Op´ erateurs born´ es, op´ erateurs compacts

1. Op´erateurs born´es, crit`ere de Schur, adjoint Commen¸cons par rappeler le fait fondamental suivant:

Th´eor`eme 1.1. Soit X, Y deux espaces de Banach et T : X → Y un op´erateur lin´eaire. On a ´equivalence entre

(1) T est continu sur X;

(2) T est continu en 0;

(3) T est born´e sur la boule unit´e;

(4) Il existe C >0 tel que, pour tout x∈X, kT xk_Y ≤Ckxk_X.

En particulier, siX est de dimension finie, toutes les applications lin´eaires sur X sont continues.

On notera alors kTk_X→Y = inf{C > 0 : ∀x ∈ X, kT xk_Y ≤ Ckxk_X} ou plus simplement kTk s’il n’y a aucune ambiguit´e possible. D’autres expres-sions sont possible

kTk= sup{kT xk : kxk ≤1}= sup{kT xk : kxk= 1}

et on v´erifie que c’est une norme surB(X, Y) l’espace des applications lin´eaires continues (on dit aussi born´ees) deX versY. On a vu qu’on obtient ainsi un espace de Banach.

Le cas qui nous int´eresse le plus souvent est celui d’op´erateursL^p(Ω, µ)→ L^q( ˜Ω, ν) donn´es par un noyauK:

(1.43) T_Kf(x) =

Z

Ω

K(x, y)f(y) dµ(y).

En effet, cela couvre les cas suivants

(1) Ω,Ω sont des ensembles finis et˜ µ, νles mesures de comptage. Dans ce casL^p(Ω, µ) = (C^m,k·k_p) o`um=|Ω|(le cardinal de Ω) etL<sup>q</sup>( ˜Ω, ν) = (C<sup>n</sup>,k·k<sub>q</sub>) o`u n=|Ω|. Dans ce cas, (1.43) se lit˜

T_Kf(i) =

m

X

j=1

K(i, j)f(j)

etK est simplement la matrice de T (dans la base canonique).

(2) Ω = ˜Ω = R^d muni de la mesure de Lebesgue et K est de la forme K(x, y) =k(x−y). Dans ce cas

T_Kf(x) = Z

R^d

k(x−y)f(y) dµ(y) =k∗f(x).

127

(3) Ω = ˜Ω = R^d muni de la mesure de Lebesgue et K(x, y) = e^−2iπhx,yi et dans ce cas, on on T_Kf =fbest la transform´ee de Fourier.

Il est assez facile de trouver une condition sur K pour que T_K soit born´e de L¹ →L^q. En effet, l’in´egalit´e de Minkovski montre que (ici et dans tout le chapitre, sup signifie le sup essentiel). On a ainsi montr´e la proposition suivante:

Alors l’op´erateur lin´eaire d´efini par T_Kf(x) =

Z

Ω

K(x, y)f(y) dµ(y)

est born´e L¹(Ω, µ)→L^q( ˜Ω, ν) avec kT_Kk_L1(Ω,µ)→L^q( ˜Ω,ν)≤M.

La situation duale, c’est-`a-dire arriver dansL^∞, n’est pas plus compliqu´ee:

on prend 1 ≤ p ≤ +∞ et p⁰ tel que 1 p + 1

p⁰ = 1, l’exposant dual. Alors l’in´egalit´e de H¨older nous donne

sup On a ainsi obtenu le r´esultat suivant:

Proposition 1.3. Soient (Ω, µ), ( ˜Ω, ν) deux espaces mesur´es σ-finis et

Alors l’op´erateur lin´eaire d´efini par T_Kf(x) =

Z

Ω

K(x, y)f(y) dµ(y)

est born´e L^p(Ω, µ)→L^∞( ˜Ω, ν) avec kTKk_Lp(Ω,µ)→L^∞( ˜Ω,ν)≤M.

Pour le cas L^p →L^p, on dispose d’un outil puissant (qui lui-mˆeme a ´et´e

´

etendu de diverses fa¸cons que nous ne traiterons pas ici):

Th´eor`eme1.4 (Test de Schur). Soient(Ω, µ),( ˜Ω, ν)deux espaces mesur´es

Alors l’op´erateur lin´eaire d´efini par T_Kf(x) =

avec C `a d´eterminer. En effet, cela implique que kT_Kfk_Lp(ν) = sup

Mais alors, avec Fubini, Z

et l’ordre d’int´egration n’importe pas dans cette int´egrale double. Il suffit donc de montrer que

(1.44) Z

Ω

Z

Ω˜

|K(x, y)| |f(x)| |g(y)|dµ(y) dν(x)≤Ckfk_Lp(µ)kgk_Lp0

(ν). L’´etape d’apr`es consiste `a se ramener au cas A = B = 1. Pour cela, observons que si on pose d˜µ= 1

