Analyse fonctionnelle, analyse spectrale Philippe Jaming

Analyse fonctionnelle, analyse spectrale

Philippe Jaming

Univ. Bordeaux, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France.

CNRS, IMB, UMR 5251, F-33400 Talence, France.

Email address: Philippe.Jaming@math.u-bordeaux.fr

Chapter 1. Topologie en dimension infinie 5

1. Compacit´e 5

2. Au tour du th`eor`eme de Baire 22

3. Densit´e 29

Chapter 2. Application de l’analyse fonctionnelle `a l’analyse de Fourier 53 1. Rappel de base sur les s´eries de Fourier 53 2. Convergence et divergence des s´eries de Fourier 62 3. Quelques applications des s´eries de Fourier 93 4. Transform´ee de Fourier sur les groupes localement compacts

ab´eliens 121

Chapter 3. Op´erateurs born´es, op´erateurs compacts 127 1. Op´erateurs born´es, crit`ere de Schur, adjoint 127

2. Adjoint d’un op´erateur 132

3. Op´erateurs compacts 136

4. Op´erateurs de Hilbert-Schmidt 138

5. Th´eorie spectrale 143

3

Topologie en dimension infinie

1. Compacit´e

1.1. D´efinitions et premi`eres propri´et´es. Commen¸cons par la d´efi- nition topologique d’un ensemble compact (au sens de Borel-Lebesgue):

D´efinition 1.1. Soit (X, d) un espace m´etrique complet. On dit que X est compact si de tout recouvrement deX par des ouverts de X,X =[

i∈I

Ui, U_iouvert, on peut extraire un sous-recouvrement fini: X = [

i∈F

U_iavecF ⊂I, fini.

Notons qu’en passant au compl´ementaire, X est compact si de toute famille de ferm´es d’intersection vide, \

i∈I

F_i = ∅, F_i ferm´e, on peut extraire une sous-famille finie qui soit d’intersection vide: il existe F ⊂ I fini tel que

\

i∈F

F_i =∅.

Avant d’explorer cette notion et son utilisation, rappelons le r´esultat suiv- ant du cours de topologie:

Th´eor`eme1.2.Soit(X, d)un espace m´etriquecomplet. On a ´equivalence entre les propr´et´es suivantes:

(1) X est un espace compact.

(2) X est totalement born´e: pour tout ε >0, il existeF ⊂X fini tel que X = [

x∈F

B(x, ε).

(3) X est s´equentiellement compact (compacit´e de Bolzano-Weierstrass) pour toute suite(x_n)n≥1 ⊂X, il existe (n_k)k≥1 une suite strictement croissante d’entiers tel que (xn_k)k converge dans X.

Remarque 1.3. Un ensemble totalement born´e est born´e: en effet, il existe E fini tel que X = [

x∈E

B(x,1). Soit x₀ ∈ E et R = max_x∈Ed(x₀, x) alors, si y ∈ X, il existe x ∈ E tel que d(x, y) ≤ 1. Mais alors d(x₀, y) ≤ d(x₀, x) +d(x, y)≤R+ 1 c’est-`a-dire y∈B(x₀, R+ 1).

Remarque1.4. Fr´equemmentX ⊂E o`uE est un espace m´etrique com- plet (par exemple, un espace de Banach). On notedla distance surE qui est aussi la distance sur X. Rappelons que les boules deX sont alors les boules

5

de E restreintes `a X: B_X(x, r) = B_E(x, r)∩X. Par exemple, dans [0,1], [0,1/2) = (−1/2,1/2)∩[0,1] est une boule ouverte.

On dira alors que X est totalement born´e si, pour tout ε >0, il existeF fini tel que X ⊂ [

x∈F

B_E(x, ε) ce qui implique que X = [

x∈F

B_E(x, ε)∩X = [

x∈F

B_X(x, ε).

Enfin, rappelons que si X ⊂E avec E complet, alors X est complet si et seulement si X est ferm´e dans E.

D´emonstration.

1 ⇒ 2: Soit ε > 0, comme X = S

x∈XB(x, ε) et X est compact, il existe F ⊂X fini tel que X =S

x∈F B(x, ε).

2⇒3: Soit (x_n) une suite deX. Il existeF₁ fini tel queX =S

a∈F1B(a,1/2).

D’apr`es le principe des tiroirs et des chaussettes, il existe a₁ ∈ F₁ tel que B(a₁,1/2) contient une infinit´e de termes de la suite (x_n). On note N₁ = {n ∈N :xn ∈B(a1,1/2)} etn1 = minN1.

Il existe alors F2 fini tel que X = S

a∈F₂B(a,1/2²). D’apr`es le principe des tiroirs et des chaussettes, il existe a₂ ∈ F₂ tel que B(a₂,1/2²) contient une infinit´e de termes de la suite (x_n)n∈N₁. On note N₂ ={n ∈ N₁ \ {n₁} : x_n ∈B(a₂,1/2²)} etn₂ = minN₂...

On construit ainsi par r´ecurrence une suite emboit´ee de parties de N, N_k+1 ⊂ N_k \ {minN_k}, une suite strictement croissante d’entiers n_k+1 = minN_k+1 et une suite (a_k) de points de X telle que, si on ´ecrit

X = [

a∈F_k+1

B(a,1/2^k+1),

on choisit a_k+1 ∈F_k+1 tel que la bouleB(a_k+1,1/2^k+1) contienne une infinit´e de termes de la suite (x_n)_n∈Nk et on note

N_k+1 ={n ∈N_k :x_n ∈B(a_k+1,1/2^k+1)}.

On remarque enfin que (x_nk)k≥1 est une suite de Cauchy puisque, sik, l≥ K, n_k, n_l ∈N_K donc x_nk, x_nl ∈B(a_nK,2^−K) qui est de diam`etre 2^−K+1 donc d(x_nk, x_nl)≤2^−K+1 →0. CommeX est complet, cette suite est convergente.

3 ⇒ 2: Nous allons montrer la contrapos´ee et supposer que X n’est pas to- talement born´e c’est-`a-dire qu’il existeε₀tel queX ne peut pas ˆetre recouvert par un nombre fini de boules de rayon ε₀.

Prenons alors x₀ n’importe quel ´el´ement de X. Il existe alors x₁ ∈ B \ B(x₀, ε₀) c’est-`a-dire d(x₁, x₀) ≥ ε₀. Il existe ensuite x₂ ∈ X\ B(x₀, ε₀)∪ B(x₁, ε₀)

, c’est-`a-dire d(x₂, x₀) ≥ ε₀ et d(x₂, x₁) ≥ ε₀... on construit ainsi, par r´ecurrence, une suire (x_k) telle quex_k+1 ∈X\

k

[

n=0

B(x_n, ε₀). En particulier d(xk+1, xn)≥ε0 pour 0 ≤n ≤k.

