Application de l’analyse fonctionnelle ` a l’analyse de Fourier

1. Rappel de base sur les s´eries de Fourier Dans ce chapitre, on notera

• Pour 1≤p <+∞, L^p(T) =

(

f R→C, f 1-p´eriodique, kfk_p = Z 1

0

|f(t)|^pdt p¹

<+∞

)

;

• Pourp= +∞, on modifie

L^∞(T) ={fR→C, f 1-p´eriodique, kfk_∞ = supess|f(t)|<+∞}; En d’autres termes,L^p(T) ={f R→C, f 1-p´eriodique f1_[0,1] ∈ L^p(R)} muni de la norme kfk_Lp(T) =

f1_[0,1]

L^p(R). Ainsi L^p(T) s’identifie `a L^p(0,1).

• C(T) = {fR→C, f 1-p´eriodique et continue}. Alors, si f ∈ C(T), f est born´e et on note,kfk_∞= sup|f(t)|.

Pour f ∈L^p, dire que f est 1-p´eriodique signifie que f(t+ 1)−f(t) = 0 presque partout et ´evidemment, on identifie deux fonctions qui sont ´egales presque partout. Par ailleurs, on noter simplement kfk_p si aucune ambiguit´e n’existe. Remarquons aussi qu’une fonctionf ∈L^p(R),p <+∞ne peut ˆetre 1-p´eriodique, `a moins d’ˆetre nulle.

Exercice.

(1) Montrer que L^p(T)⊂L^p_loc(R)⊂L¹(R).

(2) Sif ∈L¹_loc(R) est 1-p´eriodique, alors pour touta∈R,Ra+1

a f(t) dt= R1

0 f(t) dt. En d’autres termes, l’int´egrale d’une fonction 1-p´eriodique sur une p´eriode ne d´epend pas de l’endroit o`u commence la p´eriode.

(3) Siq ≤p alors L^p(T)⊂L^q(T) et, pour tout f ∈L^p(T), kfk_q ≤ kfk_p. D´efinition 1.1. Pour f ∈L¹(T), on d´efinit

• les coefficients de Fourierc_k(f) = Z 1

0

f(t)e^−2iπktdt,k ∈Z;

• les sommes partielles de la s´erie de Fourier def, S_Nf(t) =

N

X

k=−N

c_k(f)e^2iπkt N ≥0;

53

• la somme de la s´erie de Fourier de f, Sf(t) = lim

N→+∞

N

X

k=−N

ck(f)e^2iπkt Attention, on note souvent de fa¸con abusive Sf(t) = X

k∈Z

c_k(f)e^2iπkt, mais au sens strict, cette derni`ere quantit´e signifie

Sf(t) = lim

M,N→+∞

N

X

k=−M

c_k(f)e^2iπkt

Mlim→+∞

−1

X

k=−M

ck(f)e^2iπkt+ lim

N→+∞

N

X

k=0

ck(f)e^2iπkt.

Il est important de remarquer que, quand on parle de s´eries de Fourier, les indices dans les sommes sont sym´etriques.

Remarquons que cette difficult´e n’a pas lieu si X

k∈Z

|ck(f)| converge i.e.

lim

M,N→+∞

N

X

k=−M

|c_k(f)| a une limite. Comme sup_t∈R|c_k(f)e^2iπkt|=|c_k(f)|, cela signifie que la s´erie de Fourier converge normalement dans C(T). En partic-ulier, sa limite est continue.

Exemple 1.2. Soient 0 ≤ a ≤ 1 et soit f la fonction 1-p´eriodique telle que f(x) = 1_[a,b](x) si x ∈ [0,1]. Alors c₀(f) = b−a (remarquez que c₀(f) est la moyenne de f) et, si k6= 0, alors

c_k(f) = Z b

a

e^−2iπktdt=

e^−2iπkt

−2iπk b

a

= e^−2iπkb−e^−2iπka

−2iπk =e^−2iπka+b2 sinπk(b−a)

πk .

Remarquons que c_k(f)→0 quandk →+∞.

Notation 1.3. On notera dans la suite e_k la fonction 1-p´eriodique con-tinue d´efinie par e_k(t) = e^2iπkt.

Notons que |e_k| = 1 et que la 1-p´eriodicit´e vient du fait que e^2iπm = 1 si m ∈Z. De plus e_−k(t) = e_k(−t) = e_k(t) et e_je_k = e_j+k. Enfin R1

0 e_k(t) dt = δ_k,0 o`u δ_k,j est le symbole de Kronecker

δ_k,j =

(1 sik =j 0 sinon.

On notera

P_N ={

N

X

k=−N

c_ke^2ikπt :c_k∈C}

l’espace des polynˆomes trigonom´etriques de degr´eN, etP =S

N≥0P_N l’espace des polynˆomes trigonom´etriques.

Remarque1.4.Si on notez =e^2iπt, on peut remarquer quee^2iπt = ¯z = ¹_z. Ainsi, le polyˆome trigonom´etrique

N

X

k=−N

cke^2ikπt =

N

X

k=−N

ckz^kest un polynˆome de Laurent (restreint au cercle unit´e).

Exemple 1.5. Si f =PN

k=−Nc_ke_k ∈ P_N alors c_k(f) =

(c_k si |k| ≤N 0 si |k|> N. En particulierS_M(f) =f siM ≥N etc_k(f)→0 quand k→+∞.

Cela r´esulte directement de la propri´et´ec_k(e_j) =δ_k,j qui vient du fait que c_k(e_j) =

Z 1 0

e_k(t)¯e_j(t) dt= Z 1

0

ek−j(t) dt=δk−j,0 =δ_k,j.

Lemme 1.6 (Lemme de Riemann-Lebesgue). Si f ∈ L¹(T), alors pour tout k ∈Z, |c_k(f)| ≤ kfk₁. De plus c_k(f)→0 quand k → ±∞.

