voir [BR, Chap. 4], Théorème 4.6 et Exercice 40, ou [Se,

§ 8.3], Théorème 14. ¤

9.3.3 Une démonstration via la théorie de Galois

La démonstration qui suit est tirée de [BR], Appendice, p.287. Pour une autre démonstration, voir [Sa], Appendice au Chap. II. Commençons par rappeler le fait suivant.

Lemme 9.3.5 1) Tout nombre complexe z 6= 0 admet n racines n-ièmes dans C.

2) Tout P ∈C[X]de degré 2 est scindé.

3) Tout P ∈R[X]de degré impair admet au moins une racine dans R.

Démonstration. 1) (Ce fait a déjà été utilisé, de façon cruciale, dans la démonstration d’Argand). Posonsz =re^iθ, avec r >0 etθ∈[0,2π[, et soit

√n

r la racine n-ième de r dans R₊. Alors, les racines n-èmes dez sont les nombres complexes

√n

r e^iθ+2kπn , k= 0, . . . , n−1.

2) On peut supposerP unitaire. Écrivant

P =X²−2aX+b= (X−a)²+b−4a²,

on voit que les deux racines de P sont a±√

b−4a².

3) La fonction R → R, x 7→ P(x) est continue. De plus, comme P est de degré impair, on a lim_x→±∞P(x) =±∞. Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existex₀∈Rtel que P(x₀) = 0.¤

Démontrons maintenant queCest algébriquement clos. On rappelle qu’en caractéristique0, tout polynôme est séparable, (Corollaire 7.6.3).

D’abord, l’extension R ⊂ C est de degré 2 et galoisienne, car C est le corps de décomposition du polynômeX²+ 1. Le groupe de Galois Gal(C/R) est d’ordre 2, donc isomorphe à Z/2Z; il est engendré par la conjugaison complexeτ :z7→z, où z=x−iy siz=x+iy,x, y∈R.

SoitP ∈C[X]un polynôme irréductible et soitKun corps de décomposi- tion deP surC. D’après le théorème 7.4.4, l’extensionC⊆Kest galoisienne.

PosonsG₁ =Gal(L/C) etn = [K :C] =|G₁|, et écrivons n= 2^dr, avec r impair. Alors,

[K:R] = [K :C] [C:R] = 2^d+1r.

D’après le théorème 7.3.5, l’automorphismeτ de Cse prolonge en un auto- morphismeeτ de K. PosonsG₂ =Aut_R(K).

Lemme 9.3.6 L’extension R⊂K est galoisienne, de groupe G₂. Démonstration.En effet, commeG₂ contient G₁ eteτ, on a

K^G2 ⊆K^G1 ∩K^τe=C^τ =R.

¤

Maintenant, d’après le théorème de Sylow,Gpossède au moins un sous- groupeHde cardinal2^d+1. Alors,L:=K^H est de degrér, impair, surR. Soit x∈LetQ=Irr_R(x) son polynôme minimal surR. AlorsdegQ= [R(x) :R]

divise[L:R] =r donc est impair.

Or, tout polynôme réel de degré impair a une racine dans R; c’est ici qu’intervient une propriété topologique de R! Donc, Q étant irréductible, il est de degré 1, d’où x ∈ R. Ceci prouve que L = R et donc r = 1. Par conséquent,

[K :C] = 2^d.

Montrons que d = 0. Supposons, au contraire, d ≥ 1. Dans ce cas, G₁ = Gal(K/C) est un 2-groupe non trivial donc contient un sous-groupe (dis- tingué) H de cardinal 2^d−1. Alors, K⁰ = K^H est de degré 2 sur C. Soit x ∈ K⁰ \C; son polynôme minimal Irr_C(x) est de degré 2 et irréductible dansC[X]. Mais ceci est une contradiction, puisque dans C[X], tout poly- nôme de degré 2 est scindé ! Cette contradiction montre que d = 0, d’où [K :C] = 1. Ceci montre queCest algébriquement clos.

9.4 Discriminant et groupe de Galois d’un poly- nôme

9.4.1 Signature et groupe alterné A_n

NotationLe groupe Z/2Zest aussi noté {±1}, en notation multiplicative.