Adµ alors sup

x∈Ω˜

Z

Ω

|K(x, y)|^pd˜µ(y) = 1 tandis que

kfk_Lp(˜µ) = Z

Ω

|f(x)|^p 1 Adµ(x)

1/p

=A^−1/pkfk_Lp(µ). De mˆeme, si on pose d˜ν = 1

Bdν alors sup

y∈Ω

Z

Ω˜

|K(x, y)|^pd˜ν(x) = 1 alors que kgk_Lp0

(˜ν) =B^−1/p0kgk_Lp0

(ν). Enfin Z

Ω

Z

Ω˜

|K(x, y)| |f(x)| |g(y)|d˜µ(y) d˜ν(x)

=A⁻¹B⁻¹ Z

Ω

Z

Ω˜

|K(x, y)| |f(x)| |g(y)|dµ(y) dν(x).

Ainsi, si on montre (1.45)

Z

Ω

Z

Ω˜

|K(x, y)| |f(x)| |g(y)|d˜µ(y) d˜ν(x)≤ kfk_Lp(˜µ)kgk_Lp0

(˜ν)

alors A⁻¹B⁻¹

Z

Ω

Z

Ω˜

|K(x, y)| |f(x)| |g(y)|dµ(y) dν(x)≤A^−1/pkfk_Lp(µ)B^−1/p0kgk_Lp0

(ν)

qui est bien (1.44) avec C =A^1−1/pB^1−1/p0 =A^1/p0B^1/p. En d’autre termes, on s’est ramen´e au cas A = B = 1 et on va maintenant d´emontrer (1.45) dans ce cas. Enfin, on remarque que (1.45) est homog`ene enf et eng,

c’est-`

a-dire que, si elle est valable pour un couple (f, g) elle est aussi valable pour (λf, µg). En particulier, on rempla¸cant f et g par f /kfk_Lp(˜µ) et g/kgk_Lp0

(˜ν), on se ram`ene `a vouloir d´emontrer que

Z

Ω

Z

Ω˜

|K(x, y)| |f(x)| |g(y)|dµ(y) dν(x)≤1 si kfk_Lp(˜µ) =kgk_Lp0

(˜ν)= 1 et sup

x∈Ω˜

Z

Ω

|K(x, y)|^pdµ(y) = sup

y∈Ω

Z

Ω˜

|K(x, y)|^pdν(x) = 1.

Pour cela, on utilise la convexit´e de l’exponentielle qui nous dit que, si avec Fubini (puisqu’on n’a que des termes positifs). La premi`ere int´egrale est major´ee par alors que pour la seconde

Z

Au final Z

Ω

Z

Ω˜

|K(x, y)| |f(x)| |g(y)|dµ(y) dν(x)≤ 1 p + 1

p⁰ = 1

comme voulu.

Remarque 1.5. Le test de Schur est parfois optimal. Ainsi, si µ, ν sont des mesures finies, K ≥0 et que les conditions du test de Schur sont exacte au sens o`u

Z

Ω

K(x, y) dµ(y) = A et Z

Ω˜

K(x, y) dν(x) =B

alors, en int´egrant la premi`ere par rapport `a ν et la seconde par rapport

`

a µ, on trouve Aν( ˜Ω) = Bµ(Ω). Remarquons que la premi`ere identit´e se lit TK1Ω = A1Ω˜ mais k1Ωk_p = µ(Ω)^1/p et k1Ω˜k_p0 = ν( ˜Ω)^1/p0. Ainsi on a kTK1Ωk_p0 =A^1/p0B^1/pk1Ωk_p.

A l’oppos´` e, siK oscille, on ne s’attend pas `a ce que le test de Schur soit optimal. Par exemple, si Ω = ˜Ω = R^d et K(x, y) = e^−2iπhx,yi alors T_Kf = f,b la transform´ee de Fourier de f. On sait avec Plancherel que kT_Kfk₂ =kfk₂ alors que A=B = +∞ dans le test de Schur.

2. Adjoint d’un op´erateur

Soient X, Y deux espaces de Banach et X⁰, Y⁰ leurs espaces duaux. Pour x ∈ X et x⁰ ∈ X⁰, il sera plus pratique de noter x⁰(x) = hx⁰, xi. Rappelons que {hx⁰, xi, x⁰ ∈X⁰} d´etermine de fa¸con unique x.

Soit T un op´erateurX →Y ety⁰ ∈Y⁰, on peut alors d´efinirx→ hy⁰, T xi et on remarque que ceci d´efinit une forme lin´eaire continue sur X:

|hy⁰, T xi| ≤ ky⁰k_Y0kT xk_Y ≤ kTk_X→Yky⁰k_Y0kxk_X.