En d’autres termes, l’application lin´eaire f → c_k(f)

k∈Z est continue L¹(T)→c₀(Z).

Proof. On peut soit adapter la d´emonstration du premier semestre pour la transform´ee de Fourier, soit remarquer que c_k(f) = F[f1_[0,1]](k) et utiliser le lemme de Riemann-Lebesgue pour la transform´ee de Fourier.

Pour la d´emonstration directe, il faut utiliser la densit´e des fonctions

´

etag´ees dans L¹(T). On peut aussi utiliser la densit´e des polynˆomes trigono-m´etriques dans L¹(T). Il faut toutefois prendre garde que cette densit´e peut se d´emontrer `a l’aide du lemme de Riemann-Lebesgue.

D´efinition 1.7. Pour f, g∈ C(T), on d´efinit leur convolution f ∗g(t) =

Z 1 0

f(s)g(t−s) ds.

Alorsf∗g ∈ C(T). De plus, (f, g)→f∗g s’´etend en un op´erateur bilin´eaire L^p(T)×L^q(T)→L^r(T) `a condition que 1

p +1

q ≤1 + 1

r. Enfin, si 1 p+ 1

q = 1 alors f ∗g ∈ C(T).

La premi`ere partie est directe. Pour la deuxi`eme, L^p(T)×L^q(T)→L^r(T) quand 1

p+1

q = 1 +1

r se fait comme au premier semestre (c’est une utilisation de la dualit´e et de l’in´egalit´e de H¨older) et ensuite L^r ⊂ L^s si s < r i.e.

si 1 r ≤ 1

s. La derni`ere se fait ´egalement comme pour la convolution sur R. Notons aussi que f∗g =g∗f.

Remarque 1.8. Remarquons que, si f ∈L¹(T), f ∗e_k(t) =

Z 1 0

f(s)e^2iπk(t−s)ds= Z 1

0

f(s)e^2iπkte^−2iπksds

= Z 1

0

f(s)e^−2iπksdse^2iπkt=c_k(f)e_k(t).

Ainsi, si on d´efinit l’op´erateurL^p(T)→L^p(T) donn´e parT_f :g →f∗g, alors T e_k =c_k(f)e_k. Ainsie_k est vecteur propre de T_f pour la valeur propre c_k(f).

Lemme 1.9. Soient 1 ≤ p, q ≤ ∞. Si f ∈ L^p(T) et g ∈ L^q(T) alors f ∗g ∈L¹(T) et c_k(f∗g) = c_k(f)c_k(g).

D´emonstration. Comme L^p(T), L^q(T) ⊂ L¹(T), il suffit d’appliquer l’in´egalit´e de Young pour voir que f∗g ∈L¹(T). De plus

Z

T×T

|f(s)g(t−s)|dsdt <+∞

ce qui justifie l’utilisation du th´eor`eme de Fubini dans le calcul suivant c_k(f ∗g) =

Z 1 0

Z 1 0

f(s)g(t−s) ds e^−2iπktdt

= Z 1

0

Z 1 0

f(s)g(t−s)e^{−2iπk(t−s)}e^−2iπksdtds

= Z 1

0

f(s) Z s+1

s

g(x)e^−2iπkxdx e^−2iπksds

= Z 1

0

f(s) Z 1

0

g(x)e^−2iπkxdx e^−2iπksds

= Z 1

0

f(s)ck(g)e^−2iπksds=ck(f)ck(g)

o`u on a utilis´e le changement de variable x = t−s et le fait que l’int´egrale d’une fonction 1-p´eriodique sur une p´eriode ne d´epend pas de l’endroit o`u

commence la p´eriode.

Revenons aux s´eries de Fourier. Notons qu’alors S_Nf =

N

X

k=−N

c_k(f)e_kf =

N

X

k=−N

e_k

!

∗f.

Mais si e_k(t)6= 1, c’est-`a-dire, si t /∈Z,

N

X

k=−N

e_k(t) =

N

X

k=−N

e^2iπkt = e^{−2iπN t}−e^2iπ(N+1)t 1−e^2iπt

= e^iπt e^iπt

e^{−iπ(2N+1)t}−e^iπ(2N+1)t

e^−iπt−e^iπt = −2isin(2N + 1)πt

−2isinπt .

Pour t∈Z, on remarque que

N

X

k=−N

ek(t) =

N

X

k=−N

1 = 2N + 1 qui s’obtient aussi par prolongement par continuit´e de la formule pr´ec´edente.

D´efinition 1.10. Le noyau de Dirichlet (de degr´e N) est le polynˆome trigonom´etrique de degr´e N

D_N(t) =

N

X

k=−N

e_k(t) =

(2N + 1 si t∈Z

sin(2N+1)πt

sinπt si t /∈Z. AlorsS_N(f) =D_N ∗f.

Les propri´et´es cl´es du noyau de Dirichlet sont les suivantes

Proposition 1.11. Le noyau de Dirichlet D_N a les propri´et´es suivantes:

(1) D_N est un polynˆome trigonom´etrique de degr´e N.

(2) D_N est une fonctionC^∞, 1-p´eriodique et paire. En particulier, D_N ∈ L¹(T).

(3) Z 1/2

1/2

D_N(t) dt= 1.

(4) Z 1/2

1/2

|DN(t)|dt≥ 2 πlnN.

D´emonstration. Par d´efinition D_N(t) =

N

X

k=−N

e_k(t) est un polynˆome trigonom´etrique de degr´e N et est donc dans C^∞ et 1-p´eriodique. La parit´e est directe soit avec la deuxi`eme expression de D_N soit avec l’observation e_k(−t) =e−k(t).

On observe imm´ediatement que Z 1/2

−1/2

e_k(t) dt= Z 1

0

e^2iπktdt =

(1 sik = 0

e^2iπk−1

2iπk = 0 sik 6= 0 et par lin´eratit´e de l’int´egrale, on en d´eduit que

Z 1/2 1/2

D_N(t) dt=

N

X

k=−N

Z 1/2

−1/2

e_k(t) dt= 1.

