E110- Que vaut ?

E110- Que vaut x₁₀ ?

Solution

Comme x₀ est un entier0 et que x₁et x₂ sont des entiers > 0, on a affaire à une séquence d’entiers positifs qui est strictement croissante à partir du rang 4. En effet on a

1 x x

x₃ ₂  ₁ puis x₄ x₃.(x₂x₁)2x₃x₃ etc..

A partir de la décomposition de x =1152 en facteurs premiers =₈ 2⁷.3², on en déduit les couples possibles d’entiers x₇ et (x₆x₅) tels que x₇.(x₆x₅)x₈ 2⁷.3² avec

)/2 x (x x₇  ₆ ₅

x7 ne peut pas être une puissance de 2 telle que 32,64,128 . En raison de l’équation )

x .(x x

x₇  _{6 5} ₄ , x₆ divise x₇ et serait donc aussi une puissance de 2. Il en serait de même pour x et ₅ x₆x₅ ne pourrait pas prendre les valeurs 36,18 et 9 qui sont des multiples de 3.

x7= 36 ? x₆ doit diviser 36 avec la contrainte x₆x₅ = 32 et x₆ x₅. D’où 14

et x 18

x₆  ₅  . Ce qui est impossible car x ne divise pas ₅ x₆.

x7= 48 ? x₆ doit diviser 48 avec la contrainte x₆x₅ = 24 et x₆ x₅. D’où x₆= 16 et x = ₅ 8 . Commex₇ x₆.(x₅x₄), il en résulterait 48 = 16.(8 + x ), ce qui est impossible car ₄

x >1. 4

x7= 72 ? x₆ doit diviser 72 avec la contrainte x₆x₅ = 16 et x₆ x₅. D’où deux cas possibles :

x₆= 12 et x = 4 . Comme ₅ x₇ x₆.(x₅x₄) , il en résulte 72 = 12.( 4 +x ). D’où ₄ 0

x 1, x x déduit x on

puis 2,

x₄ ₃ ₂ ₁ ₀ .

x₆= 9 et x = 7 .Impossible car ₅ x ne divise pas ₅ x₆ .

x7= 96 ? x₆ doit diviser 96 avec la contrainte x₆x₅ = 12 et x₆ x₅. D’où x₆= 8 et x = ₅ 4. Comme x₇ x₆.(x₅x₄), il en résulterait 96 = 8.(4 + x ) soit ₄ x = 8, ce qui est ₄

impossible car x serait > ₄ x ₅

On vérifie aisément que pour les autres valeurs de x₇= 144, 192, 288, 384 et 576, on aboutit à des impossibilités.

Il y a donc une seule séquence possible définie par

1152 x

72, x 12, x 4, x 2, x 1, x 1, x 1, x 0,

x₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ .

On en déduit immédiatement x₉96768 et x₁₀118444032.