La suite ainsi construite v´erifie donc d(x_m, x_n) ≥ ε₀ pour tous m 6= n et n’a donc aucune sous-suite qui soit de Cauchy, donc aucune sous-suite convergente.

Nous allons maintenant montrer que les propri´et´es 2 et 3 (dont on sait maintenant qu’elles sont ´equivalentes) impliquent la propri´et´e 1. Pour cela, nous allons d’abord montrer que 3 implique le lemme suivant:

Lemme 1.5. Supposons que X soit s´equentiellement compact et qu’on ait un recouvrement ouvert de X, X = [

i∈I

O_i avec O_i ouvert. Alors il existe α >0 tel que, pour tout x∈X, il existe i_x ∈I tel que B(x, α)⊂O_ix.

Ce lemme permet de conclure puisque siX soit s´equentiellement compact, il est aussi totalement born´e. Il existe donc E fini tel queX ⊂ [

x∈E

B(x, α)⊂ [

x∈E

Oix. On a donc bien extrait un sous-recouvrement ouvert fini des Oi. Reste donc `a d´emontrer le lemme.

D´emonstration du lemme. On prend un recouvrement ouvert deX = [

i∈I

O_i (qui n’est pas fini, sinon il n’y aurait rien `a faire).

Par l’absurde, si le lemme ´etait faux, pour tout n ≥ 1, il existerait un x_n ∈ X tel que, pour tout i ∈ I, B(x_n,1/n)∩(X \O_i) 6= ∅. On a donc construit une suite (x_n) deX qui est s´equentiellement compact, cette suite a donc une sous-suite convergente (x_nk) dont on note x la limite, x= limx_nk.

On prend alors y_nk ∈ B(x_nk,1/n_k)∩(X\O_i). Comme d(x_nk, y_nk) → 0 et d(x_nk, x) → 0, on a aussi d(y_nk, x) → 0, en particulier, pour tout α > 0, il existe K > 0 tel que, si k ≥ K, y_nk ∈ B(x, α). Ainsi, quelque soit i ∈ I, la boule B(x, α) ne peut pas ˆetre enti`erement incluse dans O<sub>i</sub>, c’est-`a-dire x n’est pas dans l’int´erieur de O_i. Comme O_i est ouvert, x /∈O_i. Comme i∈I est arbitraire, x /∈S

i∈IOi =X, une contradiction.

Ceci conclut donc la d´emonstration du th´eor`eme.

Exemple 1.6. Dans R, tout intervalle ferm´e born´e [a, b] est compact.

Il y a deux fa¸cons de faire cela: en montrant que [a, b] est s´equentiellement compact. On prend une suite (x_n)∈[a, b] dont on va extraire une sous-suite de Cauchy qui est donc convergente. Quitte `a remplacerx_n par a+^x_b−a^n−a, on peut supposer que [a, b] = [0,1].

On pose I₀ = [0,1] et on d´ecoupe I₀ en deux intervalles de longeur 1/2, [0,1/2] et [1/2,1]. L’un au moins des deux, qu’on notera I₁ contient une infinit´e de termes de la suite (x_n)n∈Ni.e. N₁ ={n ∈N, x_n ∈I₁}est infini. On pose n₁ = minN₁. Puis on recommence en d´ecoupant I₁ en deux intervalles de longueur 1/2². L’un au moins des deux, qu’on notera I₂ contient une infinit´e de termes de la suite (x_n)n∈N1 i.e. N₂ ={n ∈N₁\ {n₁}, x_n ∈I₁} est infini. On pose n2 = minN2.

Par r´ecurrence, on construit ainsi une suite N_k de parties emboit´ees de N et une suite strictement croissante n_k = minN_k, N_k+1 ⊂ N_k \ {n_k} et une suite d’intervalles I_k de longueur 2^−k telle que (x_n)n∈N_k ⊂I_k. On v´erifie imm´ediatement que (x_nk)_k est une suite de Cauchy donc converge.

Alternativement, il est bien plus rapide de remarquer que [0,1] est to- talement born´e (et complet puisque ferm´e dans R qui est complet). En effet [0,1] = S2ⁿ−1

j=0 [2⁻ⁿj,2⁻ⁿ(j + 1)] est un recouvrement par des boules ferm´ees de diam`etre 2<sup>−n</sup>. Si on veut un recouvrement par des boules ouvertes, il suffit de l´eg`erement augmenter leur diam`etre, par exemple en rempla¸cant chaque [2⁻ⁿj,2⁻ⁿ(j+ 1)] = [2⁻ⁿ(j+ 1/2)−2⁻ⁿ⁻¹,2⁻ⁿ(j+ 1/2) + 2⁻ⁿ⁻¹] par (2⁻ⁿ(j+ 1/2)−2^−n−1/2,2⁻ⁿ(j+ 1/2) + 2^−n−1/2)∩[0,1].

D’autres exemples s’obtiennent par produit:

Lemme 1.7. Soient X, Y deux espaces m´etriques compacts. Alors X×Y est compact.

Remarque 1.8. Il faut munir X ×Y d’une distance telle que (x_k, y_k) converge si et seulement si (x_k) et (y_k) convergent toutes deux. Le plus simple est de prendre d (x, y),(x⁰, y⁰)

= max d_X(x, y), d_Y(x⁰, y⁰)

Dans ce cas B_X×Y (x, y), r

= B_X(x, r)× B_Y(y, r). Il est alors facile de voir que X×Y est complet si X et Y le sont.

D´emonstration. Soit (x_k, y_k)

k une suite d’´el´ements deX×Y, comme (x_k)_kest une suite deX, elle admet une sous-suite (x_n¹

k) qui converge. Comme (y_n¹

k)_k est une suite de Y, elle admet une sous-suite (y_n²

k) qui converge et,

´

evidemment, (x_n²

k) converge encore. Donc (x_n²

k, y_n²

k)

k converge et X ×Y

est bien compact.

Exemple 1.9. Dans (R^d,k · k_∞), les boules ferm´ees [−R, R]^d sont com- pactes.

Le lemme suivant permet d’obtenir beaucoup d’autres exemples:

Lemme 1.10. Soit (X, d) un espace m´etrique complet. Si X est compact alors toute partie ferm´ee E de X est encore compacte.

D´emonstration. Soit (xn) une suite de E alors elle admet une sous- suite (x_nk)_k qui converge dans X i.e. il existe x ∈ X tel que limx_nk = x.

Comme E est ferm´e,x∈E donc la sous-suite (x_nk)_k converge dans E Exemple 1.11. Dans (R^d,k · k∞),X est compact si et seulement siX est ferm´e born´e.

En effet, un compact est complet donc ferm´e dansR^det totallement born´e donc born´e. R´eciproquement, si X est born´e, il est inclus dans un [−R, R]^d qui est compact. Si X est de plus ferm´e, il sera alors compact.