Pour la derni`ere propri´et´e, il faut d’abord tracer le graphe deD_N sur [0,1/2].

Remarquons quet→sinπtest croissante et positive sur [0,1/2]. Par ailleurs, t →sin(2N + 1)πt s’annule et change de signe en j

2N + 1, j = 0, . . . , N. De plus, pour j ∈ {1, . . . , N} et t ∈ I_j := [j/(2N + 1),(j + 1)/(2N + 1)], en utilisant le fait que sint ≤t, on obtient

|D_N(t)|= |sin(2N + 1)πt|

sinπt ≥ |sin(2N + 1)πt|

πt ≥ (2N + 1)|sin(2N + 1)πt|

j + 1 .

Il en r´esulte que Remarque 1.12. En utilisant le fait que sins ≤ 2

πs pour s ∈ [0, π/2]

(c’est la concavit´e du sinus), on trouve, pour t∈[0, π/2]

|D_N(t)| ≤2|sin(2N + 1)πt|

t .

Cette derni`ere propri´et´e implique que, si 0< δ <1/2 Z 1/2

est born´e. Ainsi, la masse de D_N se concentre en 0 o`u elle explose.

En fait, on peut ˆetre plus pr´ecis pour la derni`ere estimation.

Lemme 1.13. Pour N →+∞

Cette quantit´e est appel´ee constante de Lebesgue.

D´emonstration. Commen¸cons par ´etablir ques−s³

3! ≤sins≤s pour tout s ∈R.

Pour 0 ≤ s ≤ 1 cela r´esulte de la s´erie enti`ere d´efinissant sin. Mais une d´emonstration plus directe est possible: on a coss ≤ 1. On int´egre entre 0 et s et on en d´eduit sins ≤ s. On r´ecrit cela −s ≤ −sins qu’on int`egre `a

On utilise alors que _1−u¹ ≤1 + 2u et on trouve

On utilise la parit´e et le changement de variable s= (2N+ 1)πtet on trouve Z 1/2 Il nous reste donc `a estimer

2 puisqu’on s’est ramen´e `a un intervalle d’int´egration o`u sins≥0. Mais alors

2

Rappelons que nous avons vu la notion d’approximation de l’unit´e dans L^p(R) au premier semestre. La notion s’´etend naturellement `a L^p(T). Nous laissons en exercice l’adaption de la d´emonstration pour obtenir le r´esultat suivant:

Th´eor`eme 1.14 (Approximation de l’unit´e dansL^p(T)). Soitk_n∈L¹(T) une suite de fonctions telles que

(1) pour tout n, Z 1/2

−1/2

k_n(t) dt = 1;

(2) Il existe C > 0 tel que, pour tout n, Z 1/2

−1/2

|kn(t)|dt≤C;

(3) Pour tout δ >0, Z

δ≤|t|≤1/2

|kn(t)|dt→0 quand n→+∞.

Alors, si 1 ≤ p < +∞ et f ∈ L^p(T), kk_n∗f−fk_p → 0 et si f ∈ C(T), kk_n∗f−fk_∞→0.

On dit que (k_n)_n est une approximation de l’unit´e.

Malheureusement, (D_N)N≥1 n’est pas une approximation de l’unit´e, on n’a donc aucune garantie (pour l’instant) queS_Nf =D_N∗f →f. Avant d’´etudier cette question plus avant, nous allons ´etudier la C´esaro convergence de S_Nf vers f. Rappelons que nous avons introduit cette notion au premier semestre et qu’on dit quea_n tend versa au sens de C´esaro si a₀+a₁+· · ·+an−1

n →a

et que sia_n→aalorsa_ntend versaau sens de C´esaro mais que la r´eciproque est fausse.

Consid´erons donc σ_Nf = S₀f +· · ·+SN−1f

N = D₀ ∗f+· · ·+DN−1∗f

N = 1

N

N−1

X

n=0

D_n

!

∗f.

On introduit donc F_N(t) = 1

N

N−1

X

n=0

D_n(t) = 1 N

N−1

X

n=0

sin(2n+ 1)πt

sinπt = 1

Nsinπt

N−1

X

n=0

Ime^i(2n+1)πt

= 1

NsinπtIm

N−1

X

n=0

e^i(2n+1)πt

!

= 1

NsinπtIme^iπt−e^i(2N+1)πt 1−e^i2πt

= 1

NsinπtIme^{iN πt}e^{−iN πt}−e^{iN πt}

e^−iπt−e^iπt = 1

NsinπtIme^{iN πt}−2isinN πt

−2isinπt

= (sinN πt)² N(sinπt)².

Ce calcul n’est valable que pour t /∈Z mais pourt ∈Z, on obtient le r´esultat par continuit´e.

D´efinition 1.15. Lenoyau de Fej´er est d´efini par et les sommes de Fej´er sont d´efinies par

σ_Nf =F_N ∗f = 1

Th´eor`eme 1.16. Le noyau de F´ejer est une approximation de l’unit´e.

Ainsi, si 1≤ p <+∞ et f ∈ L^p, σ_Nf →f dans L^p i.e. kσ_Nf−fk_p → 0 et si f ∈ C(T), σ_Nf →f uniform´ement i.e. kσ_Nf −fk_∞→0.

D´emonstration. Tout d’abord Z 1/2

Ensuite, on remarque avec le calcul ci-dessus que F_N ≥0 donc Z 1/2

Remarquons enfin que S_Nf est un polynˆome trigonom´etrique donc σ_Nf aussi (ou utiliser l’exercice ci-dessus). On en d´eduit donc:

Corollaire1.17.Les polynˆomes trigonom´etriques sont denses dansL^p(T), 1≤p <+∞ et dans C(T).

On peut montrer que cette application n’est pas surjective.

