E333 – Une journée bien remplie au paradis
Archimède, Diophante, Ératosthène et Pythagore s'ennuient au paradis. Uranie, muse des mathématiques, vient leur poser un petit problème de la part du Patron:
Il a choisi cinq nombres i j k l m vérifiant : 1 ≤ i < j < k < l < m ≤ 10
Uranie indique :
à Pythagore leur produit P = ijklm,
à Archimède, l'addition des 5 nombres A = i + j + k + l + m,
à Ératosthène, la somme de leurs élévations au carré E = i² + j² + k² + l² +m²
et à Diophante, la valeur D = (i + j + k) (l + m), et leur demande de trouver les 5 nombres.
1. Une heure après, Uranie revient les voir et les quatre grands mathématiciens répondent ensemble : « δεν ξέρω » (= « Je ne sais pas » en grec moderne. Oui entretemps ils se sont mis au grec moderne ).
2. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω » 3. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω » 4. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω » Etc.
23. Une heure après, Uranie revient encore et tous disent ensemble : « δεν ξέρω »
Mais après cette dernière réponse, les quatre visages sourient et tous s'écrient : « ξέρω ! C'est bon, je connais i, j, k, l et m. »
Quels sont les cinq nombres i, j, k, l, m ? Solution par Patrick Gordon
Remarque liminaire
Ce problème fait penser à ceux, très connus, des disques dans le dos des prisonniers ou du vizir et des 40 femmes adultères, où l'on prend en compte les raisonnements que chacun peut faire sur les raisonnements des autres, etc. et où l'on arrive donc à des récurrences (plus théoriques que pratiques au bout de quelques niveaux d'imbrication) du type (A B C… étant des sujets pensants et p q r… des propositions) :
A se dit : si p était vrai,
alors B se dirait : si q était vrai,
…
or Z n'a pas fait ou dit ceci-cela;
Donc :… et l'on remonte la chaîne.
L'analogie est toutefois trompeuse car, dans le présent problème, si les raisonnements se font bien étape par étape, ils ne sont pas imbriqués dans une structure logique à parenthèses.
Solution
Le point de départ du raisonnement est que l'un au moins des quatre (voire tous les quatre) trouverait immédiatement les 5 nombres i, j, k, l, m si ceux-ci étaient la seule configuration donnant respectivement le produit P pour Pythagore, la somme A pour Archimède, etc.
Par exemple, si P = 120 ou si A = 15, Pythagore et Archimède disent :
"ξέρω : i, j, k, l, m = 1, 2, 3, 4, 5."
A contrario, aussi longtemps qu'ils se taisent tous les quatre, cela veut dire que les valeurs de P, A, E, D ne sont univoques pour aucun d'entre eux. En d'autres termes, chacun des quatre (et nous avec) peut éliminer, à chaque étape (à chaque visite d'Uranie), toutes les configurations qui sont univoques pour l'un au moins d'entre eux et ce n'est que quand il ne restera qu'une configuration qu'ils répondront en chœur : "ξέρω!"
Ainsi, partant des C
105= 252 configurations a priori possibles, chacun peut, à chaque étape, passer au "crible" (ce qui est particulièrement bien venu pour l'un d'entre eux!) les
configurations restantes. Attention! Il doit pour cela, avant toute élimination, cocher individuellement les "singletons" de chacun puis opérer la réunion des marques ainsi apposées, c’est-à-dire cocher globalement toute configuration qui aura reçu au moins une marque (et non pas éliminer au fur et à mesure de la découverte des "singletons" de chacun).
Cette opération peut être faite manuellement au moyen d'un tableur (encore qu'elle soit fastidieuse et demande beaucoup d'attention).