Soit n ≥ 2. On va définir un certain morphisme surjectif S_n → {±1}, appelé lasignature. Ceci peut se faire en utilisant uniquement la structure de groupe deS_n, voir par exemple [ALF, Thm. II.7.3] ou [BR, Chap. 2, §2.9].

Il est commode d’adopter ici l’approche suivante.

Soitkun corps de caractérisque6= 2. Alors16=−1dansket donc{1,−1}

est un sous-groupe de k^×, isomorphe à Z/2Z. On a vu que S_n opère par automorphismes d’algèbre surA=k[X₁, . . . , X_n]. Considérons le polynôme

V_n= Y

1≤i<j≤n

(X_i−X_j).

Soit σ∈S_n. Alors σ permute entre eux, au signe près, les facteursX_i−X_j. Plus précisément, on a

σ(X_i−X_j) =

½ X_σ(i)−X_σ(j), siσ(i)< σ(j);

−(X_σ(j)−X_σ(i)), siσ(i)> σ(j).

On en déduit que

σ(V_n) = (−1)^`(σ)V_n, où

`(σ) =|{i < j |σ(i)> σ(j)}|

est appelé le nombre d’inversions deσ. On pose aussi ε(σ) = (−1)^`(σ);

on l’appelle la signature deσ. Observons que`(id) = 0. D’autre part, soitτ₁₂ la permutation qui échange1et2et vérifieτ₁₂(i) =ipour touti >2. Alors

`(τ₁₂) = 1et doncε(τ₁₂) =−1. Par conséquent, l’applicationε:S_n→ {±1}

est surjective.

Proposition 9.4.1 Pour n≥2, la signature est un morphisme de groupes S_n→ {±1}.

Démonstration. Soient σ, τ ∈ S_n. Alors (στ)(V_n) est égal, d’une part, à ε(στ)V_n et, d’autre part, à

σ(τ(V_n)) =σ(ε(τ)V_n) =ε(τ)σ(V_n) =ε(τ)ε(σ)V_n. Il en résulteε(στ) =ε(σ)ε(τ). Ceci prouve le lemme. ¤

Définition 9.4.1 1) On dit qu’une permutation σ ∈ S_n est paire, resp.

impaire, siε(σ) = 1, resp. −1.

2) kerεest appelé groupe alterné d’ordre n, et notéA_n. Il est formé des permutations paires, et est de cardinaln!/2.

Exemple 9.4.1 Pour n = 2,S₂ ∼= {±1} etA₂ ={1}. Pour n = 3, S₃ est un groupe non-commutatif d’ordre6, et A₃ est isomorphe à Z/3Z et formé des permutations1 =id etc,c² =c⁻¹, où

c= µ123

231

¶

, c²=c⁻¹= µ123

312

¶ .

9.4.2 Discriminant d’un polynôme

Soit A un anneau commutatif. On rappelle que l’opérateur de dériva- tion D : A[X] → A[X] est l’application A-linéaire définie par D(1) = 0 et D(Xⁿ) =nXⁿ⁻¹, pour toutn≥1.

Lemme 9.4.2 Soient P₁, . . . , P_r∈A[X]. On a D(P₁· · ·P_r) =

Xr

i=1

P₁· · ·D(P_i)· · ·P_r.

Démonstration.Par récurrence surr. On a déjà vu le casr = 2(Lemme 7.6.1). Supposonsr≥3et le résultat établi pour r−1. D’après le casr = 2, l’on a

D(P₁· · ·P_r) =D(P₁)P₂· · ·P_r+P₁D(P₂· · ·P_r), et le résultat découle alors de l’hypothèse de récurrence.¤

Théorème 9.4.3 (Discriminant du polynôme général de degrén) SoientX₁, . . . , X_ndes indéterminées, etσ₁, . . . , σ_nles polynômes symétriques élémentaires enX₁, . . . , X_n. Posonsa_i = (−1)ⁱσ_i. Soient T₁, . . . , T_n d’autres indéterminées. Il existe un unique polynôme∆_n∈Z[T₁, . . . , T_n]tel que (1) ∆_n(a₁, . . . , a_n) = Y

1≤i<j≤n

(X_i−X_j)².

