D372. Les tétraèdres pythagoriciens MB
Problème proposé par Michel Lafond
On dit qu’un tétraèdre est pythagoricien s’il vérifie les deux conditions - Ses 6 côtés sont des nombres entiers tous distincts ;
- Ses 4 faces sont des triangles rectangles.
Q1. Trouver un tétraèdre pythagoricien.
Q2. Démontrer que si T est un tétraèdre pythagoricien, alors le volume de T est un entier, et T possède deux côtés opposés orthogonaux
.
Q1)
Si le trièdre AB,AC,AD est trirectangle, la face BCD est un triangle acutangle et ne convient pas.
Au contraire on peut avoir deux triangles ABC et ADC rectangles en A et deux triangles ABD et CBD rectangles en B.
En posant d'une part AB = k(2uv) , AC = k(u² – v²), BC = k(u²+v²) ,
d'autre part AB = h(2mn), BD = h(m² – n²), AD = h(m²+n²), k = mn et h = uv on a bien 2 angles droits : BÂC et ABD
De plus si on parvient à choisir u, v, m, n de façon que CD² = AC² + AD² , à la fois CÂD est droit, et on obtient que AC est perpendiculaire à deux droites du plan BAD, à savoir les arêtes AB et AD. Cela implique alors que l'angle CBD est droit.
AC = mn(u² – v²), AD = uv(m² + n²), CD² = (mn(u² – v²))² + (uv(m² + n²))² Cette expression doit être un carré parfait.
Le programme suivant :
procure quelques quadruplets convenables pour (m, n, u, v):
(5, 3, 7, 4), (7, 4, 5, 3), (7, 4, 10, 6), (10, 6, 7, 4)
Le quadruplet (m=5, n=3, u=7, v=4) donne pour les arêtes les dimensions suivantes : AB = 840, AC = 495, AD = 952, BC = 975, BD = 448, CD = 1073
On peut vérifier que les 4 nombres
975² – 840²–´495², 952²–840²–448², 1073²–975²–448², et 1073²–495²–952² sont nuls.
Le tétraèdre ABCD est pythagoricien.
Q2) Si un tétraèdre T est pythagoricien, l'une des arêtes est orthogonale au plan de la face opposée, donc à toute droite de ce plan, donc orthogonale à l'arête opposée.
Dans le tétraèdre ABCD de la question Q1), les arêtes AC et BD sont orthogonales.
Si c'est l'arête AC qui est perpendiculaire au plan BCD, et si, comme dans Q1, l'angle ABD est droit, le volume de T est V = (BA.BD.AC)/6.
Si 3 entiers vérifient a² + b² = c² alors le produit ab est toujours multiple de 12, Si BA² + BD² = AD², BA.BD est multiple de 12 donc V est entier.
Le tétraèdre trouvé dans la question 1 a pour volume (840.448.495) / 6 = 31 046 400.
