E333 : Une journée bien remplie au paradis
Archimède, Diophante, Eratosthène et Pythagore s'ennuient au paradis. Uranie, muse des mathématiques, vient leur poser un petit problème de la part du Patron:
Il a choisi cinq nombres i j k l m vérifiant : 1 ≤ i < j < k < l < m ≤ 10 Uranie indique à Pythagore leur produit P = ijklm,
à Archimède, l'addition des 5 nombres A = i + j + k + l + m,
à Ératosthène, la somme de leurs élévations au carrés E = i² + j² + k² + l² +m² et à Diophante, la valeur D = (i + j + k) (l + m),
et leur demande de trouver les 5 nombres.
1. Une heure après, Uranie revient les voir et les quatre grands mathématiciens répondent ensemble :
« δεν ξέρω » (= « Je ne sais pas » en grec moderne. Oui entretemps ils se sont mis au grec moderne !) 2. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
3. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω » 4. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω ». Etc...
23. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
Mais après cette dernière réponse, les quatre visages sourient et tous s'écrient : « ξέρω ! C'est bon, je connais i, j, k, l et m. »
Quels sont les cinq nombres i, j, k, l, m ?
Il y a 252 quintettes (i,j,k,l,m) possibles de (1,2,3,4,5) à (6,7,8,9,10). Si personne ne peut répondre, c’est que les valeurs de P, A, E, et D doivent chacune correspondre à au moins deux quintettes. On peut donc éliminer les quintettes qui correspondent à des valeurs isolées de P, A, E ou D (très simple avec un tableur). Il ne reste alors plus que 140 quintettes après le premier passage. Si l’on recommence avec les valeurs restantes, on obtient successivement 100, 85, 73, 64, 62, 60, 57, 54, 50, 47, 44, 40, 36, 33, 31, 28, 24, 19, 13, 8 et 4 quintettes (après le 22ème passage
d’Uranie)
i j k l m P A E D