On va noter cette forme lin´eaire T⁰y⁰ ∈X⁰. On remarque alors quey⁰ →T⁰y⁰ est lin´eaire puisque, pour tout x, y⁰ → hy⁰, T xi est lin´eaire et de plus, cette application est continue Y⁰ →X⁰ puisque

kT⁰y⁰k_X0 = sup

x∈X,kxk_X=1

|T⁰y⁰(x)|= sup

kxk_X=1

|hy⁰, T xi| ≤ kTk_X→Yky⁰k_Y0. Donc kT⁰k_Y0→X⁰ ≤ kTk_X→Y. Enfin, comme sup_ky⁰_k

Y0=1|hy⁰, T xi| =kT xk on a

sup

kxk_X=1

sup

ky⁰k_Y0=1

|hy⁰, T xi|= sup

kxk_X=1

kT xk=kTk donc kT⁰k=kTk.

D´efinition 2.1. Soient X, Y deux espaces de Banach et X⁰, Y⁰ leurs espaces duaux. Pour tout op´erateur born´e T : X → Y, il existe un unique op´erateur born´eT^∗ :Y⁰ →X⁰ appel´e l’adjoint deT tel que, pour toutx∈X et tout y⁰ ∈Y⁰

hy⁰, T xi=hT^∗y⁰, xi.

De plus, kT⁰k_Y0→X⁰ =kTk_X→Y.

Notons que siX =Y =H un espace de Hilbert, la dualit´e est donn´ee par le produit scalaire et l’adjoint se d´efinit de fa¸con un peu plus directe:

D´efinition2.2. Soit H un espace de Hilbert. Pour tout op´erateur born´e T :H→H, il existe un unique op´erateur born´eT^∗ :H →H appel´e l’adjoint deT tel que, pour tous x, y ∈H

hy, T xi=hT^∗y, xi ou, de fa¸con ´equivalente, pour tous x, y ∈H

hT x, yi=hx, T^∗yi.

Exemple 2.3. Soient X = L^p(R^d), Y = L^q(R^d) avec 1 < p, q < ∞ et soient p⁰, q⁰ les exposants duaux ¹_p + _p¹0 = ¹_q + _q¹0 = 1. Soit K :R^d×R^d →C une fonction localement born´ee (i.e. pour tout R > 0, il existe C_R tel que

|K(x, y)| ≤C_R si|x|,|y| ≤R). On d´efinit alors l’op´erateur T_Kf(g) =

Z

R^d

K(x, y)f(y) dy f ∈ C_c^∞

et on suppose que T_K se prolonge en un op´erateur continu L^p(Ω, µ) → L^q( ˜Ω, ν). Alors T_K^∗ est continu L^q0( ˜Ω, µ)→L^p0(Ω, ν) et

(T_K^∗)g(y) = Z

R^d

K(x, y)g(x) dx g ∈ C_c^∞. AinsiT_K^∗ est l’op´erateur dont le noyau est K(x, y) =K(y, x):

(T_K^∗)g(x) = Z

R^d

K(y, x)g(y) dy g ∈ C_c^∞.

En effet, comme on sait que T_K et T_K^∗ sont continu, il suffit de v´erifier hT_K^∗g, fi=hg, T_Kfipourf, g ∈ C_c^∞. Il faut ici prendre garde `a l’identification d’un ´el´ement deg ∈L^p0 comme ´el´ement du dual deL^p. En effet, on identifie g et la forme lin´eaire

f → Z

R^d

f(x)g(x) dx.

Ceci est coh´erent avec le cas particulier deL². En effet, siX est un espace de Hilbert, la dualit´e est effectivement donn´ee par le produit scalaire (th´eor`eme de Riesz).

Mais alors

hT_K^∗g, fi = hg, TKfi:=

Z

R^d

g(x)TKf(x) dx

= Z

R^d

g(x) Z

R^d

K(x, y)f(y) dydx

= Z

R^d

Z

R^d

K(x, y)g(x) dx

f(y) dy

= Z

R^d

Z

R^d

K(x, y)g(x) dx

f(y) dy =hTKg, fi

avec Fubini qu’on peut appliquer car il existe R >0 tel que suppf,suppg ⊂ B(0, R) et alors

|K(x, y)g(x)f(y)| ≤C_Rkfk_∞kgk_∞1B(0,R)×B(0,R)(x, y)∈L¹(R^d×R^d).

Avant de poursuivre, rappelons que pour les op´erateurs, on a trois modes de convergence:

(1) T_n →T fortement si kT_n−Tk_X→Y →0;

(2) T_n → T simplement si, pour tout x ∈ X, T_nx → T x, c’est-`a-dire, pour toutx∈X, kT_nx−T xk_Y →0;

(3) T_n → T faiblement si, pour tout y ∈ Y⁰, et tout x ∈ X, hy, T_nxi → hy, T xi.