Elle conduit à la solution unique :
P A E D
2 5 6 7 8 3.360 28 178 195
Le tableau ci-après indique, par des couleurs, les configurations éliminées à chaque étape.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P A E D 1 2 3 4 5 120 15 55 54 1 2 3 4 6 144 16 66 60 1 2 3 4 7 168 17 79 66 1 2 3 4 8 192 18 94 72 1 2 3 4 9 216 19 111 78 1 2 3 5 6 180 17 75 66 1 2 3 5 7 210 18 88 72 1 2 3 5 9 270 20 120 84 1 2 3 6 7 252 19 99 78 1 2 3 6 8 288 20 114 84 1 2 3 6 9 324 21 131 90 1 2 3 7 9 378 22 144 96 1 2 4 5 6 240 18 82 77 1 2 4 5 7 280 19 95 84
1 2 4 5 8 320 20 110 91 1 2 4 6 7 336 20 106 91 1 2 4 6 8 384 21 121 98 1 2 4 7 8 448 22 134 105 1 2 5 6 9 540 23 147 120 1 2 5 7 9 630 24 160 128 1 3 4 5 6 360 19 87 88 1 3 4 5 7 420 20 100 96 1 3 4 5 9 540 22 132 112 1 3 4 6 8 576 22 126 112 1 3 4 6 9 648 23 143 120 1 3 4 7 9 756 24 156 128 1 3 5 6 9 810 24 152 135 1 3 5 7 8 840 24 148 135 1 3 5 7 9 945 25 165 144 1 3 6 7 9 1134 26 176 160 1 3 7 8 9 1512 28 204 187 1 4 5 7 9 1260 26 172 160 1 5 6 7 9 1890 28 192 192 2 3 4 5 6 720 20 90 99 2 3 4 5 8 960 22 118 117 2 3 4 6 8 1152 23 129 126 2 3 5 6 7 1260 23 123 130 2 3 5 7 9 1890 26 168 160 2 3 6 7 9 2268 27 179 176 2 3 6 8 9 2592 28 194 187 2 4 5 6 7 1680 24 130 143 2 4 5 6 8 1920 25 145 154 2 4 5 7 8 2240 26 158 165 2 4 6 7 8 2688 27 169 180 2 4 6 8 9 3456 29 201 204 3 4 5 6 7 2520 25 135 156 3 4 5 6 8 2880 26 150 168 3 4 5 6 9 3240 27 167 180 3 4 6 7 9 4536 29 191 208 3 4 6 8 9 5184 30 206 221 3 5 6 7 8 5040 29 183 210 3 5 6 7 9 5670 30 200 224 3 5 6 8 9 6480 31 215 238 3 5 7 8 9 7560 32 228 255 3 6 7 8 9 9072 33 239 272 4 5 6 7 8 6720 30 190 225 4 5 6 7 9 7560 31 207 240 4 6 7 8 9 12096 34 246 289 6 7 8 9 10 30240 40 330 399 5 7 8 9 10 25200 39 319 380 5 6 8 9 10 21600 38 306 361 5 6 7 9 10 18900 37 291 342 5 6 7 8 10 16800 36 274 324 4 7 8 9 10 20160 38 310 361 4 6 8 9 10 17280 37 297 342 4 6 7 8 10 13440 35 265 306 4 5 8 9 10 14400 36 286 323 4 5 7 9 10 12600 35 271 304