Corollaire 1.12. Soient (X, d), (Y, d) deux espaces m´etriques complets et f :X →Y une fonction continue. Si X est compact alors f(X) aussi. En particulier f est born´ee

D´emonstration. Soit (y_n) une suite de f(X). Il existe donc x_n ∈ X tel que y_n =f(x_n). Comme X est compact, on peut extraire une sous-suite convergente (x_nk). Par continuit´e, y_nk =f(x_nk) converge ´egalement.

Alternativement, si (V_i)i∈I est un recouvrement ouvert de f(X), alors U_i = f⁻¹(V_i) est ouvert et (U_i)i∈I recouvre X. Comme X est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini (U_i)i∈F recouvre X et alors (V_i)i∈F

recouvre encore f(X).

Pour la deuxi`eme assertion, rappelons qu’un compact est totalement born´e donc born´e, en particulier,f(X) est born´e, c’est-`a-dire quef est born´e.

Corollaire 1.13. Soit(X, d), un espace m´etrique complet et f :X →R une fonction continue. Si X est compact alors f est born´ee et atteint ses bornes.

D´emonstration. On a d´eja montr´e que f est born´ee, donc M = supf et m = inff existent (et sont finis). Par d´efinition, pour tout n, il existe x_n ∈ X tel que M −1/n ≤ f(x_n) ≤ M. Par compacit´e de X, on peut extraire une sous-suite convergente (x_nk) de (x_n). En notant x sa limite et en passant `a la limite dans l’in´egalit´e M −1/nk ≤ f(xn_k) ≤ M on trouve f(x) = M. Le raisonnement pour l’inf est similaire.

Donnons un deuxi`eme exemple d’application de la compacit´e aux fonc- tions continues:

Proposition 1.14. Soient (X, d_X), (Y, d_Y) deux espaces m´etriques com- plets et f : X → Y une fonction continue. Si X est compact alors f est uniform´ement continue.

D´emonstration. Soit ε > 0. Si f est continue, pour tout x ∈ X, il existeη_x >0 tel que, si d_X(x, y)≤2η_x alors d_Y f(y), f(x)

≤ε.

Remarquons queS

x∈XB(x, η_x) est un recouvrement ouvert deX, il existe doncE ⊂Xfini tel queS

x∈EB(x, η_x) recouvre encoreX. Soitη= infx∈Eη_x, comme E est fini, η >0.

Soient maintenant y, z ∈ X avec d_X(y, z) ≤ η. Comme S

x∈EB(x, η_x) recouvre encore X, il existe x ∈ E tel que y ∈ B(x, η_x) i.e. d_X(x, y) ≤ η ≤ η_x. Par ailleurs, d_X(x, z) ≤ d_X(x, y) +d_X(y, z) ≤ η_x +η ≤ 2η_x. Par d´efinition de η_x, on a donc d_Y f(y), f(x)

≤ ε et d_Y f(z), f(x)

≤ ε. Avec l’in´egalit´e triangulaire, on en d´eduit que d_Y f(y), f(z)

≤2εd’o`u l’uniforme

continuit´e.

Continuons avec les applications. Rappelons que deux distances d, d⁰ sur un espace m´etrique X sont ´equivalents s’il existe C ≥ 1 tel que, pour tous x, y ∈X

1

Cd⁰(x, y)≤d(x, y)≤Cd(x, y).

Il est facile de voir que deux distances ´equivalentes d´efinissent les mˆemes suites de Cauchy et les mˆemes suites convergentes. De plus, si X est totalement

born´e pour la distanced, i.e. pourε >0, il existe un recouvrement fini de X par des boules (pour d) de rayon ε, X =S

x∈EB(x, ε). Mais

B(x, ε) ={y :d(x, y)≤ε} ⊂ {y :C⁻¹d⁰(x, y)≤ε}=B⁰(x, Cε) donc X = S

x∈EB⁰(x, Cε). Ainsi X admet aussi des recouvrements fini par des boules pour d⁰ de rayon arbitrairement petit et X est encore totalement born´e pourd⁰. Donc (X, d) est compact si et seulement si (X, d⁰) est compact.

Th´eor`eme 1.15. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Sur E toutes les normes sont ´equivalentes. Les parties compactes (quelle que soit la norme sur E) sont les parties ferm´ees born´ees.

D´emonstration. Commen¸cons par fixer une base (e₁, . . . , e_d) et mu- nissons E de la norme

Pd j=1x_je_j

= max_j=1,...,dmax(|<x_j|,|Imx_j|). Ceci permet d’identifier E avec R^2d muni de la norme k · k∞. On a d´ej`a vu que dans (R^2d,k · k∞) les compacts sont les ferm´es born´es.

Montrons maintenant que toutes les normes sont ´equivalentes, cette pro- pri´et´e ne d´ependra donc plus de la norme choisie.

Soit e₁, . . . , e_d la base canonique de C^d etk·k une norme sur C^d. Alors k(x₁, . . . , x_d)k=

d

X

i=1

x_ie_i

≤

d

X

i=1

|x_i|ke_ik ≤

d

X

i=1

ke_ik

!

k(x₁, . . . , x_d)k_∞. Cela montre de plus que x → kxk est continue (C^d,k·k_∞) → R puisque kx−yk ≤

Pd

i=1ke_ik

kx−yk_∞ → 0 quand x →y. Par ailleurs, S = {x∈ C^d : kxk_∞ = 1} est ferm´e dans la boule unit´e et est donc compact. Ainsi, kxkatteint son minimumm surS en un pointx₀ ∈S: m=kx₀k>0 puisque x₀ 6= 0. Mais alors, si x ∈ C^d soit x = 0 et kxk = kxk_∞ = 0 soit x 6= 0 et alors

x kxk_∞

_∞

= 1 donc

x kxk_∞

≥m d’o`u kxk ≥mkxk_∞. Corollaire 1.16. Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie et X ⊂E. Alors X est totallement born´e si et seulement si X est born´e.

D´emonstration. On a d´ej`a vu que si X est totallement born´e alors X est born´e. Inversement, si X est born´e alors son adh´erence ¯X est ferm´ee born´ee. Ainsi ¯X est compact donc totalement born´e. Ainsi, pour tout ε >0, il existe une partie finieF de ¯Xtelle que ¯X ⊂S

x∈FB(x, ε). Mais pour chaque x∈X, il existe¯ yx ∈X tel que x∈B(yx, ε) et alors B(x, ε)⊂B(yx,2ε). On

´

ecrit alors ˜F = {y_x : x ∈ F} et on a X ⊂ X¯ ⊂ S

x∈F˜B(x,2ε). Ainsi X est

totalement born´e.

Notons qu’en modifiant l´eg`erement l’argument ci-dessus, on peut montrer que X est totalement born´e si, pour tout ε > 0 il existe F ⊂ E fini (pas forc´ement F ⊂X) tel que X ⊂ [

x∈F

B(x, ε).

Corollaire 1.17. Soit T : R^d → R^D une application lin´eaire, alors T est continue.