Rappelons que si X=H est un espace de Hilbert, il s’identifie `a son dual via le produit scalaire et la convergence faible signifie: pour tous x, y ∈ H, hy, Tnxi → hy, T xiou, de fa¸con ´equivalente,hTnx, yi → hT x, yi. ´Evidemment la convergence forte implique la convergence simple qui implique la conver-gence faible.

Rappelons qu’on dit qu’un op´erateur S sur un Hilbert H est positif si, pour tout x∈H,hSx, xi ≥0. En particulier, hSx, xi est r´eel donc

hS^∗x, xi=hx, S^∗xi=hSx, xi=hSx, xi ≥0

donc S^∗ est ´egalement positif et alors l’op´erateur auto-adjoint A= ^S+S₂ ^∗ est positif. Notons aussi que si λ est une valeur propre d’un op´erateur positif, alors λ ≥0.

Les propri´et´es cl´es sont les suivantes

Proposition 2.4. Pour H Hilbert, S, T :H →H lin´eaires born´es;

(1) kT^∗k=kTk;

(2) (ST)^∗ =T^∗S^∗ et (T^∗)^∗ =T;

(3) Si T est inversible, alors T^∗ aussi et (T^∗)⁻¹ = (T⁻¹)^∗; (4) T^∗T et T T^∗ sont des op´erateurs positifs et

kTk=p

kT T^∗k=p

kT^∗Tk;

(5) Si Tn → T simplement, ou si Tn → T faiblement alors T_n^∗ → T^∗ faiblement.

(6) (kerT)^⊥= ImT^∗ et (ImT)^⊥ = kerT^∗.

(7) T est de rang fini si et seulement si T^∗ est de rang fini.

Proof. La premi`ere a d´ej`a ´et´e vue. Ensuite, pour tout x, y ∈H hy, ST xi=hy, S(T x)i=hS^∗y, T xi=hT^∗S^∗y, xi et par unicit´e, (ST)^∗ =T^∗S^∗ puis

h(T^∗)^∗y, xi=hy, T^∗xi=hT^∗x, yi=hx, T yi=hT y, xi donc (T^∗)^∗ =T.

(3): On a T T⁻¹ = T⁻¹T = I, clairement I^∗ = I donc (T⁻¹)^∗T^∗ = T^∗(T⁻¹)^∗ =I ce qui montre queT^∗est inversible (au sens alg´ebrique), comme T^∗ est continue bijective, son inverse est continue et enfin (T⁻¹)^∗ = (T^∗)⁻¹.

(4): D’abord T T^∗ et T^∗T sont positifs. En effet, on a hT T^∗x, xi = hT^∗x, T^∗xi = kT^∗xk² ≥ 0 et de mˆeme hT^∗T x, xi = kT xk². Appliquons l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz `a cette derni`ere identit´e, on obtient kT xk² ≤ kT^∗T xkkxk ≤ kT^∗Tkkxk² et, en prenant le sup sur les x tels que kxk ≤ 1, kTk² ≤ kT^∗Tk. Inversement kT^∗Tk ≤ kT^∗kkTk=kTk².

(5): D´ecoule directement de la d´efinion. En effet, si T_n →T simplement alors, pour toutx, y ∈H

|hT_n^∗x, yi − hT^∗x, yi| = |h(T_n−T)^∗x, yi|=|hx,(T_n−T)yi|

≤ kxkkT_nx−T xk →0 alors que siT_n→T faiblement, on a plus directement

hT_n^∗x, yi=hx, T_nyi → hx, T yi=hT^∗x, yi.

(6): y ∈ (ImT^∗)^⊥ signifie, pour tout x ∈ H, 0 = hy, T^∗xi = hT y, xi ce qui signifie y ∈kerT. En rempla¸cant T par T^∗ et en utilisant (T^∗)^∗ =T on trouve la deuxi`eme identit´e.

(7): Si T est de rang fini, c’est-`a-dire ImT est de dimension fini. En particulier, ImT est ferm´e donc H = kerT^∗ ⊕ImT. Ainsi, si x ∈ H, on peut ´ecrire x = a+b avec a ∈ kerT^∗ et b ∈ ImT. Mais alors T^∗x = T^∗b, en d’autres termes, ImT^∗ = T^∗(ImT). Comme ImT est de dimension fini,

ImT^∗ aussi.

D´efinition2.5. SoitH un espace de Hilbert etT :H →H un op´erateur born´e sur H. On dira que

(i) T est une projection si T² =T; (ii) T est auto-adjoint si T^∗ =T;

(iii) T est une projection orthogonale si T est une projection et queT est auto-adjoint;

(iv) T est normal si T^∗T =T T^∗; (v) T est isom´etrique siT^∗T =I;

(vi) T est unitaire si T^∗T =T T^∗ =I i.e. si T et T^∗ sont isom´etriques.