4 5 7 8 10 11200 34 254 288 4 5 6 8 10 9600 33 241 270 3 7 8 9 10 15120 37 303 342 3 6 8 9 10 12960 36 290 323 3 6 7 9 10 11340 35 275 304 3 5 8 9 10 10800 35 279 304 3 5 7 9 10 9450 34 264 285 3 5 6 9 10 8100 33 251 266 3 4 7 8 10 6720 32 238 252 3 4 6 8 10 5760 31 225 234 2 7 8 9 10 10080 36 298 323 2 6 8 9 10 8640 35 285 304 2 6 7 8 10 6720 33 253 270 2 5 7 9 10 6300 33 259 266 2 5 7 8 10 5600 32 242 252 2 5 6 8 10 4800 31 229 234 2 4 7 8 10 4480 31 233 234 2 4 6 9 10 4320 31 237 228 2 4 6 8 10 3840 30 220 216 2 4 5 8 10 3200 29 209 198 2 4 5 6 10 2400 27 181 176 2 3 6 8 10 2880 29 213 198 2 3 4 8 10 1920 27 193 162 1 7 8 9 10 5040 35 295 304 1 6 7 9 10 3780 33 267 266 1 5 7 9 10 3150 32 256 247 1 4 8 9 10 2880 32 262 247 1 4 6 8 10 1920 29 217 198 1 4 5 8 10 1600 28 206 180 1 4 5 7 10 1400 27 191 170 1 3 7 9 10 1890 30 240 209 1 3 6 9 10 1620 29 227 190 1 3 5 9 10 1350 28 216 171 1 3 5 7 10 1050 26 184 153 1 2 7 8 10 1120 28 218 180 1 2 5 8 10 800 26 194 144 1 2 5 7 10 700 25 179 136 1 2 4 9 10 720 26 202 133 1 2 4 8 10 640 25 185 126 1 2 4 7 10 560 24 170 119 1 2 4 6 10 480 23 157 112 1 2 4 5 10 400 22 146 105 1 2 3 9 10 540 25 195 114 1 2 3 5 10 300 21 139 90 1 2 3 5 8 240 19 103 78 1 2 3 7 8 336 21 127 90 1 2 4 5 9 360 21 127 98 1 2 4 6 9 432 22 138 105 1 2 4 8 9 576 24 166 119 1 2 5 7 8 560 23 143 120 1 2 6 7 9 756 25 171 144 1 3 4 6 7 504 21 111 104 1 3 4 7 8 672 23 139 120 1 3 5 6 7 630 22 120 117
1 3 6 8 9 1296 27 191 170 1 4 5 6 7 840 23 127 130 1 4 5 7 8 1120 25 155 150 1 5 7 8 9 2520 30 220 221 2 3 4 6 7 1008 22 114 117 2 3 4 6 9 1296 24 146 135 2 3 5 6 9 1620 25 155 150 2 4 5 8 9 2880 28 190 187 2 5 6 7 9 3780 29 195 208 4 5 7 8 9 10080 33 235 272 5 6 7 8 9 15120 35 255 306 4 6 7 9 10 15120 36 282 323 4 5 6 9 10 10800 34 258 285 3 6 7 8 10 10080 34 258 288 3 5 7 8 10 8400 33 247 270 3 5 6 7 10 6300 31 219 238 3 4 6 9 10 6480 32 242 247 3 4 5 8 10 4800 30 214 216 2 5 8 9 10 7200 34 274 285 2 5 6 9 10 5400 32 246 247 2 4 8 9 10 5760 33 265 266 2 4 5 7 10 2800 28 194 187 2 3 6 9 10 3240 30 230 209 2 3 4 6 10 1440 25 165 144 1 5 8 9 10 3600 33 271 266 1 5 7 8 10 2800 31 239 234 1 4 7 8 10 2240 30 230 216 1 3 7 8 10 1680 29 223 198 1 2 3 6 10 360 22 150 96 1 2 3 4 10 240 20 130 84 1 2 3 8 9 432 23 159 102 1 2 4 7 9 504 23 151 112 1 2 5 6 8 480 22 130 112 1 2 6 7 8 672 24 154 135 2 3 4 5 7 840 21 103 108 2 3 5 6 8 1440 24 138 140 4 5 6 7 10 8400 32 226 255 3 5 6 8 10 7200 32 234 252 3 4 5 9 10 5400 31 231 228 2 3 8 9 10 4320 32 258 247 1 6 8 9 10 4320 34 282 285 1 4 7 9 10 2520 31 247 228 1 3 4 5 10 600 23 151 120 1 2 8 9 10 1440 30 250 209 1 2 7 9 10 1260 29 235 190 1 4 5 6 8 960 24 142 140 1 6 7 8 9 3024 31 231 238 2 3 5 7 8 1680 25 151 150 2 6 7 9 10 7560 34 270 285 2 4 7 9 10 5040 32 250 247 2 3 4 5 10 1200 24 154 135 1 6 7 8 10 3360 32 250 252 1 3 8 9 10 2160 31 255 228 1 3 6 7 10 1260 27 195 170