D´emonstration. Il suffit que ce soit vrai pour R^d et R^D muni chacun de sa norme k·k_∞. On note [a_i,j]1≤i≤D,1≤j≤d la matrice de T dans la base canonique et x= (x₁, . . . , x_d)∈R^d. Alors

T x=

d

X

j=1

a1,jxj, . . . ,

d

X

j=1

aD,jxj

!

donc

kT xk_∞ = sup

i=1,...,D

d

X

j=1

a_i,jx_j

≤ sup

i=1,...,D d

X

j=1

|a_i,j||x_j|

≤ sup

i=1,...,D d

X

j=1

|a_i,j|

! kxk_∞

comme annonc´e.

Nous avons vu au premier semestre des exemples de normes non-´equiva- lentes et des exemples d’applications lin´eaires non continues en dimension infinie. Les choses se compliquent donc en dimension infinie et cela provient du manque de compacit´e de la boule unit´e.

Exemple 1.18. Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, alors la boule unit´e n’est pas compacte:

Quitte `a passer `a un sous-espace s´eparable, on peut supposer que H lui- mˆeme est s´eparable. Alors H admet une base orthonorm´ee (e_n)n∈N. En particulier ke_nk = 1 c’est donc une suite dans la boule unit´e. Mais, pour n6=m

ke_n−e_mk² =ke_nk²+ke_mk²−2<he_n, e_mi= 1 + 1−0 = 2

donc on ne peut pas extraire de sous-suite de Cauchy de (e_n)_n∈N, a forciori de sous-suite convergente.

Ce cas est typique de la dimension infinie:

Th´eor`eme 1.19 (Riesz). Soit (E,k·k) un espace vectoriel norm´e. On a

´

equivalence entre

(1) La boule unit´e ferm´ee de E est compacte;

(2) E est de dimension finie.

D´emonstration. On a d´ej`a vu que si E est de dimension finie, alors la boule unit´e ferm´ee de E est compacte. Dans le cas o`u E est un es- pace de Hilbert, cela provient de l’existence de bases orthonorm´ees qui elle- mˆeme provient de l’existence de projections sur des sous-espaces ferm´es. La d´emonstration va consister en une construction d’une suite infinie ´equidistante.

Celle-ci va r´esulter du lemme suivant:

Lemme 1.20. Soit E un espace vectoriel norm´e et F ⊂E un sous-espace ferm´e strict, F 6=E. Alors il existe x₀ ∈ E\F avec kx₀k= 1 et, pour tout y∈F, kx−yk ≥ 1

2 i.e. dist(x₀, F)≥ 1 2.

Si F est de dimension finie (donc n´ecessairement ferm´e), on a mˆeme dist(x₀, F)≥1.

Montrons d’abord que ce lemme permet de conclure.

Soit x₁ ∈ E avec kx₁k = 1 et appliquons le lemme `a F<sub>1</sub> = V ect(x<sub>1</sub>). Il existe alors x<sub>2</sub> ∈ E avec kx<sub>2</sub>k = 1 et kx<sub>2</sub>−x<sub>1</sub>k ≥1. Appliquons le lemme `a F₂ = V ect(x₁, x₂). Il existe alors x₃ ∈ E avec kx₃k = 1 et dist(x₃, F₂) ≥ 1, en particulier kx₂ −x₁k ≥1 et kx₃−x₁k ≥1.

Une fois x₁, . . . , x_n construits, on applique le lemme `a F<sub>n</sub> l’espace en- gendr´e par les vecteurs d´ej`a construits, Fn = Vect(x1, . . . , xn). Comme E est de dimension infini, Fn 6= E et Fn est ´evidemment ferm´e puisque de di- mension finie. On obtient donc un vecteur x_n+1 ∈ E avec kx_n+1k = 1 et dist(x_n+1, F₂)≥1 donckx_n+1−x_jk ≥1 pour j = 1, . . . , n.

On a ainsi construit une suite (x_n)n≥1 de la boule unit´e de E qui v´erifie kx_n−x_mk ≥ 1 si n 6= m. Une telle suite ne peut contenir de sous-suite convergente donc la boule unit´e de E n’est pas compacte.

D´emonstration du lemme. Soit x∈E\F et d=dist(x, F) = inf

y∈Fkx−yk.

Comme 0∈F, d≤ kxk et, si y∈F est tel que kyk ≥3kxk, kx−yk ≥ kyk − kxk ≥3kxk − kxk= 2kxk> d.

Ainsi

d= inf

y∈F,kyk≤3kxkkx−yk.

Premier cas: si F est de dimension finie, {y ∈ F,kyk ≤ 3kxk} est un compact, il existe donc y₀ ∈F avecky₀k ≤3kxk tel que kx−y₀k=d. Si on avait d= 0 alorsx=y₀ ∈F ce qui contredit l’hypoth`esex∈E\F. On peut donc poser x₀ = x−y₀

kx−y₀k = x−y₀

d et on remarque que kx₀k = 1. De plus, si y∈F

kx₀−yk=

x−y₀ d −y

= kx−(y₀+dy)k

d ≥1

puisque y₀+dy∈F (qui est un espace vectoriel).

Cas g´en´eral: si on avait d = 0, il existerait y_n ∈ F avec kx−y_nk ≤ d+ 1

n = 1

n. Mais alors, si m≥n,

ky_n−y_mk ≤ kx−y_nk+kx−y_mk ≤ 1 n + 1

m.

Ainsi (y_n) est de Cauchy dans E complet, elle converge donc vers uny ∈E.

Comme yn ∈ F et queF est ferm´e, on a de plus que y∈ F. Mais, la norme

´

etant continue 0 = limkx−y_nk=kx−yk donc x−y= 0 ce qui contredit `a nouveau x /∈F. Ainsi d >0.

On prend alorsy₀ ∈F tel qued≤ kx−y₀k ≤2d (n’importe quel nombre

> d pourrait remplacer 2d ici) et on pose `a nouveau x0 = x−y₀

kx−y₀k. On remarque kx₀k= 1. De plus, siy ∈F

kx0−yk=

x−y₀ kx−y₀k −y

= kx−(y₀+kx−y₀ky)k kx−y₀k ≥ d

2d = 1 2

puisque y₀+kx−y₀ky∈F.

1.2. Trois crit`eres de compacit´e en dimension infinie. ^∗

Nous avons vu que la compacit´e est utile mais pas simple `a ´etablir en dimension infinie. Nous allons dans cette partie donner des crit`eres de com- pacit´e dans les principaux espaces que nous rencontrerons: C(K), `<sup>p</sup> et L<sup>p</sup>. Ces crit`eres vont tous r´esulter d’un lemme qui permettra de se ramener `a la dimension finie:

Lemme 1.21. Soit X un espace m´etrique. On suppose que, pour tout ε > 0, il existe δ >0, un espace m´etrique W et une application Φ :X → W telles que

(i) Φ(X) est totalement born´e;

(ii) sid Φ(x),Φ(y)

< δ alors d(x, y)< ε.