Commentons un peu ces d´efinitions:

Tout d’abord, T^∗T est auto-adjoint puisque (T^∗T)^∗ =T^∗(T^∗)^∗ =T^∗T. SiT est isom´etrique, alors pour toutx∈H,

kT xk² =hT x, T xi=hT^∗T x, xi=hx, xi=kxk².

Inversement, si pour tout x ∈ H, kxk = kT xk alors hT^∗T x, xi = hx, xi i.e.

h(T^∗T −I)x, xi= 0. Soient alors a, b∈H etλ∈C, on trouve 0 = h(T^∗T −I)(a+λb), a+λbi

= h(T^∗T −I)a, ai+ ¯λh(T^∗T −I)a, bi +λh(T^∗T −I)b, ai+|λ|²h(T^∗T −I)b, bi.

Mais, le premier et le quatri`eme terme sont nuls. Par ailleurs

h(T^∗T −I)b, ai=ha,(T^∗T −I)bi=h(T^∗T −I)^∗a, bi=h(T^∗T −I)a, bi

Ainsi on trouve

2<(¯λh(T^∗T −I)a, bi) = ¯λh(T^∗T −I)a, bi+λh(T^∗T −I)^∗a, bi= 0.

En particulier, en prenant λ = 1, on trouve <(h(T^∗T −I)a, bi) = 0 et en prenant λ = i, on trouve Im (h(T^∗T −I)a, bi) = 0. Ainsi, pour tout a, b ∈ H, h(T^∗T −I)a, bi = 0 donc T^∗T −I = 0. Les deux notions d’isom´etrie coincident donc.

Pour les projections orthogonale: si E ⊂ H est un sous-espace vectoriel ferm´e et π_E la projection orthogonale sur E. Soient alors x, x⁰ ∈H, ´ecrivons x = a+b, x⁰ = a⁰ +b⁰ avec a, a⁰ ∈ E et b, b⁰ ∈ H. Alors πE(x) = a donc π_E² =πEa=a=πExet πE est bien une projection. De plus

hπ_Ex, yi=ha, a⁰+b⁰i=ha, a⁰i+ha, b⁰i=ha, a⁰i

=ha, a⁰i+hb, a⁰i=hx, a⁰i=hx, π_Eyi.

Ainsi π^∗_E =πE etπE est auto-adoint.

Inversement, si T est une projection et T^∗ = T alors H est la somme directe de l’image et du noyau de T: H = ImT ⊕kerT (rappelons que si T est une projection, ImT = ker(I−T) = (I−T)⁻¹(0) est ferm´e). Il s’agit de v´erifier que ImT ⊥kerT. Mais, six∈ImT ety ∈kerT alors T x=x et

hx, yi=hT x, yi=hx, T^∗yi=hx, T yi=hx,0i= 0.

3. Op´erateurs compacts

D´efinition 3.1. Soit X, Y deux espaces de Banach et T : X → Y un op´erateur born´e. On dit que T est compact si l’image de la boule unit´e B_X de X par T, est d’adh´erence compacte,T(B_X) est compact.

Exemple 3.2. Si T est un op´erateur de rang fini, alors T(B_X) est un ensemble born´e dans un espace de dimension fini, son adh´erence est donc compacte. Ainsi, tout op´erateur de rang fini est compact.

Notons qu’un op´erateur est compact si et seulement si il envoie tout ensem-ble born´e sur un ensemble totalement born´e, c’est-`a-dire d’adh´erence compact (on dit aussi relativement compact). En effet, si A ⊂ X est born´e, il existe R >0 tel que A ⊂B(0, R) =RB_X donc T(A) ⊂RT(B_X) et alors T(A) est ferm´e dans le compactRT(B_X).

Comme les ensembles compacts sont les ensembles s´equentiellement com-pacts, on obtient imm´ediatement la caract´erisation suivante:

Lemme 3.3. SoitT :X →Y un op´erateur born´e. Alors T est compact si et seulement si, pour toute suite (x_n) born´ee, on peut extraire une sous-suite convergente.

Le premier int´erˆet des op´erateurs compacts est le suivant:

Proposition3.4. SoitT :X →Y un op´erateur born´e. SiT est compact et si xn * xfaiblement, alors T xn→T x fortement.

