D372. Les t´ etra` edres pythagoriciens
Topologie :
a/ On ne peut pas avoir 3 angles droits `a un sommet, car le triangle oppos´e ne serait pas rectangle.
b/ On ne peut pas avoir 1 seul angle droit `a chacun des sommets, car cela in- duirait une contradiction : `a chaque sommet la somme des 2 angles aigus devrait ˆ
etre> π/2, mais la somme des 8 angles aigus vaut2π.
c/ Soit donc le triangle ABC restangle en C, et les trianglesBAD et BCD rectangles enBet formant un di`edre. L’arˆeteBDest perpendiculaire au plan deABC. Le 4`eme triangleACDest n´ecessairement rectangle enC, et l’arˆete AC est perpendiculaire au plan deBCD, donc `aCD.
Volume :
Les formules g´en´eratrices : a =v2−u2, b= 2u vet c= v2+u2 montrent que si u et v sont relativement premiers, a et bdont de parit´es oppos´ees. En outre, siu ouv est multiple de3,bl’est aussi, et si ni univ ne sont multiples de 3, u2 et v2 dont congrus `a 1modulo 3, donc a est multiple de 3. Donc l’aire de tout triangle pythagoricien est un nombre entier multiple de 3, et par cons´equent le volume (V = 1/3S h) est un nombre entier.
Voici le 1er t´etra`edre trouv´e :
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Recherche :
R´ealis´ee par informatique. On explore les valeurs de u et v de 1 `a 120 (au- del`a les longueurs deviennent trop grandes pour le PC). Pour chaque triangle pythagoricien ABC trouv´e (rectangle en C), on essaie les longueurs de 1 `a 10.000 de l’arˆete perpendiculaire `aABC, soit BD, soitAD.
La 1`ere lettre de chaque ligne indique si l’arˆete perpendiculaire au plan deABC est prise enAou enB.
L’affectation des lettres minuscules aux arˆetes est la suivante en fonction de la 1`ere lettre :
B ⇒ a :AC b:BC c:AB d:BD e:CD f :AD A ⇒ a:AC b:BC c:AB d:AD e:CD f :BD On v´erifie effectivement quea, oub, ou les deux sont multiples de3.
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