Alors X est totalement born´e.

Pour utiliser ce lemme, on va en g´en´eral prendre W = R^d muni d’une norme. En effet, dans ce cas, E ⊂ R^d est totalement born´e si et seulement si E est born´e. (Car siE est born´e, ¯E aussi et est donc compact, donc peut ˆ

etre recouvert par des ouverts arbitrairement petits).

D´emonstration. Soit ε > 0 et W, δ, φ comme dans l’´enonc´e. Comme Φ(X) est totalement born´e, il existe V₁, . . . , V_n des boules de rayon δ/2 qui recouvrent Φ(X).

Il en suit que Φ⁻¹(V1), . . . ,Φ⁻¹(Vn) recouvrent X. De plus, la propri´et´e ii) implique que chaque Φ⁻¹(V_j) a un diam`etre au plus ε: si x, y ∈ Φ⁻¹(V_j) alors Φ(x),Φ(y)∈V_i doncd Φ(x),Φ(y)

≤δ donc d(x, y)≤ε. Ainsi, chaque Φ⁻¹(V_j) est inclus dans une boule de rayonε(en prenant n’importe quel point comme centre). Ces boules fournissent le recouvrement de X cherch´e.

Nous pouvons maintenant ´etablir le premier crit`ere de compacit´e:

Th´eor`eme 1.22 (Arz´ela-Ascoli). Soit K un espace m´etrique compact et X ⊂ C(K) (l’espace des fonctions continues sur K). Alors on a ´equivalence entre

(1) X est compact

(2) X v´erifie les deux propri´et´es suivantes

∗La pr´esentation ici est inspir´ee de Hanche-Olsen H., Holden H.The Kolmogorov–Riesz compactness theorem. Expo. Math., 28(2010), pp. 385-394.

(a) X est ponctuellement born´e: pour tout x∈K, il existe M_x >0 tel que, pour tout f ∈X, |f(x)| ≤M_x.

(b) X est ´equi-continue: pour tout ε >0 et tout x∈K, il existe η_x tel que, si d(x, y) < η_x alors, pour tout f ∈X, |f(x)−f(y)|<

ε.

(c) X est ferm´e.

D´emonstration. 1⇒2: Si X est compact, alors il est ferm´e et born´e:

il existe M tel que, pour tout f ∈X, kfk_∞ = sup_x∈K|f(x)| ≤ M donc pour tout x∈K et tout f ∈ X, |f(x)| ≤ M en particulier,X est ponctuellement born´e (c’est plus fort puisque M ne d´epend pas dex). Reste donc `a voir que X est ´equi-continue.

On fixe ε > 0, comme X est compact, il est totalement born´e, il existe donc f₁, . . . , f_N tel que X ⊂ SN

k=1B(f_k, ε). En d’autres termes, pour tout f ∈X, il existek ∈ {1, . . . , N} tel que kf−f_kk_∞< ε.

Mais chaquef_k est continu sur le compact K, elle est donc uniform´ement continue. Il existe donc η_k tel que, si d(x, y) < η_k alors |f_k(x)−f_k(y)| < ε.

On pose η= minη_k >0.

Supposons maintenant que d(x, y) < η et que f ∈ X. Soit k tel que kf −fkk_∞< ε. Alors

|f(x)−f(y)| ≤ |f(x)−f_k(x)|+|f_k(x)−f_k(y)|+|f_j(y)−f(y)| ≤3ε d’o`u l’´equicontinuit´e des f ∈X (c’est mˆeme plus fort puisque le η trouv´e ici ne d´epend pas de x).

2 ⇒ 1: C’est ´evidemment le sens le plus important. iii) nous dit que X est ferm´e dansC(K) qui est complet, doncXest un espace m´etrique complet.

Reste `a voir que i) et ii) impliquent que X est totalement born´ee. Soit donc ε >0.

Pour tout x∈K, il existe η_x >0 tel que, si d(x, y)< η_x alors, (1.1) pour tout f ∈X, |f(x)−f(y)|< ε.

On recouvre alors le compact K par les boules K =S

x∈KB(x, η_x) et on en extrait un sous-recouvrement ouvert fini: K = SN

j=1B(x_j, η_xj). On notera η_j =η_xj. Enfin, on d´efinit l’application

Φ :X → R^N

f 7→ Φ(f) = f(x₁), . . . , f(x_N).

D’abord Φ(X) est totalement born´e. Comme Φ(X) ⊂ R^N, il suffit de voir que Φ(X) est born´ee. Mais X ´etant ponctuellement born´e, pour chaque j ∈ {1, . . . , N} il existe M_j tel que, pour tout f ∈ X, |f(x_j)| ≤ M_j. Ainsi, en posant M = maxM_j <+∞, pour tout f ∈X, kΦ(f)k_∞≤M.

Ensuite supposons que f, g ∈ X sont telles que kΦ(f)−Φ(g)k_∞ ≤ ε, c’est-`a-dire que pour j = 1, . . . , N, |f(xj)−g(xj)| ≤ ε. Alors, si y ∈ K, il

existej ∈ {1, . . . , N}tel que d(y, x_j)< η_j et alors

|f(y)−g(y)| ≤ |f(y)−f(xj)|+|f(xj −g(xj)|+|g(xj)−g(y)|

< ε+ε+ε= 3ε

o`u les premier et troisi`eme termes sont major´es avec (1.1). Ainsikf−gk_∞ ≤

3ε. Il suffit donc d’appliquer le lemme 1.21.

Le crit`ere de compacit´e dans `^p est tr`es similaire:

Th´eor`eme 1.23 (Fr´echet). Soit 1 ≤ p < +∞ et X ⊂ `^p alors X est compact si et seulement si

(i) X est ferm´e;

(ii) X est ponctuellement born´e: pour tout i, il existe M_i tel que, pour tout (x_n)∈X, |x_i| ≤M

(iii) pour tout ε > 0 il existe N > 0 tel que, pour tout (x_n) ∈ X, P

n≥N|x_n|^p ≤ε^p.

D´emonstration. Dans la d´emonstration de ce lemme, nous utiliserons la notation suivante. Soit N ≥ 1 un entier et π_N :`<sup>p</sup> →`^p l’application qui

`

a une suite y = (y_n)n≥0 associe la suite (z_n)_n d´efinie par z_n = y_n si n < N et z_n = 0 si n ≥ N. Notons ´egalement ˜π_Ny = y−π_Ny et remarquons que kπ_Nyk_p,k˜π_Nyk_p ≤ kyk_p.

Comme`<sup>p</sup> est complet, la conditioni) signifie simplement queX muni de la norme de `^p est un espace m´etrique complet. Il reste donc `a voir que les deux autres conditions sont ´equivalentes au fait que X est totalement born´e.