D´emonstration. On a vu comme cons´equence du th´eor`eme de Banach-Steinhaus que toute suite faiblement convergente ´etait born´ee. Par ailleurs, si y∈Y<sup>∗</sup>, hy, T x<sub>n</sub>i=hT<sup>∗</sup>y, x<sub>n</sub>i et commeT<sup>∗</sup>y∈X<sup>∗</sup> on en d´eduit que hT<sup>∗</sup>y, x<sub>n</sub>i converge vers hT<sup>∗</sup>y, xi = hy, T xi. Ainsi hy, T x<sub>n</sub>i → hy, T xi c’est-`a-dire que T x_n converge faiblement vers T x.

Supposons que T x_n ne converge pas fortement vers T x. Alors il existe δ > 0 et une sous-suite (T xn_k)k telle que, pour tout k, kT xn_k −T xk_Y ≥ δ.

Notons que (T xn_k)k converge encore faiblement vers T x. Quitte `a remplacer (x_n) par (T x_nk)_k, on a donc une suite (x_n) born´ee, telle que (T x_n) converge faiblement vers T x, mais, pour tout n, kT x_n−T xk_Y ≥δ.

Or, par compacit´e de T, (T x_n)_n admet une sous-suite (T x_nk)_k qui con-verge fortement. En particulier, elle concon-verge faiblement, donc sa limite est T x. Mais, alors en passant `a la limite dans kT x_nk−T xk_Y ≥ δ, on trouve

kT x−T xk_Y ≥δ, ce qui est absurde.

Remarque 3.5. Si X est un espace r´eflexif (le dual du dual s’identifie isom´etriquement `aX), par exemple si X est un espace de Hilbert ou si X = L^p(µ), 1< p <∞, alors la r´eciproque est vraie.

Th´eor`eme 3.6. Soient X, Y des espaces de Banach, T, et (T_n)_n des op´erateurs born´es X →Y,

(1) Si pour tout n, T_n est compact et si T_n →T alors T est compact.

(2) Si T est compact et S born´e, alors ST et T S sont compacts.

D´emonstration. (1) Soit (x_n)n≥0 une suite deB(0,1). Alors de (T₀x_n), on peut extraire une sous-suite convergente (T₀x_n⁰

k)_k. Puis de (T₁x_n⁰

k)_k, on peut extraire une sous-suite convergente (T1x_n¹

k)k. Une fois quen^j_k est obtenu, on construit ainsi n^j_k tel que {n^j+1_k , k∈N} ⊂ {n^j_k, k ∈N}et tel que T`(x_n^j+1

k ) converge pour ` ≤j + 1.

Mais alors (T_kx_nk

k) est une suite convergente. Par ailleurs

T x_n^k

k −T x_n^l

l

≤

T x_n^k

k−Tkx_n^k

k

+

Tkx_n^k

k−Tlx_n^l

l

+

Tlx_n^l

l−T x_n^l

l

≤ kT −Tkk+ Tkx_n^k

k −Tlx_n^l

l

+kTl−Tk ce qui montre que T x_n^k

k

k est une suite de Cauchy donc converge.

(2) Soit T est un op´erateur compact, et (x_n) une suite born´ee. Alors on peut extraire de (T x_n) une suite (T x_nk)_k qui converge et donc (ST x_nk)_k converge aussi. Le lemme ci-dessus montre alors que ST est compact.

Par ailleurs, S(x_n) est encore born´e, donc on peut extraire une suite (T Sx_nk)_k de (T Sx_n)_n qui converge et T S est donc compact.

Th´eor`eme 3.7. Soit H un espace de Hilbert s´eparable et T un op´erateur born´e H →H. Alors T est compact si et seulement s’il existe une suite (T_n) d’op´erateurs H →H de rang fini tel que Tn →T.

D´emonstration. On a d´ej`a vu que si T<sub>n</sub> est de rang fini, alors T<sub>n</sub> est compact. En vertu du th´eor`eme pr´ec´edent, il en d´ecoule que siT_n →T alors T est ´egalement compact. Montrons donc la r´eciproque.

Pour cela, rappelons qu’une famille orthonorm´ee (e_n)n∈N converge faible-ment vers 0 puisqueX

n∈N

|hx, e_ni|² ≤ kxk² <+∞. SiT :H →H est compact, il en r´esulte que T e_n→T0 = 0.

Nous allons raisonner par l’absurde et supposer que T est compact mais pas limite d’op´erateurs de rang fini. Ainsi, il existe ε₀ >0 tel que, pour tout op´erateur R de rang fini, kTk= kT −Rk > ε₀. En particulier, pour R = 0, on a kT −Rk > ε₀. Il existe donc un vecteur e₀ ∈ H de norme 1 tel que kT e₀k> ε. Soitπ₀ la projection orthogonale sur Vecte₀ de sorte queT π₀ soit de rang fini. Par suite kT −T π₀k> ε₀. Il existe donc u₁ ∈H avecku₁k= 1 tel que

kT u₁−T π₀u₁k=kT(I−π₀)u₁k> ε₀ ≥ε₀k(I−π₀)u₁k.