2. Convergence et divergence des s´eries de Fourier

2.1. La th´eorie L². Le cas L²(T) est particulier puisqu’il s’agˆıt d’un espace de Hilbert avec pour produit scalaire

hf, gi= Z 1

0

f(t)g(t) dt.

On remarque qu’alors he_k, e_`i=

Z 1 0

e^2iπkte^2iπ`tdt= Z 1

0

e<sup>2iπ(k−`)t</sup>dt =δ<sub>k,`</sub>.

Ainsi (e_k)k∈Z est un syst`eme orthonorm´e. Comme par ailleurs l’espace en-gendr´e par les (ek)k∈Z est l’espace de polynˆomes trigonom´etriques qui est dense dans L²(T), on en d´eduit que c’est une base orthonorm´ee. On remar-que enfin remar-que

hf, e_ki= Z 1

0

f(t)e^2iπktdt= Z 1

0

f(t)e^−2iπktdt=c_k(f).

En utilisant la th´eorie des espaces de Hilbert, on en d´eduit Th´eor`eme 2.1. Soit f ∈L²(T) alors

(1) La s´erie de Fourier def converge versf dansL²(T), i.e. kf−SNfk₂ → 0 ou encore, au sens L²

N→+∞lim

N

X

k=−N

ck(f)e^2iπkt=f qu’on ´ecrit

(2.11) f(t) =

+∞

X

k=−∞

c_k(f)e^2iπkt. (2) On a l’identit´e de Plancherel

Z 1 0

|f(t)|²dt=

+∞

X

k=−∞

|c_k(f)|². (3) On a l’identit´e de Parseval, si f, g ∈L²(T),

Z 1 0

f(t)g(t) dt=

+∞

X

k=−∞

c_k(f)c_k(g).

Remarque 2.2. En utilisant la th´eorie hilbertienne, on a l´eg`erement mieux

lim

M,N→+∞

N

X

k=−M

c_k(f)e^2iπkt=f.

Il faut remarquer que cette limite L² n’est pas une limite presque partout.

Du cours du premier semestre, on sait qu’il existe M_k, N_k →+∞ tel que

k→+∞lim

Nk

X

k=−M_k

c_k(f)e^2iπkt =f(t) p.p.

C’est un r´esultat tr`es profond dˆu `a Carleson (p = 2, 1966) et Hunt ( cas 1< p <+∞, 1968) que si f ∈L^p(T)

lim

N→+∞

N

X

k=−N

c_k(f)e^2iπkt=f(t)p.p.

2.2. Convergence ponctuelle - th´eor`eme de Dirichlet.

Th´eor`eme 2.3 (Dirichlet). Soit f ∈ L¹(T) et t₀ ∈ R. On suppose qu’il existe η >0 tel que, sur ]t₀−η, t₀[ et sur ]t₀, t₀+η[, f est de classe C¹ et de plus

f(t⁻₀) = lim

t→t⁻₀

f(t) et f(t⁺₀) = lim

t→t⁺₀

f(t)

existent (sif est discontinue en t0, c’est un saut) et f a des d´eriv´ees `a droite et `a gauche en t0:

f⁰(t⁻₀) = lim

t→t⁻₀

f(t)−f(t⁻₀)

t−t₀ et f⁰(t⁺₀) = lim

t→t⁺₀

f(t)−f(t⁺₀) t−t₀ existent. Alors la s´erie de Fourier def converge en t₀ et

N

X

k=−N

c_k(f)e^2iπkt0 = f(t⁻₀) +f(t⁺₀)

2 .

D´emonstration. Notons ˜f(t) =f(t₀+t) qui v´erifie les mˆemes propri´et´es que f, mais avec t₀ = 0. Il est facile de voir que c_k( ˜f) =c_k(f)e^2iπkt0 et alors

SN( ˜f)(t) =

N

X

k=−N

ck( ˜f)e^2iπkt=

N

X

k=−N

ck(f)e^2iπkt0e^2iπkt

=

N

X

k=−N

c_k(f)e^2iπk(t+t0) =S_N(f)(t+t₀).

Quitte `a remplacerf par ˜f, on peut donc supposer que t0 = 0.

On remarque ensuite que D_N est paire et que Z 1/2

−1/2

D_N(t) dt = 1, on a donc

Z 0

−1/2

D_N(t) dt= Z 1/2

0

D_N(t) dt= 1 2. Mais

S_Nf(0) =D_N ∗f(0) = Z 1/2

−1/2

D_N(0−t)f(t) dt = Z 1/2

−1/2

D_N(t)f(t) dt

d’o`u

S_Nf(0)− f(0⁻) +f(0⁺)

2 =

Z 0

−1/2

D_N(t)f(t) dt− Z 0

−1/2

D_N(t) dt f(0⁻) +

Z 1/2 0

D_N(t)f(t) dt− Z 1/2

0

D_N(t) dt f(0⁺)

= Z 0

−1/2

D_N(t) f(t)−f(0⁻) dt +

Z 1/2 0

D_N(t) f(t)−f(0⁺) dt.

Il suffit donc de montrer que Z 1/2

0

D_N(t) f(t)−f(0⁺)

dt →0

quand N → +∞. En rempla¸cant f par f(−t), la premi`ere int´egrale tendra

´

egalement vers 0. Pour cela, rappelons l’expression du noyau de Dirichlet:

Z 1/2 0

D_N(t) f(t)−f(0⁺) dt =

Z 1/2 0

sin(2N + 1)πt

sinπt f(t)−f(0⁺) dt

= Im Z 1/2

0

t sinπt

f(t)−f(0⁺)

t e^{2iπ2N+12 t}dt

= ImF[ϕ]

2N + 1 2

o`u F d´esigne la transform´ee de Fourier sur R et ϕ(t) =1_[0,1/2] t

sinπt

f(t)−f(0⁺)

t .