Supposons d’abord que X est totalement born´e. En particulier, X est born´e, il existe doncM tel que, pour toutx= (x_n)∈X,kx_nk_p ≤M. Fixons i∈N, alors|x_i| ≤ kxk_p ≤M doncX est bien ponctuellement born´e. Ensuite, comme X est totalement born´e, il existe x¹, . . . , x^M ∈ X tel que, pour tout x ∈ X, il existe j ∈ {1, . . . , M} tel que

x−x^(j)

p ≤ ε/2. Par ailleurs, pour chaque j, il existe N_j tel que P

n≥Nj|x^(j)n |^p ≤ (ε/2)^p. On pose alors N = maxN_j et on remarque que N a ´et´e choisi pour que

˜π_Nx^(j)

p ≤ε/2 si j ∈ {1, . . . , M}. Mais alors

Π˜_Nx p

≤

Π˜_Nx−Π˜_Nx^(j) p

+ Πx^(j)

p ≤

x−x^(j) p +

Π˜_Nx^(j) p

≤ε.

Montrons maintenant la r´eciproque. Soit ε > 0 et soit N > 0 donn´e par la condition iii). Soit E_N = Π_N`<sup>p</sup> et remarquons que E<sub>N</sub> est un sous- espace de dimension finie de`^p. Consid´erons alorsπ_N comme une application Π_N :X →E_N.

D’apr`esii) pour chaque n = 1, . . . , N −1 il existe M_k tel que, pour tout (x_k)_k ∈X, |x_n| ≤M_n donc

kπ_Nxk_p =

N−1

X

n=0

|x_n|^p

!1/p

≤M_N :=

N−1

X

n=0

M_n^p

!1/p

.

Notons que M_N ne d´epend pas de x ∈ X donc π_N(X) est born´e dans E_N. Comme E_N est de dimension finie,π_N(X) est donc totalement born´e.

Par ailleurs, la propri´et´e iii) se lit: pour tout x ∈ X kx−Π_Nxk =

Π˜Nx

≤ε. Alors sikπN(x)−πN(y)k_p ≤ε,

kx−yk_p ≤ kx−Π_Nxk+kΠ_N(x)−Π_N(y)k_p+kΠ_N(y)−yk_p ≤3ε.

On peut donc appliquer le lemme 1.21 et en d´eduire queX est compact.

Le cas des espaces L^p(R^d) est un peu plus complexe:

Th´eor`eme 1.24 (Kolmogorov-Riesz). Soit 1 ≤p < +∞ et X ⊂ L^p(R^d) alors X est compact si et seulement si

(i) X est ferm´e;

(ii) X est born´e: il existe M > 0 tel que pour tout f ∈X, kfk_p ≤M;

(iii) X est ´equi-int´egrable: pour tout ε > 0 il existe R > 0 tel que, pour tout f ∈X, R

kxk∞≥R|f(x)|^pdx≤ε^p.

(iv) Les translations sont ´equi-continues sur X: pour tout ε >0 il existe ρ >0 tel que, si kyk∞ < ρ alors pour tout f ∈X, kf−τyfk_p ≤ε.

D´emonstration. Comme pr´ec´edemment, le fait que X soit ferm´e est

´

equivalent au fait que X soit complet. Il reste donc `a montrer que les autres propri´et´es sont ´equivalentes au fait que X soit totalement born´e.

Si X est totalement born´e alors X est born´e. On fixe ε > 0, il existe f₁, . . . , f_N ∈ X telles que, pour tout f ∈ X il existe j ∈ {1, . . . , N} tel que kf −f_jk ≤ε.

Mais, pour chaque j, il existe R_j tel que

f_j1|x|≥R_j

p ≤ ε etρ_j tel que si

|y| ≤ ρ_j alors kf_j −τ_yf_jk_p ≤ε (les translat´ees sont continues sur L^p puisque p < +∞). On pose R= maxR_j et ρ= minρ_j et alors

– d’une part

f1|x|≥R

p ≤

(f−fj)1|x|≥R

p+

fj1|x|≥R

p

≤ kf−f_jk_p+

f_j1|x|≥R

p ≤2ε;

– d’autre part, pour |y| ≤ρ,

kf −τ_yfk_p ≤ kf −f_jk_p+kf_j −τ_yf_jk_p+kτ_yf_j−τ_yfk_p

= 2kf −fjk_p+kfj −τyfjk_p ≤3ε.

Il reste donc `a montrer la r´eciproque c’est-`a-dire que les propri´et´es ii) `a iv) impliquent que X est totalement born´e.

On fixe ε >0 et on d´efinit R > 0, ρ > 0 par les conditions du th´eor`eme.

On consid`ere ensuite le cube Q<sub>R</sub>={kxk<sub>∞</sub> ≤R} dans R<sup>d</sup> qu’on ´ecrit comme une r´eunion disjointe (`a un ensemble de mesure 0 pr`es) de cubes de la forme Q_j = x_j + [−ρ/2, ρ/2]^d. Pour faire cela, on peut ´eventuellement augmenter un peu R pour qu’il soit un multiple de ρ. Notons qu’il y a un nombre fini N de tels cubes.

Pour Q un cube de cˆot´e ρ dans R^d, et f ∈ L^p(R^d), on d´efinit f_Q = 1

|Q|

Z

Q

f(x) dx la moyenne de f sur Q. Remarquons qu’avec H¨older (1/p+ 1/p⁰ = 1) on a

|f_Q| ≤ 1

|Q|

Z

Q

|f(x)|dx≤ 1

|Q|

Z

Q

1 dx

1/p⁰Z

Q

|f(x)|^pdx 1/p

≤ 1

|Q||Q|^1−1/pkfk_p =|Q|^1/pkfk_p. D´efinissons ensuite

πf(x) =

(f_Qi si x∈Q_i 0 si x /∈Q_R .

Notons que πf est bien d´efini puisque les Q_i sont disjoints (`a un ensemble de mesure nulle pr`es) et couvrent Q_R. Notons aussi que πf est born´ee et `a support compact et appartient donc `a L^p(R^d).

Finalement on d´efinit Φ : X → C^N par Φ(f) = (f_Q1, . . . , f_QN). Tout d’abord comme|f_Qj| ≤ |Q_j|^−1/pkfk_p =ρ^−d/pkfk_p on a

kΦ(f)k_∞≤ρ^−d/pkfk_p ≤ρ^−d/pM

puisque X est born´e. Ainsi Φ(X) est born´e dansC^N donc totalement born´e.

Observons aussi que kπfk^p_p =

Z

R^d

|πf(x)|^pdx=

N

X

j=1

Z

Qj

|fQj|^pdx=

N

X

j=1

|Qj|^p|fQj|^p =ρ^dpkΦ(f)k^p_p

puisque tous les cubes sont de volume ρ^d. Notons que, les normes k·k_p et k·k_∞ ´etant ´equivalentes surC^N, Φ(X) est aussi born´e pour la norme k·k_p.

