G131. Gâteaux à la cannelle et jeu des 7 familles
Mes petits-enfants sont très friands des gâteaux à la cannelle. Leur marque préférée vient de lancer une campagne promotionnelle avec une carte du jeu des 7 familles dans chaque paquet. Ils souhaitent disposer d’un jeu complet qui comporte cartes distinctes, sachant que chacune d’elles a la même probabilité d’apparaître dans un quelconque paquet. Mes petits enfants dévorent en moyenne un paquet de gâteaux chaque jour. La promotion dure six mois du 1er janvier au 30 juin 2008. Ont-ils bon espoir d’avoir un jeu complet des 7 familles à la fin de la promotion ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Numérotons les cartes à collectionner de 1 à , et appelons le nombre de paquets ouverts.
Moyenne et écart type
En première approche, on peut s’intéresser à la moyenne et à l’écart type. Combien de paquets faut-il ouvrir en moyenne pour compléter la collection ? A quelle dispersion faut-il s’attendre ?
Pour obtenir cartes distinctes, il faut ouvrir paquets pour obtenir la première carte, puis paquets jusqu’à obtenir une carte différente de la précédente, puis paquets jusqu’au obtenir une troisième carte distincte, et ainsi jusqu’à obtenir un exemplaire de chaque carte, soit :
Lorsqu’on possède déjà cartes distinctes, la probabilité d’obtenir une nouvelle carte distincte est :
D’où l’on déduit :
Puis finalement, par linéarité de la moyenne et de la variance :
avec et
Dans le cas particulier , on trouve :
Les 182 jours de la promotion (du 1er janvier au 30 juin 2008 inclus) correspondent à l’espérance mais la dispersion est importante.
Poussons donc l’analyse plus avant.
Loi de distribution
Le nombre total de tirages possibles est . Appelons le nombre de tirages contenant au moins un exemplaire de chacune des cartes.
Si est un ensemble de cartes distinctes parmi , on note le nombre de tirages où les cartes sont assurément manquantes. Cela revient à trouver dans chaque paquet une carte parmi les qui restent possibles.
On peut donc affirmer que .
s’exprime en fonction des grâce au principe d’inclusion-exclusion. Pour fixer les idées, prenons . Comme l’illustre la figure ci-contre, le nombre de tirages contenant au moins un exemplaire de chacune des 3 cartes possibles est donné par :
En vertu de ce même principe, on obtient pour quelconque, la formule générale de en fonction de et :
La probabilité d’un tirage contenant au moins un exemplaire de chaque carte est donc :
En prenant finalement et (du 1er janvier au 30 juin 2008 inclus), on trouve . Les petits enfants ont de chances d’avoir un jeu complet à la fin de la promotion.
Ci-dessous le graphe complet de la loi de distribution pour .