Remarquons que ϕ ∈ L¹(R) car 1_[0,1/2] t

sinπt est born´ee (sinπt ne s’annule qu’en 0 sur [0,1/2] et _sin^t_πt se prolonge par continuit´e en 0) et

f(t)−f(0⁺)

t = f(t)−f(0⁺)

t 1_[0,η]+f(t)−f(0⁺)

t 1_[η,1/2].

La premi`ere est continue sur son support [0, η] qui est compact donc dansL¹, la seconde est born´ee par

1

η|f(t)|1_[η,1/2]+|f(0⁺)|

η 1_[η,1/2]

qui est encore dans L¹ car f ∈L¹([0,1/2]) et le deuxi`eme terme est born´e `a support compact. On a donc ´ecrit que

Z 1/2 0

D_N(t) f(t)−f(0⁺)

dt= ImF[ϕ]

2N + 1 2

o`uϕ∈L<sup>1</sup>(R). D’apr`es le Lemme de Riemann-Lebesgue (du premier semestre), F[ϕ] ^2N+1₂

→0 donc sa partie imaginaire aussi.

On peut adapter cette d´emonstration pour obtenir un r´esultat local:

Th´eor`eme 2.4 (Principe de localisation). Soient f, g ∈ L¹(T) et sup-posons que f, g soient continues sur un intervalle [t0−δ, t0+δ] et que f =g sur cet intervalle. Alors

– pourx∈]t₀−δ, t₀+δ[siS_N(g)(x)converge,S_N(f)(x)converge ´egalement et si S_N(g)(x) diverge,S_N(f)(x) diverge ´egalement.

– si S_N(g) converge uniform´ement sur [a, b]⊂]t₀−δ, t₀+δ[, alors S_N(f) converge uniform´ement sur [a, b].

D´emonstration. Commen¸cons par simplifier l’´ennonc´e. Par lin´earit´e, il suffit de consid´ere ϕ=f−g et 0 et, en translatantϕ, il suffit de consid´erer t0 = 0. On veut donc montrer que si ϕ ∈ L¹, ϕ = 0 sur (−δ, δ), alors SN(ϕ)→0 uniform´ement sur tout [−η, η]⊂(−δ, δ).

Mais, S_N(ϕ)(t) =

Z 1/2

−1/2

D_N(s)ϕ(t−s) ds

= Z 0

−1/2

D_N(s)ϕ(t−s) ds+ Z 1/2

0

D_N(s)ϕ(t−s) ds

= Z 1/2

0

D_N(s) ϕ(t−s) +ϕ(t+s) ds.

Soit maintenant t ∈ [−η, η] ⊂(−δ, δ) et h = δ−η >0. Alors si 0 < h < η, t−s, t+s ∈(−δ, δ) donc ϕ(t−s) =ϕ(t+s) = 0 et

S_N(ϕ)(t) = Z 1/2

h

D_N(s) ϕ(t−s) +ϕ(t+s) ds.

Posons alors ψ_t(s) = ϕ(t−s) +ϕ(t +s) et remarquons que ψ ∈ L¹(T) ⊂ L¹_loc(R). Ainsi

S_N(ϕ)(t) = Z 1/2

h

sin(2N + 1)πs

sinπs ψ_t(s) ds

= Z

R

ψ_t(s)1_[h,1/2](s)

2isinπs e^{2iπ2N+12 s}−e^{−2iπ2N+12 s} ds

=F

ψ_t(s)e^iπs1_[h,1/2](s) 2isinπs

(N)− F

ψ_t(s)e^iπs1_[h,1/2](s) 2isinπs

(−N) o`u F d´esigne la transform´ee de Fourier sur R. On remarque alors que Ψ±(s) := e^±iπs1_[h,1/2](s)

sinπs est une fonction born´ee `a support compact donc ψ_t(s)1_[η,1/2](s)

2isinπs ∈L¹(R). Le lemme de Riemann-Lebesgue nous permet donc de conclure que S_N(ϕ)→0.

On veut montrer que cette convergence est uniforme en t. On remar-que remar-que t intervient encore ci-dessus dans ψt. On ´ecrit alors SN(ϕ) comme

combinaison de 4 termes Z 1/2

−1/2

Ψ±(s)ϕ(t±s)e^{±2iπN s}ds.

On ne va consid´erer que le terme I_Nϕ(t) :=

Mais, avec Riemann-Lebesgue, chaque Z 1/2

2.3. R´egularit´e, convergence, l’espaceH¹(T). Commen¸cons par une

Doncf est 1-p´eriodique si et seulement si Z 1

0

g(s) ds = 0i.e. g et de moyenne nulle sur une p´eriode. Notons que dans ce raisonnement, g n’a pas besoin d’ˆetre continue, il suffit qu’elle soit int´egrable.

Nous allons d´efinir H¹(T) =

En effet, la premi`ere int´egrale est nulle carϕest `a support dans un intervalle [−R, R] donc

et pour la deuxi`eme, on peut appliquer Fubini puisque |ϕ⁰(t)| ≤ kϕ⁰k_∞1[−R,R]

donc

|sgn(t)1_[0,t](s)g(s)ϕ⁰(t)| ≤ kϕ⁰k_∞1_[0,t](s)1[−R,R](t)||g(s)|

≤ kϕ⁰k_∞1[−R,R](s)1[−R,R](t)||g(s)| ∈L¹(R) puisque L²(T) ⊂L¹(T) donc g est int´egrable sur tout intervalle de longueur 1 et donc localement int´egrable. Mais alors

hf⁰, ϕi=− Z

R

g(s) Z

R

1_[0,t](s)ϕ⁰(t) dtds.