Maintenant kf −πfk^p_p =

Z

R^d

|f(x)−πf(x)|^pdx

= Z

R^d\Q_R

|f(x)−πf(x)|^pdx+

N

X

j=1

Z

Qj

|f(x)−πf(x)|^pdx

= Z

R^d\Q_R

|f(x)|^pdx+

N

X

j=1

Z

Qj

f(x)− 1

|Q_j| Z

Qj

f(y) dy

p

dx

≤ ε^p+

N

X

j=1

Z

Qj

1

|Q_j| Z

Qj

f(x)−f(y) dy

p

dx.

On utilise ensuite l’in´egalit´e de Jensen t → t^p est convexe et dy

|Q_j| est une mesure de probabilit´e sur Q_j donc

Z

Qj

f(x)−f(y) dy

|Q_j|

p

≤ Z

Qj

|f(x)−f(y)|^p dy

|Q_j|. Ainsi

kf −πfk^p_p ≤ε^p+

N

X

j=1

1

|Qj| Z

Qj

Z

Qj

|f(x)−f(y)|^pdydx.

Enfin, si on fixe x∈Q_j, chaquey ∈Q_j s’´ecrit de fa¸con unique y=x−z avec kzk∞≤ρ donc

Z

Qj

Z

Qj

|f(x)−f(y)|^pdydx ≤ Z

Qj

Z

kzk∞≤ρ

|f(x)−f(x+z)|^pdzdx

= Z

kzk∞≤ρ

Z

Qj

|f(x)−τ_zf(x)|^pdxdz

≤ Z

kzk∞≤ρ

kf −τ_zfk^p_pdz ≤ε^p(2ρ)^d. Il en r´esulte que si f ∈X,

kf−πfk^p_p ≤ε^p+

N

X

j=1

1

|Q_j|ε^p(2ρ)^d.= (1 + 2^dN)ε^d.

Observons maintenant que si X v´erifie ii)−iii)−iv) alors X−X = {f − g, f, g ∈X} aussi (en remplac¸cantM par 2M et ε par 2ε). En posant C = 2(1 + 2^dN^1/d) il en r´esulte que si f, g ∈X alors k(f −g)−π(f−g)k_p ≤Cε et donc kf−gk_p ≤Cε+kπ(f −g)k_p.

Mais maintenant, si

kΦ(f −g)k_p =kΦ(f)−Φ(g)k_p ≤ε alors

kπ(f −g)k_p =ρkΦ(f−g)k_p ≤ρε donc

kf −gk_p ≤Cε+ρε= (C+ρ)ε.

On peut donc appliquer le lemme 1.21 et on en d´eduit queX est totalement

born´ee.

Exemple 1.25. Il est facile de voir que la boule unit´e deL^p(R) n’est pas

´

equi-int´egrable. En effet, pour tout a >0,f_a=1_[a,a+1] appartient `a la boule unit´e, mais si a > R,

Z

|x|>R

|f_a(x)|^pdx= Z a+1

a

1 dx= 1.

La boule unit´e de L^p n’est pas non plus ´equi-continue. En effet, si on regarde f_a(x) = 1_[0,1](x)e^iax, alors f_a appartient bien `a la boule unit´e de L^p mais pour h≤1,

|f_a−τ_hf_a|=1_[0,h]+|e^iax−e^ia(x−h)|1_[h,1]+1_[1,1+h]=1_[0,h]+|1−e^iah|1_[h,1]+1_[1,1+h]

donc

kf_a−τ_hf_ak^p_p = 2h+ (1−h)|1−e^iah|^p. Il en r´esulte que

f_1/h−τ_hf_1/h

p

p → |1−eⁱ|^p 6= 0 quand h→0.

1.3. Une application: le th´eor`eme de convergence monotone de Dini.

Th´eor`eme 1.26 (Dini). Soit (X, d) un espace m´etrique compact. Soit (fn)n≥0 ∈ C(X,R) et f ∈ C(X,R) des fonctions continues `a valeurs r´elles.

On suppose que, pour x∈X, f_n(x)est croissante (resp. d´ecroissante) et que f_n(x)→f(x). Alors f_n→f uniform´ement sur X,

sup

x∈X

f(x)−f_n(x)

= sup

x∈X

|f(x)−f_n(x)| →0.

Remarque 1.27. Les hypoth`eses sont essentielles. Consid´erons fn(x) = 1−xⁿ. Alors sur (0,1) (qui n’est pas compact),f_n(x)→1 mais la convergence n’est pas uniforme puisque sup_x∈(0,1)|f_n(x)−1|=sup_x∈(0,1)xⁿ = 1.

Par contre, sur [0,1], qui est compact,f_n(x)→f(x) =

(1 si 0 ≤x <1 0 si x= 1 qui n’est pas continu. Comme f_n est continue, et que sa limite ne l’est pas, la convergence ne peut ˆetre uniforme. Cela peut ´evidemment se voir directement puisque sup_x∈(0,1)|f_n(x)−f(x)|=sup_x∈(0,1)xⁿ= 1.

D´emonstration. En rempla¸cant f_n par −f_n et f par −f, on voit qu’il suffit de consid´erer le cas o`u, pour x fix´e,f_n(x) est croissante.

On poseg_n(x) =f(x)−f_n(x) de sorte que pourxfix´e,g_n(x) est continue, positive, d´ecroissante et converge (simplement) vers 0. On poseMn ={gn}∞

et nous voulons montrer que Mn→0.

On fixe ε > 0 et on pose O_n = g_n⁻¹ (−∞, ε)

= {x ∈ X : g_n(x) < ε}

qui est donc un ouvert de X. Si x ∈ X, comme g_n(x) → 0, il existe n tel que 0 ≤ g_n(x) < ε donc x ∈ O_n. Ainsi [

n∈N

O_n est un recouvrement de X par des ouverts. Comme X est compact, il existe une partie finie F ⊂ N telle que [

n∈F

O_n est encore un recouvrement de X. On pose alors N = max{n ∈F} et on remarque que la d´ecroissance de g_n(x) implique que, pour tout n ∈ F, n ≤ N donc O_n ⊂ O_N. Ainsi X ⊂ [

n∈F

O_n ⊂ O_N ⊂ X.

Enfin si m ≥ N, O_N ⊂ O_m donc X = O_m. En d’autres termes, pour tout x∈X, 0≤gm(x)< ε, donc Mm ≤ε. On a bien Mn→0.

1.4. Compacit´e faible. Rappelons que dans un espace de Banach X, la convergence faible est d´efinie comme suit: on dit que (x_n)n≥0 converge faiblement vers xsi pour toute forme lin´eaire continue`surX,`(x_n)→`(x).