1 2 5 6 10 600 24 166 128 1 2 3 8 10 480 24 178 108 1 2 3 7 10 420 23 163 102 1 2 5 6 7 420 21 115 104 1 3 4 5 8 480 21 115 104 1 4 6 7 8 1344 26 166 165 2 3 4 7 8 1344 24 142 135 3 4 5 7 8 3360 27 163 180 3 4 5 8 9 4320 29 195 204 3 4 8 9 10 8640 34 270 285 1 3 4 6 10 720 24 162 128 1 2 8 9 10 1440 30 250 209 2 5 6 8 9 4320 30 210 221 4 5 6 8 9 8640 32 222 255 2 6 7 8 9 6048 32 234 255 1 2 6 9 10 1080 28 222 171 3 4 7 8 9 6048 31 219 238 2 3 4 9 10 2160 28 210 171 1 4 6 9 10 2160 30 234 209 2 5 7 8 9 5040 31 223 238 2 4 5 9 10 3600 30 226 209 2 3 5 9 10 2700 29 219 190 3 4 6 7 10 5040 30 210 221 2 3 7 9 10 3780 31 243 228 1 5 6 9 10 2700 31 243 228 1 4 5 9 10 1800 29 223 190 2 3 7 9 10 3780 31 243 228 2 3 5 6 10 1800 26 174 160 1 3 6 8 10 1440 28 210 180 1 4 5 8 9 1440 27 187 170 3 4 5 7 9 3780 28 180 192 1 4 5 6 10 1200 26 178 160 1 3 5 8 9 1080 26 180 153 2 4 6 7 9 3024 28 186 192 2 3 5 7 10 2100 27 187 170 1 3 5 8 10 1200 27 199 162 1 2 6 8 9 864 26 186 153 2 3 7 8 9 3024 29 207 204 1 5 6 7 10 2100 29 211 204 1 2 6 8 10 960 27 205 162 1 3 4 8 9 864 25 171 136 2 4 6 7 10 3360 29 205 204 1 3 4 8 10 960 26 190 144 1 3 5 6 10 900 25 171 144 1 2 6 7 10 840 26 190 153 2 3 4 7 9 1512 25 159 144 1 3 4 7 10 840 25 175 136 1 2 5 9 10 900 27 211 152 1 2 5 8 9 720 25 175 136 1 4 6 7 9 1512 27 183 176 1 4 7 8 9 2016 29 211 204 1 3 4 9 10 1080 27 207 152 1 3 5 6 8 720 23 135 126 1 5 6 8 9 2160 29 207 204
2 3 5 8 9 2160 27 183 170 2 3 6 7 8 2016 26 162 165 2 4 5 7 9 2520 27 175 176 1 2 7 8 9 1008 27 199 170 1 5 6 7 8 1680 27 175 180 2 3 4 5 9 1080 23 135 126 2 4 5 6 9 2160 26 162 165 3 4 5 7 10 4200 29 199 204 2 3 6 7 10 2520 28 198 187 1 3 6 7 8 1008 25 159 150 1 4 5 6 9 1080 25 159 150 1 4 6 8 9 1728 28 198 187 2 5 6 7 10 4200 30 214 221 2 3 5 8 10 2400 28 202 180 2 3 4 8 9 1728 26 174 153 2 4 7 8 9 4032 30 214 221 1 5 6 8 10 2400 30 226 216 1 4 6 7 10 1680 28 202 187 3 4 6 7 8 4032 28 174 195 2 3 7 8 10 3360 30 226 216 2 3 4 7 10 1680 26 178 153 2 5 6 7 8 3360 28 178 195