Ce polynôme ∆_n est appelé le discriminant du polynôme P =Xⁿ+a₁Xⁿ⁻¹+· · ·+a_n, et est aussi noté disc_P. De plus, on a

(2)

Yn

i=1

P⁰(X_i) = (−1)^n(n−1)2 ∆_n(a₁, . . . , a_n).

Démonstration. Posons Π = Q

1≤i<j≤n(X_i −X_j)²; c’est un élément de Z[X₁, . . . , X_n]^Sn. Donc, d’après le théorème fondamental des polynômes sy- métriques 9.1.3, il existe un unique polynôme∆⁻_n ∈Z[T₁, . . . , T_n], tel que

∆⁻_n(σ₁, . . . , σ_n) = Π.

Soit φ l’automorphisme de Z[T₁, . . . , T_n] défini par φ(T_i) = (−1)ⁱT_i pour tout i, et soit∆_n=φ(∆⁻_n). Alors, ∆_n est l’unique élément deZ[T₁, . . . , T_n] vérifiant

∆_n(a₁, . . . , a_n) = ∆⁻_n(σ₁, . . . , σ_n) = Π.

Ceci prouve la 1ère assertion.

De plus, on a

P =Xⁿ+ Xn

i=1

(−1)ⁱσ_iXⁿ⁻ⁱ= Yn

i=1

(X−X_i).

D’après le lemme précédent, on a P⁰ =

Xn

i=1

Y

j6=i

(X−X_j).

Donc, pour touti= 1, . . . , n, on aP⁰(X_i) =Q

j6=i(X_i−X_j). Par conséquent, l’on a

Yn

i=1

P⁰(X_i) =Y

i6=j

(X_i−X_j) = (−1)^n(n−1)2 Π.

Ceci prouve le théorème. ¤

Corollaire 9.4.4 (Discriminant d’un polynome P ∈k[X]) Soient k un corps etP =Xⁿ+P_n

i=1a_iXⁿ⁻ⁱ un polynôme unitaire de degré n à coefficients dansk. Soit Lune extension dek dans laquelleP est scindé et soient x₁, . . . , x_n les racines de P dans L. Alors

Y

1≤i<j≤n

(x_i−x_j)² = ∆_n(a₁, . . . , a_n).

En particulier, P a une racine multiple ssi ∆_n(a₁, . . . , a_n) = 0.

Démonstration.Plaçons-nous dans l’anneauR=Z[X₁, . . . , X_n]et posons V_n = Q

1≤i<j≤n(X_i −X_j) et A_i = (−1)ⁱσ_i pour i = 1, . . . , n. D’après le théorème précédent, on a dansR l’égalité

(∗) V_n²= ∆_n(A₁, . . . , A_n).

Soit φ l’unique morphisme d’anneaux de R dans L, défini par φ(X_i) = x_i. Pourr= 1, . . . , n, on a

φ(A_r) = (−1)^r X

i1<···<ir

φ(X_i1· · ·X_ir) = (−1)^rσ_r(x₁, . . . , x_n) =a_r.

Par conséquent, appliquantφà l’égalité (∗), on obtient Y

1≤i<j≤n

(x_i−x_j)² = ∆_n(a₁, . . . , a_n).

La dernière assertion est alors claire. Le corollaire est démontré.¤ Proposition 9.4.5 (Discriminant d’un trinôme Xⁿ+pX+q)

Soientkun corps et p, q∈k. Le discriminant du trinômeP =Xⁿ+pX+q, noté disc_P, égale

(−1)^n(n−1)/2¡

(1−n)ⁿ⁻¹pⁿ+nⁿqⁿ⁻¹¢ .

En particulier, pour

P =X²+aX+b, disc_P =a²−4b;

P =X³+pX+q, disc_P =−4p³−27q².

Démonstration.Soit L une extension de k dans laquelle P est scindé et soientx₁, . . . , x_n les racines deP dansL. D’après l’égalité (2) du théorème 9.4.3, l’égalité à démontrer est équivalente à la suivante :

Yn

i=1

P⁰(x_i) = (1−n)ⁿ⁻¹pⁿ+nⁿqⁿ⁻¹.

Or,P⁰(X) =nXⁿ⁻¹+p. Supposons d’abordq6= 0. Alors, pouri= 1, . . . , n, l’on ax_i 6= 0 et

(1) xⁿ⁻¹_i =−p− q

x_i.