Notons que (I −π₀)u₁ 6= 0 (sinon T(I −π₀)u₁ = 0) et que (I −π₀)u₁ est orthogonal `a Vecte0. On pose alorse1 = (I−π₀)u₁

k(I−π₀)u₁k de sorte que kT e1k>

ε₀ et e₀, e₁ est orthonorm´e.

Une fois qu’on a construite₀, . . . , e_n, on poseπ_n la projection orthogonale sur E_n= Vect{e₀, . . . , e_n}. Comme T π_n est de rang fini, kT −T π_nk> ε₀. Il existe donc u_n+1 ∈H avecku_n+1k= 1 tel que

kT(I−π_n)u_n+1k> ε₀ ≥ε₀k(I −π_n)u_n+1k.

Ainsi (I−π_n)u_n+1 6= 0 et est orthogonal `a E<sub>n</sub>, donc `a e₀, . . . , e_n. On pose donc e_n+1 = (I−π_n)u_n+1

k(I−π_n)u_n+1k alors e₀, . . . , e_n+1 est orthonorm´e et kT e_kk> ε₀ pour tout k. En particulier, (T ek)k ne peut converger vers 0, ce qui est la

contradiction souhait´ee.

4. Op´erateurs de Hilbert-Schmidt

Dans toute cette section, H est un espace de Hilbert s´eparable.

D´efinition 4.1. SoitT :H →H une application lin´eaire. On dit queT est un op´erateur de Hilbert-Schmidt s’il existe une base orthonorm´ee (e_n)n≥1

de H telle que

kTk²_HS =

+∞

X

n=1

kT e_nk² <+∞.

Lemme 4.2. Si T est de Hilbert-Schmidt,kTk_HS ne d´epend pas de la base choisie. De plus,T est de Hilbert-Schmidt si et seulement siT^∗ est de Hilbert-Schmidt et kTk_HS =kT^∗k_HS. Enfin, siT est de Hilbert-Schmidt, alors T est born´e avec kTk ≤ kTk_HS.

D´emonstration. En effet, soient (e_n)n≥1et (f_n)n≥1deux bases orthonorm´ees deH. Alors

kT e_nk² =

+∞

X

k=1

|hT e_n, f_ki|² =

+∞

X

k=1

|he_n, T^∗f_ki|².

On somme alors en n et on utilise Fubini (que la somme soit finie ou non, puisqu’on ne somme que des termes positifs):

kTk²_HS =

+∞

X

n=1

kT e_nk²

=

+∞

X

n=1 +∞

X

k=1

|hen, T^∗fki|² =

+∞

X

k=1 +∞

X

n=1

|hT^∗fk, eni|²

=

+∞

X

k=1

kT^∗f_kk² =kT^∗k²_HS. Cela montre plusieurs choses:

– (e_n) n’apparaissant pas dans le membre de droite, la norme de Hilbert-Schmidt ne d´ependant pas de la base choisie.

– T est de Hilbert-Schmidt si et seulement si T^∗ l’est ´egalement.

– Enfin,kTk²_HS =kT^∗k²_HS.

Finalement, soit x ∈ H avec kxk = 1. On pose e₁ = x et on prend une base orthonorm´ee (e_n)n≥2 de {x}^⊥ de sorte que {e_n}n≥1 est une base orthonorm´ee de H. Alors

kT xk² =kT e₁k² ≤X

n≥1

kT e_nk² =kTk²_HS.

Ansi T est born´ee. De plus, en prenant le supremum sur les x de norme 1,

on trouve bien kTk ≤ kTk_HS.

Exemple 4.3. Soit E un sous-espace vectoriel ferm´e et π_E la projection orthogonale sur E. Alors πE est de Hilbert-Schmidt si et seulement si E est de dimension finie.

En effet, il suffit de prendre une base orthonorm´ee (e_i)i∈I de E et de la compl´eter par une base orhtonorm´ee (f_j)j∈J de E^⊥. Alors

kπ_Ek²_HS =X

i∈I

kπ_Ee_ik² +X

j∈J

kπ_Ef_jk² =X

i∈I

kπ_Ee_ik² =X

i∈I

1

qui est fini si et seulement si I est fini, c’est-`a-dire que E est de dimension finie.

Lemme 4.4. Soit T un op´erateur de Hilbert-Schmidt et S un op´erateur born´e, alors ST et T S sont de Hilbert-Schmidt avec kSTk_HS ≤ kSk kTk_HS et kT Sk_HS ≤ kSk kTk_HS

D´emonstration. Si T est de Hilbert-Schmidt, S born´e et (e_n)n≥1 une base orthonorm´ee de H alors kST e_nk² ≤ kSk²kT e_nk². En sommant sur n ≥1, on trouve bienkSTk_HS ≤ kSk kTk_HS.