Revenons donc `a Fubini on remarque que si t ≥0 et s ∈ [0, t] alors t ≥ s et si t≤0 et Rt

0 g(s) ds =−R0

t g(s) ds donc t≤s

− Z

R

Z t 0

g(s) dsϕ⁰(t) dt = Z 0

−∞

Z 0 t

g(s) ds ϕ⁰(t) dt− Z +∞

0

Z t 0

g(s) ds ϕ⁰(t) dt

= Z 0

−∞

Z s

−∞

ϕ⁰(t) dt g(s) ds− Z +∞

0

Z +∞

s

ϕ⁰(t) dt g(s) ds

= Z 0

−∞

g(s)ϕ(s) ds− Z +∞

0

−ϕ(s)g(s) ds

= Z

R

f(s)ϕ(s) ds =hg, ϕi.

Inversement, si f ∈L² est tel que sa d´eriv´ee au sens des distribution est dans L²(T) et de moyenne nulle, on peut d´efinir

f˜(t) = Z t

0

f⁰(s) ds.

Alors le calcul qu’on vient de faire montre quela d´eriv´ee au sens des distribu-tions v´erifie ˜f⁰−f⁰ = 0 donc ˜f −f est une constante.

D´efinition 2.5. L’espace de Hardy est d´efinit par H¹(T) = {f ∈L²(T) :f⁰ ∈L²(T)}

et on munit cet espace de la norme kfk²_H1 =

Z 1 0

|f(t)|²dt+ Z 1

0

|f⁰(t)|²dt.

Exercice. Montrer que kfk_H1 d´efinit bien une norme.

Cette norme est clairement issue du produit scalaire hf, gi_H1 =

Z 1 0

f(t)g(t) dt+ Z 1

0

f⁰(t)g⁰(t) dt.

Lemme 2.6. Les fonctions de H¹ sont H¨olderiennes d’exposant 1/2 et s’´ecrivent f(x) =f(0) +

Z x 0

f⁰(t)dt. De plus kfk_∞≤2kfk_H1 et sup

x6=y

|f(x)−f(y)|

|x−y|^1/2 ≤ kfk_H1.

En particulier C¹(T)⊂ H¹(T)⊂ C(T) et si (f_k) ∈ H¹ converge vers f ∈ H¹ alors fk →f uniform´ement.

D´emonstration. Soientf ∈H¹(T) etx, y ∈R. ´Ecrivonsf(x) =f(0) + Z

R

sgn(x)1_[0,x](t)f⁰(t) dt avec f⁰ ∈L²(T).

Nous allons d’abord montrer que

|f(x)−f(y)| ≤ kfk_H1|x−y|^1/2.

Il suffit ´evidemment de consid´erer le cas x ≤ y. Commen¸cons par regarder x≤y < x+ 1. Alors

|f(x)−f(y)|=

Z y x

f⁰(t) dt

≤ Z y

x

|f⁰(t)|dt= Z x+1

x

1_[x,y]|f⁰(t)|dt

≤ |x−y|^1/2

Z x+1 x

|f⁰(t)|²dt 1/2

=|x−y|^1/2 Z 1

0

|f⁰(t)|²dt 1/2

≤(x−y|^1/2kfk_H1

avec Cauchy-Schwarz puis la 1-p´eriodicit´e de f⁰.

Siy > x+ 1, il existe un entier k ≥0 tel quex+k ≤y < x+k+ 1. Par 1-p´eriodicit´e

|f(x)−f(y)|=|f(x+k)−f(y)| ≤ |x+k−y|^1/2kfk_H1

avec le cas pr´ec´edent. Mais |x+k−y|= y−x−k ≤y−x= |x−y|, on a donc encore

(2.12) |f(x)−f(y)| ≤≤ |x−y|^1/2kfk_H1. Cela montre bien que f est H¨olderienne 1/2 avec

sup

x6=y

|f(x)−f(y)|

|x−y|^1/2 ≤ kfk_H1.

De plus, en prenanty = 0 dans (2.12) on trouve, pourx∈[0,1],

|f(x)| ≤ |f(0)|+|x|^1/2kfk_H1 ≤2kfk_H1.

En prenant le supremum sur [0,1] puis en utilisant la 1-p´eriodicit´e, on trouve

bien kfk_∞≤2kfk_H1.

Il en r´esulte donc que

|f(x)| ≤ |f(0)|+

Z x 0

f⁰(t) dt

≤ |f(0)|+ Z 1

0

|f⁰(t)|dt

≤ |f(0)|+ Z 1

0

|f⁰(t)|²dt ^1/2

donc

|f(x)|² ≤2|f(0)|²+ 2 Z 1

0

|f⁰(t)|²dt puis en int´egrant sur [0,1],

Z 1 0

|f(x)|²dx≤2|f(0)|²+ 2 Z 1

0

|f⁰(t)|²dt et finalementkfk²_H1 ≤3|f(0)|²+3

Z 1 0

|f⁰(t)|²dt. Inversement, le mˆeme raison-nement donnc

|f(0)|² ≤2|f(x)|²+ 2 Z 1

0

|f⁰(t)|²dt et en int´egrant entre 0 et 1

|f(0)|² ≤2 Z 1

0

|f(x)|²dx+ 2 Z 1

0

|f⁰(t)|²dt d’o`u |f(0)|² +

Z 1 0

|f⁰(t)|²dt ≤ 3kfk²_H1. Certains auteurs d´efinissent donc la norme H¹ comme ´etant |||f|||²_H1 = |f(0)|² +

Z 1 0

|f⁰(t)|²dt. On vient de montrer que cette norme est ´equivalente `a la pr´ec´edente:

√1

3|||f|||_H¹ ≤ kfk_H¹ ≤√

3|||f|||_H¹.

L’int´erˆet de la deuxi`eme norme est qu’il est un tout petit peu plus facile de montrer:

Th´eor`eme 2.7. L’espace H¹(T) est complet et est donc un espace de Hilbert.

D´emonstration. Soit (f_k)_kune suite de Cauchy dansH¹(T) et ´ecrivons f_k(x) = f_k(0) +

Z x 0

f_k⁰(t) dt.