Dans le cas d’un espace de HilbertH, ceci ´equivaut `a ce que, pour touty∈H hx_n, yi → hx, yi. Nous avons aussi vu l’exemple suivant:

Exemple1.28. Soit (e_n)n≥0une base orthonorm´ee d’un espace de Hilbert (s´eparable) alors

– on ne peut pas extraire de (e_n)n≥0 de sous suite convergente dans H – (e_n)n≥0 converge faiblement vers 0.

En effet, tout x∈H s’´ecrit x=X

n≥0

hx, e_nie_n avec kxk² =X

n≥0

|hx, e_ni|².

En particulier, cette derni`ere s´erie ´etant convergente, son terme g´en´eral tend vers 0. Ainsi, pour tout x∈H,he_n, xi=hx, e_ni →0 =h0, xi.

Ce cas particulier est assez typique:

Th´eor`eme 1.29 (Banach-Alaoglu). SoitH un espace de hilbert s´eparable.

Alors la boule unit´e de H est faiblement s´equentiellement compact. Plus pr´ecis´ement, de toute suite born´ee, on peut extraire une sous-suite faiblement convergente.

D´emonstration. Comme H est s´eparable, H poss`ede une base ortho- norm´ee (e_n)n≥0. Soit donc (x_k)k≥0 une suite born´ee par M. Avec Cauchy- Schwarz, pour tout n ≥0,

|hx_k, e_ni| ≤ kx_kkke_nk ≤M

i.e. (hx_k, e_ni)k≥0 est une suite (scalaire) born´ee. En particulier, hx_k, e₀i´etant born´ee, elle admet une sous-suite convergente

D x_k⁰

`, e0

E

→a0quand` →+∞.

Comme D x_k⁰

`, e₁E

est ´egalement born´ee, elle admet elle aussi une sous- suite convergente D

x_k¹

`, e₁E

→ a₁ quand ` → +∞. Bien ´evidemment, on a encore D

x_k¹

`, e₀E

→a₀ puisque c’est une suite extraite deD x_k⁰

`, e₀E .

Supposons maintenant qu’on ait construit des suites d’entiers {k<sub>`</sub><sup>1</sup>, ` ∈ N} ⊂ · · · ⊂ {k<sup>`</sup><sub>l</sub>, ` ∈ N} ⊂ {k<sub>`</sub><sup>0</sup>, ` ∈ N} ⊂ N telle que, pour j = 0, . . . , n, a_j = lim

`→+∞

D x_k^j

`, e_jE

existe. Alors, comme x_kⁿ

`, e_n+1

est born´ee, on peut en extraire une sous-suite telle que a_j = lim

`→+∞

D x_kⁿ⁺¹

` , e_n+1E

existe.

On consid`ere alors n<sub>`</sub> = k<sup>`</sup><sub>`</sub> (le `-i`eme terme de la `-i`eme suite). On re- marque que (hx_n`, e_ji)l≥j est une suite extraite de (D

x_k^j

`, e_jE

)_` donc converge:

hx<sub>n`</sub>, e<sub>j</sub>i →a<sub>j</sub> quand ` →+∞.

Remarque 1.30. Ceci s’appelle le proc´ed´e diagonal de Cantor.

On fixe maintenant J, on a

J

X

j=0

|aj|² = lim

`→+∞

J

X

j=0

|hxn_`, eji|²

| {z }

≤k^xn`k²

≤M²

en particulier, (a_j)j≥0 ∈ `² avec k(a_j)k₂ ≤ M. On peut donc d´efinir x = P+∞

j=0a_je_j ∈H et on a a_j =hx, e_ji etkxk² =P+∞

j=0|a_j|² ≤M².

On va montrer quexest la limite faible de (x_{n`</sub>)<sub>`}. Soit maintenanty∈H, on veut donc montrer que hx<sub>n`</sub>, yi → hx, yi. On sait d´ej`a que c’est le cas si y = e_j donc encore si y ∈ V ect{e_j}j≥0 (les combinaisons lin´eaires finies des e_j). On veut montrer que c’est vrai pour tout y∈H =V ect{e_j}j≥0. On fixe donc y ∈ H et ε > 0. Comme H = V ect{e_j}j≥0 il existe y_ε ∈ V ect{e_j}j≥0

tel queky−y_εk_H < ε. On vient de voir que hx<sub>n`</sub>, y<sub>ε</sub>i → hx, y<sub>ε</sub>i, il existe donc L≥0 tel que, si `≥L, |hx_n`, y_εi − hx, y_εi|< ε. Enfin

|hx_n`, yi − hx, yi|

≤ |hx_{n`</sub>, yi − hx<sub>n`}, y_εi|+|hx_n`, y_εi − hx, y_εi|+|hx, y_εi − hx, yi|

=|hx_{n`</sub>, y−y<sub>ε</sub>i|+|hx<sub>n`}, y_εi − hx, y_εi|+|hx, y_ε−yi|

≤ kx_nkkky−y_εk+|hx_n`, y_εi − hx, y_εi|+kxkky−y_εk<(2M+ 1)ε

comme annonc´e.

Remarque 1.31. Le th´eor`eme s’´etend de fa¸con presque directe `a deux cas plus g´en´eraux

– L’espace de Hilbert H n’a pas besoin d’ˆetre s´eparable. On consid`ere d’abord H<sub>0</sub> =V ect(x<sub>k</sub>) le sous-espace ferm´e engendr´e par la suite. Ainsi H<sub>0</sub> est un espace de Hilbert s´eparable. On extrait alors de (x<sub>k</sub>) une sous-suitex<sub>nk</sub> qui converge faiblement dansH<sub>0</sub>: il existex∈H<sub>0</sub> tel que, pour touty<sub>0</sub> ∈H<sub>0</sub>, hx<sub>nk</sub>, y<sub>0</sub>i → hx, y<sub>0</sub>i. Ensuite, si y ∈ H, on ´ecrit y = y<sub>0</sub> +z avec y<sub>0</sub> ∈ H<sub>0</sub> et z ∈H<sub>0</sub><sup>⊥</sup> un vecteur orthogonal `a H₀. Alors

hx_nk, yi=hx_nk, y₀i+hx_nk, zi=hx_nk, y₀i → hx, y₀i=hx, yi.

– H peut ˆetre remplac´e par n’importe quel espace de Banach X dont le dual est s´eparable. La base orthonorm´ee (e_k)k≥0 est alors remplac´ee par une suite (y_k)k≥0 qui engendre X⁰. Ainsi, le th´eor`eme reste vrai dans L^p(µ), 1 < p < +∞ pour une mesure µ raisonnable (par exemple la mesure de Lebesgue sur un ouvert de R^d).

Remarque 1.32. Si X⁰ est s´eparable, la convergence faible dans X est une convergence m´etrique. Plus pr´ecis´ement, on prend {`_n} une famille d´enombrable de formes lin´eaires continues sur X dense dans X⁰. On mu- nit X de la distance

d(x, y) =X

n≥0

2⁻ⁿ |`_n(x−y)|

1 +|`_n(x−y)|.