Ensuite, S^∗ est encore born´e avec kS^∗k= kSk, T^∗ est encore de Hilbert-Schmidt avec kT^∗kHS = kTkHS donc (T S)^∗ = S^∗T^∗ est de Hilbert-Schmidt et

kT SkHS =k(T S)^∗kHS =kS^∗T^∗kHS ≤ kS^∗k kT^∗kHS =kSk kTkHS. Exemple 4.5. Tout op´erateur de rang fini est de Hilbert-Schmidt.

En effet, si T est de rang fini, son image E est de dimension finie. Si πE est la projection orthogonale sur E, alors πE est de Hilbert-Schmidt et comme T =πET,T aussi.

Th´eor`eme 4.6. Soit

B₂(H) = HS(H) = {T :H →H, T de Hilbert-Schmidt}

muni de la norme kTk_HS. Alors T est un espace de Hilbert.

D´emonstration. Fixons (e_n)n≥1 une base orthonorm´ee de H.

Montrons d’abord que HS est un espace vectoriel et que kTk_HS est bien une norme.

i) On a ´evidemment kTkHS ≥ 0 et comme kTk ≤ kTkHS, si kTkHS = 0 alors |Tk= 0 donc T = 0.

ii) CommekλT e_nk² =|λ|²kT e_nk². En sommant surn ≥1 et en prenant la racine carr´ee, on trouve bien kλTk_HS =|λ| kTk_HS. En particulierλT ∈HS.

iii) Si T, T⁰ sont de Hilbert-Schmidt, alors kT e_nk,kT⁰e_nk sont dans `<sup>2</sup> et donc kT e<sub>n</sub>k+kT<sup>0</sup>e<sub>n</sub>k ∈ `². Comme kT e_n+T⁰e_nk ≤ kT e_nk+kT⁰e_nk on a kT e_n+T⁰e_nk ∈`² avec

kT e_n+T⁰e_nk `² ≤

kT e_nk `² +

kT⁰e_nk

`². Enfin kT +T⁰k_HS =

kT e_n+T⁰e_nk `² ≤

kT e_nk `²+

kT⁰e_nk

`² =kTk_HS+kT⁰k_HS. En particulier, T +T⁰ ∈HS.

On peut remarquer que la norme k · k_HS est issue du produit scalaire hS, Ti_HS =X

n≥1

hSe_n, T e_ni.

Avec Cauchy-Schwarz dans Hpuis dans `², cette somme est bien convergente X

n≥1

|hSe_n, T e_ni| ≤ X

n≥1

kSe_nk kT e_nk

≤ X

n≥1

kSe_nk²

!1/2

X

n≥1

kT e_nk²

!1/2

=kSk_HSkTk_HS. Montrons maintenant queHS est complet. Soit (T_n) une suite de Cauchy pur k · k_HS. Comme kSk ≤ kSk_HS, (T_n) est aussi de Cauchy dans B(H).

On a vu au premier semestre queB(H) est complet, donc (Tn) converge dans

B(H). On noteT sa limite pour la normek · k: kT_n−Tk →0. Il faut montrer que T ∈HS et que kT_n−Tk_HS →0.

Mais, pour tout k ≥1,T_ne_k →T e_k quand n →+∞et par ailleurs, si on pose a_n = (kT_ne_kk)k≥1, alors a_n ∈ `<sup>2</sup> et ka<sub>n</sub>−a<sub>m</sub>k<sub>`</sub>2 = kT_n−T_mk_HS. Donc (a_n)_n est une suite de Cauchy dans `<sup>2</sup>, donc elle converge dans `² vers une suitea∈`<sup>2</sup>. CommeT<sub>n</sub>e<sub>k</sub>→T e<sub>k</sub>, n´ecessairementa= (T e<sub>k</sub>)k≥1 ce qui montre queT ∈HS et commekT<sub>n</sub>−Tk<sub>HS</sub> =ka<sub>n</sub>−ak<sub>`</sub>2 →0 on a bienT_n→T dans

HS.

Th´eor`eme 4.7. Un op´erateur de Hilbert-Schmidt est compact.

D´emonstration. Fixons (e_n)n≥1 une base orthonorm´ee de H. Soit π_N la projection orthogonale sur l’espace engendr´e par {e₁, . . . , e_N}. Alors π_N est de rang fini donc T π_N aussi. Mais

k(T −T πN)enk=

(0 sin ≤N kT e_nk sinon donc

kT −T π_Nk² ≤ kT −T π_Nk²_HS = X

kT −T π_Nk² ≤ kT −T π_Nk²_HS = X

Dans le document Analyse fonctionnelle, analyse spectrale Philippe Jaming (Page 127-160)