On a |f_k(0) − f_{`</sub>(0)| ≤ |||f<sub>k</sub> − f<sub>`}|||_H¹ donc f_k(0)

k est une suite de Cauchy dans C. Elle est donc convergente et on note c sa limite. De mˆeme kf_k⁰ −f_{`</sub><sup>0</sup>k<sub>2</sub> ≤ |||f<sub>k</sub>−f<sub>`}|||_H¹ donc f_k⁰

k est une suite de Cauchy dans L²(T).

Elle est donc convergente et on note g sa limite, g ∈L²(T). On d´efinit alors

f(x) = c+ Z x

0

g(t) dt donc f ∈H¹(T) et f⁰ =g. Il reste `a voir que f_k →f dans H¹, ce qui est ´evident puisque

|||fk−f|||²_H1 =|fk(0)−c|²+ Z 1

0

|f_k⁰(t)−g(t)|²dt →0

puisque chaqu’un des deux termes de la somme tend vers 0.

Lemme 2.8. C^∞(T) est dense dans H¹(T).

D´emonstration. Soit ε > 0 et f ∈ H¹. Comme f⁰ ∈ L², les sommes partielles de sa s´erie de Fourier convergent vers f⁰ dans L², il existe donc N tel que kf⁰−S_N(f⁰)k₂ ≤ε. On d´efinit alors g(x) =f(0) +Rx

0 S_N(f⁰)(t) dt.

Notons que, comme f⁰ est de moyenne nulle, c0(f⁰) = 0 donc SN(f⁰) est de moyenne nulle. Ainsi, on a bien gN ∈ H¹(T). De plus, comme SN est de classe C^∞, g aussi. Enfin |||f−g|||_H¹ =kf⁰ −S_Nk ≤ε.

On peut esp´erer qu’un certain nombre de propri´et´es des fonctions de C¹(T) restent valables dans H¹(T). C’est en particulier le cas de la formule d’int´egration par parties:

Lemme 2.9 (Formule d’in´egration par parties). Soient u, v ∈H¹(T) alors pour a, b∈R

Z b a

u(t)v⁰(t)dt=u(b)v(b)−u(a)v(a)− Z b

a

u⁰(t)v(t)dt.

En particulier

Z 1 0

u(t)v⁰(t)dt =− Z 1

0

u⁰(t)v(t)dt.

D´emonstration. Remarquons que ceci a bien un sens puisqueu, v sont continues donc born´ees sur [a, b] et que u⁰, v⁰ ∈ L²(T) ⊂ L¹_loc(R). De plus, la continuit´e de u, v donne un sens `a u(b)v(b)−u(a)v(a). En particulier, par p´eriodicit´e, u(1) =u(0) et v(1) = v(0), donc la deuxi`eme formule r´esulte directement de la premi`ere.

Cette derni`ere est ´evidemment vraie si u, v ∈ C¹. Comme C¹ est dense dans H¹, si u, v ∈H¹, il existe des suites (u_k), (v_k) de fonctions de classeC¹ telles que u_k → u et v_k → v dans H¹. En particulier, u_k →u uniform´ement et v_k⁰ →v⁰ dans L²(R) donc dansL¹([a, b]) . Ainsi

Z b a

uk(x)v_k⁰(x) dx→ Z b

a

u(x)v⁰(x) dx.

De mˆeme, Z b

a

u⁰_k(x)vk(x) dx → Z b

a

u⁰(x)v(x) dx. La convergence uniforme impliquant la convergence ponctuelle, on a aussi u_k(b)v_k(b)−u_k(a)v_k(a) → u(b)v(b)−u(a)v(a). En passant `a la limite dans la formule d’int´egration par

parties de C¹, Z b

a

u_k(x)v_k⁰(x) dx=u_k(b)v_k(b)−u_k(a)v_k(a)− Z b

a

u⁰_k(x)v_k(x) dx

on trouve la formule d’int´egration par parties deH¹. Corollaire 2.10 (Dirichlet). Soit f ∈ H¹(T) alors ck(f⁰) = 2iπkck(f).

De plus la s´erie de Fourier de f converge uniform´ement vers f et kfk²_H1 =X

k∈Z

(1 + 4π²k²)|c_k(f)|² donc

H¹(T) = (

f ∈L¹(T) :X

k∈Z

(1 + 4π²k²)|ck(f)|² )

.

D´emonstration. En appliquant la formule d’int´egration par partiesu= f etv =e^−2iπkt on trouve

c_k(f⁰) = Z 1

0

f⁰(t)e^−2iπktdt=− Z 1

0

f(t)(−2iπk)e^−2iπktdt= 2iπkc_k(f).

On peut remarquer qu’on retrouve le fait que c₀(f⁰) = Z 1

0

f⁰(t) dt = 0 par p´eriodicit´e de f.

Comme f est continue, on sait grˆace `a Fej´er que S_N(f) → f au sens de C´esaro. Mais par ailleurs, pourk 6= 0, c_k(f⁰) = c_k(f)/2iπk donc

X

k6=0

c_k(f)e^2iπkt

∞ =X

k6=0

|c_k(f)|=X

k6=0

|c_k(f)|

2π|k|

≤ X

k6=0

|c_k(f)|²

!1/2

X

k6=0

1 4π²|k|²

!1/2

avec Cauchy-Schwarz. Il r´esulte de Parseval et f ∈ L²(T) que la premi`ere somme est finie et la deuxi`eme l’est clairement. AinsiS_N(f) est normalement convergente donc uniform´ement convergente. On sait d´ej`a que sa limite au sens de C´esaro estf donc sa limite usuelle aussi.

Enfin, Parseval nous dit que

kfk²_H1 =kfk²₂+kf⁰k²₂ =X

k∈Z

|c_k(f)|²+X

k∈Z

4π²k²|c_k(f)|².

La caract´erisation deH¹(T) en terme de s´eries de Fourier en r´esulte imm´ edia-tement puisqu’on a alors S_N(f) converge dansH¹. Remarque2.11. La d´emonstration est un peu plus simple sif ∈C¹. On n’utilise H¹ que pour ´etendre la formule d’int´egration par parties.

On peut aussi consid´erer les classes de H¨older C^α i.e. les fonctions qui v´erifient|f(x)−f(y)| ≤C|x−y|^α,α >0. On peut adapter la d´emonstration

du th´eor`eme de Dirichlet de convergence ponctuelle des s´eries de Fourier pour v´erifier que si f ∈ C<sup>α</sup> S<sub>N</sub>(f) → f ponctuellement si α > 0. Un r´esultat un peu plus fin dˆu `a Bernstein montre qu’on a mˆeme convergence normale quand α >1/2. Par contre, ce dernier r´esultat n’est plus vrai pour α≤1/2.

Le lecteur int´eress´e pourra consulter le livre de Katznelson “Introduction to harmonic analysis” ou celui de Zygmund “Fourier series”.

Corollaire 2.12. Soit f ∈ L¹(T) et supposons que f est de classe C¹ sur un intervalle (α, β) ⊂ R. Soient α < a < b < β. Alors S_N(f) → f uniform´ement sur [a, b].

D´emonstration. Si β − α > 1 il n’y a rien `a faire puisqu’alors f ∈ C<sup>1</sup>(T) et le th´eor`eme de Dirichlet permet de conclure. On suppose donc que β−α≤1.

Consid´erons alors α < c < a < b < d < β de sorte que f estC¹ sur (c, d) et on peut prolonger f en une fonction g, 1-p´eriodique de classe C¹ sur R. Ainsi S_N(f) converge uniform´ement vers g surR. En appliquant le principe de localisation, il en r´esulte queS_N(f) converge ´egalement uniform´ement vers

f sur [a, b].

2.4. Un exemple: Le ph´enom`ene de Gibbs. On consid`ere la fonction de Heaviside p´eriodique:

H(t) =

(0 si t∈(−1/2,0) 1 si t∈(0,1/2)

et en 0 et en 1/2 on peut prendre n’importe quelle valeur, disons 1/2. Cette fonction v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme de Dirichlet. On calcule,c0(H) =

1 2 et

c_k(H) = Z 1/2

0

e^−2iπktdt= e^−iπk−1

−2iπk =







0 sik est paire, k 6= 0 1

ikπ sik est impaire, . La s´erie de Fourier deH est donc

S(f) = 1 2 +X

p∈Z

e^2iπ(2p+1)t (2p+ 1)iπ = 1

2 +

+∞

X

p=0

e^2iπ(2p+1)t−e−2iπ(2p+1)t

i(2p+ 1)π

= 1 2 + 2

π

+∞

X

p=0

sin 2π(2p+ 1)t 2p+ 1 . (2.13)

Le th´eor`eme de Dirichlet nous dit donc que S[H] = 1

2 + 2 π

+∞

X

p=0

sin 2π(2p+ 1)t 2p+ 1 =







0 si t∈]−1/2,0[

1 si t∈]0,1/2[

1/2 si t= 0 ou ± ¹₂ .

et que, grˆace `a Dirichlet, cette s´erie converge simplement pour tout t ∈ R (vers H sur ]k−1/2, k[∪]k, k+ 1/2[ et vers 1/2 en k/2, k∈Z).

Le principe de localisation montre que de plus la convergence est uniforme sur [δ,1/2−δ] et sur [−1/2 +δ,−δ] pour 0< δ <1/4. En particulier, il existe C_δ tel que |S_N(f)(t)−H(t)| ≤C_δ pour toutt∈[δ,1/2−δ].

La convergence ne peut ˆetre uniforme sur [0,1/2] ni sur [−1/2,0] car S_N(f) ´etant continue, sa limite uniforme serait continue aussi or on sait que S_N(0), S_N(1/2), S_N(−1/2)→1/2.

Notez aussi que Parseval donne 1 et en r´esolvant l’´equation en S,

+∞

Etudions l’absence de convergence uniforme de plus pr`´ es. Pour cela, con-sid´erons les sommes partielles

S2N+1(H)(t) = 1

En d´erivant, on trouve Φ⁰_N(t) = 4

Ainsi, on voit que ΦN atteint un extremum local entk = _4(N+1)^k ,k= 1, . . . , N. Plus pr´ecis´ement, il s’agˆıt d’un maximum local si k est impaire et d’un mini-mum local si k est pair.

De plus pour ces k. En d’autres termes, les maxima locaux sont d´ecroissants jusqu’`a 1/4 et

On peut ´egalement utiliser une in´egalit´e classique de comparaison de somme de Riemann et d’int´egrale

Il est facile de voir que cette fonction est born´ee car elle se prolonge par continuit´e en 0 et tend vers 0 `a l’infini. En ´ecrivant

ϕ⁰(t) = 1

on trouve ψ(t)≤1/3 si t≤1.Ainsi sup_t∈[0,1]|ϕ⁰(t)| ≤1/3 donc

ΦN(t1)− 2 π

Z 1 0

sinπt t dt

≤ 2

3(N + 1).

Ainsi la suite des premiers maximas Φ_N(t₁) est born´ee et converge vers 1.179....

Ceci est illustr´e dans la figure suivante o`u on trace les sommes partielles de la fonction H.

On observe bien qu’il y a toujours un pic apr`es le saut dont la hauteur est environ 20% sup´erieur au saut. Par ailleurs, on observe bien l’uniforme convergence lorsqu’on se place sur un intervalle fixe sur lequelH est continu.

2.5. Divergence dans C(T) et dans L¹(T). Nous allons maintenant

´

etudier deux cas de divergence de s´eries de Fourier: le cas des fonctions

etudier deux cas de divergence de s´eries de Fourier: le cas des fonctions

Dans le document Analyse fonctionnelle, analyse spectrale Philippe Jaming (Page 53-127)